《高中數(shù)學 第三章 數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3_1 數(shù)學歸納法原理課件 新人教B版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第三章 數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3_1 數(shù)學歸納法原理課件 新人教B版選修4-5（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 三 章 數(shù) 學 歸 納 法 與 貝 努 利 不 等 式 3.1 數(shù) 學 歸 納 法 原 理 1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.了解數(shù)學歸納法的應用范圍.3.會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題. 1.歸 納 法由有限多個個別的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,通常稱為歸納法.名 師 點 撥根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部,歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法.(1)不完全歸納法是根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得到一般結(jié)論的推理方法.不完全歸納法所得到的命題不一定是成立的,但它是一種重要的思考問題的方法,是研究數(shù)學問題的一把鑰匙,是發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律,用

2、數(shù)學歸納法證明是解決問題的一種重要途徑.(2)完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法,又叫枚舉法.與不完全歸納法不同,用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況不多時, 采用完全歸納法. 【 做 一 做 1-2】 從1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,猜想第n個式子為. 2.數(shù) 學 歸 納 法一般地,當要證明一個命題對于不小于某正數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:(1)證明當n=n0時命題成立;(2)假設當n=k(k N,且kn0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.完成兩個步驟后,就可以斷定命題對于不

3、小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱為數(shù)學歸納法. 名 師 點 撥 1.這兩個步驟缺一不可,只完成步驟(1)而缺少步驟(2),就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論.因為單靠步驟(1),無法遞推下去,即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確,我們無法判定.同樣,只有步驟(2)而缺少步驟(1),也可能得出不正確的結(jié)論.缺少步驟(1)這個基礎,假設就失去了成立的前提,步驟(2)也就沒有意義了.2.用數(shù)學歸納法證明有關問題的關鍵在第二步,即n=k+1時為什么成立?n=k+1時成立是利用假設n=k時成立,根據(jù)有關的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學結(jié)論推證出n=k+1時命題成立,而不是直接代入,否則n=k+1時也成假

4、設了,命題并沒有得到證明.3.用數(shù)學歸納法可證明有關的正整數(shù)問題,但并不是所有的正整數(shù)問題都用數(shù)學歸納法證明,學習時要具體問題具體分析. 【 做 一 做 2-1】 下列說法中不正確的是()A.數(shù)學歸納法中的兩個步驟相互依存,缺一不可B.數(shù)學歸納法證明的是與正整數(shù)有關的命題C.數(shù)學歸納法證明的第一步是遞推的基礎,第二步是遞推的依據(jù)D.數(shù)學歸納法中第一步必須從n=1開始答 案 :D 故當n=k+1時,不等式成立.上述的證明過程中,不正確的一步的序號為.解 析 :在(2)中,由n=k到n=k+1的證明,沒有用上歸納假設,故(2)錯誤.答 案 :(2) 1.為 什 么 數(shù) 學 歸 納 法 能 夠 證

5、明 無 限 多 正 整 數(shù) 都 成 立 的 問 題 呢 ?剖 析 :這是因為第一步首先驗證了n取第一個值n0時命題成立,這樣假設就有了存在的基礎.假設當n=k時命題成立,根據(jù)假設和合理推證,證明出當n=k+1時命題也成立.這實質(zhì)上是證明了一種循環(huán).如驗證了當n0=1時命題成立,又證明了當n=k+1時命題也成立,這就一定有當n=2時命題成立,當n=2時命題成立,則當n=3時命題也成立;當n=3時命題成立,則當n=4時命題也成立.如此反復,以至無窮.對所有nn0的正整數(shù)命題就都成立了.數(shù)學歸納法非常巧妙地解決了一種無限多的正整數(shù)問題,這就是數(shù)學方法的神奇. 2.什 么 時 候 可 以 運 用 數(shù)

6、學 歸 納 法 證 明 ,證 明 時 n0是 否 一 定 要 為 1?剖 析 :數(shù)學歸納法一般被用于證明某些涉及正整數(shù)n的命題,n可取無限多值,但不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學歸納法證明,例如用數(shù)學歸納法證明 (n N*)的單調(diào)性就難以實現(xiàn),一般說來,從n=k到n=k+1時,若問題中存在可利用的遞推關系,則使用數(shù)學歸納法就較簡單,否則使用數(shù)學歸納法就有困難.在運用數(shù)學歸納法時,要注意起點n并非一定取1,也可能取2等值,要看清題目,比如證明凸n邊形的內(nèi)角和f(n)=(n-2)180,這里面的n應不小于3,即n3,第一個值n 0=3. 題型一 題型二 題型三 題型四用 數(shù) 學 歸

7、納 法 證 明 恒 等 式【 例 1】 用數(shù)學歸納法證明:分 析 :用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的關鍵是第二步,要注意當n=k+1時等式兩邊的式子與n=k時等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項,減少了哪些項,問題就會順利解決. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型四題型三用 數(shù) 學 歸 納 法 證 明 整 除 性 問 題【 例 2】 求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n N*.分 析 :對于多項式A,B,如果A=BC,C也是多項式,那么A能被B整除.若A,B都能被C整除,則A+B,A-B也能被C整除.證 明 :(1)

8、當n=1時,a1+1+(a+1)21-1=a2+a+1,命題顯然成立.(2)假設當n=k(k N*,且k1)時,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,則當n=k+1時,ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aa k+1+(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1.由歸納假設,得上式中的兩項均能被a2+a+1整除,故當n=k+1時命題成立.根據(jù)(1)(2)可知,對一切n N*,命題成立. 題型一 題型二 題型四題型三反 思證明整除性問題的關鍵是“湊項”

9、,采用增項、減項、拆項、因式分解等手段,湊出當n=k時的情形,從而利用歸納假設使問題得證. 題型一 題型二 題型三 題型四用 數(shù) 學 歸 納 法 證 明 幾 何 問 題【 例 3】 平面內(nèi)有n個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任意三個圓不相交于同一點,求證:這n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2個部分(n N*).分 析 :因為f(n)為n個圓把平面分割成的區(qū)域數(shù),那么再有一個圓和這n個圓相交,就有2n個交點,這些交點將增加的這個圓分成2n段弧,且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二,所以增加一個圓后,平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述關系,數(shù)學歸納法的第二步證明可

10、迎刃而解. 題型一 題型二 題型三 題型四證 明 :(1)當n=1時,一個圓將平面分成兩個部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1時命題成立.(2)假設n=k(k N*,且k1)時命題成立,即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分,則當n=k+1時,在k+1個圓中任取一個圓O,剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分,而圓O與k個圓有2k個交點,這2k個點將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1) 2-(k+1)+2.故當n=k+1時,命題成立.根據(jù)(1)(2)可知,對一切n N*,命題成立. 題型一 題型二 題型三 題型

11、四反 思對于用數(shù)學歸納法證明幾何問題,可以先從有限情形中歸納出一個變化的過程,或者說體會出是怎樣變化的,再去證明.也可以用“遞推”的辦法,比如本題,當n=k+1時的結(jié)果已知道:f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2,用f(k+1)-f(k)就可得到增加的部分,然后從有限的情況來理解如何增加的,也就好理解了. 題型一 題型二 題型三 題型四 易 錯 辨 析易 錯 點 :在 應 用 數(shù) 學 歸 納 法 證 明 有 關 問 題 時 ,兩 步 缺 一 不 可 ,且 最 易出 錯 的 地 方 是 在 第 二 步 證 明 中 未 用 歸 納 假 設 .【 例 4】 已知在數(shù)列an中,a1=3,其前n項

12、和Sn滿足Sn=6-2an+1,計算a2,a3,a4,然后猜想出an的表達式,并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.錯 解 :當n2時,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an) 題型一 題型二 題型三 題型四錯 因 分 析 :本題在證明時出現(xiàn)的主要錯誤是未用歸納假設. 題型一 題型二 題型三 題型四 1 2 3 4 51下列代數(shù)式中,n N*,則可能被13整除的是()A.n3+5n B.34n+1+52n+1C.62n-1+1 D.42n+1+3n+2解 析 :當n=1時,只有D項能被13整除.答 案 :D 1 2 3 4 52若凸n邊形有f(n)條對角線,則凸(n+1)邊形的對角線的條數(shù)f

13、(n+1)為()A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2解 析 :從凸n邊形到凸(n+1)邊形,對角線增加了(n-1)條.答 案 :C 1 2 3 4 53下列四個判斷中,正確的是()A.式子1+k+k2+kn(n N*),當n=1時為1B.式子1+k+k2+kn-1(n N*),當n=1時為1+k解 析 :對于選項A,n=1時,式子應為1+k;選項B中,n=1時,式子應為1;答 案 :C 1 2 3 4 54已知在數(shù)列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n N*),用數(shù)學歸納法證明a4n能被4整除,假設a4k能被4整除,則下一步證明.答 案 :a4k+4能被4整除 1 2 3 4 55某同學用數(shù)學歸納法證明等式1+2+22+2n-1=2n-1的過程如下:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立;(2)假設當n=k(k N*,且k1)時,等式成立,即1+2+22+2k-1=2k-1;即當n=k+1時等式成立.根據(jù)(1)(2)可知,對任意正整數(shù)n等式成立.以上證明過程的錯誤是.答 案 :第(2)步未用歸納假設