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1、分 類 討 論 思 想 2005年 4月高 考 數(shù) 學(xué) 復(fù) 習(xí) 專 題 之 一 分類討論思想 內(nèi) 容 分 析 評 價 分 析教 法 分 析目 標(biāo) 分 析過 程 分 析 地 位 和 作 用 “分 類 討 論 ” 是 一 種 重 要 的 數(shù) 學(xué) 思 想 ，也 是 一 種 邏 輯 方 法 ， 同 時 又 是 一 種 重 要 的 解題 策 略 ， 它 體 現(xiàn) 了 化 整 為 零 、 積 零 為 整 的 思想 與 歸 類 整 理 的 方 法 。 它 能 揭 示 數(shù) 學(xué) 對 象 之間 的 內(nèi) 在 規(guī) 律 ， 有 助 于 學(xué) 生 總 結(jié) 歸 納 數(shù) 學(xué) 知識 ， 使 所 學(xué) 知 識 條 理 化 。 有 關(guān)

2、分 類 討 論 思 想的 數(shù) 學(xué) 問 題 具 有 明 顯 的 邏 輯 性 、 綜 合 性 、 探索 性 ， 能 訓(xùn) 練 人 的 思 維 條 理 性 和 概 括 性 ， 所以 在 高 考 試 題 中 占 有 重 要 的 位 置 。 如 : 2004湖 南 省 高 考 的 文 科 卷 (16)、 (19)、 理科 卷 （ 10） 、 （ 14） 、 （ 18） 等 . 進(jìn) 行 分 類 討 論 要 遵 循 總 的 原 則 和 解答 分 類 討 論 問 題 的 基 本 步 驟 教 學(xué) 重 點(diǎn)教 學(xué) 難 點(diǎn) “標(biāo) 準(zhǔn) 統(tǒng) 一 、 不 漏 不 重 ” 分類討論思想 內(nèi) 容 分 析 評 價 分 析教 法 分

3、 析目 標(biāo) 分 析過 程 分 析 1、 了 解 “ 分 類 討 論 思 想 ” 的 意 義 ； 2、 理 解 分 類 討 論 的 步 驟 以 及 分 類 討 論 法解 題 必 須 遵 循 總 的 原 則 ； 3、 感 受 “ 分 類 討 論 思 想 ” 在 解 決 相 關(guān) 問題 中 的 作 用 。 通 過 “ 情 景 感 知 概 括 運(yùn)用 反 思 ” 的 途 徑 培 養(yǎng) 學(xué) 生 的 觀 察 、發(fā) 現(xiàn) 、 類 比 、 歸 納 、 概 括 、 發(fā) 散 以及 進(jìn) 行 合 情 推 理 的 能 力 ； 體 驗(yàn) 數(shù) 學(xué) 學(xué) 習(xí) 活 動 中 的 成 功 與 快樂 ， 增 強(qiáng) 他 們 的 求 知 欲 及 學(xué)

4、好 數(shù) 學(xué) 的信 心 ； 又 通 過 聯(lián) 系 與 發(fā) 展 、 對 立 與 統(tǒng)一 的 思 考 方 法 向 學(xué) 生 滲 透 辯 證 唯 物 主義 認(rèn) 識 論 的 思 想 。 分類討論思想 內(nèi) 容 分 析 評 價 分 析教 法 分 析目 標(biāo) 分 析過 程 分 析 教 學(xué) 流 程 圖 (1)創(chuàng) 設(shè) 情 景 ， 引 出 新 知 問 題 1: 有 12個 金 色 小 球 ， 其 中 一個 與 其 它 球 除 重 量 不 同 外 再 無其 他 區(qū) 別 ， 把 12個 球 隨 機(jī) 平 分成 三 份 ， 請 說 明 如 何 用 天 平 稱3 次 將 特 殊 球 選 出 ， 并 指 出 該球 比 其 它 球 是

5、輕 還 是 重 ? 設(shè) 計(jì) 意 圖 ： 留 一 定的 時 間 讓 學(xué) 生 思 考 、討 論 ， 在 學(xué) 生 感 到新 奇 而 又 不 知 所 措的 過 程 中 積 蓄強(qiáng) 烈 的 求 知 欲 望 。設(shè) 置 懸 念 ， 調(diào) 動 了他 們 的 學(xué) 習(xí) 積 性 。 教 學(xué) 流 程 圖 (2) 分 析 ： 先 給 小 球 編 號 112,并 任 取 兩 份 放 在 天 平的 兩 端 ， 不 妨 取 (1， 2， 3， 4)與 (5， 6， 7， 8) ，（ 第 一 次 ） 。（ 1） 、 假 如 第 一 次 左 右 平 衡 ， 說 明 目 標(biāo) 球 在 (9，10， 11， 12)中 ， 再 稱 (1，

6、9)， (10， 11)（ 第 二 次 ） 。a、 假 如 一 樣 重 ， 說 明 12號 球 與 眾 不 同 ， 將 它 與任 一 球 稱 即 可 知 道 是 重 是 輕 (第 三 次 ）b、 假 如 左 重 右 輕 ， 說 明 不 是 9號 重 就 是 10或 11號輕 ， 只 要 稱 10， 11即 可 知 道 。 （ 第 三 次 ）c、 假 如 左 輕 右 重 ， 則 與 上 面 同 理 可 推 。 （ 2） 假 如 第 一 次 左 重 右 輕 ， 說 明 要 么 1， 2， 3， 4中 有 一 球 重 要 么 5， 6， 7， 8中 有 一 球 輕 ， 這 時 稱 (1 ，5 ， 6

7、)， (2 ， 7 ， 8) （ 第 二 次 ）a、 假 如 一 樣 重 ， 說 明 3號 和 4號 中 必 有 一 球 重 ， 則 稱它 倆 就 可 知 道 。 （ 第 三 次 ）b、 假 如 左 重 右 輕 ， 說 明 要 么 1號 重 ， 要 么 7， 8中 有一 球 輕 ， 則 稱 7， 8即 可 。 （ 第 三 次 ）c、 假 如 左 輕 右 重 ， 說 明 要 么 2號 重 ， 要 么 5， 6中 有一 球 輕 ， 則 稱 5， 6即 可 。 （ 第 三 次 ）（ 3） 假 如 第 一 次 左 輕 右 重 ， 則 與 上 面 2同 理 可 推 。(2) (2) 問 題 2:有 卡

8、片 9張 ， 將 0，1， 2， ， 8這 九 個 數(shù) 字 分別 寫 在 每 張 卡 片 上 ,現(xiàn) 從 中任 取 3張 排 成 三 位 數(shù) ， 若 6可 當(dāng) 9用 ， 問 可 組 成 多 少 個不 同 的 三 位 數(shù) ？ 設(shè) 計(jì) 意 圖 ：讓 學(xué) 生 在 問題 的 解 決 過程 中 ， 初 步體 會 利 用 分類 討 論 思 想解 決 相 關(guān) 問題 的 條 理 性 解 答 :分 以 下 兩 類 ：（ 1） 不 含 6的 三 位 數(shù) 共 有 N1 A71A72個（ 2） 含 6的 三 位 數(shù) 有 以 下 兩 種 情 況 ： a.含 6不 含 0的 三 位 數(shù) 有 N2 2C72A33個 b.含

9、6也 含 0的 三 位 數(shù) 有 N3 2C71A21A22個 由 加 法 原 理 得 ， 不 同 的 三 位 數(shù) 的 個 數(shù) ： N N 1 N2 N3 602 有 些 數(shù) 學(xué) 概念 ， 在 定 義時 就 對 所 研究 的 范 圍 作了 限 制 ， 如“ 直 線 的 截距 式 方 程 ” 、“ 直 線 的 傾角 ” 等 例 1 過 點(diǎn) P(2,3)， 且 在 坐 標(biāo) 軸上 的 截 距 相 等 的 直 線 方 程 是 A.3x 2y 0 B. x y 5 0 C. 3x 2y 0或 x y 5 0 D.不 能 確 定(2) 有 些 數(shù) 學(xué) 概念 ， 必 須 滿足 特 定 的 條件 才 能 成 立

10、 ，如 一 元 二 次方 程 有 解 等 (2) 例 2 關(guān) 于 x的 方 程 x2 5x m 0的 兩 根 為 z1和 z2，而 且 滿 足 |z1 z2| 3， 求實(shí) 數(shù) m的 值 。 有 些 數(shù) 學(xué) 概 念 ， 本身 就 是 分 類 敘 述 的 ，或 者 本 身 就 是 以 分段 函 數(shù) 形 式 出 現(xiàn) ，如 “ 絕 對 值 ” 、“ 直 線 的 斜 率 ” 、“ 直 線 與 平 面 所 成的 角 ” 等 (2) 例 3 證 明 : 兩 平 行直 線 與 同 一 平 面 所成 的 角 相 等 . 涉 及 不 同 數(shù) 學(xué) 概念 的 問 題 ， 常 常采 用 不 同 的 方 法處 理 ， 而

11、 有 些 不同 的 數(shù) 學(xué) 對 象 ，可 以 用 含 參 數(shù) 的同 一 形 式 表 示 ，如 整 式 方 程 等 (2) 例 4 實(shí) 數(shù) k為 何 值時 ， 方 程 kx2 kx 1 0有 實(shí) 根 ？ 有 些 函 數(shù) 的性 質(zhì) 以 分 類表 達(dá) 的 ， 如指 數(shù) 函 數(shù) 的單 調(diào) 性 、 三角 函 數(shù) 的 定義 域 等 (2) x1log (1 ) 1a x 例 5 解 關(guān) 于 的 不 等 式 數(shù) 學(xué) 中 有 些問 題 ， 需 要作 出 明 確 判斷 ， 如 判 斷出 某 兩 個 數(shù)的 大 小 ， 方好 繼 續(xù) 后 面的 解 題 過 程 例 6 設(shè)A x| x2 2ax 8a2 0,B x|

12、x a 1 ，若 A B， 求 a的 取 值 范 圍 。(2) 有 些 與 圖 形 有 關(guān)的 問 題 ， 常 常 因參 數(shù) 的 取 值 不 同 ，影 響 著 圖 形 之 間相 對 位 置 關(guān) 系 發(fā)生 變 化 ， 由 此 引起 問 題 的 結(jié) 論 產(chǎn)生 多 種 形 式 (2) 例 7 兩 條 異 面 直 線在 一 個 平 面 內(nèi) 的 射影 有 哪 幾 種 情 況 ？ 教 學(xué) 流 程 圖 嘗 試 活 動 ：（ 3） 師 生 互 動 ， 運(yùn) 用 新 知 設(shè) 計(jì) 意 圖 ： 給 學(xué)生 提 供 設(shè) 計(jì) 問題 的 機(jī) 會 ， 逐步 增 強(qiáng) 他 們 的創(chuàng) 新 意 識 和 數(shù)學(xué) 應(yīng) 用 能 力 。我 來 當(dāng)

13、 老 師 ！ 例 1. 已 知 圓 x2 y2 4， 求 經(jīng)過 點(diǎn) P（ 2， 4） ， 且 與 圓 相 切的 直 線 方 程 。 （ 3） 師 生 互 動 ， 運(yùn) 用 新 知設(shè) 計(jì) 意 圖 ： 課 題 的 引 出 ，圍 繞 問 題 展 開 ， 使 學(xué) 生 在積 極 的 狀 態(tài) 下 ， 用 分 類 討論 的 思 想 方 法 ， 把 有 關(guān) 知識 正 遷 移 ， 激 發(fā) 了 他 們 的學(xué) 習(xí) 興 趣 。 （ 3） 師 生 互 動 ， 運(yùn) 用 新 知 1sin 25cos cos13ABC AB C 例 2 在 中 ， 已 知 ， 求 例 3. 已 知 等 比 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 之 和為 Sn

14、， 前 n 1項(xiàng) 之 和 為 Sn 1，公 比 q 0， 令 . （ 3） 師 生 互 動 ， 運(yùn) 用 新 知1 limnn nnST TnS ， 求 教 學(xué) 流 程 圖 （ 4） 發(fā) 散 訓(xùn) 練 ， 反 思 新 知例 1. 設(shè) 函 數(shù) f(x) ax2 2x 2，對 于 滿 足 1 x 4的 一 切 x值 都 有f(x) 0， 求 實(shí) 數(shù) a的 取 值 范 圍 。 例 2 對 于 滿 足 |p|2的 所 有 實(shí) 數(shù) p,求 使 不 等式 x2 px 1 2p x恒 成 立 的 x的 取 值 范 圍 。 設(shè) 計(jì) 意 圖 :注 意 簡 化 或避 免 分 類 討論 ,達(dá) 到 靈 活運(yùn) 用 的 目

15、的 （ 4） 發(fā) 散 訓(xùn) 練 ， 反 思 新 知 教 學(xué) 流 程 圖 問 題 情 景 第 二 步 ： 確 定 分 類討 論 的 分 類 標(biāo) 準(zhǔn)第 三 步 ： 分 類 逐 步 、分 級 進(jìn) 行 討 論觀 察分 析類 比歸 納 發(fā) 散 反 思解 決 問 題分 類 討 論 的步 驟 第 一 步 ： 確 定 討 論的 對 象 及 其 范 圍第 四 步 ： 歸 納 小 結(jié) 、綜 合 得 出 結(jié) 論 設(shè) 計(jì) 意 圖 ：使 學(xué) 生 對 知識 的 掌 握 上升 為 一 種 能力 ， 并 納 入已 有 的 認(rèn) 知結(jié) 構(gòu) ， 利 用知 識 發(fā) 生 遷移 ， 成 為 新的 知 識 的 生長 點(diǎn) 。 教 學(xué) 流 程

16、圖 (6)布 置 作 業(yè) ， 鞏 固 提 高設(shè) 計(jì) 意 圖 ： 讓 學(xué) 生 鞏 固所 學(xué) 內(nèi) 容 并 進(jìn) 行 自 我 檢測 與 評 價 . 分類討論思想 內(nèi) 容 分 析 評 價 分 析教 法 分 析目 標(biāo) 分 析過 程 分 析 教 學(xué) 主 線情 景 感 知 概 括 運(yùn) 用 設(shè) 疑 誘 導(dǎo)動 手 操 作合 作 交 流嘗 試 活 動 演 練 結(jié) 合類 比 發(fā) 現(xiàn)觀 察 分 析自 主 探 索問 題 討 論引 導(dǎo) 發(fā) 散 反 思 分類討論思想 內(nèi) 容 分 析 評 價 分 析教 法 分 析目 標(biāo) 分 析過 程 分 析 （ 3） 以 “ 問 題 ” 為 載 體 ； （ 2） 以 “ 觀 察 ” 為 主 線 ;（ 4） 以 “ 能 力 ” 為 目 標(biāo) 。（ 1） 以 “ 思 維 ” 為 中 心 ；