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1、 問 題 1 為 了 綠 化 荒 山 ， 某 地 打 算 從 位 于 山 腳 下 的 機井 房 沿 著 山 坡 鋪 設 水 管 ， 在 山 坡 上 修 建 一 座 揚 水 站 ，對 坡 面 的 綠 地 進 行 噴 灌 現 測 得 斜 坡 與 水 平 面 所 成角 的 度 數 是 30 ， 為 使 出 水 口 的 高 度 為 35m， 那 么 需要 準 備 多 長 的 水 管 ？這 個 問 題 可 以 歸 結 為 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， A 30 ， BC 35m， 求 AB的 長 .A BC 思 考 ： 你 能 將 實 際 問 題 歸 結 為 數 學 問 題 嗎 ？情境探究

2、根 據 “ 在 直 角 三 角 形 中 ，30 角 所 對 的 直 角 邊 等 于 斜邊 的 一 半 ” ， 即 A B C 在 Rt ABC中 ， C 90 ， A 30 ，BC 35m， 求 AB的 長 . .21ABBC 斜 邊的 對 邊A可 得 AB=2BC=70m， 即 需 要 準 備 70m長 的水 管 。 在 上 面 的 問 題 中 ， 如 果 使 出 水 口 的 高 度 為50m， 那 么 需 要 準 備 多 長 的 水 管 ？結 論 ： 在 一 個 直 角 三 角 形 中 ， 如 果 一 個 銳 角 等 于 30 ，那 么 不 管 三 角 形 的 大 小 如 何 ， 這 個

3、角 的 對 邊 與 斜 邊 的 比值 都 等 于 。 21 A BC 50m30m B C 即 在 直 角 三 角 形 中 ， 當 一 個 銳 角 等 于 45時 ， 不 管 這 個 直 角 三 角 形 的 大 小 如 何 ， 這 個 角的 對 邊 與 斜 邊 的 比 都 等 于 。22 如 圖 ， 任 意 畫 一 個 Rt ABC，使 C 90 ， A 45 ， 計算 A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 ，你 能 得 出 什 么 結 論 ？ ABBC A BC 綜 上 可 知 ， 在 一 個 Rt ABC中 ， C 90 ， 一 般 地 ， 當 A 取 其 他 一 定 度 數 的 銳 角 時

4、， 它 的對 邊 與 斜 邊 的 比 是 否 也 是 一 個 固 定 值 ？ 21 當 A 30 時 ， A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 都 等 于 ，是 一 個 固 定 值 ； 22 當 A 45 時 ， A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 都 等 于 ，也 是 一 個 固 定 值 . 探 究A BC A BC 任 意 畫 Rt ABC和 Rt ABC， 使 得 C C90 ， A A ， 那 么 與 有 什 么 關系 你 能 解 釋 一 下 嗎 ？ ABBC BACB由 于 C C 90 ， A A 所 以 Rt ABC Rt ABC , BAABCBBC .CBAB BABC 即 這 就

5、 是 說 ， 在 直 角 三 角 形 中 ， 當 銳 角 A的 度 數一 定 時 ， 不 管 三 角 形 的 大 小 如 何 ， A的 對 邊 與斜 邊 的 比 都 是 一 個 固 定 值 探 究 如 圖 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， 我 們 把 銳 角 A的對 邊 與 斜 邊 的 比 叫 做 A的 正 弦 （ sine） ， 記 作 sinA， 即 caAA 斜 邊的 對 邊sin例 如 ， 當 A 30 時 ， 我 們 有2130sinsin A當 A 45 時 ， 我 們 有2245sinsin A A BCc ab 對 邊斜 邊在 圖 中 A的 對 邊 記 作 a B的 對

6、 邊 記 作 b C的 對 邊 記 作 c 正 弦 注 意 sinA是 一 個 完 整 的 符 號 ， 它 表 示 A的 正弦 ， 記 號 里 習 慣 省 去 角 的 符 號 “ ” ； sinA沒 有 單 位 ， 它 表 示 一 個 比 值 ， 即 直 角三 角 形 中 A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 ； sinA不 表 示 “ sin”乘 以 “ A”。 例 1 如 圖 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， 求sinA和 sinB的 值 A BC 34 例 題 示 范 ABC 135(1) (2) .54sin53sin 5.34BCACAB ABCR1 2222 ABACBABBC

7、A t，因 此 中 ，） ， 在解 ： 如 圖 （ 試 著 完 成 圖 （ 2） 練 習 2254A C35 B2、 在 平 面 直 角 平 面 坐 標 系 中 ， 已 知 點 A(3， 0)和 B(0， -4)， 則 sin O AB等 于 _.3、 在 Rt ABC中 ， C=90 ， AD是 BC邊上 的 中 線 ， AC=2， BC=4， 則 sin DAC=_.4、 在 Rt ABC中 , C=90 , ,則 sinA=_. 33ba 1、 如 圖 ， 求 sinA和 sinB的 值 5、 如 圖 ， 在 ABC中 ， AB=CB=5， sinA= ，求 ABC 的 面 積 。 54

8、BA C5 5 28.1銳 角 三 角 函 數 （ 2）余 弦 正 切 復 習 與 探 究 ： 1.銳 角 正 弦 的 定 義 在 中 ， Rt ABC C 90 A B C a b c A的 正 弦 ： caABBC斜 邊A的 對 邊sinA 2、 當 銳 角 A確 定 時 ， A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 就 隨 之確 定 。 此 時 ， 其 他 邊 之 間 的 比 是 否 也 隨 之 確 定 ？ 為什 么 ？ 新 知 探 索 : A B C a b c 1、 你 能 將 “ 其 他 邊 之 比 ” 用 比 例 的式 子 表 示 出 來 嗎 ？ 這 樣 的 比 有 多 少 ？cb ba

9、2、 當 銳 角 A確 定 時 ， A的 鄰 邊 與 斜 邊 的 比 ， A的 對 邊 與 鄰 邊 的 比 也 隨 之 確 定 嗎 ？ 為 什 么 ？ 交 流 并說 出 理 由 。方 法 一 ： 從 特 殊 到 一 般 ， 仿 照 正 弦 的 研 究 過 程 ；方 法 二 ： 根 據 相 似 三 角 形 的 性 質 來 說 明 。 如 圖 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ，cbAA 斜 邊的 鄰 邊cos A BC斜 邊 c 對 邊 a鄰 邊 b 我 們 把 銳 角 A的 鄰 邊 與 斜 邊 的 比 叫 做 A的 余 弦 （ cosine） ， 記 作 cosA， 即 我 們 把 銳 角

10、 A的 對 邊 與 鄰 邊 的 比 叫 做 A的 正 切 （ tangent） ， 記 作 tanA， 即 baAAA 的 鄰 邊的 對 邊tan rldmm8989889 注 意 cosA， tanA是 一 個 完 整 的 符 號 ， 它 表 示 A的 余 弦 、 正 切 ， 記 號 里 習 慣 省 去 角 的符 號 “ ” ； cosA， tanA沒 有 單 位 ， 它 表 示 一 個 比 值 ，即 直 角 三 角 形 中 A的 鄰 邊 與 斜 邊 的 比 、對 邊 與 鄰 邊 的 比 ； cosA不 表 示 “ cos”乘 以 “ A”， tanA不 表示 “ tan”乘 以 “ A”

11、rldmm8989889 對 于 銳 角 A的 每 一個 確 定 的 值 ， sinA有唯 一 確 定 的 值 與 它 對應 ， 所 以 sinA是 A的 函數 。 同 樣 地 ， cosA，tanA也 是 A的 函 數 。cbAA 斜 邊的 鄰 邊cos baAAA 的 鄰 邊的 對 邊tan caAA 斜 邊的 對 邊sin 銳 角 A的 正 弦 、 余 弦 、正 切 都 叫 做 A的 銳 角 三角 函 數 . rldmm8989889 A BC6.34tan54cos ,8610.10356sinsin 2222 BCACBABACA BCABAC ABCAB ABBCA ，又 ，解 ：

12、 例 1 如 圖 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ，BC=6， ， 求 cosA和 tanB的 值 53sin A rldmm8989889 例 2 如 圖 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， BC=2，AB=3， 求 A， B的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 值 .25tan32cos35sin .55252tan35cos32sin ,523 2222 BCACBABBCBABACB ACBCAABACAABBCA BCABAC ABCRt ， ，中 ，解 ： 在 A BC23延 伸 ： 由 上 面 的 計 算 ， 你 能 猜 想 A， B的 正 弦 、 余 弦 值有 什 么

13、 規(guī) 律 嗎 ？結 論 ： 一 個 銳 角 的 正 弦 等 于 它 余 角 的 余 弦 ， 或 一 個 銳 角 的 余 弦 等 于 它 余 角 的 正 弦 。 rldmm8989889 練 習 補 充 練 習 1、 在 等 腰 ABC中 ， AB=AC=5， BC=6，求 sinB， cosB， tanB. A B CD rldmm8989889 補 充 練 習2、 如 圖 所 示 ， 在 ABC中 ， ACB 90 ， AC=12， AB=13， BCM= BAC， 求 sin BAC和點 B到 直 線 MC的 距 離 M C B A3、 如 圖 所 示 ， CD是 Rt ABC的 斜 邊

14、AB上 的 高 ，求 證 ： . 2 BDABBC D C BA 28.1銳 角 三 角 函 數 （ 3） rldmm8989889 A B C A的 對 邊 a A的 鄰 邊 b斜 邊 c caABBC斜 邊A的 對 邊sinA cbABAC斜 邊A的 鄰 邊cosA baACBC邊 邊A的tanA 鄰 對 rldmm8989889 請 同 學 們 拿 出自 己 的 學 習 工 具 一 副 三 角 尺 ， 思考 并 回 答 下 列 問 題 ：1、 這 兩 塊 三 角 尺 各 有 幾 個 銳 角 ？ 它 們 分 別 等 于 多 少 度 ？2、 每 塊 三 角 尺 的 三 邊 之 間 有 怎 樣

15、 的 特 殊 關 系 ？ 如果 設 每 塊 三 角 尺 較 短 的 邊 長 為 1， 請 你 說 出 未 知 邊的 長 度 。30 60 451 23 11 245 新 知 探 索 :30 角 的 三 角 函 數 值 1 23 sin30= 21斜 邊A的 對 邊 cos30= 23斜 邊A的 鄰 邊 tan30= 33A的 鄰 邊A的 對 邊 30.0C B A rldmm8989889 45.0 C A B 1 1 2 cos45=tan45=sin45= 22斜 邊A的 對 邊 22斜 邊A的 鄰 邊 1A的 鄰 邊A的 對 邊 新 知 探 索 :45 角 的 三 角 函 數 值 60.

16、0 B A C 1 2 3 sin60= 23斜 邊A的 對 邊 cos60= 21斜 邊A的 鄰 邊 tan60= 3A的 鄰 邊A的 對 邊 新 知 探 索 :60 角 的 三 角 函 數 值 rldmm8989889 30 、 45 、 60 角 的 正 弦 值 、 余 弦 值 和 正 切值 如 下 表 ： 銳 角 a三 角 函 數 30 45 60sin acos atan a 12 22 3222 12 33233 1 rldmm8989889 例 1 求 下 列 各 式 的 值 ：（ 1） cos260 sin260（ 2） 45tan45sin 45cos ).60(sin)60

17、(sin 60sin60sin 22 即 ，）表 示 （22 )23()21( 解 ： 原 式 1 1 2222 解 ： 原 式 0 rldmm8989889 ；）（ 30cos30sin211 ；）（ 60sin245tan30tan32 ；）（ 30tan160sin1 60cos3求 下 列 各 式 的 值 ： .21160cos2145sin24 02005 ）（）（）（ rldmm8989889 例 2 （ 1） 如 圖 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， ，求 A的 度 數 3,6 BCAB A B C36,2263sin ABBCA解 .45 A rldmm8989889

18、（ 2） 如 圖 ， 已 知 圓 錐 的 高 AO等 于 圓錐 的 底 面 半 徑 OB的 倍 ， 求 a A BO 3 ,33tan OBOBOBAO解 .60 當 A， B為 銳 角時 ， 若 AB， 則sinAsinB,cosAcosB,tanAtanB. rldmm8989889 1、 在 Rt ABC中 ， C 90 ， ，求 A、 B的 度 數 21,7 ACBC BA C721 rldmm8989889 2、 求 適 合 下 列 各 式 的 銳 角 3(1)3tan 01sin2(2) 12 12cos(3) 的 值 。求 為 銳 角 ） ，（、 已 知 tan 032cos3

19、rldmm8989889 AB CD4、 如 圖 , ABC中 , C=900,BD平 分 ABC,BC=12,BD= ,求 A的 度 數 及 AD的 長 .38 rldmm8989889 小 結 : 我們學習了30, 45, 60這幾類特殊角的三角函數值 28.1銳 角 三 角 函 數 （ 4） rldmm8989889 ,42tantan 20EBDC DCACADC m ，解 ： 由 已 知 得 D ABE1.6m 20m42 C引 例 升 國 旗 時 ， 小 明 站 在 操 場 上 離 國 旗 20m處 行 注 目 禮 。當 國 旗 升 至 頂 端 時 ， 小 明 看 國 旗 視 線

20、的 仰 角 為 42 （ 如圖 所 示 ） ， 若 小 明 雙 眼 離 地 面 1.60m， 你 能 幫 助 小 明 求出 旗 桿 AB的 高 度 嗎 ？ ,42tan DCAC .6.142tan20 CBACAB 這 里 的 tan42 是 多 少 呢 ？ rldmm8989889 前 面 我 們 學 習 了 特 殊 角 30 45 60 的三 角 函 數 值 ， 一 些 非 特 殊 角 (如 17 56 89等 )的 三 角 函 數 值 又 怎 么 求 呢 ？ 這 一 節(jié) 課 我 們 就 學 習 借 助 計 算 器 來 完成 這 個 任 務 . rldmm8989889 1、 用 科 學

21、 計 算 器 求 一 般 銳 角 的 三 角 函 數 值 ：（ 1） 我 們 要 用 到 科 學 計 算 器 中 的鍵 ： sin cos tan（ 2） 按 鍵 順 序 如 果 銳 角 恰 是 整 數 度 數 時 ， 以“ 求 sin18 ”為 例 ， 按 鍵 順 序 如 下 ：按 鍵 順 序 顯 示 結 果sin18 sin 18 sin18 0.309 016 994 sin18 = 0.309 016 9940.31 rldmm8989889 1、 用 科 學 計 算 器 求 一 般 銳 角 的 三 角 函 數 值 ： 如 果 銳 角 的 度 數 是 度 、 分 形 式 時 ， 以 “

22、 求tan30 36”為 例 ， 按 鍵 順 序 如 下 ：方 法 一 ： 按 鍵 順 序 顯 示 結 果tan30 36 tan 30 36 tan30 360.591 398 351 tan30 36 = 0.591 398 3510.59方 法 二 ：先 轉 化 ， 30 36 =30.6 ,后 仿 照 sin18 的 求 法 。 如 果 銳 角 的 度 數 是 度 、 分 、 秒 形 式 時 ， 依 照 上 面 的方 法 一 求 解 。 rldmm8989889 （ 3） 完 成 引 例 中 的 求 解 ：tan20 42 +1.619.608 080 89 AB = 19.608 0

23、80 8919.61m即 旗 桿 的 高 度 是 19.61m. 6.142tan20 AB rldmm8989889 練 習 :使 用 計 算 器 求 下 列 銳 角 的 三 角 函 數 值 .（ 精 確 到0.01）（ 1） sin20 ， cos70 ； sin35 ， cos55 ； sin15 32， cos74 28；（ 2） tan3 8， tan80 2543；（ 3） sin15 +cos61 tan76 . rldmm8989889 按 鍵 的 順 序 顯 示 結 果SHIFT 209 17.301507834sin 7 = 已 知 三 角 函 數 值 求 角 度 ， 要

24、用 到 sin， Cos， tan的第 二 功 能 鍵 “ sin Cos ， tan ” 鍵 例 如 ： 已 知sin 0.2974,求 銳 角 按 健 順 序 為 ：如 果 再 按 “ 度 分 秒 健 ” 就 換 算 成 度 分秒 ， 即 17o185.43”2、 已 知 銳 角 的 三 角 函 數 值 ， 求 銳 角 的 度 數 ： rldmm8989889 例 根 據 下 面 的 條 件 ， 求 銳 角 的 大 小 （ 精 確 到 1）（ 1） sin=0.4511； （ 2） cos=0.7857； （ 3） tan=1.4036. w按 鍵 盤 順 序 如 下 : 按 鍵 的 順

25、序 顯 示 結 果2604851”0 .sin 115= 4SHIFT 即 26 04851” rldmm8989889 駛 向 勝 利的 彼 岸練 習 :1、 已 知 下 列 銳 角 三 角 函 數 值 ， 用 計 算器 求 其 相 應 的 銳 角 ：（ 1） sinA=0.627 5， sinB=0.054 7；（ 2） cosA=0.625 2， cosB=0.165 9；（ 3） tanA=4.842 5， tanB=0.881 6. rldmm8989889 2、 已 知 tanA=3.1748， 利 用 計 算 器 求銳 角 A的 度 數 。 (精 確 到 1)答 案 : A72 52練 習 :3、 已 知 銳 角 a的 三 角 函 數 值 ， 使 用 計 算 器 求 銳 角 a（ 精 確到 1）（ 1） sin a=0.2476； （ 2） cos a=0.4； （ 3） tan a=0.1890. 答 案 : (1)14 20;(3)10 42. (2)65 20; rldmm8989889 4、 一 段 公 路 彎 道 呈 弧 形 ， 測 得 彎 道AB兩 端 的 距 離 為 200米 ， AB 的 半 徑 為1000米 ， 求 彎 道 的 長 （ 精 確 到 0.1米 ) A BO R