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1、4.2 函數(shù)的凹凸性 1、函數(shù)凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向? xyo 1x 2x)(xfy 圖形上任意弧段位于所張弦的上方xyo )(xfy 1x 2x圖形上任意弧段位于所張弦的下方 .2/)()()2( ,),(, 2121 2121 xfxfxxf xxbaxx 有2x .2/)()()2( 2121 xfxfxxf 定 義凹的（凸的）。上是向上在，稱位于每一點(diǎn)切線的下方若；上是向下凸的（凹的）在的上方，則稱切線位于每一點(diǎn)內(nèi)可微，若在設(shè),)()( ,)( )(),(,)( baxfxfy baxf xfybabacxf xyo )(xfya bA B ).)()()( 12112

2、 xxxfxfxf ).)()()( ,),(, 12112 2121 xxxfxfxf xxbaxx 有xyo )(xfya bBA 2、函數(shù)凹凸的判定xyo )(xfy xyo )(xfya bA B遞增)(xf a bBA0y遞減)(xf 0y定 理 1 .,)(,0)()2( ;,)(,0)()1( ),(, ),(,)(上的圖形是凸的在則上的圖形是凹的在則內(nèi)若在具有二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)在上連續(xù)在函數(shù)如果baxfxf baxfxf ba babaxf ,)(!2 )()()()( ),(, 2111121 xxfxxxfxfxf Taylorbaxx 公式由,)(!2 )()()()( 2121

3、2112 xxfxxxfxfxf ).)()()( 12112 xxxfxfxf 即f (x)在(a,b)內(nèi)是凹的。).)()()( ,),(, 12112 2121 xxxfxfxf xxbaxx 有即 ;,)(,0)()1(:上的圖形是凹的在則證baxfxf 例 1 .3的凹凸性判斷曲線xy 解 ,3 2xy ,6xy 時(shí)，當(dāng)0 x ,0y為凸的；在曲線0,(時(shí)，當(dāng)0 x ,0y為凹的；在曲線),0 .)0,0(點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)注意到, .)1(ln)1(02 22 xxxx時(shí)，試證當(dāng)例22 )1(ln)1()( xxxxF證：)1(21ln2)( 2 xxxxxxF則xxxx 1

4、2ln2 2112ln2)( xxxF 又323 )1(21212)( xxxxxF .0)(),1(,0)()1,0( xFxF內(nèi)在內(nèi)在遞增。內(nèi)在遞減內(nèi)在)(),1(,)()1,0( xFxF 處取得最小值。在1)( xxF .0)1()(,02)1( FxFF又處 取 得 最 小 值 。是 凹 的 ， 在 1)( xxF .0)(,0)1( xFF .23 2 yxyx eeeyx 時(shí)，當(dāng)例xexf )(證 ： 設(shè)是凹的。)(0)( xfxf 22 )()()2( 2121 22121 xxxx eeexfxfxxf .2 2 yxyx eeeyx 時(shí)，即當(dāng) 3、曲線的拐點(diǎn)及其求法連續(xù)曲線

5、上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲 線 的 拐 點(diǎn) . 定 理 2 如 果 )(xf 在 ),( 00 xx 內(nèi) 存 在 二 階 導(dǎo)數(shù) ,則 點(diǎn) )(, 00 xfx 是 拐 點(diǎn) 的 必 要 條 件 是 0)( 0 xf . 定 義注 :拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.xyo A B C 方 法 1: ,0)( ,)(0 0 xf xxf且的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)在設(shè)函數(shù);)(,(,)()1( 000即為拐點(diǎn)點(diǎn)變號兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2( 000不是拐點(diǎn)點(diǎn)不變號兩近旁xfxxfx 拐點(diǎn)的求法證,)(二階可導(dǎo)xf ,)(存在且連續(xù)xf ,)()( 0兩邊變號在則xxfxf ,)(,( 00是拐點(diǎn)又xfx ,)( 0取得極值在xxf ,條件由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的.0)( xf 例 4 . 143 34凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及求曲線 xxy解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令.32,0 21 xx得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn))1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹凸區(qū)間為