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1、三 數(shù) 列 的 綜 合 應 用注 :本 節(jié) 內(nèi) 容 供 選 用 數(shù) 列 綜 合 題例 1 (2008 天 津 文 )已 知 數(shù) 列 an中 ， 且(I)設 證 明 ： bn是 等 比 數(shù) 列 ；(II)求 數(shù) 列 an的 通 項 公 式 ；(III)若 a3是 a6與 a9的 等 差 中 項 ， 求 q的 值 ， 并 證 明 ： 對 任意 的 n N， an是 an+3與 an+6的 等 差 中 項 解 : (I)由 題 設 得 即 又 所 以 b n是 首 項 為 l， 公 比 為 q的 等 比 數(shù) 列 ,2,1 21 aa).0,2()1( 11 qnqaaqa nnn *),(1 Nna

2、ab nnn ),2()1( 11 nqaaqa nnn ),( 11 nnnn aaqaa .2,1 nqbb nn ,0,1121 qaab (II)由 (I)知 ，將 以 上 各 式 相 加 ， 得所 以 當 n 2時 ，上 式 對 n=1時 顯 然 成 立 2 1 3 21, , ,a a a a q )2(21 nqaa nnn ).2(1 21 nqqaa nn 111 , 1,1 , 1.n n q qqa n q (III)由 (II)知 ， 當 q=1時 ， 顯 然 a3不 是 a6與 a9的 等 差 中 項 ，故 q1 由 可 得由 q0得 整 理 得解 得 或 (舍 去

3、) 于 是另 一 方 面由 可 得所 以 對 任 意 的 n N*,a n是 an+3與 an+6的 等 差 中 項 3963 aaaa ,822 qqqqs ,11 63 qq ,02)( 323 qq23 q 13 q .23q ),1(11 31123 qqqqqqaa nnnnn . 1 5 1 66 (1 ),1 1n n nn n q q qa a qq q ., *63 Nnaaaa nnnn 例 2 (2008 江 西 理 )等 差 數(shù) 列 an的 各 項 均 為 正 整 數(shù) ，a1=3， 前 n項 和 為 Sn， 等 比 數(shù) 列 bn中 ， b1=1， 且b2S2=64,b

4、是 公 比 為 64的 等 比 數(shù) 列 (1)求 an與 bn； (2)證 明 ： .43111 21 nSSS na 解 :(1)設 an的 公 差 為 d， bn的 公 比 為 q， 則 d為 正 整 數(shù) ，依 題 意 有 由 (6+d)q=64知 q為 正 有 理 數(shù) ， 又 由 知 ， d為 6的 因子 1， 2， 3， 6之 一 ，解 得 d=2, q=8，故 ,)1(3 1 nnn qbdna ,64)6( 264 22 61)1(3 131 qdbs qqqbb ddnndaa nn 62dq 13 2( 1) 2 1, 8 .nn na n n b (2) 由 (1)知所 以

5、),2()12(53 nnnSn )2( 1531421311111 21 nnSSS n )21151314121311(21 nn 43)2111211(21 nn 解 決 這 類 問 題 時 要 熟 悉 等 差 ， 等 比 數(shù) 列 的定 義 ， 有 關 公 式 及 其 主 要 性 質(zhì) ； 注 意 方 程 的 思想 ， 整 體 思 想 解 決 問 題 。 數(shù) 列 在 實 際 問 題 中 的 應 用例 3 (2008 北 京 理 )某 校 數(shù) 學 課 外 小 組 在 坐 標 紙 上 為 學 校的 一 塊 空 地 設 計 植 樹 方 案 如 下 ： 第 k棵 樹 種 植 在 點pk(xk,yk

6、)處 ， 其 中 x1=1,y1=1當 k2時 ， T(a)表 示 非 負 實 數(shù) a的 整 數(shù) 部 分 ， 例 如 T(2.6)=2，T(0.2)=0 按 此 方 案 ， 第 6棵 樹 種 植 點 的 坐 標 應 為 ；第 2 008棵 樹 種 植 點 的 坐 標 應 為 ).5 2()5 1( ),5 2()5 1(5111 kTkTyy kTkTxx kk kk (1， 2)(3， 402) 解 析 ： 依 題 意 知 ， xk的 值 呈 周 期 出 現(xiàn) ， 依 次 是 l， 2， 3，4， 5， 故 yk的 值 滿 足 故 即 第 6棵 樹 的 種 植 點 的 坐 標 為 (1， 2)

7、， 第 2 008棵 樹 的種 植 點 的 坐 標 為 (3， 402). ,16 a 2008 5 401 3 3 3,a a a ,154321 yyyyy6 7 8 9 10 11 12 13 14 152, 3, ,y y y y y y y y y y ,402,2 4025201020092008200720066 yyyyyyy 例 4. 從 盛 滿 aL (a1)純 酒 精 的 容 器 里 倒 出 1L， 然 后 填 滿水 ， 再 倒 出 lL混 合 溶 液 后 又 用 水 填 滿 ， 如 此 繼 續(xù) 下 去 ，問 ： 第 n次 操 作 后 溶 液 的 濃 度 是 多 少 ?若

8、 a=2， 至 少 應倒 幾 次 后 才 能 使 酒 精 濃 度 低 于 10 ? 分 析 : 構(gòu) 造 等 比 數(shù) 列 的 模 型 求 解 解 ： 開 始 的 濃 度 為 l， 操 作 一 次 后 溶 液 的 濃 度 是 設 操 作 n次 后 溶 液 的 濃 度 為 an， 則 操 作 n+1次 后 溶 液 的濃 度 為 由 此 便 建 立 了 數(shù) 列 模 型 因 為 an構(gòu) 成 以 首 項 公 比 的 等 比 數(shù) 列 ， 所 以 即 第 n次 操 作 后 酒 精 的 濃 度 是 aa 111 )11(1 aaa nn ,111 aa aq 11,)11(11 nnn aqaa ,)11( n

9、a當 a=2時 ， 由 得 因 此 ， 至 少 應 操 作 4次 后 才 能 使 酒 精 濃 度 低 于 10 。,101)21( nn .4n 例 5. 某 林 場 原 有 森 林 木 材 存 量 為 a萬 m3， 木 材 每 年 以25 的 增 長 率 增 長 ， 而 每 年 冬 天 要 砍 伐 的 木 材 量 為 x萬 m3 為 了 實 現(xiàn) 經(jīng) 過 20年 達 到 木 材 存 量 翻 兩 番 的 目 標 ，則 x的 最 大 值 是 多 少 ? 分 析 : 如 果 設 第 n年 底 木 材 存 量 為 an萬 m3， 則 這 里 要 實現(xiàn) 的 目 標 是 a20 4a, 問 題 是 a20

10、為 多 少 ?解 法 l： 設 第 n年 底 木 材 存 量 為 an萬 m3， 則,45%)251( 1 xaxaa .45%)251(1 xaxaa nnn ),4(45)4(45 11 xaxaxaa nnnn 這 表 明 數(shù) 列 an-4x是 一 公 比 為 首 項 為 a1-4x的 等 比數(shù) 列 ， 則 令 即 解 得 ,45 11 )45()4(4 nn xaxa 1)45()545( nxa .)45()4(4 n n xaxa ,420 aa ,4)45)(4(4 20 axax .338 ax 解 法 2： (迭 代 法 )由 解 法 2， 有 以 下 同 解 法 1xaa

11、nn 145 xxan )45(45 2xxan )45()45( 22 xxxan 45)45()45( 32xxxa n 45)45()45( 233 xxxxa nnn 45)45()45()45( 21 小 結(jié)解 數(shù) 列 應 用 題 重 點 把 握 好 三 關 ： (1)事 理 關 ： 閱 讀 理 解 ， 知 道 命 題 所 表 達 的 內(nèi) 容 . (2)文 理 關 :將 “ 問 題 情 景 ” 中 的 文 字 語 言 轉(zhuǎn) 化 為 符 號語 言 ,用 數(shù) 列 關 系 式 表 述 事 件 (必 要 時 要 尋 找 出 問 題 中所 包 含 的 數(shù) 列 的 遞 推 關 系 ); (3)數(shù) 理 關 :由 題 意 建 立 相 關 的 數(shù) 列 模 型 ,將 實 際 問 題 數(shù)列 化 ,并 解 答 這 一 數(shù) 列 模 型 ,得 出 符 合 實 際 意 義 的 解 答 .解 題 的 關 鍵 是 把 握 好 以 下 三 個 步 驟 : 尋 找 問 題 所 涉及 的 數(shù) 列 模 型 是 數(shù) 列 求 和 問 題還 是 求 通 項 問 題 是 列 方 程 還 是列 不 等 式 來 求 解