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1、一 、 平 面 圖 形 的 面 積 二 、 由 平 行 截 面 面 積 求 體 積 第 十 章 定 積 分 的 應 用 （一 ）由 平 行 截 面 面 積 求 體 積直 接 應 用 求 旋 轉 體 的 體 積面 積 公 式 （ 直 角 坐 標 ， 極 坐 標 ） 一 、 平 面 圖 形 的 面 積 如 果 函 數 y=f(x)( f(x)0)在 區(qū) 間 a, b上 連 續(xù) ， 則 由 曲線 y=f(x)、 x軸 與 直 線 x=a、x=b所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積為 復 習 ： O x ya b y=f (x) baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。

2、ba f(x)dx。 由 上 下 兩 條 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 y=g(x)與 左 右 兩 條 直 線x=a、 x=b所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 S 如 何 求 ？考 慮 如 下 問 題 ： O x y 1、 若 圖 形 在 x軸 上 方 ， a b y=f (x) y=g(x)注 意 圖 形 的 形 成 S =ba f(x)dxba g(x)dx =ba f(x)g(x)dx。 =baf(x)g(x)dx。 ba f( ) ba ( ) x ba f(x) g(x)dx。 a b y=f(x) y=g(x)O x y 2、 若 圖 形 不 在 x軸 上 方 ， y=f(x)

3、m y=g(x)mm將 圖 形 平 移 到 x軸 的 上 方S =baf(x)mdx bag(x)mdx =baf(x)g(x)dx。 由 上 下 兩 條 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 y=g(x)與 左 右 兩 條 直 線x=a、 x=b所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 S 如 何 求 ？考 慮 如 下 問 題 ： 1、 若 圖 形 在 x軸 上 方 ，S =ba f(x)dxba g(x)dx =ba f(x)g(x)dx。 =baf(x)g(x)dx。 ba f( ) ba ( ) x ba f(x) g(x)dx。 f(x)mdx g(x)mdx 結 論 ： 由 上 下 兩 條 連

4、 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 y=g(x)與 左 右 兩 條 直 線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 為注 ： (1)當 曲 線 f(x)=0或 g(x)=0時 ， 上 述 公 式 也 成 立 。O x ya b y=f(x)g(x)=0 O x ya b y=g(x)f(x)=0 O x ya b y=f(x)g(x)=0 O x ya b y=f(x)g(x)=0 (2)當 左 右 兩 邊 縮 為 一 點 時 ， 上 述 公 式 也 成 立 。 (3)積 分 區(qū) 間 就 是 圖 形 在 x軸 上 的 投 影 區(qū) 間 。 結 論 ： 由 上

5、 下 兩 條 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 y=g(x)與 左 右 兩 條 直 線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 為注 ： (1)當 曲 線 f(x)=0或 g(x)=0時 ， 上 述 公 式 也 成 立 。 (4)如 果 y=f(x)有 分 段 點 c， 則 需 把 圖 形 分 割 后 計 算 。O x y a b y=f(x)g(x)=0 y=f1(x) y=f2(x)c S=baf (x)g(x)dx = caf1(x)g(x)dx bcf2(x)g(x)dx。 S=ba f (x)g(x)dx =caf1(x)g(x)dx bcf

6、2(x)g(x)dx。 結 論 ： 由 上 下 兩 條 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 y=g(x)與 左 右 兩 條 直 線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 為注 ： (1)當 曲 線 f(x)=0或 g(x)=0時 ， 上 述 公 式 也 成 立 。 (2)當 左 右 兩 邊 縮 為 一 點 時 ， 上 述 公 式 也 成 立 。 (3)積 分 區(qū) 間 就 是 圖 形 在 x軸 上 的 投 影 區(qū) 間 。 討 論 ： 由 左 右 兩 條 連 續(xù) 曲 線 x=y(y)、 x=j(y)與 上 下 兩 條 直線 y=c、 y=d所 圍 成 的

7、圖 形 的 面 積 S 如 何 求 ？O x ycd x=y(y) x=j(y)dyyyS dc )()( yj = 。 答 案 ： 結 論 ： 由 上 下 兩 條 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 y=g(x)與 左 右 兩 條 直 線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 為 ab xyO S1結 論 ： 由 上 下 兩 條 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 y=g(x)與 左 右 兩 條 直 線 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 為 例 1. 求 橢 圓 所 圍 成 的 圖 形 面 積 。 解 ：

8、 設 橢 圓 在 第 一 象 限 的 面 積 為 S1， 則 橢 圓 的 面 積 為2 22 2 1x ya b =2202 200 0 24 1 , let sin , we get 4 cos(1 cos2 ) .4 a a xS ydx b dx x a taS ab tdtab t dtab = = = = 221 xy b a= 解 ： 由 對 稱 性 ， 圖 形 面 積 是 第 一 象 限 部 分 的 兩 倍 。 S =2 dxxxdxxx )1 12()21 1( 231 210 22 x 3= 所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 。 例 2 求 曲 線 y=21 x2、 y 2

9、1 1x= 與 直 線 x 3= 、 xO-1 1 y y 21 1x= 3=3 y=21 x2 解 ： 由 對 稱 性 ， 圖 形 面 積 是 第 一 象 限 部 分 的 兩 倍 。 S =2 dxxxdxxx )1 12()21 1( 231 210 22 103 )6 arctg( xx 303 ) arctg6( xx =2 x 3= 所 圍 成 的 圖 形 的 面 積 。 )233(31 = .11 例 2 求 曲 線 y=21 x2、 y 21 1x= 與 直 線 x 3= 、 例 3 計 算 拋 物 線 y2=2x 與 直 線 xy=4所 圍 成 的 圖 形 的面 積 。 8 y

10、 -2 2 x2O4 44 (8, 4)(2, 2) 解 ： 求 兩 曲 線 的 交 點 得 ： (2， 2)， (8， 4)。 將 圖 形向 y軸 投 影 得 區(qū) 間 2， 4。 A= 1861421)214( 4232242 = yyydyyy 。 =18。思 考 ： 為 什 么 不 向 x軸 投 影 ？ S= 1861421)214( 4232242 = yyydyyy oy xa b a boy x一般地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數方程 = )()(ty tx yj給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數值21 ,tt則曲邊梯形面積 = 2121 d)()()()( ttttba tt

11、ttdtydxA jyjy)(1 axt =對應)(1 bxt =對應 極坐標情形,0)(,)( jj C設求由曲線)(j=r及 = ,射線圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間, 上任取小區(qū)間d, 則該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為 j d)(21d 2=S所求曲邊扇形的面積為j d)(2121 2 = dAA )(j=r xd 對應 從 0 變例5. 計算阿基米德螺線解: )0( = aar xa2o d d)(21 2a= 20A 22a= 331 022334 a=到 2 所圍圖形面積 . tta dcos8 20 42= 例6. 計算心形線所圍圖形的面積 . 解: )0()cos1( = a

12、ar xa2o d d)cos1(21 22 a= 02A = 02a d2cos4 4 (利用對稱性)2=t令= 28a 43 21 2 223 a= 二 、 由 平 行 截 面 面 積 求 體 積 設 一 立 體 在 x軸 上 的 投 影 區(qū) 間為 a, b ， 過 x點 垂 直 于 x軸 的 截面 面 積 S(x)是 x的 連 續(xù) 函 數 ， 求此 立 體 的 體 積 。 V =ni 1S(i)xi。 (3)令 l=maxxi， 則 立 體體 積 為 (1) 在 a, b內 插 入 分 點 ： a=x0 x1x2 xn1xn=b， (2)過 xi(i=1, 2, , n1)且 垂直 于

13、x軸 的 平 面 ， 把 立 體 分 割 成n個 小 薄 片 ， 第 i個 小 薄 片 體 積的 近 似 值 S(xi)xi。 將 n個 小 薄 片 體 積 的 近 似 值相 加 得 立 體 體 積 的 近 似 值xO a x1 xi1 xi xn b V = = ni 10liml S( )xi =ba S(x)dx。 i a bzx yco垂直 x 軸的截面是橢圓1)1()1( 2222 2 22 2 = axax c zb y例7. 計算由曲面1222222 = czbyax所圍立體(橢球體)解:它的面積為)1()( 22axbcxS =因此橢球體體積為bc2= 0a bca34=特別當

14、 a = b = c 時就是球體體積 . )( axa xbc ax d)1( 22= aV 02 x 233axx的體積. 例8. 一平面經過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角, 222 Ryx =解: 如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)( 22 xRxA = )( RxR = R xxRV 0 22 dtan)(212 32 31tan2 xxR = 0R tan32 3R=利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .o R x yx o R x y思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時截面面積函數是什么 ?如何用定積

15、分表示體積 ? ),( yx=)(yA提示: tan2 yx 22tan2 yRy = =V R0tan2 yyRy d22 O xba y區(qū) 間 a, b上 截 面 積 為 S(x)的 立 體 體 積 ：右 圖 為 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)、 直 線 x=a 、 x=b 及 x 軸 所 圍 成 的 曲 邊梯 形 繞 x軸 旋 轉 一 周 而 成 的 立 體 。 y=f (x) V =ba f(x)2dx=ba f(x)2dx。 V =ba S(x)dx。 關 鍵 是 確 定 截 面 面 積 2( ) ( )S x f x= 當考慮連續(xù)曲線段)()( dycyx =j繞 y 軸旋轉一周

16、圍成的立體體積時, = dc dyyV 2)(j xoy )(yx j=cdy 2( ) ( )S y y j=截面面積為于是有 例 9 連 接 坐 標 原 點 O及 點 P(h， r)的 直 線 、 直 線 x=h 及 x軸 圍 成 一 個 直 角 三 角 形 。 將 它 繞 x軸 旋 轉 構 成 一 個 底半 徑 為 r、 高 為 h的 圓 錐 體 。 計 算 這 圓 錐 體 的 體 積 。 解 ： 過 原 點 O 及 點 P(h， r)的 直 線 方 程 為 y xhr= 。 V=h0 ( xhr )2dx = 22 hr h0 x2dx =31 h r 2。 所 求 圓 錐 體 的 體

17、 積 為 = 22 hr h0 x2dx 231 hr= 。 xhry = hr xyO曲 線 y=f(x)繞 x 軸 旋 轉 而 成 的 立 體 體 積 ： V =baf(x)2dx。 區(qū) 間 a, b上 截 面 積 為 S(x) 的 立 體 體 積 ： V =ba S(x)dx。 。 ( , )P r h ay xb例10. 計算由橢圓12222 = byax所圍圖形繞 x 軸旋轉而成的橢球體的體積. 解: 方法1 利用直角坐標方程)(22 axaxaaby =則截面面積xxaab a d)(2 20 222 = (利用對稱性) = 3222 312 xxaab 0a 234 ab= o=

18、 a dxyV 0 22 x2( )S x y=于是 方法2 利用橢圓參數方程 = tby tax sincos則xyV a d2 0 2= ttab dsin2 32= 22 ab= 32234 ab= 02特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.34 3a xyo a2例11. 計算擺線 = = )cos1( )sin( tay ttax )0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉而成的立體體積 .解: 繞 x 軸旋轉而成的體積為xyV ax d20 2= 利用對稱性= 20 22 )cos1( ta tta d)cos1( tta d)cos1(2 0

19、 33 = tta d2sin16 0 63= uua dsin32 20 63= = 332 a 65 43 21 2325 a= ay )2( tu =令 xyo a2a繞 y 軸旋轉而成的體積為 = = )cos1( )sin( tay ttax )0( a a2yyxV ay d)(20 22= = 22 )sin( tta tta dsin2 yyxa d)(20 21 )(2 yxx = 22 )sin( tta tta dsin0注意上下限 ! = 20 23 dsin)sin( tttta 336 a= )(1 yxx =注意分段點！ 分部積分對稱關于2注 20 2 dsin)

20、sin( tttt = 20 322 d)sinsin2sin( tttttt )( =tu令= uuu sin)2( 22 uu 2sin)(2 uu dsin3(利用“偶倍奇零”)= 0 dsin4 uuu 0 2 dsin4 uu24= uudsin8 20 2 22184 2 = 26= o x1 2y B C3A例12. 求曲線13 2 = xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉得的旋轉體體積. (94 考研)解: 利用對稱性 ,=y 10 x,22 x 21 x,4 2x故旋轉體體積為=V 432 xx d)2(32 10 22 xx d)1(236 10 22 = xx d)1(2 21 22 x 12 2 15448=在第一象限 xx d)4(32 21 22 分部積分對稱關于2注 20 2 dsin)sin( tttt = 20 322 d)sinsin2sin( tttttt )( =tu令= uuu sin)2( 22 uu 2sin)(2 uu dsin3(利用“偶倍奇零”)= 0 dsin4 uuu 0 2 dsin4 uu24= uudsin8 20 2 22184 2 = 26= 作 業(yè) ： P242 T1， 5， P246 T2 預 習 ： 第 三 節(jié) 平 面 曲 線 的 弧 長 與 曲 率