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1、第 十 章 概 率 與 統(tǒng) 計(jì) 初 步10.1 隨 機(jī) 事 件 的 概 率 10.2 隨 機(jī) 變 量 及 其 應(yīng) 用 10.3 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 字 特 征 10.4 區(qū) 間 估 計(jì) 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn)10.5 相 關(guān) 分 析 和 一 元 回 歸 分 析 10.1.1 隨 機(jī) 事 件 的 概 念 、 關(guān) 系 和 運(yùn) 算 必 然 現(xiàn) 象 在一定的條件下，必然會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象例 如 向 上 拋 一 枚 硬 幣 ， 由 于 受 到 地 心 引 力 的 作 用 ， 硬幣 上 升 到 某 一 高 度 后 必 定 會(huì) 下 落 我 們 把 這 類(lèi) 現(xiàn) 象 稱(chēng)為 必 然 現(xiàn) 象 同 樣 ， 任 何 物 體

2、沒(méi) 有 受 到 外 力 作 用 時(shí) ，必 定 保 持 其 原 有 的 靜 止 或 等 速 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) ； 導(dǎo) 線 通 電 后 ，必 定 會(huì) 發(fā) 熱 等 等 也 都 是 必 然 現(xiàn) 象 。 10.1 隨 機(jī) 事 件 的 概 率 在 標(biāo) 準(zhǔn) 大 氣 壓 下 純 水 在 10。 C是 結(jié) 冰 是 不 可能 的 ， 所 以 就 稱(chēng) 為 不 可 能 現(xiàn) 象 。 同 樣 ， 一 物 體 在 變 力 作 用 下 作 勻 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) 也 是不 可 能 現(xiàn) 象 。 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 : 在 給 定 條 件 下 ， 可 能 發(fā) 生 ， 也 可 能 不 發(fā)生 ， 其 結(jié) 果 是 無(wú) 法 事 先 預(yù) 測(cè) 的

3、 現(xiàn) 象 例 如 : 1.拋 擲 一 枚 硬 幣 ， 當(dāng) 硬 幣 落 在 地 面 上 時(shí) ，可 能 是 正 面 （ 有 國(guó) 徽 的 一 面 ） 朝 上 ， 也 可 能是 反 面 朝 上 ， 在 硬 幣 落 地 前 我 們 不 能 預(yù) 知 究竟 哪 一 面 朝 上 我 們 把 這 類(lèi) 現(xiàn) 象 稱(chēng) 為 隨 機(jī) 現(xiàn)象 （ 或 偶 然 現(xiàn) 象 ） 2.自 動(dòng) 機(jī) 床 加 工 制 造 一 個(gè) 零 件 ， 可 能 是 合格 品 ， 也 可 能 是 不 合 格 品 ； 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 性q每 次 試 驗(yàn) 前 不 能 預(yù) 言 出 現(xiàn) 什 么 結(jié) 果q 每 次 試 驗(yàn) 后 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 不 止 一 個(gè)q

4、在 相 同 的 條 件 下 進(jìn) 行 大 量 觀 察 或 試 驗(yàn) 時(shí) ， 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 有 一 定 的 規(guī) 律 性 稱(chēng) 之 為 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 性 對(duì) 某 事 物 特 征 進(jìn) 行 觀 察 , 統(tǒng) 稱(chēng) 試 驗(yàn) . 若 它 有 如 下 特 點(diǎn) ,則 稱(chēng) 為 隨 機(jī) 試 驗(yàn)q 可 在 相 同 的 條 件 下 重 復(fù) 進(jìn) 行q 試 驗(yàn) 結(jié) 果 不 止 一 個(gè) ,但 能 明 確 所 有 的 結(jié) 果q 試 驗(yàn) 前 不 能 確 定 出 現(xiàn) 哪 種 結(jié) 果 我 們 把 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 中 發(fā) 生 的 現(xiàn) 象 稱(chēng) 為 事 件 ，在 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 中 ， 可 能 發(fā) 生 、 也 可 能 不 發(fā) 生

5、的事 件 稱(chēng) 為 隨 機(jī) 事 件 ， 簡(jiǎn) 稱(chēng) 為 事 件 通 常 用 字 母A， B， C， 表 示 隨 機(jī) 事 件 基 本 事 件 實(shí) 驗(yàn) 的 不 可 能 再 分 的 結(jié) 果 .每次 試 驗(yàn) 必 定 發(fā) 生 且 只 可 能 發(fā) 生 一 個(gè) 基 本 事件 . 復(fù) 合 事 件 由 若 干 個(gè) 基 本 事 件 組 成 的 事件 必 然 事 件 在 一 定 條 件 下 必 定 發(fā) 生的 事 件 ,記 為 不 可 能 事 件 在 一 定 條 件 下 一 定 不發(fā) 生 的 事 件 ,記 為 . 例 : 某 城 市 共 有 500輛 出 租 車(chē) ， 其 牌 照 編 號(hào) 從 000 11000之 間 選 取

6、 ， 記 事 件A=偶 然 遇 到 一 輛 出 租 車(chē) ， 其 牌 照 號(hào) 碼 中 含 有 數(shù) 字 8B=連 續(xù) 碰 見(jiàn) 三 輛 出 租 車(chē) ， 其 牌 照 號(hào) 碼 均 含 有 數(shù) 字 8都 是 隨 機(jī) 事 件C=該 城 市 中 出 租 車(chē) 牌 照 編 號(hào) 為 8000為 不 可 能 事 件 . 例子 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 隨 機(jī) 事 件例 1 拋 一 枚 硬 幣 ， 觀 察 出 現(xiàn) 的結(jié) 果 . A1=正 面 朝 上 , A2=反 面 朝上 例 2 從 一 批 產(chǎn) 品 中 任 意 取 10個(gè)樣 品 ， 觀 測(cè) 其 中 的 次 品 數(shù) . B=取 出 的 10個(gè) 樣 品 中 有 1至 3個(gè) 次 品

7、例 3 記 錄 某 段 時(shí) 間 內(nèi) 電 話 交 換臺(tái) 接 到 的 呼 喚 次 數(shù) . C=在 該 段 時(shí) 間 內(nèi) 電 話 交 換 臺(tái)接 到 的 呼 喚 次 數(shù) 不 超 過(guò) 8次 例 4 測(cè) 量 某 個(gè) 零 件 的 尺 寸 與 規(guī)定 尺 寸 的 偏 差 x（ mm） . D=測(cè) 得 零 件 的 尺 寸 與 規(guī) 定 尺寸 的 偏 差 小 于 0 1mm l 引 例 例 從 一 批 含 有 正 品 ， 次 品 的 產(chǎn) 品 中 ， 任 取 兩 件 設(shè) 有 以 下事 件 ： A1=兩 件 中 至 少 有 一 件 是 次 品 A2=兩 件 中 恰 有 一 件 是 次 品 A3=兩 件 全 是 次 品 A4

8、=兩 件 全 是 正 品 A5=兩 件 中 至 多 有 一 件 次 品 這 些 事 件 間 存 在 著 多 種 關(guān) 系 ， 如 :（ 1） A1發(fā) 生 ， 則 A4不 會(huì) 發(fā) 生 ； （ 2） A 4發(fā) 生 ， 則 A1不 會(huì) 發(fā) 生 ； （ 3） A3與 A4不 會(huì) 同 時(shí) 發(fā) 生 ； （ 4） 當(dāng) 且 僅 當(dāng) A2與 A3至 少 有 一 個(gè) 發(fā) 生 時(shí) ， A1發(fā) 生 ； （ 5） 當(dāng) 且 僅 當(dāng) A2與 A4至 少 有 一 個(gè) 發(fā) 生 時(shí) 發(fā) 生 ,A5發(fā) 生 A 包 含 于 B BA記 為 事 件 A 發(fā) 生 必導(dǎo) 致 事 件 B 發(fā) 生 A B BABA AB且1. 事 件 的 包

9、含2. 事 件 的 相等 事 件 A與 事 件 B 至 少 有 一 個(gè) 發(fā) 生nAAA , 21 的 和 事 件 ni ink k AA 11 或A +B發(fā) 生 BAA B 3. 事 件 的 和 (并 )A 與 B 的 和 事 件 BA 或 BA BABA 發(fā) 生 事 件 A 發(fā) 生 ， 但 事 件 B 不 發(fā) 生 BA B A A 與 B 的 差 事 件4. 事 件 的 差 A 與 B 互 相 對(duì) 立 BAAB ,若 每 次 試 驗(yàn) A、 B中有 且 只 有 一 個(gè) 發(fā)生 AB稱(chēng) B 為 A的 對(duì) 立 事 件 (或 逆 事 件 )，記 為5. 事 件 的 對(duì) 立 AB A A 與 B互 不

10、相 容AB A、 B不 可 能 同時(shí) 發(fā) 生 A BnAAA , 21 兩 兩 互 不 相 容 njijiAA ji ,2,1, 6. 事 件 的 互 不 相 容 (互 斥 ) 注 意 ： “ A 與 B 互 相 對(duì) 立 ” 與 “ A 與 B 互 斥 ” 是 不 同 的 概 念 若 事 件 A與 事 件 B是 相 互 對(duì) 立 的兩 個(gè) 事 件 ， 則 它 們 一 定 互 不 相 容 ；反 之 不 一 定 . 事 件 的 關(guān) 系 及 運(yùn) 算 的 概 念 類(lèi) 似 于 集 合 論 中 集 合 間 的關(guān) 系 與 運(yùn) 算 的 概 念 ， 其 記 號(hào) 也 是 相 對(duì) 應(yīng) 的 ， 列 表 對(duì)照 說(shuō) 明 如

11、 下 ： 例 在 1， 2， 3， ， 10十 個(gè) 數(shù) 中 任 選 一 個(gè) ， 若 選取 的 數(shù) 為 1則 記 為 1， 設(shè) A=選 取 的 數(shù) 為 偶 數(shù) ，B=選 取 的 數(shù) 為 小 于 5的 偶 數(shù) ， C=選 取 的 數(shù) 小 于5， D=選 取 的 數(shù) 為 奇 數(shù) 則 10,8,6,5,4,3,2,1BA 4,2CA 10,8,6BA 10;,8,6,4,2DA 9,7,5,3,1AD 交 換 律 A+B=B+A AB=BA 結(jié) 合 律 A+（ B+C） =（ A+B） +C ； A（ BC） =（ AB） C 分 配 律 （ 1） A（ B+C） =AB+AC （ 第 一 分 配 律

12、 ） （ 2） A+BC=（ A+B） （ A+C） （ 第 二 分 配律 ）運(yùn) 算 律 事 件運(yùn) 算 對(duì) 應(yīng) 集 合運(yùn) 算 定 理 1 若 事 件 A， B互 不 相 容 ， 則 稱(chēng) 為 概 率 的 加 法 公 式 .證 明 ： 設(shè) 在 某 一 條 件 下 將 試 驗(yàn) 重 復(fù) 進(jìn) 行 n次 ， 即 基 本 事件 總 數(shù) 為 n. 其 中 事 件 A包 含 的 基 本 事 件 數(shù) 為 m1， 事 件 B包 含 的 基 本 事 件 數(shù) 為 m2， ）（）（）（ BPAPBAP 加 法 公 式 BPAPnmnmnmmBAP )()( 2121P（ A） = ， P（ B） = nm2由 于 A與

13、B互 不 相 容 ， 故 事 件 A+B包 含 的 基 本 事 件 數(shù)為 m1+m2,同 樣 由 古 典 概 率 的 定 義 有故 概 率 的 加 法 公 式 成 立 .nm1 推 論 1 若 事 件 兩 兩 互 不 相 容 ，則推 論 2 事 件 A的 對(duì) 立 事 件 的 概 率 為 nAAA ， 21 )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP A)(1)( APAP 定 理 2 設(shè) A， B為 任 意 兩 事 件 ， 則 證 明 ： 因 為 A+B= ， 并 且 與 B互不 相 容 ， 于 是 又 由 于 )()()()( ABPBPAPBAP BBA )()()( BPBA

14、PBAP 互 不 相 容 ，與且 ABBAABBAAA BA 因 此 對(duì) 于 三 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 ， 類(lèi) 似 地 有 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) -P(A1A2) -P(A1A2) -P(A2A3)+P(A1A2A3) 我 們 可 劃 出 維 恩 圖 說(shuō) 明 其 意 義 該 結(jié) 論 又稱(chēng) 為 “ 多 除 少 補(bǔ) 原 理 ” ， 對(duì) 于 事 件 的 個(gè) 數(shù) ， 這一 原 理 還 可 推 廣 到 n個(gè) 的 情 形 )()()( ABPBAPAP )()()( ABPAPBAP )()()()( ABPBPAPBAP 于 是 有 例 : 一 批 產(chǎn) 品 共 50件

15、 ， 其 中 有 5件 是 次 品 ， 從 這 批產(chǎn) 品 中 任 取 3件 ， 求 其 中 有 次 品 的 概 率 解 法 1 設(shè) A=取 到 的 3件 產(chǎn) 品 中 有 次 品 ； Ai=取到 的 3件 產(chǎn) 品 中 恰 有 i件 次 品 (i=1,2,3) 則 ，由 定 理 1的 推 論 1得 321321 AAAAAAA 兩 兩 互 不 相 容 ， 并 且， )()()( 321 APAPAPAP ） 276.0350 35045350 25145350 15245 CCCCCCCCC 276.01)(1( 350345 CCAPAP ）解 法 2 設(shè) A=取 到 的 3件 產(chǎn) 品 中 有

16、次 品 ； =取 到 的 3件 產(chǎn) 品 中 無(wú) 次 品 ，A則 有 頻 率設(shè) 在 n 次 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 A 發(fā) 生 了 m 次 ，nmfn 則 稱(chēng) 為 事 件 A 發(fā) 生 的 頻 率記 作 fn(A),其 中 m為 頻 數(shù)10.1.2隨 機(jī) 事 件 的 概 率 試 驗(yàn) 序號(hào) n=5 n=50 n=500 nA fn(A) nA fn(A) nA fn(A)12345678910 2315124233 0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6 22252125242118242731 0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62

17、251249256253251246244258262247 0.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494 做 “ 拋 擲 硬 幣 ” 的 試 驗(yàn) ， 我 們 將 一 枚 硬 幣 拋 擲 5次 、50次 、 500次 ， 各 做 10遍 ， 得 到 數(shù) 據(jù) 如 表 1-1所 示 ；其 中 A=朝 上 的 一 面 是 正 面 ， nA表 示 事 件 A發(fā) 生 的頻 數(shù) ,表 示 A發(fā) 生 的 頻 率 拋 硬 幣 試 驗(yàn) ： 頻率的性質(zhì)q 1)(0 Afnq 1)( nf 實(shí) 踐 證 明 ： 在 大 量 重 復(fù) 試 驗(yàn) 中 ， 隨 機(jī) 事 件

18、的 頻 率 具 有 穩(wěn) 定 性 也 就 是 說(shuō) ， 在 不 同 的 試 驗(yàn)序 列 中 ， 當(dāng) 試 驗(yàn) 次 數(shù) n充 分 大 時(shí) ， 隨 機(jī) 事 件 A的頻 率 fn(A)常 在 某 個(gè) 確 定 的 數(shù) 字 附 近 擺 動(dòng) 在 拋 硬 幣 的 試 驗(yàn) 中 ， “ 正 面 朝 上 ” 這 一 隨機(jī) 事 件 A的 頻 率 fn(A)穩(wěn) 定 在 數(shù) 字 0.5的 附 近 類(lèi)似 的 例 子 還 可 以 舉 出 很 多 . 頻率的穩(wěn)定性 試 驗(yàn) 者 n nA fn(A)德 莫 根蒲 豐K皮 爾 遜K皮 爾 遜 204840401200024000 10612048601912012 0.51810.506

19、90.50160.5005 概 率 的 統(tǒng) 計(jì) 定 義 在 相 同 條 件 下 重 復(fù) 進(jìn) 行 的 n 次 試 驗(yàn) 中 , 如 果 事件 A 發(fā) 生 的 頻 率 穩(wěn) 定 在 某 一 數(shù) 值 P的 附 近 擺動(dòng) ,且 隨 n的 增 大 ,擺 動(dòng) 幅 度 越 來(lái) 越 小 ,則 稱(chēng) P為 隨 機(jī)事 件 A的 概 率 ,記 作 P(A) 當(dāng) 試 驗(yàn) 次 數(shù) n較 大 時(shí) 有 :事 件 發(fā) 生的 概 率 事 件 發(fā) 生的 頻 率 即 當(dāng) 試 驗(yàn) 次 數(shù) n充 分 大 時(shí) ,就 常 把 事 件 A的 頻率 作 為 事 件 A的 概 率 的 “ 近 似 值 ” （ 或 “ 估值 ” ） 比 如 ： 合 格

20、率 ， 廢 品 率 ， 出 生 率 ， 升 學(xué) 率 ， 死亡 率 等 等 ， 都 是 頻 率 1. 0 P(A) 1; 2. P( )=1,P( )=0.于 是 有 下 列 性 質(zhì) 1條 件 概 率 的 概 念 )( BAP一 、 條 件 概 率 在 事 件 B發(fā) 生 的 條 件 下 ， 事 件 A發(fā) 生 的概 率 稱(chēng) 為 條 件 概 率 。 記 為10.1.3 幾 類(lèi) 常 見(jiàn) 的 概 率 問(wèn) 題 2、 條 件 概 率 的 性 質(zhì) 如 果 A， B是 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 兩 個(gè) 隨 機(jī) 事 件 ，且P（ B） 0的 ， 則 稱(chēng) 在 事 件 B發(fā) 生 的 前 提 下 事件 A發(fā) 生 的 概 率

21、為 條 件 概 率 ，記 作 P（ A B） 這 個(gè) 條 件 概 率 定 義 為 P（ A B） = )( )( BPABP 例 兩 城 市 都 處 于 長(zhǎng) 江 中 下 游 ， 根 據(jù) 近 一 百 余 年 的 氣 象資 料 記 錄 ， 知 道 兩 城 市 的 雨 天 所 占 的 比 例 分 別 為 20%和18%， 兩 城 市 同 時(shí) 下 雨 所 占 的 比 例 為 12%，求 ： 已 知 甲 市 為 雨 天 時(shí) ， 乙 市 也 為 雨 天 的 概 率 ； 已 知 乙 市 為 雨 天 時(shí) ， 甲 市 也 為 雨 天 的 概 率 .解 甲 市 下 雨設(shè) A 乙 市 下 雨B， 則 有 3218.

22、012.0)( )()|()1( BPABPBAP 5320.012.0)( )()|()2( APABPABP . 把 事 件 A發(fā) 生 的 前 提 下 事 件 B發(fā) 生的 條 件 概 率 ， 記 作 P（ B A） )( )( APABP 例 已 知 一 批 產(chǎn) 品 的 次 品 率 為 5%， 正 品 率 中 的 一 級(jí) 品 率為 80% 從 中 任 取 一 件 ， 試 求 它 是 一 級(jí) 品 的 概 率 解 設(shè) A=被 取 到 的 一 件 產(chǎn) 品 是 正 品 ， B=被 取 到 的 一 件 產(chǎn) 品 是 一 級(jí) 品 依 題 意 得 )(1)( APAP =1-0.05=0.95因 為 P(

23、B/A)=0.80， BA 所 以 AB=B于 是 P（ B） =P（ AB） =P（ A） P（ B/A）76.080.00.95 乘 法 公 式 可 以 推 廣 到 有 限 個(gè) 事 件 的 情 形對(duì) 于 事 件 時(shí)）（， 當(dāng)， 021321 AAPAAA ）（）（）（）（ 213121321 / AAAPAAPAPAAAP 時(shí) ， 有）（當(dāng) 0121 nAAAP 一 般 的 有 )/()/()/()( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP ）（ 由 條 件 概 率 的 定 義 可 得 ：P（ AB） =P（ B） P（ A B）（ 當(dāng) P（ B） 0時(shí) )

24、或P（ AB） =P（ A） P（ B A） （ 當(dāng) P（ A） 0時(shí) ） 此 二 公 式 稱(chēng) 為 概 率 的 乘 法 公 式 注 ： 當(dāng) P(AB)不 容 易 直 接 求 得 時(shí) ， 可 考 慮 利 用P(A)與 P(B A)的 乘 積 或 P(B)與 P(A|B)的 乘 積 間接 求 得 。 乘 法 公 式 乘 法 公 式 可 以 推 廣 到 有 限 個(gè) 事 件 的 情 形對(duì) 于 事 件 時(shí)）（， 當(dāng)， 021321 AAPAAA ）（）（）（）（ 213121321 / AAAPAAPAPAAAP 時(shí) ， 有）（當(dāng) 0121 nAAAP 一 般 的 有 )/()/()/()( 12121

25、312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP ）（ 例 一 批 產(chǎn) 品 的 次 品 率 為 4 ， 正 品 中 一 等 品 率 為 75 ， 現(xiàn) 從 這 批 產(chǎn) 品 中 任 意 取 一 件 ， 試 求 恰 好 取 到 一 等品 的 概 率 。解 ： 記 A 取 到 一 等 品 ， B 取 到 次 品 ， 取 到 正 品 ， 則 由 于 故 于 是 04.0)( BP 96.0)( BP 75.0)( BAPBABAA 72.075.096.0)()()()( BAPBPBAPAP 如 果 事 件 構(gòu) 成 一 個(gè) 完 備 事 件組 ， 并 且 ,則 對(duì) 于 任一 事 件 B， 有

26、nAAA , 21 ,0)( iAP ni ,2,1 )/()( )/()()/()()()()( 1 2211 ni ii nnABPAP ABPAPABPAPBAPAPBP 二 、 全 概 率 公 式 例 三 門(mén) 火 炮 向 同 一 目 標(biāo) 射 擊 ， 設(shè) 三 門(mén) 火 炮 擊中 目 標(biāo) 的 概 率 分 別 為 0.3， 0.6， 0.8 若 有 一 門(mén) 火炮 擊 中 目 標(biāo) ， 目 標(biāo) 被 摧 毀 的 概 率 為 0.2； 若 兩 門(mén)火 炮 擊 中 目 標(biāo) ， 目 標(biāo) 被 摧 毀 的 概 率 為 0.6； 若 三門(mén) 火 炮 擊 中 目 標(biāo) ， 目 標(biāo) 被 摧 毀 的 概 率 為 0.9 試

27、求 目 標(biāo) 被 摧 毀 的 概 率 解 設(shè) 事 件 B=目 標(biāo) 被 摧 毀 顯 然 ， A1， A2， A3構(gòu) 成 一 個(gè) 完 備 事件 組 ， 由 全 概 公 式 可 得 ： 31 )/()()( i ii ABPAPBP 321, ，門(mén) 火 炮 擊 中 目 標(biāo)有 iiAi 321, ，門(mén) 火 炮 擊 中 目 標(biāo)第 iiCi 3213213211 CCCPCCCPCCCPAP 321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8.04.07.02.06.07.02.04.03.0 332.0 3213213212 CCCPCCCPCCCPAP 321321321 CPCPCPCPCP

28、CPCPCPCP 8.06.07.08.04.03.02.06.03.0 477.0 31 )/()()( i ii ABPAPBP 482.09.0144.06.0477.02.0332.0 依 題 意 知應(yīng) 用 全 概 率 公 式 ,得 9.0/6.0/2.0)/( 321 ）（，）（， ABPABPABP 例 某 地 區(qū) 的 初 中 畢 業(yè) 生 有 70 報(bào) 考 普 通 高 中 ， 20 報(bào) 考 中 專(zhuān) ， 10 報(bào) 考 職 業(yè) 高 中 ， 錄 取 率 分 別 為 90 ， 75 ， 85 ，試 求 ： 隨 機(jī) 調(diào) 查 學(xué) 生 ， 他 如 愿 以 嘗 的 概 率 ； 若 某 位 學(xué) 生

29、按 志 愿 錄 取 了 ， 那 么 他 報(bào) 考 高 中 的 概 率 是 多 少 ？解 事 件 A=該 生 被 錄 取 B1=該 生 報(bào) 考 普 通 高 中 B2=該 生 報(bào) 考 中 專(zhuān) B3=該 生 報(bào) 考 職 業(yè) 高 中 則 有 9.0)/(,1.0)(,2.0)(,7.0)( 1321 BAPBPBPBP 85.0)/(,75.0)/( 32 BAPBAP從 而 由 全 概 率 公 式 有 865.0)/()()( 31 ii i BAPBPAP（ 2） 由 逆 概 率 公 式 有 7263.0865.0 9.07.0)( )/()()/( 111 AP BAPBPABP 下 面 要 介

30、紹 的 逆 概 公 式 是 全 概 公 式 的 逆 問(wèn) 題 ： 若 已 知 “ 結(jié) 果 ” B已 經(jīng) 發(fā) 生 了 ,要 求 某 一 種 “ 原 因 ” Aj發(fā) 生的 概 率 此 公 式 稱(chēng) 為 逆 概 公 式 （ 或 貝 葉 斯 (Bayes)公 式 ） ),2,1(,)/()( )/()()/( 1 njABPAP ABPAPBAP ni ii jjj nAAA , 21 設(shè) 構(gòu) 成 一 個(gè) 完 備 事 件 組,0)( BP則 對(duì) 于 任 一 事 件 B ， 三 、 貝 葉 斯 公 式 （ 逆 概 率 公 式 ） 證 明 由 條 件 概 率 的 定 義 及 乘 法 公 式 有由 此 ,可 得

31、再 將 全 概 率 公 式 代 入 上 式 , 即 得 )( )/()()/( BP ABPAPBAP jjj )/()()/()()( jjjj ABPAPBAPBPBAP ),2,1(,)/()( )/()()/( 1 njABPAP ABPAPBAP ni ii jjj ,3.0)/(,8.0)/( 21 ABPABP 21 )/()()( i ii ABPAPBP 3.0838.085 又 由 逆 概 公 式 得 )( )/()()/( 111 BP ABPAPBAP 82.06.05.03.0538.085 8.085 引 例 盒 中 有 3個(gè) 黑 球 和 2個(gè) 白 球 ， 從 中

32、隨 機(jī) 抽 取 3個(gè) ， 考慮 取 得 的 白 球 數(shù) 。 抽 取 的 白 球 數(shù) 有 三 個(gè) 可 能 結(jié) 果 ： 0， 1或 2， 對(duì) 于 不同 的 抽 取 次 數(shù) 其 結(jié) 果 可 能 不 同 。 為 此 ， 引 入 一 個(gè) 變 量 ，用 表 示 “ 抽 取 的 白 球 數(shù) ” ， 該 變 量 的 不 同 取 值 表 達(dá) 不同 的 隨 機(jī) 事 件 ， 如 （ =0） 表 示 “ 抽 取 的 3個(gè) 球 中 無(wú) 白 球 ” ； （ =1） 表 示 “ 抽 取 的 3個(gè) 球 中 有 1個(gè) 白 球 ” ； （ 2） 表 示 “ 抽 取 的 3個(gè) 球 中 至 多 有 2個(gè) 白 球 ” 。10.2 隨

33、機(jī) 變 量 及 其 應(yīng) 用 10.2.1隨 機(jī) 變 量 的 定 義 如 果 一 個(gè) 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 可 以 用 一 個(gè) 變 量的 取 值 來(lái) 表 示 ， 則 稱(chēng) 這 個(gè) 變 量 為 隨 機(jī) 變 量 。 通 常 我 們 用 希 臘 字 母 ， ， ， 或 大 寫(xiě)英 文 字 母 X， Y， Z， 表 示 隨 機(jī) 變 量 。 例 拋 擲 一 枚 硬 幣 ， 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 為 “ 出 現(xiàn) 正 面 ”和 “ 出 現(xiàn) 反 面 ” ， 引 入 變 量 ， 返 回= 1， 出 現(xiàn) 正 面0， 出 現(xiàn) 反 面則 為 隨 機(jī) 變 量 ，(=0)， (=1)便 是 隨 機(jī) 事 件 。 例 在 24

34、小 時(shí) 內(nèi) ， 程 控 電 話 交 換 機(jī) 接 轉(zhuǎn)電 話 的 次 數(shù) 是 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 ， 它 可 取一 切 非 負(fù) 整 數(shù) 0,1,2,.同 時(shí) ， 隨 機(jī) 變 量 取 不 同 的 值 就 表 示 不 同 的 隨 機(jī) 事 件 ，例 如 ( =0)， ( =10)， (5 20)等表 示 不 同 的 隨 機(jī) 事 件 。 例 在 一 批 燈 泡 中 任 意 抽 取 一 只 ， 測(cè) 試 其 壽命 ， 那 么 燈 泡 的 壽 命 (小 時(shí) )是 一 個(gè) 隨 機(jī) 變量 ， 顯 然 的 一 切 可 能 取 的 值 是 非 負(fù) 實(shí) 數(shù) 值 , 返 回即 R+ 0 ，而 (=1200)， (500

35、0)， (1500)等 都 是隨 機(jī) 事 件 。 例 用 變 量 表 示 某 品 種 玉 米 穗 位 的 高 低（ 單 位 ： 厘 米 ） 。 則 P（ 120 130） =0.2表 示 “ 玉 米 穗 位 在 120厘 米 到 130厘 米 之 間 ” 這個(gè) 事 件 的 概 率 為 0.2。 由 于 )130120( P )120()130( PP所 以 ， 只 需 知 道 P（ 130） 與 P（ 120） 就可 以 求 出 P（ 120 130） 了 。 返 回 由 此 可 知 ， 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 可 以 用變 量 來(lái) 表 示 ， 但 這 種 “ 變 量 ” 與 微 積 分中

36、 的 “ 變 量 ” 是 有 區(qū) 別 的 .以 例 中 白 球數(shù) 這 個(gè) 變 量 為 例 ， 它 有 ： 取 值 的 隨 機(jī) 性 ， 也 就 是 說(shuō) 取 哪 一 個(gè)值 ， 在 抽 樣 前 無(wú) 法 確 定 ； 取 值 的 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 性 ， 也 就 是 取 0,1,2這 些 值 的 概 率 是 確 定 的 。兩 個(gè) 特 點(diǎn) 隨 機(jī) 變 量 的 分 類(lèi) 如 “ 取 到 次 品 的 個(gè)數(shù) ” ， “ 收 到 的 呼 叫 數(shù) ” 等 .隨機(jī)變量 離 散 型 隨 機(jī) 變 量連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變量 所 有 取 值 可 以 逐 個(gè)一 一 列 舉例 如 ， “ 電 視 機(jī) 的 壽 命 ” ，實(shí)際 中 常

37、 遇 到 的 “ 測(cè) 量 誤 差 ”等 . 全 部 可 能 取 值 不 僅無(wú) 窮 多 ， 而 且 還 不 能一 一 列 舉 ， 而 是 充 滿一 個(gè) 區(qū) 間 . 這 兩 種 類(lèi) 型 的 隨 機(jī) 變 量 因 為 都 是 隨機(jī) 變 量 ， 自 然 有 很 多 相 同 或 相 似 之 處 ；但 因 其 取 值 方 式 不 同 ， 又 有 其 各 自 的 特點(diǎn) . 隨機(jī)變量 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量離 散 型 隨 機(jī) 變 量 學(xué) 習(xí) 時(shí) 請(qǐng) 注 意 它 們 各 自 的 特 點(diǎn) 和 描 述 方 法 . 10.2.2常 見(jiàn) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 若 隨 機(jī) 變 量 的 所 有 可 能 取 值 是

38、有 限 個(gè) 或 可 列 個(gè) , 則 稱(chēng) 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 所 有 可 能 取 值為 ),2,1(,)( kpxP kk kxxx 21P kppp 21則 稱(chēng) 該 式 為 的 概 率 分 布 或 分 布 列 ， kxxx 21取 這 些 值 的 概 率 為 概 率 分 布 列 也 常 常 列 成 表 格 的 形 式 ： 分 布 列 的 性 質(zhì)q ),2,1(,0 kpk 非 負(fù) 性q 11 k kp 歸 一 性 例 對(duì) 于 第 一 節(jié) 中 的 例 ， 求 抽 取 的 白 球 數(shù) 的 分 布列 。 解 是 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 取 值 為

39、 0， 1， 2， 的 分布 列 為 106)1( P101)0( P 103)2( P即 0 1 2101 106 103P 例 416181 4 0 3 6 781 81 61 41 31P已 知 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 為 ：求 （ 1） (-16)； （ 2） (=1)。 解 （ 1） 注 意 到 -16， 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 可 能 取 值 只 有三 個(gè) ， 即 0， 3及 6，所 以 P(-16) )6()3()0( PPP 2413 （ 2） 注 意 到 的 可 能 取 值 沒(méi) 有 ， 說(shuō) 明 事 件 (=1)是不 可 能 事 件 ， 所 以 P(

40、=1) = （ 1） 兩 點(diǎn) 分 布 （ 或 01分 布 ） )1,0()1()( 1 kppkP kk凡 試 驗(yàn) 只 有 兩 個(gè) 結(jié) 果 , 常 用 0 1分 布描 述 , 如 產(chǎn) 品 是 否 合 格 、 人 口 性 別 統(tǒng)計(jì) 、 系 統(tǒng) 是 否 正 常 、 電 力 消 耗 是 否 超 標(biāo)等 。 = xk 1 0pk p 1 - p （ 0 p 0 為 常 數(shù)顯 然 ， 且 0)( xf 1)( 0 dxedxxf x 例 假 設(shè) 某 元 件 的 壽 命 服 從 參 數(shù) = 0.0015的指 數(shù) 分 布 ， 求 它 使 用 1000小 時(shí) 后 還 沒(méi) 有 壞 的概 率 . 解 設(shè) 為 該 元

41、 件 的 壽 命 ， 則 223.00015.0 )()1000( 5.11000 0015.01000 edxedxxfP x (3) 正 態(tài) 分 布若 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 函 數(shù)為 2 22 )(21)( xexf則 稱(chēng) 服 從 參 數(shù) 為 , 2 的 正 態(tài) 分 布記 作 N ( , 2 ), 為 常 數(shù) ， 0 正 態(tài) 分 布 圖 象 f (x) 的 性 質(zhì) ： 圖 形 關(guān) 于 直 線 x = 對(duì) 稱(chēng) , 即1. 在 x = 時(shí) , f (x) 取 得 最 大 值 212. 在 x = 時(shí) , 曲 線 y = f (x) 在 對(duì) 應(yīng) 的 點(diǎn) 處 有 拐 點(diǎn)3. 曲 線

42、y = f (x) 以 x 軸 為 漸 近 線4. 曲 線 y = f (x) 的 圖 形 呈 單 峰 狀f ( + x) = f ( - x) 特 別 地 ， 當(dāng) 時(shí) ，即 ， 稱(chēng) 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài)分 布 ， 它 的 概 率 密 度 函 數(shù) 為10 ，)1,0(N 2221)( xex 顯 然 ， 可 以 證 明0)( x 122121)( 22 dxedxx x 不 難 驗(yàn) 證 , 若 ),( 2 N對(duì) 于 22 )(2121)( xexf作 標(biāo) 準(zhǔn) 化 代 換 xt則 有 2221)( tetf 故 )1,0(N 即 任 意 一 個(gè) 正 態(tài) 分 布 都 可 以 通 過(guò) 標(biāo) 準(zhǔn) 化 代

43、換 轉(zhuǎn) 化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 . 正 態(tài) 分 布 是 概 率 論 中 最 重 要 的 分 布 之一 . 例 如 ， 測(cè) 量 的 誤 差 、 一 批 產(chǎn) 品 的 質(zhì) 量 指標(biāo) 、 人 體 的 身 高 或 體 重 、 農(nóng) 作 物 的 單 位 面 積產(chǎn) 量 、 炮 彈 彈 著 點(diǎn) 的 分 布 、 氣 象 中 的 月 平 均氣 溫 、 濕 度 、 降 水 量 等 都 服 從 或 近 似 服 從 正態(tài) 分 布 . 另 外 ， 正 態(tài) 分 布 又 具 有 許 多 良 好 的 性 質(zhì) ，許 多 分 布 可 用 正 態(tài) 分 布 來(lái) 近 似 ， 它 能 描 述 相互 獨(dú) 立 的 多 個(gè) 微 小 因 素

44、 的 綜 合 效 果 ， 在 數(shù) 理統(tǒng) 計(jì) 中 解 決 實(shí) 際 問(wèn) 題 時(shí) 用 得 最 多 的 就 是 正 態(tài)分 布 或 與 正 態(tài) 分 布 有 關(guān) . 引 例 甲 、 乙 兩 射 手 ， 在 同 樣 條 件 下 進(jìn)行 射 擊 。 他 們 命 中 的 環(huán) 數(shù) 分 別 記 為 、， 其 概 率 分 布 列 分 別 為 ：試 問(wèn) 如 何 來(lái) 評(píng) 定 兩 個(gè) 射 手 的 技 術(shù) 優(yōu) 劣 ？ 10.3 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 字 特 征10.3.1隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 解 雖 然 分 布 列 完 整 地 描 述 了 、 的 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 ，但 對(duì) 于 他 們 的 技 術(shù) 優(yōu) 劣 不 能

45、 直 接 由 分 布 列 看 出結(jié) 果 若 考 慮 平 均 射 中 的 環(huán) 數(shù) 則 可 求 得 問(wèn) 題 的答 案 ， 假 定 他 們 各 射 擊 100次 ， 則1001甲 平 均 射 中 的 環(huán) 數(shù) 約 為乙 平 均 射 中 的 環(huán) 數(shù) 約 為 （ 8 20+9 50+10 30） =9.1（ 環(huán) ）（ 8 30+9 10+10 60） =9.3（ 環(huán) ）1001故 從 平 均 射 中 的 環(huán) 數(shù) 看 ， 甲 的 技 術(shù) 優(yōu) 于 乙 設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 是若 級(jí) 數(shù) 1i iixp的 數(shù) 學(xué) 期 望 或 平 均 值 (簡(jiǎn) 稱(chēng) 期 望 ),記 為 E 或 E( )絕

46、 對(duì) 收 斂 ,則 稱(chēng) 其 和 為 隨 機(jī) 變 量 p p1 p2 p4 421 , xxx 例解 由 E的 定 義 得 31313321 E設(shè) 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 為 求 E 例 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 有 分 布 列試 求 的 數(shù) 學(xué) 期 望 . E解 此 題 顯 然 不 必 考 慮 1i iixp的 絕 對(duì) 收 斂 性 ， 因 為 它 是 有 限 和 ， 51i iixpE =（ -1） 0.1+0 0.2+1 0.1+2 0.3+3 0.3=1.5 常 見(jiàn) 離 散 的 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望(1) 二 點(diǎn) 分 布設(shè) 服 從 二 點(diǎn) 分 布 ， 其 分 布 列 為 ：

47、則 =1 p+0 q=p (q=1-p) E 設(shè) B ( n , p )則 nk knkkn ppkCE 0 )1()( nk knk ppknk nnp 1 )1()1(1 )1()!()!1( )!1( 10 )1(1 )1(nk knkkn ppCnp np 特 例 若 Y B ( 1 , p ), 則 E(Y)=np 由 此 可 見(jiàn) ， 當(dāng) 進(jìn) 行 n重 貝 努 利 試驗(yàn) 時(shí) ， 如 果 每 次 成 功 的 概 率 是 p ,則 n次 試 驗(yàn) 成 功 的 平 均 次 數(shù) 是 np （ 3） 泊 松 分 布 設(shè) 服 從 參 數(shù) 為 的 泊 松 分 布 ， 其 分 布 列 為 1 11 1

48、0 )!1()!1(! k kk kk k keekekkE )0,3,2,1,0(,!)( kekkp k則 *（ 4） 幾 何 分 布 設(shè) 服 從 幾 何 分 布 ， 其 分 布 列 為 )1,3,2,1(,)( 1 qpkpqkp k 11 1k kk kkpqqE kpqE 則 pqE qppqkpqkpqEq k kk kk k111 11)1( 1 111 1 分 布 期 望概 率 分 布二 點(diǎn) 分 布 pP pP 1)0( )1( p泊 松 分 布 1;,2,1,0!)( k kekP k 常 見(jiàn) 離 散 的 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué)期 望 )1;,2,1,0( )1()( q

49、pnk ppCkP knkkn 二 項(xiàng) 分 布 np 設(shè) 連 續(xù) 型 函 數(shù) 的 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù) 為 f (x), dxxfx )( 絕 對(duì) 收 斂 , 則 稱(chēng)為 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 或 平 均 值 (簡(jiǎn) 稱(chēng) 期望 )。如 果 dxxxf )(否 則 稱(chēng) 的 數(shù) 學(xué) 期 望 不 存 在 。連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 例解 . ,)1( 1)( 2的 數(shù) 學(xué) 期 望求 的 密 度 函 數(shù) 是設(shè) 隨 機(jī) 變 量 Rxxxf 0 22 )1( 12)1( 1 dxxxdxxx 0 22 )1()1( 11 xdx 02)1ln(1 x 。， 的

50、 數(shù) 學(xué) 期 望 不 存 在故 隨 機(jī) 變 量該 積 分 不 是 絕 對(duì) 收 斂 的 注 意 不 是 所 有 的 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 都 有 數(shù) 學(xué) 期 望 分 布 期 望概 率 密 度均 勻 分 布 其 它,0 ,1)( bxaabxf 2ba指 數(shù) 分 布 其 它,0 ,0,)( xexf x 1正 態(tài) 分 布 2 22 )(21)( xexf 數(shù) 學(xué) 期 望 的 簡(jiǎn) 單 性 質(zhì)(1) E(c)=c; (c為 常 數(shù) ) ,即 常 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 常 量 本 身 (2) E(k+b)=kE()+b; k,b常 數(shù) (3) E(+)=E()+E();(4) 設(shè) ,相 互 獨(dú)

51、立 , 則 E()=E()E();注 : 1. 性 質(zhì) (3)和 (4)可 以 推 廣 到 有 限 個(gè) 隨 機(jī) 變 量1, 2, , n 的 情 況 ； 2. 對(duì) 于 “ 和 ” ,不 要 求 1,2,n相 互 獨(dú) 立 ; 對(duì) 于 “ 積 ” 要 求 1,2,n相 互 獨(dú) 立 。 引 例 甲 、 乙 兩 射 手 各 打 了 6 發(fā) 子 彈 ,每 發(fā)子 彈 擊 中 的 環(huán) 數(shù) 分 別 為 ：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 問(wèn) 哪 一 個(gè) 射 手 的 技 術(shù) 較 好 ？解 首 先 比 較 平 均 環(huán) 數(shù)甲 = 8.3, 乙 = 8.3 有五個(gè)不

52、同數(shù)有四個(gè)不同數(shù)10.3.2隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 再 比 較 穩(wěn) 定 程 度 34.13)3.86()3.87( )3.88()3.89()3.810(2 22 222 甲 ：乙 ： 34.5)3.87( )3.88(3)3.89()3.810( 2 222 乙 比 甲 技 術(shù) 穩(wěn) 定 ， 故 乙 技 術(shù) 較 好 . 進(jìn) 一 步 比 較 平 均 偏 離 平 均 值 的 程 度甲 )3.86()3.87( )3.88()3.89()3.810(261 22 222 乙 )3.87()3.88(3 )3.89()3.810(61 22 22 22.26/34.13 89.06/34.

53、5 51 2)(k kk pXEx 41 2)(k kk pXEx E - E()2 若 E - E2 存 在 , 則 稱(chēng) 其 為 隨 機(jī)稱(chēng) D 為 的 均 方 差 或 標(biāo) 準(zhǔn) 差 .定 義 即 D ( ) = E - E2 變 量 的 方 差 , 記 為 D 或 D() 兩 者 量 綱 相 同 D( ) 描 述 的 取 值偏 離 平 均 值 的 平 均 偏 離 程度 ,2,1,)( kpxP kk若 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 分 布 列 為 1 2)(k kk pExD 若 為 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 概 率 密 度 為 f () dxxfExD )(2 計(jì) 算 方 差 的

54、 常 用 公 式 ：由 數(shù) 學(xué) 期 望 的 性 質(zhì) 可 知 ,對(duì) 于 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 dxxfExD )()( 2 22 22 22 )( )()()(2)( )()(2( EE dxxfEdxxxfEdxxfx dxxfExEx 22 )( EED 對(duì) 于 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 22 222 )()()(2 )()(2()( EEEE EEEEED 22 )( EE 常 見(jiàn) 隨 機(jī) 變 量 的 方 差分 布 方 差概 率 分 布兩 點(diǎn) 分 布 pXP pXP 1)0( )1( p(1-p)二 項(xiàng) 分 布 nk ppCkXP knkkn ,2,1,0 )1()( np(1-p

55、)泊 松 分 布 ,2,1,0!)( kkekXP k 分 布 方 差概 率 密 度均 勻 分 布 其 它,0 ,1)( bxaabxf 12 )( 2ab指 數(shù) 分 布 其 它,0 ,0,)( xexf x 21正 態(tài) 分 布 2 22 )(21)( xexf 2 D (C) = 0 D (k ) = k2D() D(k+b ) = k2D()（ c為 常 數(shù) ,k為 常 數(shù) ） )()(2 )()()( EEE DDD 特 別 地 ， 若 , 相 互 獨(dú) 立 ， 則)()()( DDD 方 差 的 簡(jiǎn) 單 性 質(zhì) 10.4.1 區(qū) 間 估 計(jì) 用 點(diǎn) 估 計(jì) 法 來(lái) 估 計(jì) 總 體 的 參

56、 數(shù) 十 分 簡(jiǎn) 單 易 行 , 但 由 于樣 本 的 隨 機(jī) 性 , 從 一 個(gè) 樣 本 算 得 估 計(jì) 量 的 值 不 一 定 恰 好是 所 要 估 計(jì) 的 參 數(shù) 值 那 么 估 計(jì) 量 的 值 與 參 數(shù) 之 間 到 底相 差 多 少 ? 另 一 方 面 ， 不 同 的 樣 本 會(huì) 得 到 總 體 的 同 一 參數(shù) 的 不 同 估 計(jì) 量 ， 如 何 最 后 確 定 總 體 的 參 數(shù) 值 呢 ？ 因此 ， 我 們 有 必 要 進(jìn) 一 步 介 紹 新 的 估 計(jì) 方 法 . 這 種 方 法 是根 據(jù) 估 計(jì) 量 的 分 布 , 在 滿 足 一 定 的 可 信 度 的 條 件 下 , 指

57、出 被 估 計(jì) 的 總 體 的 參 數(shù) 的 可 能 取 值 范 圍 這 就 是 參 數(shù) 的區(qū) 間 估 計(jì) 所 要 解 決 的 問(wèn) 題 10.4 區(qū) 間 估 計(jì) 與 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 則 稱(chēng) 區(qū) 間 為 的 置 信 度 為 1的 置 信區(qū) 間設(shè) 為 一 給 定 的 很 小 的 正 數(shù) ),.,(),.,( 212211 nn xxxxxx 為 兩 個(gè) 統(tǒng) 計(jì) 量 , 稱(chēng) 為 置 信 度 （ 也 稱(chēng) 為 置 信 概 率 或 置 信 系 數(shù) ） 1)( 21p若 成 立 1 ),( 21 分 別 稱(chēng) 為 是 置 信 區(qū) 間 的 上 ,下 限 21 , q 反 映 了 估 計(jì) 的 可 信 度 , 越 小

58、 , 越 可 靠 .q 置 信 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 反 映 了 估 計(jì) 精 度 21 越 小 , 1- 越 大 , 估 計(jì) 的 可 靠 度 越 高 ,但q 確 定 后 , 置 信 區(qū) 間 的 選 取 方 法 不 唯 一 , 常 選 最 小 的 一 個(gè) .幾 點(diǎn) 說(shuō) 明越 小 , 估 計(jì) 精 度 越 高 .21 這 時(shí) , 往 往 增 大 , 因 而 估 計(jì) 精 度 降 低通 常 取 =0.05 或 0.012 正 態(tài) 總 體 期 望 的 區(qū) 間 估 計(jì)（ 1） 總 體 方 差 2已 知 nxxxN 212 ,),( 設(shè) 總 體 為 總 體 的 樣 本 值 ,于 是 )(xE nxD 2)( )

59、,( 2nNx 故 )1,0(Nnxu 從 而 知由 N（ 0， 1） 的 分 布 規(guī) 律 知 ： %95)96.1(P nx )96.1( uP %99)576.2(P nx )576.2( uP因 此 ， 對(duì) 可 作 如 下 估 計(jì) ：時(shí)當(dāng) %5 nxnx 96.196.1 nxnx 576.2576.2 時(shí)當(dāng) %1以 上 兩 式 可 作 為 公 式 使 用 . 例 某 農(nóng) 場(chǎng) 試 種 新 品 種 水 稻 ， 已 知 該 新 品 種 水 稻 畝產(chǎn) 量 的 方 差 為 64. 現(xiàn) 從 該 農(nóng) 場(chǎng) 的 水 稻 田 中 隨 機(jī) 抽16畝 進(jìn) 行 實(shí) 割 實(shí) 測(cè) ， 得 到 平 均 畝 產(chǎn) 量 為

60、 412.5kg.試 以 95%的 置 信 度 計(jì) 算 該 新 品 種 水 稻 的 平 均 畝 產(chǎn) 量的 置 信 區(qū) 間 .解 已 知 16n 5.412x 642 由 于 05.0 故 nxnx 96.196.1 _ 即 16896.15.41216896.15.412 即 42.41658.408 于 是 的 置 信 區(qū) 間 為 )42.416,58.408( （ ） 總 體 的 方 差 未 知 對(duì) 于 總 體 的 方 差 未 知 的 隨 機(jī) 變 量 ),( 2 N當(dāng) 是 大 樣 本 時(shí)nxxx ,.,2,1 2 s 2 nsxnsx 96.196.1 nsxnsx 576.2576.2

61、時(shí)當(dāng) %1 時(shí)當(dāng) %5以 上 兩 式 也 可 作 為 公 式 使 用 . 例 假 設(shè) 豫 農(nóng) 1號(hào) 玉 米 穗 位 （ 單 位 ： cm） 是 一 個(gè)連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 現(xiàn) 在 觀 測(cè) 100珠 玉 米 穗 位 ， 測(cè)得 其 平 均 高 度 3.112x 標(biāo) 準(zhǔn) 差 8.308s試 求 置 信 度 是 0.95時(shí) 關(guān) 于 總 體 期 望 值 的 置 信 區(qū) 間 .解 雖 然 并 沒(méi) 說(shuō) 明 總 體 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 但 是 由于 樣 本 容 量 n=100可 以 用 大 樣 本 下 一 般 總 體 的置 信 區(qū) 間 公 式 . nxnxI ,查 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表

62、 可 得 ： 96.1 而 1008.308 nsn 5.60196. 故 所 求 的 置 信 區(qū) 間 為 ： )8.172,8.51()5.60603.112( 3.112,5. I （ 單 位 ： cm） 說(shuō) 明 若 已 知 n較 大 , 就 可 把 看 作近 似 的 服 從 x nN 2, )(DS2 （ 3） 方 差 未 知 的 正 態(tài) 總 體 ， 小 樣 本 下 的區(qū) 間 估 計(jì) 2 nxxxN 212 ,),( 設(shè) 總 體 為 為 總 體 的 樣 本 值 ,其 中 未 知 則 ST n )( 服 從 自 由 度 為 n-1的 t分 布 對(duì) 于 給 定 的 ， t 由 故 tTP 1

63、)( tnP S故 置 信 區(qū) 間 為 ： tnstns 假 定 初 生 嬰 兒 的 體 重 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 隨 機(jī) 抽取 12名 新 生 嬰 兒 ， 測(cè) 其 體 重 為 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540， 的 置 信 系 數(shù) 估 計(jì) 新 生 嬰 兒 的 平 均 體 重 .（ 單 位 ： g）解 設(shè) 新 生 嬰 兒 體 重 為 由 于 2 未 知 ， 05.0 12n 查 t201.2)11(2/ t 又 3057x 3.3753057111 121 2 i ixS故 的 置 信 區(qū) 間 為 20

64、1.2123.3753057201.2123.3753057 即 （ ， ）試 以 例 2、 正 態(tài) 總 體 方 差 的 區(qū) 間 估 計(jì)2 的 置 信 區(qū) 間 。， 推 求，觀 測(cè) 值 ， 由， 給 定 置 信 度，設(shè) ， 21 21 1)( nnxx N 11 2222 nsn 由 于 即 服 從 自 由 度 為 n-1 的 分 布2對(duì) 于 給 定 的 通 過(guò) 查 附 表 可 求 出 a和 b由 11 222 bsnaPbaP 得 111 222 a snb snP 的 置 信 區(qū) 間 。， 推 求，觀 測(cè) 值 ， 由， 給 定 置 信 度，設(shè) ， 21 21 1)( nnxx N 于 是

65、， 的 置 信 區(qū) 間 為 ：2 a snb sn 22 1,1其 中 的 選 取 ， 一 般 情 況 下 是 由 :ba, 222 bPaP 而 定 的 . )1()1(,)1( )1( 2 /21 22/2 2 nsnnsn 即 例 已 知 某 種 木 材 橫 紋 抗 壓 力 的 實(shí) 驗(yàn) 值 服 從 正 態(tài) 分布 , 對(duì) 10個(gè) 試 件 作 橫 紋 抗 壓 力 試 驗(yàn) 得 數(shù) 據(jù) 如 下 :482 493 457 471 510 446 435 418 394 469試 對(duì) 該 木 材 平 均 橫 紋 抗 壓 力 的 方 差 進(jìn) 行 區(qū) 間 估 計(jì) .解 36.111512.3591 22

66、 sn 04.0 04.0 98.0212 aP 02.02 2 bP查 表 得 7.19,53.2 ba 5661,44081 22 b sna sn而于 是 ， 的 置 信 區(qū) 間 為 ： (566,4408)2 求正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的解題步驟：(1) 根 據(jù) 實(shí) 際 問(wèn) 題 構(gòu) 造 樣 本 的 函 數(shù) ， 要 求 僅 含 待 估 參 數(shù) 且 分 布 已 知 ；(2) 令 該 函 數(shù) 落 在 由 分 位 點(diǎn) 確 定 的 區(qū) 間 里 的 概 率為 給 定 的 置 信 度 1， 要 求 區(qū) 間 按 幾 何 對(duì) 稱(chēng) 或 概 率對(duì) 稱(chēng) ；(3) 解 不 等 式 得 隨 機(jī) 的 置 信 區(qū) 間 ；(4) 由 觀 測(cè) 值 及 值 查 表 計(jì) 算 得 所 求 置 信 區(qū) 間 。 假 設(shè) 檢 驗(yàn)若 對(duì)參 數(shù)有 所了 解 但 有 懷疑 猜 測(cè)需 要 證實(shí) 之 時(shí) 用 假 設(shè)檢 驗(yàn) 的方 法 來(lái) 處 理若 對(duì) 參 數(shù)一 無(wú) 所 知 用 參 數(shù) 估 計(jì)的 方 法 處 理10.4.2 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 是 指 施 加 于 一 個(gè) 或 多 個(gè) 總 體 的概 率 分 布 或 參 數(shù) 的 假 設(shè)