《2021年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學一模試卷【含答案】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學一模試卷【含答案】（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2021年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，則A∩B＝（　?。? A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{3} 【分析】利用集合交集的定義求解即可． 【解答】解：因為集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}， 所以A∩B＝{1，2，3}． 故選：B． 【點評】本題考查了集合的運算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于

2、基礎題． 2．（4分）如果復數(shù)的實部與虛部相等，那么b＝（　?。? A．﹣2 B．1 C．2 D．4 【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部與虛部相等求得b值． 【解答】解：∵的實部與虛部相等， ∴b＝﹣2． 故選：A． 【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題． 3．（4分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝1，S9＝18，則a1＝（　?。? A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】先由題設求得a5，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果． 【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5， ∴a5＝2， 又a3＝1， ∴由等差數(shù)列的性質(zhì)

3、可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2， ∴a1＝0， 故選：A． 【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的計算，屬于基礎題． 4．（4分）已知圓x2+y2＝4截直線y＝kx+2所得弦的長度為，則實數(shù)k＝（　　） A． B． C． D． 【分析】求出圓的圓心與半徑，利用弦長，推出弦心距，利用點到直線的距離公式求解即可． 【解答】解：圓x2+y2＝4截直線y＝kx+2所得弦的長度為， 可得弦心距為：＝1， 所以：，解得k＝． 故選：D． 【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應用，點到直線的距離公式的應用，是基礎題． 5．（4分）已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線C的漸近

4、線方程為（　?。? A． B． C． D．y＝±2x 【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的離心率e＝2可得c＝2a，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得b＝a，由此求解雙曲線的漸近線方程． 【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的離心率為2， 其焦點在x軸上，其漸近線方程為y＝±x， 又由其離心率e＝＝2，則c＝2a， 則b＝＝a，即＝， 則其漸近線方程y＝±x； 故選：A． 【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意由雙曲線的標準方程分析焦點的位置，確定雙曲線的漸近線方程，是中檔題． 6．（4分）在△ABC中，若a2﹣b2+c2+ac＝0，則B＝（　?。? A． B． C． D． 【分析】直接利用余弦定理的

5、應用求出結(jié)果． 【解答】解：若a2﹣b2+c2+ac＝0， 所以， 由于B∈（0，π）， 所以B＝． 故選：D． 【點評】本題考查的知識要點：余弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題． 7．（4分）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該三棱錐最長的棱長為（　?。? A．2 B． C． D． 【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的各個棱長，從而確定結(jié)果． 【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐A﹣BCD； 如圖所示： 所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝1，AD＝，AC＝，

6、故選：C． 【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，三棱錐的棱長的求法，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題． 8．（4分）在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC為鈍角三角形”的（　?。? A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【分析】解法一：對角分類討論，利用正切和差公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論． 解法二：tanAtanB＜1?1﹣＞0?cosAcosBcosC＜0?△ABC為鈍角三角形，即可判斷出結(jié)論． 【解答】解：解法一：（1）若C為鈍角，則A，B為銳角，∴tanC＝﹣

7、tan（A+B）＝﹣＜0，解得tanAtanB＜1． 若A或B為鈍角，則tanAtanB＜1成立． （2）若tanAtanB＜1成立，假設A或B為鈍角，則△ABC為鈍角三角形． 假設A，都B為銳角，tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C為鈍角，則△ABC為鈍角三角形． 綜上可得：在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC為鈍角三角形”的充要條件． 解法二：tanAtanB＜1?1﹣＞0?＞0?cosAcosBcosC＜0?△ABC為鈍角三角形． ∴在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC為鈍角三角形”的充要條件． 故選：C． 【點評】本題考查了分類討論、

8、正切和差公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 9．（4分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，點P是直線l上的動點．若點A在拋物線C上，且|AF|＝5，則|PA|+|PO|（O為坐標原點）的最小值為（　?。? A．8 B． C． D．6 【分析】不妨設A為第一象限內(nèi)的點，坐標為（a，b），由拋物線的定義可得|AF|＝a+1＝5，解得A點的坐標，設點A關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點為A′（﹣6，4），由對稱性可得|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|，即可得出答案． 【解答】解：不妨設A為第一象限內(nèi)的點，坐標為（a，b）

9、由拋物線的方程可得焦點F（1，0）， 則|AF|＝a+1＝5，解得a＝4， 所以A（4，4）， 所以點A關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點為A′（﹣6，4）， 故|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|＝＝2， 當且僅當A′，P，O三點共線時，等號成立， 即|PA|+|PO|的最小值為2． 故選：B． 【點評】本題考查圖形的對稱性，拋物線的定義，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題． 10．（4分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是線段BC1上的點，過A1的平面α與直線PD垂直．當P在線段BC1上運動時，平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得

10、的截面面積的最小值是（　?。? A．1 B． C． D． 【分析】畫出圖形，判斷截面的位置，結(jié)合正方體的特征，轉(zhuǎn)化求解截面面積的最小值即可． 【解答】解：當P在B點時，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積：1×＝是最大值； 當P與C1重合時，DC1⊥平面A1D1CB， 平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積：1×＝是最大值 當P由B向C1移動時，平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移動， 當P到BC1的中點時，取得最小值，如圖 此時E為AB的中點，F(xiàn)為D1C1的中點，（P在底面

11、ABCD上的射影為DH，H是BC的中點，此時EC⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可證明DP⊥平面A1ECF）， A1E＝CE＝，AC＝，EF＝，四邊形A1ECF是菱形， 所以平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積：＝． 故選：C． 【點評】本題考查直線與平面垂直，截面面積的最小值問題，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是難題． 二、填空題共5小題，每小題5分，共25分． 11．（5分）在（x+）8的展開式中，x4的系數(shù)為　28　．（用數(shù)字作答） 【分析】求出展開式的通項，然后令x的指數(shù)為2，求出r的值，由此即可求解． 【解答】解：展開式的通項為

12、T， 令8﹣2r＝4，解得r＝2， 所以x4的系數(shù)為C， 故答案為：28． 【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題． 12．（5分）已知函數(shù)則f（0）＝　1??；f（x）的值域為 ?。ī仭蓿?）　． 【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式直接代入即可求出f（0），利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別進行求解即可． 【解答】解：f（0）＝20＝1， 當x＜1時，0＜2x＜2，此時0＜f（x）＜2， 當x≥1時，log2x≥0，則﹣log2x≤0，即此時f（x）≤0， 綜上f（x）＜2，即函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，2）， 故答案為：1，（﹣∞，2）． 【點評

13、】本題主要考查分段函數(shù)的應用，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎題． 13．（5分）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，?＜0，則向量的坐標可以是 ?。?，）?。▽懗鲆粋€即可） 【分析】利用已知條件畫出圖形，判斷向量的坐標的位置，即可寫出結(jié)果． 【解答】解：向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，?＜0，如圖，可知向量的坐標可以是黑色圓弧上的任意一點，向量的坐標可以是（，）． 故答案為：（，）． 【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應用，點的坐標的求法，是基礎題． 14．（5分）李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件A商品

14、獲利8元．現(xiàn)計劃在“五一”期間對A商品進行廣告促銷，假設售出A商品的件數(shù)m（單位：萬件）與廣告費用x（單位：萬元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用x應投入　3　萬元． 【分析】由題意知，每售出1萬件A商品獲利8萬元，可得售出m萬件A商品的總獲利為24﹣，設f（x）＝24﹣（x≥0），利用導數(shù)求最值得答案． 【解答】解：由題意知，每售出1萬件A商品獲利8萬元， ∴售出m萬件A商品的總獲利為： 8m﹣x＝8（3﹣）﹣x＝24﹣， 設f（x）＝24﹣（x≥0）， 則f′（x）＝（x≥0），令f′（x）＞0， 即＞0（x≥0）， 解得0≤x＜3， ∴當0≤x＜3時

15、，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，3）單調(diào)遞增， 當x＞3時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞減， 則當x＝3時，函數(shù)f（x）取得極大值，即最大值， ∴要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用x應投入3萬元． 故答案為3． 【點評】本題考查函數(shù)模型的選擇及應用，訓練了利用導數(shù)求最值，考查運算求解能力，是中檔題． 15．（5分）華人數(shù)學家李天巖和美國數(shù)學家約克給出了“混沌”的數(shù)學定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學、經(jīng)濟學和社會學領(lǐng)域都有重要作用在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關(guān)鍵概念，定義如下：設f（x）是定義在R上的函數(shù)，對于x0∈R，令xn＝f（xn﹣1）（n＝1

16、，2，3，…），若存在正整數(shù)k使得xk＝x0，且當0＜j＜k時，xj≠x0，則稱x0是f（x）的一個周期為k的周期點．給出下列四個結(jié)論： ①若f（x）＝ex﹣1，則f（x）存在唯一一個周期為1的周期點； ②若f（x）＝2（1﹣x），則f（x）存在周期為2的周期點； ③若f（x）＝則f（x）不存在周期為3的周期點； ④若f（x）＝x（1﹣x），則對任意正整數(shù)n，都不是f（x）的周期為n的周期點． 其中所有正確結(jié)論的序號是?、佗堋。? 【分析】由周期點的定義，可得直線y＝x與y＝f（x）存在交點．分別對選項分析，結(jié)合函數(shù)的最值和函數(shù)值的符號，可得結(jié)論． 【解答】解：對于x0∈R，令xn

17、＝f（xn﹣1）（n＝1，2，3，…）， 若存在正整數(shù)k使得xk＝x0，且當0＜j＜k時，xj≠x0， 則稱x0是f（x）的一個周期為k的周期點． 對于①f（x）＝ex﹣1，當k＝1時，x1＝f（x0）＝ex0﹣1， 因為直線y＝x與y＝f（x）只有一個交點（1，1），故①正確； 對于②，f（x）＝2（1﹣x），k＝2時，x2＝f（x1）＝2（1﹣x1）＝2[1﹣f（x0）]＝4x0﹣2， 由x2＝x0，可得x0＝，x1＝，…，xn＝，不滿足當0＜j＜k時，xj≠x0， 所以f（x）不存在周期為2的周期點，故②不正確； 對于③，當，，，滿足題意， 故存在周期為3的周期點，故③

18、錯誤， 對于④，f（x）＝x（1﹣x）＝﹣（x﹣）2+，所以f（x）≤，即f（x）＜， 所以不是周期點，故④正確． 故答案為：①④． 【點評】本題考查函數(shù)的新定義的理解和運用，主要是周期點的定義，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題． 三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 16．（13分）已知函數(shù)由下列四個條件中的三個來確定： ①最小正周期為π；②最大值為2；③；④f（0）＝﹣2． （Ⅰ）寫出能確定f（x）的三個條件，并求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 【分析】（Ⅰ）若函數(shù)f（x）滿足條件④，則由f（0）＝Asinφ＝﹣

19、2，推出與A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函數(shù)f（x）不能滿足條件④，由條件①，利用周期公式可求ω＝2，由條件②，可得A＝2，由條件③，可得f（﹣）＝0，結(jié)合范圍0＜φ＜，可求φ＝，可得函數(shù)解析式． （Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）滿足條件④，則f（0）＝Asinφ＝﹣2， 這與A＞0，0＜φ＜矛盾，故函數(shù)f（x）不能滿足條件④， 所以函數(shù)f（x）只能滿足條件①，②，③， 由條件①，可得＝π， 又因為ω＞0，可得ω＝2， 由條件②，可得A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ） 由條件③，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0， ∴sin（﹣+φ）

20、＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z， ∴φ＝+kπ，k∈Z，又因為0＜φ＜，所以φ＝， 所以f（x）＝2sin（2x+）． （Ⅱ） 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， ∴﹣+kπ≤x≤+kπ， ∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）． 【點評】本題主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題． 17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，O是AD邊的中點，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2． （Ⅰ）求證：AB∥平面POC； （Ⅱ）求二面角B

21、﹣AP﹣D的余弦值． 【分析】（Ⅰ）先證明四邊形ABCO是平行四邊形，即可得到AB∥OC，由線面平行的判定定理證明即可； （Ⅱ）建立空間直角坐標系，然后求出所需點的坐標，利用待定系數(shù)法求出平面BAP的法向量，由向量的夾角公式求解即可． 【解答】（Ⅰ）證明：在四邊形ABCD中，因為BC∥AD，， O是AD的中點，則BC∥AO，BC＝AO， 所以四邊形ABCO是平行四邊形，所以AB∥OC， 又因為AB?平面POC，CO?平面POC， 所以AB∥平面POC； （Ⅱ）連結(jié)OB，因為PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD， 又因為點O時AD的中點，且，所以BC＝OD， 因

22、為BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD， 所以四邊形OBCD是正方形，所以BO⊥AD， 建立空間直角坐標系如圖所示， 則A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）， 所以， 設平面BAP的法向量為， 則，即，令y＝1，則x＝z＝﹣1，故， 因為OB⊥平面PAD， 所以是平面PAD的一個法向量， 所以＝， 由圖可知，二面角B﹣AP﹣D為銳角， 所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值為． 【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面平行的判定定理的應用，在求解空間角的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向

23、量問題進行研究，屬于中檔題． 18．（14分）我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)行標準下農(nóng)村貧困人口全部脫貧，消除了絕對貧困．為了解脫貧家庭人均年純收入情況，某扶貧工作組對A，B兩個地區(qū)2019年脫貧家庭進行簡單隨機抽樣，共抽取500戶家庭作為樣本，獲得數(shù)據(jù)如表： A地區(qū) B地區(qū) 2019年人均年純收入超過10000元 100戶 150戶 2019年人均年純收入未超過10000元 200戶 50戶 假設所有脫貧家庭的人均年純收入是否超過10000元相互獨立． （Ⅰ）從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機抽取1戶，估計該家庭2019年人均年純收入超過10000元的概率； （Ⅱ）

24、在樣本中，分別從A地區(qū)和B地區(qū)2019年脫貧家庭中各隨機抽取1戶，記X為這2戶家庭中2019年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望； （Ⅲ）從樣本中A地區(qū)的300戶脫貧家庭中隨機抽取4戶，發(fā)現(xiàn)這4戶家庭2020年人均年純收入都超過10000元．根據(jù)這個結(jié)果，能否認為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)相比2019年有變化？請說明理由． 【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可； （Ⅱ）確定X的取值，分別求解其概率，然后列出分布列求出數(shù)學期望即可； （Ⅲ）先通過2019年的樣本數(shù)據(jù)可得0.012，然后據(jù)此說明理由即可． 【解答】解：（Ⅰ）設事件C：從

25、A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機抽取1戶，該家庭2019年人均純收入超過10000元， 從表格數(shù)據(jù)可知，A地區(qū)抽出的300戶家庭中2019年人均年收入超過10000元的有100戶， 因此P（C）可以估計為＝； （Ⅱ）設事件A：從樣本中A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機抽取1戶，該家庭2019年人均純收入超過10000元， 設事件B：從樣本中B地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機抽取1戶，該家庭2019年人均純收入超過10000元， 由題意可知，X的可能取值為0，1，2， ＝， ＝＝， ＝， 所以X的分布列為： X 0 1 2 P 所以X的數(shù)學期望為E（X）＝＝；

26、 （Ⅲ）設事件E為“從樣本中A地區(qū)的300戶脫貧家庭中隨機抽取4戶， 這4戶家庭2020年人均年純收入都超過10000元”， 假設樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)相比2019年沒有變化， 則由2019年的樣本數(shù)據(jù)可得0.012． 答案示例1：可以認為有變化，理由如下： P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)相比2019年發(fā)生了變化，所以可以認為有變化． 答案示例2：無法確定有沒有變化，理由如下： 事件E是隨機事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所

27、以無法確定有沒有變化． 【點評】本題考查了離散型隨機變量及其分布列以及離散型隨機變量的期望，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于中檔題． 19．（15分）已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為A（0，1），B（0，﹣1），離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程及焦點的坐標； （Ⅱ）若點M為橢圓C上異于A，B的任意一點，過原點且與直線MA平行的直線與直線y＝3交于點P，直線MB與直線y＝3交于點Q，試判斷以線段PQ為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由． 【分析】（Ⅰ）由題意可得b的值，再由離心率及a，b，c之間的關(guān)系求出a的值，進而求出橢圓的方程； （Ⅱ）設直線M

28、A的方程，由題意可得直線OP的方程，與y＝3聯(lián)立求出P的坐標，將直線AM的方程與橢圓聯(lián)立求出M的坐標，進而求出直線BM的方程，與y＝3聯(lián)立求出Q的坐標，設以PQ為直徑的圓的方程過T點，可得數(shù)量積＝0，求出T的坐標，即圓過的定點的坐標． 【解答】解（Ⅰ）由題意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2， 解得a2＝3， 所以橢圓的方程為：+y2＝1，且焦點坐標（±，0）； （Ⅱ） 設直線MA的方程為：y＝kx+1，（k≠0） 則過原點的直線且與直線MA平行的直線為y＝kx， 因為P是直線y＝kx，y＝3的交點，所以P（，3）， 因為直線AM的方程與橢圓方程+y2＝1聯(lián)立： ，整理可

29、得：（1+3k2）x2+6kx＝0， 可得xM＝﹣，yM＝+1＝， 即M（﹣，），因為B（0，﹣1）， 直線MB的方程為：y＝﹣﹣1， 聯(lián)立，解得：y＝3，x＝﹣12k， 由題意可得Q（﹣12k，3）， 設T（x0，y0）， 所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3）， 由題意可得以線段PQ為直徑的圓過T點，所以＝0， 所以（x0﹣，y0﹣3）?（x0+12k，y0﹣3）＝0， 可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①， 要使①成立， ，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9， 所以T的坐標（0，﹣3）或（0，9）． 【

30、點評】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，以線段為直徑的圓的方程恒過定點可得數(shù)量積為0的性質(zhì)，屬于中檔題． 20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（ax﹣1）ex（a∈R）． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若直線y＝ax+a與曲線y＝f（x）相切，求證：a∈（﹣1，）． 【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)直線和f（x）相切，得到a＝，結(jié)合y＝的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（ax+a﹣1）ex，令f′（x）＝0，得ax＝1﹣a， 當a＝0時，f′（x）＝﹣ex＜0，y＝f（x）在R單

31、調(diào)遞減， 當a＞0時，x，f′（x），f（x）的變化如下： x （﹣∞，） （，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 遞減 極小值 遞增 當a＜0時，x，f′（x），f（x）的變化如下： x （﹣∞，） （，+∞） f′（x） + 0 ﹣ f（x） 遞增 極大值 遞減 綜上：當a＝0時，y＝f（x）在R單調(diào)遞減， 當a＞0時，y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，），單調(diào)遞減區(qū)間是（，+∞）， 當a＜0時，y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，），單調(diào)遞減區(qū)間是（，+∞）； （Ⅱ）證明：由題意得f′（x）＝（ax+a﹣1）ex，

32、 設直線y＝ax+a與曲線y＝f（x）相切于點（x0，y0）， 則， 由①﹣②得﹣a＝ax0，即a（+x0）＝0， 若a＝0，則f（x）＝﹣ex，ax+a＝0， 直線y＝0與曲線y＝f（x）不相切，不符合題意， 所以a≠0，所以+x0＝0，③， 令φ（x）＝ex+x，則φ′（x）＝ex+1＞0，故φ（x）單調(diào)遞增， ∵φ（﹣）＝﹣＞0，φ（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0， 故存在唯一x0∈（﹣1，﹣）使得+x0＝0， 將③代入①得a+ax0﹣x0+a＝0， 故a＝＝， 易知在（﹣1，﹣）內(nèi)y＝x++1單調(diào)遞減，且x++1＜0， 故y＝在（﹣1，﹣）內(nèi)單調(diào)遞增， ∵x0∈（﹣1

33、，﹣），∴﹣1＜a＜﹣，故a∈（﹣1，﹣）． 【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及切線方程問題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是難題． 21．（15分）設數(shù)列Am：a1，a2，…，am（m≥2），若存在公比為q的等比數(shù)列Bm+1：b1，b2，…，bm+1，使得bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，m，則稱數(shù)列Bm+1為數(shù)列Am的“等比分割數(shù)列”． （Ⅰ）寫出數(shù)列A4：3，6，12，24的一個“等比分割數(shù)列”B5； （Ⅱ）若數(shù)列A10的通項公式為an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割數(shù)列”B11的首項為1，求數(shù)列B11的公比q的取值范圍； （Ⅲ）若數(shù)

34、列Am的通項公式為an＝n2（n＝1，2，…，m），且數(shù)列Am存在“等比分割數(shù)列”，求m的最大值． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)“等比分割數(shù)列”的定義即可求解； （Ⅱ）根據(jù)定義可得qn﹣1＜2n＜qn（n＝1，2，3，…，10），從而求得q＞2，且qn﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1時顯然成立，當n＝2，3，…，10時，將qn﹣1＜2n轉(zhuǎn)化為q＜，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得q的取值范圍； （Ⅲ）設Bm+1是數(shù)列Am的“等比分割數(shù)列”，首項為b1，公比為q，由定義可得b1qn﹣1＜n2＜b1qn（n＝1，2，…，m），設m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，當m＝5時，取b1＝0.

35、99，q＝2.09，滿足定義，從而得解． 【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)定義可得數(shù)列A4：3，6，12，24的一個“等比分割數(shù)列” B5：2，4，8，16，32．（答案不唯一） （Ⅱ）由題意可得，qn﹣1＜2n＜qn（n＝1，2，3，…，10）， 所以q＞2，且qn﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10）， 當n＝1時，1＜2成立； 當n＝2，3，…，10時，應有q＜成立， 因為y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以＝隨著n的增大而減小，故q＜， 綜上，q的取值范圍是（2，）． （Ⅲ）設Bm+1是數(shù)列Am的“等比分割數(shù)列”，首項為b1，公比為q， 由題意，應有b1qn﹣1＜n2＜b1qn（n＝

36、1，2，…，m），顯然b1＞0，q＞0， 設m≥6，此時有b1＜1＜b1q＜4＜b1q2＜9＜b1q3＜16＜b1q4＜25＜b1q5＜36＜b1q6＜…． 所以＞，可得q3＞9，所以q＞＞2， 又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，與b1q5＜36＜b1q6矛盾，故m≤5， 又當m＝5時，取b1＝0.99，q＝2.09， 可得0.99＜1＜0.99×2.09＜4＜0.99×2.092＜9＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.094＜25＜0.99×2.095， 所以m＝5時成立， 綜上，m的最大值為5． 【點評】本題主要考查新定義，數(shù)列的應用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于難題．