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1、 麥克斯韋方程組的幾種推導(dǎo)方法及其比較 摘要：介紹麥克斯韋方程組的幾種推導(dǎo)方法。從經(jīng)典、能量守恒、拉格朗日方程的方面推導(dǎo)得出現(xiàn)有的麥克思維方程組，從側(cè)面說明了麥克斯韋的普遍適用性和有其他一些普遍存在的定理定律的等價(jià)性。 通過分析三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，從而加深對(duì)麥克斯韋方程組的物理意義的理解，培養(yǎng)科學(xué)求真的探索精神。 關(guān)鍵詞：拉格朗日方程、麥克思維方程組、能量守恒定律  目錄 引言： 4 1_用經(jīng)典方法推導(dǎo)麥克斯韋方程組的方法 4 1.1 第一方程式的推導(dǎo) 4 1.2第二方程式的推導(dǎo) 5 1.3第三方程式的推導(dǎo) 6 1.4第四方程式的推導(dǎo) 7 2_從電磁

2、場(chǎng)能量和能流形式推導(dǎo)麥克斯韋方程組 8 3_用拉格朗日方程推導(dǎo)麥克斯韋方程組的方法。 10 4_三種方法的比較 14 4.1經(jīng)典方法的優(yōu)勢(shì) 14 4.2能量方法推導(dǎo)的優(yōu)缺點(diǎn) 14 4.3拉格朗日方程推導(dǎo)的特點(diǎn) 15 結(jié)束語： 15 參考文獻(xiàn)： 15  引言： 麥克斯韋方程組是電磁理論的基本方程，在電磁學(xué)中有很重要的地位，在與很多工業(yè)領(lǐng)域有很多應(yīng)用。關(guān)于它的推導(dǎo)建立，有我們熟知的經(jīng)典方法，還有后來的根據(jù)拉格朗日方程等分析力學(xué)方法推導(dǎo)，以及由能量守恒的方法推導(dǎo)等諸多方法。下面我們來一一推導(dǎo)證明 1_用經(jīng)典方法推導(dǎo)麥克斯韋方程組的方法 1.1 第一方程式的推導(dǎo)

3、 電荷的庫侖定律： = 此電荷的場(chǎng)強(qiáng)為： = 對(duì)電荷的場(chǎng)強(qiáng)沿著球面求面積分，得到： =∑= 電場(chǎng)強(qiáng)度通過面元d的通量為： =Ecosθds=cosθds。 θ是d與的夾角，cosθds/位球面的立體角元。所以包裹電荷的閉合曲面和球面的積分是相同的。由于對(duì)電荷的場(chǎng)強(qiáng)求面積分只與包裹著的電荷有關(guān)系，所以積分的面沒有關(guān)系。 又因?yàn)殡姾傻捏w密度的定義： ρ= 根據(jù)斯托克斯公式可以把面積

4、分化成散度的體積分： =ρV/ 得到： 等效都是在真空下的方程式，如果在介質(zhì)下的束縛電荷密度，那么： =（ρ+）/。定義電位移矢量： =+ －=， 則推廣后得： =ρ， (1.1.1) =ε,其中ρ是自由電荷密度。 1.2第二方程式的推導(dǎo) 靜電力是保守力，對(duì)靜電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)任意閉合曲線的積分為零： =0 所以對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度也為零，即： =0 由法拉第電磁感應(yīng)定律： ε=－=－

5、 又因?yàn)樵陂]合電路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分： =ε 得到： =－ 根據(jù)斯托克斯公式將電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分化成電廠強(qiáng)度的旋度的面積分： =－ 將上式化成微分形式，所以有： =－ (1.2.1) 由于上式中只有電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等電磁場(chǎng)的特點(diǎn)的參數(shù)，于介質(zhì)無關(guān)，所以無論是介質(zhì)中還是真空中都是一樣的。

6、 1.3第三方程式的推導(dǎo) 根據(jù)比奧－薩法爾定律可以得到一小段電流元產(chǎn)生的磁場(chǎng)： d= 那么長(zhǎng)度為無窮大導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為： B=， （r是離導(dǎo)線的距離） 對(duì)包圍直導(dǎo)線的閉合的回路，并求積分得到： =I (1.3.1) 對(duì)于沒有包圍載流直導(dǎo)線的回路磁感應(yīng)強(qiáng)度的線積分為零。 根據(jù)斯托克斯公式和電流密度的定義式（1.3.1）還可以寫成： = 去掉積分符號(hào)化成微分形式后： =

7、 (1.3.2) 變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生位移電流，位移電流也會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)： = 同理也可變?yōu)椋? = (1.3.3) 綜合(1.3.2)、 (1.3.3)得到： =+ 推廣到介質(zhì)中，電磁介質(zhì)中的分子在電場(chǎng)下會(huì)出現(xiàn)極化電荷，極化電荷運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)極化電流，就會(huì)出現(xiàn)和自由電荷類似的極化電流密度；在磁場(chǎng)作用下，分子電流就先通電的小線圈在磁場(chǎng)中受到磁場(chǎng)的作用一樣，也會(huì)出現(xiàn)定向的規(guī)則取向，

8、很多分子電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)相當(dāng)于總的磁化電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，所以就要求出等效的磁化電流的密度。上式就變?yōu)椋? =+++。 (1.3.4) 可以通過實(shí)驗(yàn)來測(cè)定，但是、會(huì)隨著電場(chǎng)和磁場(chǎng)的增強(qiáng)而增大。定義： =－，=； 又因?yàn)椋? =+，=； 所以上式可以化為 ： =+ (1.3.5) 1.4第四方程式的推導(dǎo) 根據(jù)比奧薩法爾定律 ==－ 是對(duì)x的作用的算符，得： [（）]=（）（）

9、 因此： == 式中 = 用點(diǎn)乘=左右兩邊，由于旋度的散度為零得到=0；也可以認(rèn)為磁感應(yīng)強(qiáng)度是閉合的，對(duì)任何閉合曲面的通量為零，即根據(jù)高斯定理寫出：=0；根據(jù)斯托克斯公式化成： ==0； 其化成微分形式為： =0 (1.4.1) 由于方程式中僅包含磁感應(yīng)強(qiáng)度B，代表的是電磁場(chǎng)的性質(zhì)，僅與電磁場(chǎng)本身有關(guān)系，無論在真空還是在介質(zhì)中表達(dá)式是一樣的。 綜合(1.1.1) (1.2.1) (1.3.5

10、)（1.4.1）為麥克斯韋方程組 2_從電磁場(chǎng)能量和能流形式推導(dǎo)麥克斯韋方程組 為了以下都是真空中的麥克斯韋方程推導(dǎo)。 電磁場(chǎng)對(duì)電荷做的功率為 空間內(nèi)電磁能變化率為：－ 流出閉合空間V的能流為： S、V分別表示閉合空間的總的表面積、總的體積。 參照熱力學(xué)第一定律：能量的變化=對(duì)外做的功+因?yàn)闊醾鲗?dǎo)熱量的變化，可以得到電磁場(chǎng)的能量守恒定律： －=+ 微分形式是： +=－ 【1】 郭碩鴻。電動(dòng)力學(xué)（第三版）[M]。高等教育出版社，2011年5月：29頁到30頁 (2

11、.1) 又因?yàn)椋? ===ρ+ρ 帶入（2.1）得： =（ρ+ρ）=ρ+ρ 由于第二項(xiàng)與垂直所以為零，那么=ρ= (2.3) 其實(shí)（2.2）表示電場(chǎng)對(duì)電荷做功，磁場(chǎng)不做功。 能量密度為： (2.4) 是電磁波傳播的能量密度，在時(shí)變電磁場(chǎng)中可能有電磁波，波就是能量的流動(dòng)，所以≠0； 的表達(dá)式為： = （2.5） 將(2.3) (2.4)(2.5)帶入(2.1)得到： 【2】 劉成有。《建立麥克斯方程組的其他途徑》[J]。山西大學(xué)學(xué)報(bào)，1999

12、年９月：第１３卷第３期 (2.6) 要讓（2.6）有三種情況 第一種情況：B和E等于零,中括號(hào)內(nèi)的不為零。 （2.6）是對(duì)任意的在真空中的電磁場(chǎng)都是成立的， 任意的B和E可以不為零。第一種程度不成立。 第二種情況：()+與B并且()與E都是垂直的，那么與B垂直，與E垂直，那么電磁場(chǎng)都是特定的。所以不符合任意真空電磁場(chǎng)的條件。 第三種情況： ，整理得到： =－ (2.7) 　　 (

13、2.8) 用點(diǎn)乘（3.8）式的左右兩邊，由于旋度的散度為零，所以: －=0, 再對(duì)方程左右兩邊t積分得到： =0 （2.9） 用點(diǎn)乘（2.8）式的左右兩邊，由于旋度的散度為零，所以： 在非恒定電流中有電荷守恒定律： =－,（恒定電流中=0是特殊情況） 帶入上式有=，在對(duì)左右求關(guān)于t的積分有： =ρ (2.10) （2.7）(2.8) (2.9)(2.10)構(gòu)成了真空中的麥克

14、斯韋方程組。 3_用拉格朗日方程推導(dǎo)麥克斯韋方程組的方法。 拉格朗日量： L=T－V=m－q(－) 帶入拉格朗日方程：－=0（=1,，2，3，…s） (3.1) 在這里等于3；分別等于x，y，z。 由于推遲勢(shì)： 【3】 郭碩鴻。電動(dòng)力學(xué)（第三版）[M]。高等教育出版社，2011年5月：160頁 因?yàn)槎际莤,t的函數(shù)，所以寫成 所以： 拉格朗日量可以變?yōu)椋? 那么拉格朗日量對(duì)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)為：

15、 拉格朗日量對(duì)廣義速度的偏導(dǎo)為： 將上一組式子對(duì)t求導(dǎo)： 帶入拉格朗日方程組得到： =0 =0 =0 分別將上式乘以i，j，k，相加 上式第一項(xiàng)可以變?yōu)椋? 上式第二項(xiàng)可以變?yōu)椋? 上式第三

16、項(xiàng)可以變?yōu)椋? 則上式可以變?yōu)椋? (3.2) 由于： (3.3) 將上式帶入(3.2)得到： 由于公式： 化簡(jiǎn)得到： 【4】 郭碩鴻。電動(dòng)力學(xué)（第三版）[M]。高等教育出版社，2011年5月：232頁公式（7.5） 又因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)電荷的所受的洛侖茲力： = 在理想狀態(tài)下，電荷不受重力，則合力與洛侖茲力相等。

17、 用點(diǎn)乘第二式，得到： ==0 (3.4) 用叉乘第一式得到： 因?yàn)楣剑阂约暗诙匠淌?，得到? ； (3.5) (3.4) 、(3.5)是包含電磁場(chǎng)的基本量Ｅ、Ｂ的方程式。 取庫倫規(guī)范： 帶入和，由于和 在這里要借用傳統(tǒng)的結(jié)論，在靜電場(chǎng)中有以下結(jié)論：【5】 郭碩

18、鴻。電動(dòng)力學(xué)（第三版）[M]。高等教育出版社，2011年5月：43頁公式（2.1） ；【6】 郭碩鴻。電動(dòng)力學(xué)（第三版）[M]。高等教育出版社，2011年5月：76頁公式（1.8） Methods of deriving the Maxwell equations and their comparison Abstract: This paper introduces the methods of deriving the Maxwell equations. From the equation of conservation of energy, Lagrange classic, t

19、he derived equations of Mike thought, from the side that the universal applicability of Maxwell and equivalence of some other universal existence theorem. Through the analysis of advantages and disadvantages of three methods, so as to enhance the physical meaning of the Maxwell equations of the unde

20、rstanding, cultivate scientific spirit of exploration. Keywords: Lagrange equation, thinking of Mike equations, the law of conservation of energy ，兩式分別帶入（3.6）（3.7） 得到 (3.6) (3.7) (3.4)(3.5)(3.6)(3

21、.7)為穩(wěn)恒電磁場(chǎng)的麥克斯韋表達(dá)式。 4_三種方法的比較 4.1經(jīng)典方法的優(yōu)勢(shì) 經(jīng)典的方法求解麥克斯韋方程組，是在總結(jié)庫侖定律，法拉第電磁感應(yīng)定律、比奧薩法爾定律等前人成果的基礎(chǔ)之上，利用數(shù)學(xué)高斯定理、環(huán)路定理、斯托克斯公式等建立起來的。我們?cè)谕茖?dǎo)過程中，可以清楚地理解麥克斯韋方程組的物理意義:1麥克斯韋方程組的第一式代表的意義是變化的磁場(chǎng)能產(chǎn)生渦旋的電場(chǎng)；2第二式代表的是電流或是變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生渦旋的磁場(chǎng)；3電荷是電位移強(qiáng)度的源；4以及第四式代表是磁感應(yīng)強(qiáng)度是無源場(chǎng)。 麥克斯韋方程不僅有積分形式和微分形式，而且還有邊值關(guān)系；不僅有穩(wěn)恒的電磁場(chǎng)的方程式，還有時(shí)變電磁場(chǎng)。通過經(jīng)典的方法可

22、以一一得到。在很多推導(dǎo)方法都是在經(jīng)典方法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到的。所以無論有多么簡(jiǎn)便的方法，傳統(tǒng)的經(jīng)典的方法都有其存在的意義。 但是不管是電磁學(xué)還是電動(dòng)力學(xué)都只是經(jīng)典物理的產(chǎn)物，是研究宏觀電磁學(xué)物理性質(zhì)的方法。當(dāng)今世界科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，人們更多的研究的是在微觀的物理現(xiàn)象。那么經(jīng)典下的麥克斯韋是否也能在量子理論下也能應(yīng)用，我們從經(jīng)典推導(dǎo)方法中是看不出來的。這就顯示出了經(jīng)典方法的局限性。 4.2能量方法推導(dǎo)的優(yōu)缺點(diǎn) 用能量的方法推導(dǎo)麥克斯韋方程組，麥克斯韋方程是電磁場(chǎng)的規(guī)律，電磁場(chǎng)是特殊的物質(zhì)，是物質(zhì)一定符合能量守恒定律。能量守恒是自然界中的基本定律，代表了能量流動(dòng)和轉(zhuǎn)化，而電磁場(chǎng)也是一個(gè)變化的場(chǎng)

23、，其中本質(zhì)就是能量的流動(dòng)和轉(zhuǎn)化。 在(2.6)的討論時(shí)只是考慮到真空中的情況，對(duì)于其他的介質(zhì)不能推廣。因?yàn)樵诟鱾€(gè)介質(zhì)的電位移強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度都是要求的，也是很難精確求解的，必須要用經(jīng)典的方法分析，失去了能量求解麥克斯韋方程的意義。從表面上看能量的方法求解麥克斯韋方程組雖然沒有什么實(shí)際意義，但是讓我們了解到電磁場(chǎng)是符合能量守恒的，進(jìn)一步從另外的普遍存在的自然規(guī)律證明了麥克斯韋方程組的正確性。 4.3拉格朗日方程推導(dǎo)的特點(diǎn) 拉格朗日方程組在推導(dǎo)麥克斯韋方程組過程中，要用到一些經(jīng)典的結(jié)論：1在推導(dǎo)拉格朗日量就要用到，，但相信應(yīng)該有方法可以利用其它方法可以得到同樣的拉格朗日量的結(jié)論。2 在推導(dǎo)過程

24、中利用了一些靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)的結(jié)論；，如果不利用這些結(jié)論也能得到，但是方法比較復(fù)雜，很多知識(shí)我們還沒有學(xué)過?？墒沁@些物理量都是可以測(cè)量的，知道了其它電磁場(chǎng)的、的表達(dá)式很容易把真空中的麥克斯韋方程組推廣到其它介質(zhì)中。 拉格朗日量可以很容易推廣到量子領(lǐng)域。所以我們的麥克斯韋方程組也可以推廣到量子領(lǐng)域。由于我們經(jīng)常研究在電磁學(xué)中也經(jīng)常研究是一個(gè)電子，一個(gè)電荷之類的，其實(shí)真正在研究這些東西時(shí)候必須是在量子條件下。所以麥克斯韋方程組是在微觀量子狀態(tài)下也適用的方程組。 結(jié)束語： 通過不同的方法推導(dǎo)麥克斯韋方程組，我們發(fā)現(xiàn)從經(jīng)典方法到拉格朗日方程方法，經(jīng)歷了從宏觀到微觀的，從經(jīng)典到量子的變革。發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程組不僅僅是揭示電磁場(chǎng)的物理規(guī)律，也符合能量守恒定律，還是與微觀帶電粒子運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理方程。 參考文獻(xiàn)： 15