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1、總結(jié)高等代數(shù)高等代數(shù)多項式線性代數(shù)矩陣向量方程組計算多項式多項式一元多項式一元多項式多元多項式多元多項式2 基本概念基本概念：次數(shù)：最基本的概念和工具整除：多項式之間最基本的關系帶余除法：最基本的算法，判斷整除.最大公因式：描述多項式之間關系的復雜程度互素：多項式之間關系最簡單的情形既約多項式：最基本的多項式根：最重要的概念和工具一元多項式一元多項式3 重要結(jié)論重要結(jié)論：帶余除法定理對于任意多項式f(x)和非零多項式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x).最大公因式的存在和表示定理 任意兩個不全為0的多項式都有最

2、大公因式，且對于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4 因式分解唯一定理 次數(shù)大于1的多項式都可分解成有限個既約多項式之積，且不計因子次序和常數(shù)因子倍時，分解唯一.標準分解定理 每個次數(shù)大于1的多項式f都有如下的標準分解其中a是非零常數(shù),p1,pt,是互不相同的首一既約多項式,n1,nt是正整數(shù).進一步,a,p1,pt,n1,nt由f唯一確定.重因式 f無重因式當且僅當f與其導式互素.5代數(shù)學基本定理：下列陳述等價，1.復數(shù)域上次數(shù)1的多項式總有根

3、2.復數(shù)域上的n次多項式恰有n個根3.復數(shù)域上的既約多項式恰為一次式4.復數(shù)域上次數(shù)1的多項式可分解成一次式之積.5.實數(shù)域上的次數(shù)1的既約多項式只有無實根的二次式6.實數(shù)域上次數(shù)1的多項式可分解成一次式和二次式之積6 實數(shù)域上的標準分解定理 在實數(shù)域上，每個次數(shù)大于1的多項式f都有如下的標準分解其中a是f的常數(shù)項,x1,xt 是f全不互不相同的根,p1,pt是互異、首一、無實根的二次式.復數(shù)域上的標準分解定理 在復數(shù)域上，每個次數(shù)大于1的多項式f都有如下的標準分解其中a是f的常數(shù)項,x1,xt 是f全部互不相同的根,n1,nt分別是這些根的重數(shù).7 多項式作為函數(shù)：兩個多項式相等(即對應系數(shù)

4、相同)它們作為函數(shù)相等(即在每點的函數(shù)值相等)它們在k+1個點的函數(shù)值相等，這里k是它們次數(shù)的最大者.設f(x)anxn+.+a1x+a0，若f(x)在n+1個點的函數(shù)值為0，則f(x)恒等于0.8 Eisenstein判別法：設 是整系數(shù)多項式，若有素數(shù)p使得 則f(x)是有理數(shù)域上的既約多項式.有理根：有理根的分母整除首項系數(shù)，分子整除常有理根的分母整除首項系數(shù)，分子整除常數(shù)項數(shù)項9l 重要結(jié)論重要結(jié)論 命題1.8.1 若多項式的值全為0，則該多項式必為0.命題1.8.2 每個n次多項式f均可唯一地表示成齊次多項式之和 ，fn0，且其中fi是0或i次齊次多項式，0in，fi稱為f的i次齊次

5、分量.l 基本概念基本概念：次數(shù)、齊次分量、字典序、首項、對稱多項式多元多項式多元多項式對稱多項式基本定理 每個對稱多項式，都可唯一地表示成初等對稱多項式的多項式.10矩陣矩陣運算運算行列式行列式初等變換初等變換和標準形和標準形特殊矩陣特殊矩陣11運算及其關系運算及其關系轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置取逆取逆伴隨伴隨行列式行列式秩數(shù)秩數(shù)加加法法(A+B)T=AT+BTr(A+B)r(A)+r(B)數(shù)數(shù)乘乘(kA)T=k AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘乘 法法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*|AB|=|A|B|

6、r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取取逆逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1|A 1|=|A|1伴伴隨隨(A*)*=|A|n 2A*|A*|=|A|n 1 n,若r(A)=n r(A*)=1,若r(A)=n-1 0,若r(A)n-1其其它它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E當當A可逆可逆時時，A*|A|A 1定義定義性質(zhì)性質(zhì)若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)12轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置取逆取逆伴隨伴隨加法(A+B)T=AT+BT數(shù)乘(kA)T=k

7、AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*乘法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1伴隨(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I當當A可逆可逆時時，A*|A|A 113行列式行列式秩數(shù)秩數(shù)加法r(A+B)r(A)+r(B)數(shù)乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)轉(zhuǎn)置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A 1|=|A|1伴隨

8、|A*|=|A|n 1 n,若若r(A)=n r(A*)=1,若若r(A)=n 1 0,若若r(A)n 1 其它定義定義性質(zhì)性質(zhì)若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)14性質(zhì)公式備注轉(zhuǎn)置不變性|AT|=|A|行列地位平等反交換性|.|=|.|換法變換交錯性|.|=0齊性|.k.|=k|.|倍法變換統(tǒng)稱線性加性|.+.|=|.|+|.|倍加不變性|.+k.|=|.|消法變換按第k行第k列展開|aij|=ak1Ak1+aknAkn =a1kA1k+ankAnkaj1Ak1+ajnAkn=a1jA1k+anjAnk=jk|aij|Laplace定理分塊三角矩陣的行列式Cauc

9、hy-Binet 公式Vandermonde行列式定義 性質(zhì)；15Laplace定理(按第i1,.,ik行展開)；分塊三角形行列式16Cauchy-Binet公式公式 設U是mn矩陣,V是nm矩陣,mn,則1718初等變換初等變換行變換行變換列變換列變換換法變換換法變換倍法變換倍法變換消法變換消法變換對單位矩陣做一次初等變換對單位矩陣做一次初等變換對對A A做一次做一次行行變換變換 =用相應的初等矩陣用相應的初等矩陣左左乘以乘以A A對對A A做一次做一次列列變換變換 =用相應的初等矩陣用相應的初等矩陣右右乘以乘以A A19 對于對于mn矩陣矩陣A，B下列條件等價下列條件等價1.A B，即，即

10、A可由初等變換化成可由初等變換化成B2.有可逆矩陣有可逆矩陣P,Q使得使得PAQ=B3.秩秩A=秩秩B4.A，B的標準型相同的標準型相同 A,B行等價行等價有可逆矩陣有可逆矩陣P使得使得A=PB 每個矩陣都行等價于唯一一個每個矩陣都行等價于唯一一個RREF矩陣矩陣 A,B等價等價有可逆矩陣有可逆矩陣P,Q使得使得A=PBQ 每個每個秩數(shù)為秩數(shù)為r的矩陣都等價于的矩陣都等價于矩陣等價矩陣等價20可逆矩陣vs列滿秩矩陣對于對于n n階矩陣階矩陣A,A,下列條件等價下列條件等價1.1.A A是可逆矩陣是可逆矩陣2.2.|A|A|0 03.3.秩秩A=nA=n4.4.有有B B使得使得AB=IAB=I

11、或或BA=IBA=I5.5.A A是有限個初等矩陣之積是有限個初等矩陣之積6.6.A(A(行或列行或列)等價于等價于I I7.7.A A的列的列(行行)向量組線性無關向量組線性無關8.8.方程組方程組Ax=0Ax=0沒有非零解沒有非零解9.9.對任意對任意b,Ax=bb,Ax=b總有解總有解10.10.對某個對某個b,Ax=bb,Ax=b有唯一解有唯一解11.11.A A是可消去的是可消去的(即由即由AB=ACAB=AC或或BA=CABA=CA恒可得恒可得B=C)B=C)對于對于mrmr矩陣矩陣G,G,下列條件等價下列條件等價1.1.G G是列滿秩矩陣是列滿秩矩陣,2.2.G G有一個有一個r

12、 r階的非零子式階的非零子式3.3.秩秩G=G=列數(shù)列數(shù)4.4.G G有左逆有左逆,即有即有K K使得使得KG=IKG=I5.5.有矩陣有矩陣H H使得使得(G,H)(G,H)可逆可逆6.6.G G行等價于行等價于7.7.G G的列向量組線性無關的列向量組線性無關8.8.方程組方程組Gx=0Gx=0沒有非零解沒有非零解9.9.對任意對任意b,b,若若Gx=bGx=b有解有解則唯一則唯一10.10.對某個對某個b,Gx=bb,Gx=b有唯一解有唯一解11.11.G G是左可消去的是左可消去的(即由即由GB=GCGB=GC恒可得恒可得B=C)B=C)21設A的秩數(shù)為r,則A有如下分解1.,其中P,

13、Q為可逆矩陣 2.A=PE,其中P可逆,E是秩數(shù)為r的RREF3.A=GH,其中G列滿秩,H行滿秩,且秩數(shù)都是r (滿秩分解)矩陣分解矩陣分解221.分塊矩陣的初等變換和Schur公式把初等變換和初等矩陣的思想用到分塊矩陣Schur公式 設A可逆 兩種常用方法兩種常用方法適用例子:習題3.7.5;3.7.911:232.正則化方法證明當A可逆時結(jié)論成立 考慮xI+A,有無窮多個x使得該矩陣可逆 將要證明的結(jié)論歸結(jié)為多項式的相等 若兩個多項式在無窮多個點處的值相同,則這兩個多項式在任意點的值相等,特別地,取x=0.適用例子:習題3.6.4;3.7.7;3.7.11:24特殊矩陣三角 正規(guī) 可逆對

14、合 Hermite 反Hermite 酉矩陣 冪等 冪零 對稱 反對稱 正交 對角 純量 25向量線性關系線性相關線性無關線性表示等價極大無關組秩數(shù)26線性表示：列向量組1,.,r可由1,.,s線性表示當且僅當有矩陣C使得(1,.,r)=(1,.,s)C.進一步，C的第k列恰為k的表示系數(shù) 線性表示有傳遞性 被表示者的秩數(shù)表示者的秩數(shù)向量組等價：對于向量組S，T，下列條件等價1.S和T等價，即S,T可以互相表示2.S,T的極大無關組等價3.S,T的秩數(shù)相等，且其中之一可由另一表示27線性相關與線性表示：1,.,r線性相關當且僅當其中之一可由其余的線性表示若,1,.,r線性相關,而1,.,r線性

15、無關,則可由1,.,r線性表示,且表法唯一線性無關：對于向量組1,.,r下列條件等價 1,.,r線性無關 當c1,.,cr不全為0時，必有c11+.+crr0 當c11+.+crr0時，必有c1.cr0 1,.,r的秩數(shù)等于r(1,.,r)是列滿秩矩陣28極大無關組與秩數(shù)：1.1,.,rS是S的一個極大無關組當且僅當1,.,r線性無關S的每個向量都可由1,.,r線性表示2.秩S極大無關組中向量的個數(shù)3.若秩Sr,則任何r個無關的向量都是極大無關組4.矩陣的秩數(shù)行向量組的秩數(shù)列向量組的秩數(shù)5.向量組向量組向量空間向量空間解空間解空間極大無關組極大無關組基底基底基礎解系基礎解系秩數(shù)秩數(shù)維數(shù)維數(shù)n

16、r29向量空間向量空間：加法和數(shù)乘封閉的向量集合基底：向量空間的極大無關組維數(shù)：向量空間的秩數(shù)行空間：矩陣的行向量組張成的向量空間列空間：矩陣的列向量組張成的向量空間行空間與列向量的維數(shù)都等于矩陣的秩數(shù)對于矩陣mn矩陣A，B，下列條件等價A,B行等價A,B的行空間相同A,B的行向量組等價A,B的列向量組線性關系一致Ax=0和Bx=0同解30線性方程組線性方程組的表示方程式：矩陣式：Ax=b,其中A=(aij)mn,x=(xi)n1,b=(bi)m1向量式：x11+.+xnn=b,其中i是xi的系數(shù)列31解的判定:1.n元線性方程組Ax=b有解系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩數(shù)相等.具體地，當秩A秩(A

17、b)時，方程組無解當秩A秩(A b)n時，方程組有唯一解當秩A秩(A b)n時，方程組有無窮解2.線性方程組有解常數(shù)列可由系數(shù)列線性表示.此時,解恰為表示的系數(shù)32解法Cramer法則Gauss-Jordan消元法：用行變換和列換法變換將增廣矩陣化成RREF寫出RREF方程組取每個方程的第一個變量為主變量，其余的為自由變量，并解出主變量寫出參數(shù)解或通解33解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組Ax=0：解空間：解的集合基礎解系：解空間的基底通解：設1,s是一個基礎解系,則通解為=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常數(shù)解空間的維數(shù)未知數(shù)個數(shù)系數(shù)矩陣的秩數(shù)設秩A=r,則Ax=0的任何n-r個無關的解都是

18、基礎解系34一般線性方程組Ax=b：Axb和Ax=0的解的關系：Axb的兩個解之差是Ax=0的解Axb的解與Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的線性組合是設Sb和S0分別表示Axb和Ax=0的解集合，則SbS0+，Sb通解：設1,s是一個基礎解系,是Ax=b的一個解,則通解為=c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常數(shù)Ax=0的解，當系數(shù)和0時；Ax=b的解，當系數(shù)和1時.35多項式的計算帶余除法求最大公因式(輾轉(zhuǎn)相除法)求有理根：有理根的分母整除首項系數(shù)，分子整除常數(shù)項既約性判別：Eisenstein判別法重因式判別特殊多項式的因式分解用初等對稱多項式表示對稱多項式計算36矩

19、陣計算行列式：化三角形；展開+遞推求逆矩陣：行變換；伴隨求秩數(shù)：初等變換；定義37方程組的計算1.求基礎解系：Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法)已知秩Ar，則任何r個無關解都是基礎解系2.求通解：Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法)3.帶參數(shù)的方程組：先化簡，再判定.可先考慮唯一解的情形.特別是有系數(shù)行列式時.38向量的計算設S：1,.,s是n元向量組(無論行或列)求S的秩數(shù)：S的秩數(shù)=它組成的矩陣的秩數(shù) 判斷S的相關性：設x11+.+xss=0,將其轉(zhuǎn)化成x的方程組.若方程組有非零解，則S相關；否則，無關.求S的秩數(shù).若秩Ss,則相關；若秩Ss,則無關 線性表示：令=x11+.+xss,將其轉(zhuǎn)化成x的方程組.若方程組有(唯一)解，則可由S(唯一)表示，且方程組的解就是表示的系數(shù)；否則，不可由S表示.39 求極大無關組：若已知秩Sr，則在S中找出r的無關的向量即可 將S中的向量寫成列的形式組成矩陣，對矩陣作行變換，化成階梯形或RREF，則S與階梯矩陣的列向量組線性關系一致.4041