《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第63課 圓錐曲線的綜合應(yīng)用要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第63課 圓錐曲線的綜合應(yīng)用要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)　各個(gè)擊破 直線與圓錐曲線 　如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,點(diǎn)A是橢圓上任意一點(diǎn),△AF1F2的周長(zhǎng)為4+2. (例1) (1) 求橢圓C的方程; (2) 過(guò)點(diǎn)Q(-4,0)任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),記=λ,若在線段MN上取一點(diǎn)R,使得=-λ,則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動(dòng),求該定直線的方程. [思維引導(dǎo)](1) 根據(jù)條件求出基本量“a,b”,從而得出橢圓C的方程;(2) 根據(jù)=λ和=-λ,將λ用點(diǎn)M,N的坐標(biāo)表示,然后解出點(diǎn)R的坐標(biāo),從而得出該直線的方程. [解答](1) 因?yàn)椤鰽F1F2的周長(zhǎng)

2、為4+2, 所以2a+2c=4+2,即a+c=2+. 又e==,解得a=2,c=,b2=a2-c2=1, 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2) 由題意知,直線l的斜率必存在,設(shè)其方程為y=k(x+4), 設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),點(diǎn)N(x2,y2). 由 得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-4=0, 則x1+x2=,x1x2=. 由=λ,得(-4-x1,-y1)=λ(x2+4,y2), 所以-4-x1=λ(x2+4),λ=-. 設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x0,y0),由=-λ, 得(x0-x1,y0-y1)=-λ(x2-x0,y2-y0), 所以x0-x1=-λ(x2-x

3、0), 解得x0===, 而2x1x2+4(x1+x2)=2×+4×=-, (x1+x2)+8=-+8=, 所以x0==-1, 故點(diǎn)R在定直線x=-1上. 　(2014·北京東城區(qū)模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)上的點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)距離之和為4,且過(guò)點(diǎn)(0,1). (1) 求橢圓的方程; (2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),斜率為k的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),且與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若+=0,求△AOB的面積. [解答](1) 依題意有a=2,b=1. 故橢圓的方程為+y2=1. (2) 由(1)知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0),因?yàn)橹本€AB過(guò)右焦點(diǎn)(,0), 設(shè)直線A

4、B的方程為y=k(x-). 聯(lián)立方程組 消去y并整理得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0.　(*) 故x1+x2=,x1x2=, y1y2=k(x1-)·k(x2-)=. 又+=0,即+y1y2=0, 所以+=0,可得k2=,即k=±. 方程(*)可化為3x2-4x+2=0, 由AB=|x1-x2|,可得AB=2, 故原點(diǎn)O到直線AB的距離d==1. 所以S△AOB=·AB·d=1. 圓錐曲線的綜合問(wèn)題 　如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,離心率為,右準(zhǔn)線為l:x=4,M為橢圓上不同于A,B的一點(diǎn),直

5、線AM與直線l交于點(diǎn)P. (1) 求橢圓C的方程; (2) 若=,判斷點(diǎn)B是否在以PM為直徑的圓上,并說(shuō)明理由; (3) 連接PB并延長(zhǎng),交橢圓C于點(diǎn)N,若直線MN垂直于x軸,求點(diǎn)M的坐標(biāo). (例2) [思維引導(dǎo)](1) 直接根據(jù)題意,可得基本量,寫出橢圓的方程;(2) 將幾何問(wèn)題代數(shù)化,轉(zhuǎn)化為判斷向量的數(shù)量積是否為0,體現(xiàn)了解析幾何的基本思想;(3) 直線與橢圓的位置關(guān)系,利用方程解決. [解答](1) 由解得所以b2=3. 所以橢圓的方程為+=1. (2) 因?yàn)?,所以xM=1. 代入橢圓,得yM=±,即M. 所以直線AM的方程為y=(x+2),得點(diǎn)P(4,3).

6、 所以=,=(2,3). 因?yàn)椤?≠0,所以點(diǎn)B不在以PM為直徑的圓上. (3) 因?yàn)镸N垂直于x軸,故由橢圓對(duì)稱性可設(shè)M(x1,y1),N(x1,-y1). 直線AM的方程為y=(x+2),所以yP=, 直線BN的方程為y=(x-2),所以yP=, 所以=. 因?yàn)閥1≠0,所以=-,解得x1=1. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為. [精要點(diǎn)評(píng)]熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì),并能將幾何問(wèn)題代數(shù)化,運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何,滲透“以數(shù)助形”的思想. 　已知橢圓M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,離心率為,且拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn). (1) 求橢圓M的方程; (2) 設(shè)直線l與橢圓M相交于A,

7、B兩點(diǎn),以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點(diǎn)P在橢圓M上,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值. [解答](1) 由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(,0), 設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),則c=. 由e=,得a=2,b2=2, 所以橢圓M的方程為+=1. (2) 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+m, 聯(lián)立方程組 消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0, Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)>0.?、? 設(shè)A,B,P三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),則x0=x1+x2=

8、-,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=, 由于點(diǎn)P在橢圓M上,所以+=1. 從而+=1,化簡(jiǎn)得2m2=1+2k2,經(jīng)檢驗(yàn)滿足①式. 又點(diǎn)O到直線l的距離為 d===≥=,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立. 當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),由對(duì)稱性知,點(diǎn)P一定在x軸上, 從而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0)或(2,0),直線l的方程為x=±1, 所以點(diǎn)O到直線l的距離為1. 綜上,點(diǎn)O到直線l的距離最小值為. 圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用 　某中心接到其正西、正東、正南方向的三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A,B,C的報(bào)告:正西、正南兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到一聲巨響,正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)早4 s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該

9、中心的距離都是1 020 m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音的速度為340 m/s,相關(guān)各點(diǎn)均在同一個(gè)平面上) [思維引導(dǎo)]這是一個(gè)有關(guān)雙曲線的定義,直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題. [解答]如圖,以接報(bào)中心為原點(diǎn)O,正東,正北方向分別為x軸,y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,-1 020).　 (例3) 設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點(diǎn), 則PA-PB=1 360,AB=2 040. 由雙曲線的定義可知,點(diǎn)P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線-=1上.又PA=PC,所以點(diǎn)P在AC的中垂線y=x上.依題意,a=680,c=1 020

10、,所以b2=c2-a2=5×3402,故雙曲線的方程為-=1.把y=x代入,得x=±680. 因?yàn)镻A>PB,所以x=y=680,即P(680,680),故PO=680.故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的北偏東45°、距中心680 m處. [精要點(diǎn)評(píng)]本題是雙曲線的方程性質(zhì)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,利用兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一聲巨響的時(shí)間差,可以確定巨響發(fā)生位置所在的雙曲線的方程. 已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y2),B(x2,y2)(x1

11、λ,求λ的值. [思維引導(dǎo)](1) 拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為x1+x2+p;(2) 求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再利用點(diǎn)C在拋物線上,可以求出參數(shù)λ的值. [規(guī)范答題](1) 直線AB的方程是y=2, 代入y2=2px,得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=. 由拋物線定義得AB=x1+x2+p,所以p=4. 故該拋物線的方程為y2=8x.(6分) (2) 由p=4,4x2-5px+p2=0,化簡(jiǎn)得x2-5x+4=0, 從而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4, 從而A(1,-2),B(4,4). 設(shè)=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4) =(1+4λ,-2+

12、4λ), 又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或2. (14分) 1. 已知橢圓+=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F為圓x2+y2+2x=0的圓心,且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為-1,那么該橢圓的方程為　　　　　　　　. [答案]+y2=1 [解析]因?yàn)閳Ax2+y2+2x=0的圓心為(-1,0),半徑r=1,所以橢圓的半焦距c=1.又橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離的最小值為-1,所以a-c=-1,即a=,故所求橢圓的方程為+y2=1. 2. 已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+2y-1=0垂直,那么該雙曲線

13、的離心率為　　　　. [答案] [解析]雙曲線的漸近線為y=±x,直線x+2y-1=0的斜率為-.因?yàn)閥=x與直線x+2y-1=0垂直,所以·=-1,即b=2a.所以c2=a2+b2=5a2,即e2=5,e=. 3. (2014·山東卷)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1.若橢圓C1與雙曲線C2的離心率之積為,則雙曲線C2的漸近線方程為　　　　. [答案]x±y=0 [解析]由題意得·=,所以=,雙曲線的漸近線方程為y=±x,即x±y=0. 4. 已知拋物線x2=2py(p>0)與圓x2+y2=1有公共的切線y=x+b,那么p=　　　　. [答案]2 [解析]圓心到直線的距離d==1,所以|b|=.拋物線的方程為y=,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'==x,設(shè)拋物線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),所以有y'=x0=1,所以x0=p,代入得y0=,代入切線y=x+b得=b+p,即b=-,所以=,p=2. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)(第125-126頁(yè)).