《（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第46課 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教師用書-人教版高三數(shù)學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第46課 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教師用書-人教版高三數(shù)學試題（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第46課 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 √ 1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法 (1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr?相離． (2)代數(shù)法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計算判別式Δ＝b2－4ac，Δ>0?相交，Δ＝0?相切，Δ<0?相離． 2．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置關(guān)系　

2、　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系 代數(shù)法：聯(lián)立兩個圓的方程組成方程組的解的情況 相離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 相交 |r2－r1|

3、的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交．(　　) (4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程．(　　) [解析]　依據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，只有(4)正確． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為________． 相交　[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝. ∵3－2

4、取值范圍是________． [0,10]　[因為(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以由題意得≤1?|m－5|≤5?0≤m≤10.] 4．在平面直角坐標系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為__________． 　[圓心為(2，－1)，半徑r＝2. 圓心到直線的距離d＝＝， 所以弦長為2＝2＝.] 5．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若AB＝2，則圓C的面積為________． 4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圓心C

5、(0，a)，半徑r＝.AB＝2，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.] 直線與圓的位置關(guān)系 　(1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是________． (2)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則AB＝________. (1)相交　(2)6　[(1)法一：∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<. 故直線l與圓相交． 法二：直線l：mx－

6、y＋1－m＝0過定點(1,1)，∵點(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交． (2)由圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. ∴圓心為C(2,1)，半徑r＝2， 由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)． 于是AB2＝AC2－r2＝40－4＝36，則AB＝6.] [規(guī)律方法]　1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系； (2

7、)注意靈活運用圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，簡化運算．如“切線與過切點的半徑垂直”等． 2．與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構(gòu)成直角三角形進行求解． [變式訓練1]　(1)(2017·山西忻州模擬)過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為________. 【導學號：62172250】 (2)(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則CD＝__________. (1)2x＋y－7＝0　(2)4　[(1)依題意知，點(3,1

8、)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點． ∴圓心(1,0)與切點(3,1)連線的斜率為. 因此切線的斜率k＝－2. 故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0. (2)由圓x2＋y2＝12知圓心O(0,0)，半徑r＝2. ∴圓心(0,0)到直線x－y＋6＝0的 距離d＝＝3，AB＝2＝2. 過C作CE⊥BD于E. 如圖所示，則CE＝AB＝2. ∵直線l的方程為x－y＋6＝0， ∴kAB＝，則∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°. ∴CD＝＝＝＝4.] 圓與圓的位置關(guān)系 　(1)(2016·山東高考改編)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a

9、>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是________． (2)(2017·南京三模)在平面直角坐標系xOy中，圓M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，點N為圓M上任意一點．若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為________． (1)相交　(2)3　[(1)法一：由得兩交點為(0,0)，(－a，a)． ∵圓M截直線所得線段長度為2， ∴＝2.又a>0，∴a＝2. ∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2. 又圓N：(x－1)

10、2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1， ∴MN＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,10)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∴M(0，a)，r1＝a. ∵圓M截直線x＋y＝0所得線段的長度為2，∴圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝，解得a＝2. 以下同法一． (2)由題意得圓N與圓M內(nèi)切或內(nèi)含，即MN≤ON－1?ON≥2，又ON≥OM－1，所以O(shè)M≥3.≥3?a≥3或a≤0(舍)．因此a的最小值為3.] [規(guī)律方法]　1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關(guān)系． 2．若兩

11、圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到． 3．若兩圓相交，則兩圓心的連線垂直平分公共弦． [變式訓練2]　若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是__________． 4　[由題意⊙O1與⊙O在A處的切線互相垂直，則兩切線分別過另一圓的圓心， ∴O1A⊥OA. 又∵OA＝，O1A＝2， ∴OO1＝5. 又A，B關(guān)于OO1對稱， ∴AB為Rt△OAO1斜邊上高的2倍． 又∵·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2. ∴AB＝4.] 直線與

12、圓的綜合問題 　(2016·江蘇高考改編)如圖46-1，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)． (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程． 圖46-1 [解]　圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25， 所以圓心M(6,7)，半徑為5. (1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)． 因為圓N與x軸相切，與圓M外切， 所以0

13、，解得y0＝1. 因此，圓N的標準方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)因為直線l∥OA， 所以直線l的斜率為＝2. 設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m， 即2x－y＋m＝0， 則圓心M到直線l的距離 d＝＝. 因為BC＝OA＝＝2， 而MC2＝d2＋2， 所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15. 故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. [規(guī)律方法]　1.(1)設(shè)出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標準方程．(2)依據(jù)平行直線，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點到直線的距離公式及勾股定理求解． 2．求弦長常用的方法

14、：①弦長公式；②半弦長、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)． [變式訓練3]　在平面直角坐標系xOy中，圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－y＋－2＝0相切． (1)求圓C的方程； (2)若圓C上有兩點M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，且MN＝2，求直線MN的方程. 【導學號：62172251】 [解]　(1)將圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化為(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m. ∵圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－y＋－2＝0相切， ∴圓心(－2,1)到直線x－y＋－2＝0的距離d＝＝2＝r， ∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－1

15、)2＝4. (2)若圓C上有兩點M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，則可設(shè)直線MN的方程為2x－y＋c＝0. ∵MN＝2，半徑r＝2， ∴圓心(－2,1)到直線MN的距離為＝1. 則＝1，∴c＝5±. ∴直線MN的方程為2x－y＋5±＝0. [思想與方法] 1．直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方程的結(jié)合，解題時要抓住圓的幾何性質(zhì)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用． 2．計算直線被圓截得的弦長的常用方法： (1)幾何方法：運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算． (2)代數(shù)方法：弦長公式AB＝|xA－xB|＝. [易錯與防范] 1．求圓的

16、弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為“－1”列方程來簡化運算． 2．過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解． 課時分層訓練(四十六) A組　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是________． 相交　[由題意知點在圓外，則a2＋b2>1，圓心到直線的距離d＝<1，故直線與圓相交．] 2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：

17、x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝________. 【導學號：62172252】 9　[圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m<25)．從而C1C2＝＝5. 兩圓外切得C1C2＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.] 3．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是________． －4　[由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0， 得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a， 所以圓心坐標為(－1,1)，半徑r＝， 圓心

18、到直線x＋y＋2＝0的距離為＝， 所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.] 4．過點P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，則△OAB外接圓的方程是________． (x－2)2＋(y－1)2＝5　[由題意知，O，A，B，P四點共圓，所以所求圓的圓心為線段OP的中點(2,1)． 又圓的半徑r＝OP＝， 所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.] 5．已知圓C：(x－1)2＋y2＝25，則過點P(2，－1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是________. 【導學號：62172253】 10　[易知最長弦為圓

19、的直徑10.又最短弦所在直線與最長弦垂直，且PC＝，∴最短弦的長為2＝2＝2.故所求四邊形的面積S＝×10×2＝10]． 6．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為________________． x＋y－3＝0　[∵圓C1的圓心C1(3,0)，圓C2的圓心C2(0,3)，∴直線C1C2的方程為x＋y－3＝0， AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為x＋y－3＝0.] 7．若直線3x－4y＋5＝0與圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點，且∠AOB＝120°(O為坐標原點)，則r＝__________.

20、 2　[如圖，過點O作OD⊥AB于點D，則 OD＝＝1. ∵∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴∠OBD＝30°， ∴OB＝2OD＝2，即r＝2.] 8．(2017·南通模擬)過點(1，－2)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為________. 【導學號：62172254】 y＝－　[圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1， 以＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1， 將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－.] 9．(2017·南京模擬)直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位

21、圓C：x2＋y2＝1分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝__________. 2　[依題意，不妨設(shè)直線y＝x＋a與單位圓相交于A，B兩點，則∠AOB＝90°. 如圖，此時a＝1，b＝－1，滿足題意，所以a2＋b2＝2.] 10．(2017·徐州聯(lián)考)已知圓C：(x＋2)2＋y2＝4，直線l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直線l與圓C恒有公共點，則實數(shù)k的最小值是__________． －　[圓心C(－2,0)，半徑r＝2. 又圓C與直線l恒有公共點． 所以圓心C(－2,0)到直線l的距離d≤r. 因此≤2，解得－≤k≤. 所以實數(shù)k的最小值為－.] 二、解答題 11

22、．(2017·徐州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知圓M經(jīng)過點A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)． (1)求圓M的方程； (2)若直線l：mx－2y－(2m＋1)＝0與圓M交于點P，Q，且·＝0，求實數(shù)m的值． [解]　(1)法一：設(shè)圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 所以圓M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0. 法二：線段AC的垂直平分線的方程為y＝x，線段AB的垂直平分線的方程為x＝2，由解得M(2,2)． 所以圓M的半徑r＝AM＝， 所以圓M的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5. (2)因為·＝0，所以∠PMQ＝. 又由(1)得MP＝MQ

23、＝r＝， 所以點M到直線l的距離d＝. 由點到直線的距離公式可知，＝，解得m＝±. 12．已知圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，點A(3,5)． (1)求過點A的圓的切線方程； (2)O點是坐標原點，連結(jié)OA，OC，求△AOC的面積S. [解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0， 得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓心C(2,3)．當斜率存在時，設(shè)過點A的圓的切線方程為y－5＝k(x－3)， 即kx－y＋5－3k＝0. 由d＝＝1，得k＝. 又斜率不存在時直線x＝3也與圓相切， 故所求切線方程為x＝3或3x－4y＋11＝0. (2)直線OA的方程為y

24、＝x，即5x－3y＝0， 又點C到OA的距離d＝＝. 又OA＝＝. 所以S＝OAd＝. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·南通調(diào)研一)在平面直角坐標系xOy中，點A(1,0)，B(4,0)．若直線x－y＋m＝0上存在點P，使得PA＝PB，則實數(shù)m的取值范圍是________． [－2，2]　[法一：設(shè)滿足條件PB＝2PA的P點坐標為(x，y)，則(x－4)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，化簡得x2＋y2＝4.要使直線x－y＋m＝0有交點，則≤2.即－2≤m≤2. 法二：設(shè)直線x－y＋m＝0有一點(x，x＋m)滿足PB＝2PA，則 (x－4)2＋(x＋m

25、)2＝4(x－1)2＋4(x＋m)2. 整理得 2x2＋2mx＋m2－4＝0(*) 方程(*)有解，則△＝4m2－8(m2－4)≥0， 解之得：－2≤m≤2.] 2．(2017·泰州模擬)已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為________． 9　[圓C1的標準方程為(x＋2a)2＋y2＝4，其圓心為(－2a,0)，半徑為2；圓C2的標準方程為x2＋(y－b)2＝1，其圓心為(0，b)，半徑為1.因為圓C1和圓C2只有一條公切線，所以圓C1與圓C2相內(nèi)切，所以＝2－1，得4a2

26、＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時等號成立．所以＋的最小值為9.] 3．如圖46-2，已知以點A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P. 圖46-2 (1)求圓A的方程； (2)當MN＝2時， 求直線l的方程． [解]　(1)設(shè)圓A的半徑為R. 由于圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝＝2. ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)①當直線l與x軸垂直時，易知x＝－2

27、符合題意； ②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)． 即kx－y＋2k＝0. 連結(jié)AQ，則AQ⊥MN ∵MN＝2，∴AQ＝＝1， 則由AQ＝＝1，得k＝， ∴直線l：3x－4y＋6＝0. 故直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. 4．(2013·江蘇高考)如圖46-3，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上． 圖46-3 (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍． [解]　(1)由題設(shè)，圓心

28、C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3. 由題意，得＝1，解得k＝0或k＝－， 故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因為圓心在直線y＝2x－4上， 所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 設(shè)點M(x，y)，因為MA＝2MO， 所以＝2，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上． 由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點， 則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3. 整理，得－8≤5a2－12a≤0. 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤. 所以點C的橫坐標a的取值范圍為.