(課標專用 5年高考3年模擬A版)高考數(shù)學 專題十五 不等式選講試題 文-人教版高三數(shù)學試題
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1、專題十五 不等式選講 探考情 悟真題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯(lián)考點 含絕對值 不等式 的解法 ①理解絕對值的幾何意義并了解等號成立的條件;②會求解絕對值不等式的最值和解集 2018課標全國Ⅰ,23,10分 解絕對值不等式 不等式恒成立 ★★★ 2017課標全國Ⅰ,23,10分 解絕對值不等式 不等式恒成立 2019課標全國Ⅱ,23,10分 解絕對值不等式 不等式恒成立 不等式的證明 會證明簡單的絕對值不等式 2016課標全國Ⅱ,24,10分 不等式的證明 含絕對值不等式
2、的求解 ★★☆ 2017課標全國Ⅱ,23,10分 不等式的證明 均值不等式 2019課標全國Ⅰ,23,10分 不等式的證明 均值不等式 2019課標全國Ⅲ,23,10分 不等式的證明 均值不等式 分析解讀 不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一,主要考查絕對值的幾何意義,絕對值不等式的解法及不等式證明的基本方法,本專題內(nèi)容在高考中分值為10分,屬于中檔題. 破考點 練考向 【考點集訓】 考點一 含絕對值不等式的解法 1.(2018山西高考考前適應性測試,23)已知函數(shù)f(x)=|x-1|-a(a∈R). (1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值; (2)若
3、g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值為3,求a的值. 答案 (1)因為f(x)min=f(1)=-a,所以-a≥3,解得a≤-3,所以amax=-3. (2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|. 當a=-1時,g(x)=3|x-1|≥0,0≠3,所以a=-1不符合題意. 當a<-1時,g(x)=(x-1)+2(x+a),x≥-a,(x-1)-2(x+a),1≤x<-a,-(x-1)-2(x+a),x<1,即g(x)=3x-1+2a,x≥-a,-x-1-2a,1≤x<-a,-3x+1-2a,x<1, 所以g(x)min=g(-a)=-a-1,由-a-
4、1=3,解得a=-4.
當a>-1時,同理可知g(x)min=g(-a)=a+1,由a+1=3,解得a=2.
綜上,a=2或-4.
2.(2019河南駐馬店期末,23)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).
(1)當a=-1時,求不等式f(x)≥2解集;
(2)若f(x)≤2x的解集包含12,34,求a的取值范圍.
答案 (1)當a=-1時,不等式f(x)≥2可化為|x-1|+|2x-1|≥2,
當x≤12時,不等式為1-x+1-2x≥2,解得x≤0;
當12 5、3.
綜上,原不等式的解集為(-∞,0]∪43,+∞.
(2)因為f(x)≤2x的解集包含12,34,
所以不等式可化為|x+a|+2x-1≤2x,即|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.
由題意知-a+1≥34,-a-1≤12,解得-32≤a≤14.
所以實數(shù)a的取值范圍是-32,14.
考點二 不等式的證明
1.(2018湖南師范大學附屬中學月考(五),23)
(1)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+1|,解不等式f(x)≥x2-2x;
(2)已知x,y,z均為正數(shù),求證:xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z.
答案 (1)f(x)=|x-2|-|x+1|= 6、3(x≤-1),-2x+1(-1 7、.
證法二:要證xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z,
即證x2+y2+z2≥yz+xz+xy,
即證(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0,
上式恒成立,所以原不等式得證.
2.(2019湖南衡陽第八中學第三次月考,23)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|.
(1)解不等式f(x)≤3;
(2)記函數(shù)g(x)=f(x)+|x+1|的值域為M,若t∈M,證明:t2+1≥3t+3t.
答案 (1)依題意,得f(x)=-3x,x≤-1,2-x,-1 8、,
解得-1≤x≤1.
∴不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤1}.
(2)證明:g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-2x-2|=3,當且僅當(2x-1)(2x+2)≤0時,取等號,
∴M=[3,+∞).
t2-3t+1-3t=t3-3t2+t-3t=(t-3)(t2+1)t.
∵t∈M,∴t≥3,t-3≥0,t2+1>0,
∴(t-3)(t2+1)t≥0.
∴t2+1≥3t+3t.
煉技法 提能力
【方法集訓】
方法1 含絕對值不等式的解法
1.(2018河南南陽第一中學第一次月考,2)不等式|x-5|+|x+3|≥1的解 9、集是( )
A.[-5,7] B.[-4,6]
C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,+∞)
答案 D
2.(2018豫南九校5月聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-3|.
(1)若關于x的不等式f(x)f(x)min.f(x)=2x-2,x>3,4,-1≤x≤3,2-2x,x<-1,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,觀察函數(shù)的圖象,可得實數(shù)a的取值范圍是(4,+∞).
(2)由題意可得x=72是方程|x+1|+|x-3|=a 10、的解,據(jù)此有a=72+1+72-3=5,解絕對值不等式|x+1|+|x-3|<5可得-32 11、2-2|+|x2+2|成立,求a的取值范圍.
答案 (1)當a=1時,f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x≤-2,3,-2 12、分)
g(x)=|x-2|+|x+2|≥|x-2-x-2|=4,(9分)
由題可知[|a+2|,+∞)?[4,+∞),所以|a+2|≥4,
故a∈(-∞,-6]∪[2,+∞).(10分)
方法3 不等式的證明與應用的解題方法
1.若|x-s| 13、3b+14c=m,求證:2a+3b+4c≥3.
答案 本題主要考查絕對值不等式,用絕對值不等式證明不等式.
(1)f(x)=1-2x,x<-1,3,-1≤x≤2,2x-1,x>2.(2分)
①當x<-1時,由f(x)≥4,得1-2x≥4,所以x≤-32;
②當-1≤x≤2時,3≥4不成立,x∈?;
③當x>2時,由f(x)≥4,得2x-1≥4,所以x≥52.
所以不等式f(x)≥4的解集為-∞,-32∪52,+∞.(5分)
(2)證明:由(1)知,f(x)的最小值m=3,
所以12a+13b+14c=3,(6分)
所以3(2a+3b+4c)=(2a+3b+4c)12a+13b 14、+14c
=1+1+1+2a3b+3b2a+2a4c+4c2a+4c3b+3b4c
≥3+22a3b·3b2a+22a4c·4c2a+24c3b·3b4c=9,(9分)
當且僅當2a=3b=4c=1,即a=12,b=13,c=14時,等號成立.
所以2a+3b+4c≥3.(10分)
【五年高考】
A組 統(tǒng)一命題·課標卷題組
考點一 含絕對值不等式的解法
1.(2019課標全國Ⅱ,23,10分)[選修4—5:不等式選講]
已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)當a=1時,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)時,f(x)<0,求a的取 15、值范圍.
答案 本題以絕對值函數(shù)為背景,主要考查絕對值不等式的解法,通過去絕對值號的過程著重考查學生的分類討論思想,借助不等式恒成立問題考查學生的化歸與轉化思想,體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
(1)當a=1時,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).
當x<1時,f(x)=-2(x-1)2<0;
當x≥1時,f(x)≥0.
所以,不等式f(x)<0的解集為(-∞,1).
(2)因為f(a)=0,所以a≥1.
當a≥1,x∈(-∞,1)時,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0,
所以,a的取值范圍是[1,+∞).
2.(2018課標全國Ⅲ 16、,23,10分)[選修4—5:不等式選講]
設函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)畫出y=f(x)的圖象;
(2)當x∈[0,+∞)時,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
答案 (1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1.
y=f(x)的圖象如圖所示.
(2)由(1)知,y=f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當a≥3且b≥2時,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值為5.
3.(2018課標全國Ⅰ,23,10分)[選修4—5:不等式選講]
已知f(x)=|x+1 17、|-|ax-1|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.
答案 (1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=-2,x≤-1,2x,-1 18、018課標全國Ⅱ,23,10分)[選修4—5:不等式選講]
設函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范圍.
答案 (1)當a=1時,f(x)=2x+4,x≤-1,2,-1 19、
5.(2017課標全國Ⅰ,23,10分)[選修4—5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.
答案 (1)解法一:當a=1時,不等式f(x)≥g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①
當x<-1時,①式化為x2-3x-4≤0,無解;
當-1≤x≤1時,①式化為x2-x-2≤0,
從而-1≤x≤1;
當x>1時,①式化為x2+x-4≤0,
從而1 20、x)的解集為x-1≤x≤-1+172.
解法二:g(x)=2x,x≥1,2,-1≤x<1,-2x,x<-1,
當a=1時,f(x)=-x2+x+4,在同一平面直角坐標系中,畫出g(x)與f(x)的圖象如圖,易求得A(-1,2),B-1+172,-1+17,所以f(x)≥g(x)的解集為x|-1≤x≤-1+172.
(2)解法一:當x∈[-1,1]時,g(x)=2.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等價于當x∈[-1,1]時f(x)≥2.
又f(x)在[-1,1]的最小值必為f(-1)與f(1)之一,
所以f(-1)≥2且f(1)≥2,
得-1≤a≤1.
所以a的 21、取值范圍為[-1,1].
解法二:當x∈[-1,1]時,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等價于當x∈[-1,1]時f(x)≥2,即-x2+ax+4≥2.
當x=0時,-x2+ax+4≥2成立.
當x∈(0,1]時,-x2+ax+4≥2化為a≥x-2x.
而y=x-2x在(0,1]上單調(diào)遞增,所以最大值為-1,
所以a≥-1.
當x∈[-1,0)時,-x2+ax+4≥2化為a≤x-2x.
而y=x-2x在[-1,0)上單調(diào)遞增,所以最小值為1,
所以a≤1.
綜上,a的取值范圍為[-1,1].
6.(2017課標全國Ⅲ,23,10分)已知函數(shù)f(x) 22、=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.
答案 (1)f(x)=-3,x<-1,2x-1,-1≤x≤2,3,x>2.
當x<-1時,f(x)≥1無解;
當-1≤x≤2時,由f(x)≥1得,2x-1≥1,
所以1≤x≤2;
當x>2時,由f(x)≥1得x>2.
所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而
|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-|x|-322+54≤54,
且當x 23、=32時,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.
故m的取值范圍為-∞,54.
考點二 不等式的證明
1.(2019課標全國Ⅰ,23,10分)[選修4—5:不等式選講]
已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1.證明:
(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
證明 (1)因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.
所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2.
(2)因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故 24、有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3
=3(a+b)(b+c)(a+c)
≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)=24.
所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
2.(2019課標全國Ⅲ,23,10分)[選修4—5:不等式選講]
設x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,證明:a≤-3或a≥-1.
答案 本題主要考查不等式的證明以及基本不等式的應用,考查學生推理論證的能力,考查了邏輯推理的核心素養(yǎng).
25、
(1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],
故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,
當且僅當x=53,y=-13,z=-13時等號成立.
所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為43.
(2)證明:由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2
=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]
≤3[(x-2)2+ 26、(y-1)2+(z-a)2],
故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23,當且僅當x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23時等號成立.
因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值為(2+a)23.
由題設知(2+a)23≥13,解得a≤-3或a≥-1.
3.(2017課標全國Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
證明 (1)(a+b)(a5+b5)
=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2 27、≥4.
(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24·(a+b)
=2+3(a+b)34,
所以(a+b)3≤8,
因此a+b≤2.
4.(2016課標全國Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=x-12+x+12,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.
答案 (1)f(x)=-2x,x≤-12,1,-12 28、x≥12時,由f(x)<2得2x<2,
解得x<1,(5分)
所以f(x)<2的解集M={x|-1 29、+|y-2|<2×a3+a3=a.
C組 教師專用題組
考點一 含絕對值不等式的解法
1.(2014江西,15,5分)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,則x+y的取值范圍為 .?
答案 [0,2]
2.(2016課標全國Ⅲ,24,10分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)當a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)設函數(shù)g(x)=|2x-1|.當x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.
答案 (1)當a=2時,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f 30、(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.(5分)
(2)當x∈R時,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
當x=12時等號成立,
所以當x∈R時,f(x)+g(x)≥3等價于|1-a|+a≥3.①(7分)
當a≤1時,①等價于1-a+a≥3,無解.
當a>1時,①等價于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2,+∞).(10分)
3.(2016課標全國Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)畫出y=f(x)的圖象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
答案 31、(1)f(x)=x-4,x≤-1,3x-2,-1 32、為x|-1 33、當x≥1時,不等式化為-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為x23 34、>2.
所以a的取值范圍為(2,+∞).(10分)
5.(2013課標Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當a=-2時,求不等式f(x) 35、以原不等式的解集是{x|0 36、5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
答案 (1)當a=-3時,
f(x)=-2x+5, x≤2,1,2 37、x-2|≥|x+a|
?4-x-(2-x)≥|x+a|
?-2-a≤x≤2-a.
由條件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故滿足條件的a的取值范圍為[-3,0].
7.(2011課標,24,10分)[河南未選]選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值.
答案 (1)當a=1時,f(x)≥3x+2可化為|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故當a=1時,不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤-1} 38、.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
此不等式可化為x≥a,x-a+3x≤0或x0,解得x≤-a2,即不等式f(x)≤0的解集為x|x≤-a2.
∵不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},
∴-a2=-1,故a=2.
8.(2010課標全國,24,10分)選修4—5:不等式選講
設函數(shù)f(x)=|2x-4|+1.
(1)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象;
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范圍.
答案 (1)由于f(x)=-2x+5,x<2,2x-3,x≥2,
則函 39、數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.
(2)由函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象可知,當且僅當a≥12或a<-2時,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象有交點.故不等式f(x)≤ax的解集非空時,a的取值范圍為(-∞,-2)∪12,+∞.
考點二 不等式的證明
1.(2015課標Ⅱ,24,10分)設a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:
(1)若ab>cd,則a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.
證明 證法一:(1)因為(a+b)2=a+b+2ab,
(c+d)2=c+d+2cd,
由題設a+b=c+d,ab>cd得(a+b) 40、2>(c+d)2.
因此a+b>c+d.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因為a+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得a+b>c+d.
(ii)若a+b>c+d,則(a+b)2>(c+d)2,
即a+b+2ab>c+d+2cd.
因為a+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
綜上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.
證法二:(1)假設a+b≤c+d,則有(a+b)2≤ 41、(c+d)2.
由a+b=c+d得ab≤cd,
從而ab≤cd,與已知ab>cd矛盾,
故a+b>c+d.
(2)(充分性)假設|a-b|≥|c-d|,則有(a+b)2-4ab≥(c+d)2-4cd,
由此得4ab≤4cd,2ab≤2cd,(a+b)2≤(c+d)2,
于是a+b≤c+d,這與a+b>c+d矛盾,
從而|a-b|<|c-d|,充分性得證.
(必要性)假設a+b≤c+d,則有(a+b)2≤(c+d)2,即ab≤cd.
又a+b=c+d,故(a-b)2≥(c-d)2,即|a-b|≥|c-d|,
與|a-b|<|c-d|矛盾.
因此a+b>c+d.必要性得證.
42、
綜上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.
2.(2014課標Ⅱ,24,10分)設函數(shù)f(x)=x+1a+|x-a|(a>0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
答案 (1)證明:由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|≥x+1a-(x-a)=1a+a≥2,所以f(x)≥2.
(2)f(3)=3+1a+|3-a|.
當a>3時,f(3)=a+1a,由f(3)<5得3
43、寧,24,10分)設函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.記f(x)≤1的解集為M,g(x)≤4的解集為N.
(1)求M;
(2)當x∈M∩N時,證明:x2f(x)+x[f(x)]2≤14.
答案 (1)f(x)=3x-3,x∈[1,+∞),1-x,x∈(-∞,1).
當x≥1時,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43;
當x<1時,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集為M=x|0≤x≤43.
(2)證明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16x-142≤4,
解得-14≤x≤34.
因此N=x|-1 44、4≤x≤34,故M∩N=x|0≤x≤34.
當x∈M∩N時,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2
=xf(x)[x+f(x)]
=x·f(x)=x(1-x)=14-x-122≤14.
4.(2013課標Ⅱ,24,10分)選修4—5:不等式選講
設a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:
(1)ab+bc+ca≤13;
(2)a2b+b2c+c2a≥1.
證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3 45、(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.
(2)易證a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,
故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),
即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
所以a2b+b2c+c2a≥1.
【三年模擬】
時間:70分鐘 分值:100分
解答題(共100分)
1.(2019安徽合肥第二次教學質(zhì)量檢測,23)已知f(x)=|3x+2|.
(1)求f(x)≤1的解集;
(2)若f(x2)≥a|x|恒成立,求實數(shù)a的最大值.
答案 (1)由f(x)≤1得|3x+2|≤1,
即-1≤3x+2≤1,解得-1≤x≤ 46、-13,
所以f(x)≤1的解集為-1,-13.
(2)f(x2)≥a|x|恒成立,即3x2+2≥a|x|恒成立.
當x=0時,a∈R;
當x≠0時,a≤3x2+2|x|=3|x|+2|x|.
因為3|x|+2|x|≥26當且僅當3|x|=2|x|,即|x|=63時等號成立,
所以a≤26,即a的最大值是26.
2.(2019河北省級示范性高中4月聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-5|(a>0).
(1)當a=2時,解不等式f(x)≥5;
(2)當x∈[a,2a-2]時,不等式f(x)≤|x+4|恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
答案 (1)當a=2時,f(x) 47、=|x+2|+|2x-5|=
3-3x,x<-2,7-x,-2≤x≤52,3x-3,x>52.(2分)
由f(x)≥5,得x<-2,3-3x≥5或-2≤x≤52,7-x≥5或x>52,3x-3≥5,(4分)
解得x≤2或x≥83,所以不等式f(x)≥5的解集為x|x≤2或x≥83.(5分)
(2)因為f(x)≤|x+4|,所以|x+a|+|2x-5|≤|x+4|,
因為x∈[a,2a-2],所以2a-2>a,
所以a>2,所以x+a>0,x+4>0,得x+a+|2x-5|≤x+4,
不等式恒成立即|2x-5|≤4-a在x∈[a,2a-2]上恒成立,(7分)
不等式恒成立必須a≤ 48、4,a-4≤2x-5≤4-a,
所以a+1≤2x≤9-a.(8分)
所以2a≥a+1,4a-4≤9-a,解得1≤a≤135,(9分)
結合2
49、|=-2x+2,x≤0,2,0 50、f(x)=|x+m|+|2x-n|,m,n∈(0,+∞).
(1)若m=2,n=3,求不等式f(x)>5的解集;
(2)若f(x)≥1恒成立,求2m+n的最小值.
答案 (1)因為m=2,n=3,所以f(x)=|x+2|+|2x-3|.
當x≤-2時,由-x-2-2x+3>5,得x<-43,∴x≤-2.
當-2 51、m+n2,
∴m+n2≥1,即2m+n≥2,則2m+n的最小值為2.
5.(2020屆皖江名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x+4|.
(1)求不等式f(x)>6的解集;
(2)若f(x)-|m-1|≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
答案 (1)依題意,得|x-1|+|2x+4|>6.
當x<-2時,原式化為1-x-2x-4>6,解得x<-3,故x<-3;
當-2≤x≤1時,原式化為1-x+2x+4>6,解得x>1,故無解;
當x>1時,原式化為x-1+2x+4>6,解得x>1,故x>1.
綜上所述,不等式f(x)>6的解集為(-∞,-3)∪(1,+ 52、∞).(5分)
(2)因為f(x)=|x-1|+|2x+4|=|x-1|+|x+2|+|x+2|≥|x-1|+|x+2|≥3,當且僅當x=-2時,等號成立.
故f(x)-|m-1|≥0恒成立等價于|m-1|≤3,即-3≤m-1≤3,解得-2≤m≤4,
故實數(shù)m的取值范圍為[-2,4].(10分)
6.(2020屆福建龍海第二中學期初考試,23)已知函數(shù)f(x)=|a-3x|-|2+x|.
(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;
(2)若存在實數(shù)a,使得不等式f(x)≥1-a+2|2+x|成立,求實數(shù)a的取值范圍.
答案 (1)當a=2時,f(x)=|3x-2|-|x+2|,由f( 53、x)≤3得x≥23,3x-2-x-2≤3,或-2 54、,即a>1時,a∈R,∴a>1.
∴實數(shù)a的取值范圍是-52,+∞.
7.(2020屆廣西桂林十八中模擬,23)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+3|.
(1)解不等式f(x)≥6;
(2)記f(x)的最小值是m,正實數(shù)a,b滿足2ab+a+2b=m,求a+2b的最小值.
答案 (1)當x≤-32時,f(x)=-2-4x,由f(x)≥6解得x≤-2,所以x≤-2;
當-32 55、|2x-1|+|2x+3|≥|(2x-1)-(2x+3)|=4,
∴f(x)的最小值m=4.
∵a>0,b>0,∴a·2b≤a+2b22,由2ab+a+2b=4可得4-(a+2b)≤a+2b22(當且僅當a=2b時取等號),
解得a+2b≥25-2(a+2b≤-2-25舍去),
∴a+2b的最小值為25-2.
8.(2020屆河南高三調(diào)研,23)已知函數(shù)f(x)=|x-3|-|x+1|,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當logab∈M時,|2a-2b|<|2a+b-1-2|.
答案 (1)當x≥3時,f(x)=-4<2成立,∴x≥3;
當-1 56、時,f(x)=3-x-x-1=2-2x<2,∴0 57、a>0,
故(4b-1-1)(4-4a)<0,所以4a+4b-4a+b-1-4<0成立,
即|2a-2b|<|2a+b-1-2|成立.
9.(2018湖北重點高中聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|,a∈R.
(1)若f(1)+f(-1)>1,求a的取值范圍;
(2)若a>0,?x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤y+54+|y-a|恒成立,求a的取值范圍.
答案 (1)f(1)+f(-1)>1?|1-a|-|1+a|>1
?a<-1,(1-a)+(1+a)>1或-1≤a≤1,(1-a)-(1+a)>1
或a>1,(a-1)-(1+a)>1?a<-1或-1≤a<-1 58、2或a∈??a<-12.
所以a∈-∞,-12.
(2)當y∈(-∞,a](a>0)時,記g(y)=y+54+|y-a|,
則g(y)=y+54+|a-y|≥54+a=54+a-54≤y≤a時取“=”,即g(y)的最小值為54+a,
當x∈(-∞,a]時,f(x)=x(a-x)=-x-a22+a24,
∴x=a2時,f(x)取得最大值,為a24,故原問題轉化為a24≤54+a?a2-4a-5≤0?-1≤a≤5,
又a>0,∴a∈(0,5].
10.(2018安徽合肥第二次教學質(zhì)量檢測,23)已知函數(shù)f(x)=|3x+m|.
(1)若不等式f(x)-m≤9的解集為[-1,3],求 59、實數(shù)m的值;
(2)若m>0,函數(shù)g(x)=f(x)-2|x-1|的圖象與x軸圍成的三角形的面積大于60,求m的取值范圍.
答案 (1)由題意得9+m≥0①,|3x+m|≤9+m②.
解①得m≥-9.
②可化為-9-m≤3x+m≤9+m,
解得-9-2m3≤x≤3.
∵不等式f(x)-m≤9的解集為[-1,3],
∴-9-2m3=-1,解得m=-3,滿足m≥-9,
∴m=-3.
(2)依題意得g(x)=|3x+m|-2|x-1|.
∵m>0,
∴g(x)=-x-m-2x≤-m3,5x+m-2-m3
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