《（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學 專題十 概率、統(tǒng)計及統(tǒng)計案例 1 概率試題 文-人教版高三數(shù)學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學 專題十 概率、統(tǒng)計及統(tǒng)計案例 1 概率試題 文-人教版高三數(shù)學試題（29頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題十　概率、統(tǒng)計及統(tǒng)計案例 【真題探秘】 §10.1　概率 探考情 悟真題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯(lián)考點 隨機事件 的概率 會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件及事件發(fā)生的概率 2019課標全國Ⅱ,14,5分 頻率與概率的關系 數(shù)據分析 ★★☆ 2017課標全國Ⅲ,18,12分 頻率與概率的關系 數(shù)據分析 2016課標全國Ⅱ,18,12分 頻率與概率的關系 平均值 古典 概型 理解古典概型及其概率計算公式 2019課標全國Ⅲ,3,5分 2018課標全國Ⅱ,5,5分

2、 2019課標全國Ⅱ,4,5分 古典概型概率的計算 — ★★★ 幾何 概型 了解幾何概型的意義,會解與幾何概型相交匯的線性規(guī)劃、圓及其他圖形的概率 2017課標全國Ⅰ,4,5分 幾何概型概率的計算 用面積之比求概率 ★★★ 2016課標全國Ⅱ,8,5分 幾何概型概率的計算 — 分析解讀 本節(jié)內容是高考重點考查的內容之一,最近幾年有以下特點:1.古典概型主要考查等可能事件發(fā)生的概率,也常與對立事件、互斥事件的概率及統(tǒng)計知識綜合起來考查;2.幾何概型試題有所體現(xiàn),以選擇題、填空題為主.本節(jié)內容在高考中分值約為5分,屬容易題. 破考點 練考向 【考點集訓】

3、 考點一　隨機事件的概率 1.(2018湖南郴州第二次教學質量監(jiān)測,3)甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左邊的概率是(　　) A.1 B.16 C.12 D.13 答案　D　 2.(2019江西南昌外國語學校高考適應性測試,3)有標號分別為1、2、3的藍色卡片和標號分別為1、2的綠色卡片,從這五張卡片中任取兩張,這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率是(　　) A.12 B.15 C.25 D.310 答案　D　 考點二　古典概型 1.(2018湖南(長郡中學、衡陽八中)、江西(南昌二中)等十四校第二次聯(lián)考,9)已知某地春天下雨的概率為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估

4、計未來三天恰有一天下雨的概率:先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三個隨機數(shù)作為一組,代表未來三天是否下雨的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù):907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.據此估計,該地未來三天恰有一天下雨的概率為(　　) A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35 答案　C　 2.(2018福建泉州質量檢查(3月),4)用3種不同顏色給甲、乙兩個小球隨機涂色,每個小球只涂

5、一種顏色,則兩個小球顏色不同的概率為(　　) A.13 B.12 C.23 D.58 答案　C　 3.(2019湖南六校(長沙一中、常德一中等)聯(lián)考,3)某店主為裝飾店面打算做一個兩色燈牌,從黃、白、藍、紅4種顏色中任意挑選2種顏色,則所選顏色中含有白色的概率是(　　) A.23 B.12 C.14 D.16 答案　B　 考點三　幾何概型 1.(2018安徽安慶二模,4)中國人民銀行發(fā)行了2018中國戊戌(狗)年金銀紀念幣一套,如圖所示是一枚3克圓形金質紀念幣,直徑為18mm,小米同學為了測算圖中裝飾狗的面積,他用1枚質地均勻的針向紀念幣上投擲500次,其中針尖恰有150次落

6、在裝飾狗的身體上,據此可估計裝飾狗的面積大約是(　　) A.486π5mm2 B.243π10mm2C.243π5mm2 D.243π20mm2 答案　B　 2.(2019湖南株洲二模,3)如圖,在邊長為1的正方形內有不規(guī)則圖形Ω,向正方形內隨機撒10000粒豆子,若落在圖形Ω內和圖形Ω外的豆子粒數(shù)分別為3335,6665,則圖形Ω面積的估計值為(　　) A.13 B.12 C.14 D.16 答案　A　 3.(2018山東煙臺高考診斷性測試,4)七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一,它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的,如圖是一個用七巧板拼成的

7、正方形,若在此正方形中任取一點,則此點取自陰影部分的概率是(　　) A.14 B.18 C.38 D.316 答案　B　 煉技法 提能力 【方法集訓】 方法1　古典概型概率的求法 1.(2018黑龍江哈三中12月模擬,6)一次數(shù)學考試中,4位同學各自在第22題和第23題中任選一題作答,則第22題和第23題都有同學選答的概率為(　　) A.516 B.38 C.78 D.1516 答案　C　 2.(2019湖南懷化3月第一次模擬,5)《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說,書中有這樣一個情節(jié):一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球,燈球有兩種,一種是大燈下綴2個小燈,另

8、一種是大燈下綴4個小燈,大燈共360個,小燈共1200個.若在這座樓閣的燈球中,隨機選取一個燈球,則這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為(　　) A.13 B.23 C.14 D.34 答案　B　 3.(2019河南南陽第一中學第十四次考試,13)從數(shù)字1,2,3中任取兩個不同的數(shù)字構成一個兩位數(shù),則這個兩位數(shù)大于30的概率為　　　　.? 答案　13 方法2　幾何概型概率的求法 1.(2019安徽合肥第二次教學質量檢測,6)若在x2+y2≤1所圍區(qū)域內隨機取一點,則該點落在|x|+|y|≤1所圍區(qū)域內的概率是(　　) A.1π B.2π C.12π D.1-1π 答案　B　

9、 2.(2018湖南郴州第二次教學質量檢測,3)如圖是一邊長為8的正方形苗圃圖案,中間黑色大圓與正方形的內切圓共圓心,圓與圓之間是相切的,且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍.若在正方形圖案上隨機取一點,則該點取自黑色區(qū)域的概率為(　　) A.π8 B.π16 C.1-π8 D.1-π16 答案　C　 【五年高考】 A組　統(tǒng)一命題·課標卷題組 考點一　隨機事件的概率 1.(2019課標全國Ⅱ,14,5分)我國高鐵發(fā)展迅速,技術先進.經統(tǒng)計,在經停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經停該站

10、高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為　　　　.? 答案　0.98 2.(2017課標全國Ⅲ,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據,得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,

11、30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率; (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率. 答案　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25, 由表格數(shù)據知,最高氣溫低于25的頻率為2+16+3690=0.6, 所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當這種酸奶一天的

12、進貨量為450瓶時, 若最高氣溫不低于25,則Y=6×450-4×450=900; 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25), 則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300; 若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100. 所以,Y的所有可能值為900,300,-100. Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20, 由表格數(shù)據知,最高氣溫不低于20的頻率為 36+25+7+490=0.8, 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 3.(2016課標全國Ⅱ,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,

13、續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下: 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況,得到如下統(tǒng)計表: 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值; (2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值; (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.

14、答案　(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)小于2. 由所給數(shù)據知,一年內出險次數(shù)小于2的頻率為60+50200=0.55, 故P(A)的估計值為0.55.(3分) (2)事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1且小于4. 由所給數(shù)據知,一年內出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200=0.3, 故P(B)的估計值為0.3.(6分) (3)由所給數(shù)據得 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 （10分) 調查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30+a×

15、0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a. 因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.(12分) 考點二　古典概型 1.(2019課標全國Ⅱ,4,5分)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為(　　) A.23 B.35 C.25 D.15 答案　B　 2.(2019課標全國Ⅲ,3,5分)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列,則兩位女同學相鄰的概率是(　　) A.16 B.14 C.13 D.12 答案　D　 3.(2018課標全國

16、Ⅱ,5,5分)從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務,則選中的2人都是女同學的概率為(　　) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 答案　D　 4.(2018課標全國Ⅲ,5,5分)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 答案　B　 5.(2017課標全國Ⅱ,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.110 B.15 C.31

17、0 D.25 答案　D　 6.(2016課標全國Ⅰ,3,5分)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A.13 B.12 C.23 D.56 答案　C　 考點三　幾何概型 1.(2016課標全國Ⅱ,8,5分)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A.710 B.58 C.38 D.310 答案　B　 2.(2017課標全國Ⅰ,4,5分)如圖,正方形ABCD內的圖形來

18、自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是(　　) A.14 B.π8 C.12 D.π4 答案　B　 B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點一　隨機事件的概率 1.(2019北京,17,12分)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:

19、 　　　　　支付金額 支付方式　　　　　 不大于2000元 大于2000元 僅使用A 27人 3人 僅使用B 24人 1人 (1)估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù); (2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,求該學生上個月支付金額大于2000元的概率; (3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結合(2)的結果,能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由. 答案　本題主要考查總體分布的估計,利用概率知識解決實際問題,旨在提高學生分析

20、問題、解決問題的能力.滲透了邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng),體現(xiàn)了應用與創(chuàng)新意識. (1)由題知,樣本中僅使用A的學生有27+3=30人,僅使用B的學生有24+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人. 估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為40100×1000=400. (2)記事件C為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于2000元”,則P(C)=125=0.04. (3)記事件E為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,該學生本月的支付金額大于2000元”. 假

21、設樣本僅使用B的學生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由(2)知,P(E)=0.04. 答案示例1:可以認為有變化. 理由如下: P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生,一旦發(fā)生,就有理由認為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認為有變化. 答案示例2:無法確定有沒有變化. 理由如下: 事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無法確定有沒有變化. 2.(2018北京,17,13分)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據,經分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類

22、電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值. (1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率; (2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率; (3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到

23、最大?(只需寫出結論) 答案　(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000, 第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50. 故所求概率為502000=0.025. (2)由題意知,樣本中獲得好評的電影部數(shù)是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372. 故所求概率估計為1-3722000=0.814. (3)增加第五類電影的好評率,減少第二類電影的好評率. 考點二　古典概型 1.(2017天津,3,5分)有5

24、支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A.45 B.35 C.25 D.15 答案　C　 2.(2016北京,6,5分)從甲、乙等5名學生中隨機選出2人,則甲被選中的概率為(　　) A.15 B.25 C.825 D.925 答案　B　 3.(2019江蘇,6,5分)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務,則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是　　　　.? 答案　710 4.(2018上海,9,5分)有編號互不相同的五個砝碼,其中5克、3克、1克砝碼各一個,

25、2克砝碼兩個,從中隨機選取三個,則這三個砝碼的總質量為9克的概率是　　　　(結果用最簡分數(shù)表示).? 答案　15 5.(2018江蘇,6,5分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學生去參加活動,則恰好選中2名女生的概率為　　　　.? 答案　310 6.(2019天津,15,13分)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況. (1)應從老、中、青員工中分別

26、抽取多少人? (2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪. (i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果; (ii)設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發(fā)生的概率. 　　員工 項目　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 繼續(xù)教育 × × ○ × ○ ○ 大病醫(yī)療 × × × ○ × × 住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租

27、金 × × ○ × × × 贍養(yǎng)老人 ○ ○ × × × ○ 答案　本題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng). (1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人. (2)(i)從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E}

28、,{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種. (ii)由表格知,符合題意的所有可能結果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種. 所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=1115. 7.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動. (1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人? (2)設抽出的7名同學分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨

29、機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作. ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果; ②設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率. 答案　(1)由已知,甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學,因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人,2人,2人. (2)①從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D

30、,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種. ②由(1),不妨設抽出的7名同學中,來自甲年級的是A,B,C,來自乙年級的是D,E,來自丙年級的是F,G,則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種. 所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=521. 考點三　幾何概型 1.(2015福建,8,5分)如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1,0),且點C與點D在函數(shù)f(x)=x+1,　　x≥0,-12x+1,x<0的圖象上.若在矩形ABCD內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于

31、(　　) A.16 B.14 C.38 D.12 答案　B　 2.(2017江蘇,7,5分)記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈D的概率是　　　　.? 答案　59 C組　教師專用題組 考點一　隨機事件的概率 1.(2015北京,17,13分)某超市隨機選取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買. 　　　　商品 顧客人數(shù)　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √

32、× 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估計顧客同時購買乙和丙的概率; (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率; (3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大? 答案　(1)從統(tǒng)計表可以看出,在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙,所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為2001000=0.2. (2)從統(tǒng)計表可以看出,在這1000位顧客中,有100位顧客同時購買了甲、丙、丁,另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品. 所以顧客在甲、

33、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為100+2001000=0.3. (3)與(1)同理,可得: 顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為2001000=0.2, 顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為100+200+3001000=0.6, 顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為1001000=0.1. 所以,如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買丙的可能性最大. 2.(2014陜西,19,12分)某保險公司利用簡單隨機抽樣方法,對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下: 賠付金額(元) 0 1000 2000 3000 4000 車輛數(shù)(輛) 500 13

34、0 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計賠付金額大于投保金額的概率; (2)在樣本車輛中,車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機的占20%,估計在已投保車輛中,新司機獲賠金額為4000元的概率. 答案　(1)設A表示事件“賠付金額為3000元”,B表示事件“賠付金額為4000元”,以頻率估計概率得 P(A)=1501000=0.15,P(B)=1201000=0.12. 由于投保金額為2800元,賠付金額大于投保金額對應的情形是3000元和4000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.2

35、7. (2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”,由已知,知樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000=100輛,而賠付金額為4000元的車輛中,車主為新司機的有0.2×120=24輛,所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為24100=0.24,由頻率估計概率得P(C)=0.24. 3.(2012課標全國,18,12分)某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花店一天購進17枝玫瑰花,求當天的利潤y(單位:元)關于當天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式; (2)花店記錄

36、了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 (i)假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù); (ii)若花店一天購進17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當天的利潤不少于75元的概率. 答案　(1)當日需求量n≥17時,利潤y=85. 當日需求量n<17時,利潤y=10n-85. 所以y關于n的函數(shù)解析式為 y=10n-85,　　n<17,85,n≥17(n∈N

37、). (2)(i)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元,16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元,所以這100天的日利潤的平均數(shù)為1100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4. (ii)利潤不低于75元當且僅當日需求量不少于16枝.故當天的利潤不少于75元的概率為P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7. 考點二　古典概型 1.(2016課標全國Ⅲ,5,5分)小敏打開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概

38、率是(　　) A.815 B.18 C.115 D.130 答案　C　 2.(2015課標Ⅰ,4,5分)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A.310 B.15 C.110 D.120 答案　C　 3.(2015廣東,7,5分)已知5件產品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產品中任取2件,恰有一件次品的概率為(　　) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 答案　B　 4.(2014江西,3,5分)擲兩顆均勻的骰子,則點數(shù)之和為5的概率等于(　　)

39、 A.118 B.19 C.16 D.112 答案　B　 5.(2014陜西,6,5分)從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為(　　) A.15 B.25 C.35 D.45 答案　B　 6.(2014湖北,5,5分)隨機擲兩枚質地均勻的骰子,它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點數(shù)之和大于5的概率記為p2,點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則(　　) A.p1

40、2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是(　　) A.12 B.13 C.14 D.16 答案　B　 8.(2011課標,6,5分)有3個興趣小組,甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組,每位同學參加各個小組的可能性相同,則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為(　　) A.13 B.12 C.23 D.34 答案　A　 9.(2016四川,13,5分)從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是　　　　.? 答案　16 10.(2014課標Ⅰ,13,5分)將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行,則2本數(shù)學書相鄰的概率為　　　　.? 答案　23

41、 11.(2014廣東,12,5分)從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母,則取到字母a的概率為　　　　.? 答案　25 12.(2014浙江,14,4分)在3張獎券中有一、二等獎各1張,另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張,兩人都中獎的概率是　.? 答案　13 13.(2013課標Ⅱ,13,5分)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù),其和為5的概率是　　　　.? 答案　0.2 14.(2017山東,16,12分)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游. (1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概

42、率; (2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率. 答案　(1)由題意知,從6個國家中任選兩個國家,其一切可能的結果組成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個. 所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個, 則所求事件的概率P=315=15. (2)從亞洲國家和歐洲

43、國家中各任選一個,其一切可能的結果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個. 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個, 則所求事件的概率P=29. 15.(2016山東,16,12分)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次,每次轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下: ①若xy≤3,則獎勵玩具一個; ②若xy≥8,則

44、獎勵水杯一個; ③其余情況獎勵飲料一瓶. 假設轉盤質地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準備參加此項活動. (1)求小亮獲得玩具的概率; (2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由. 答案　用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應. 因為S中元素的個數(shù)是4×4=16, 所以基本事件總數(shù)為16. (1)記“xy≤3”為事件A, 則事件A包含的基本事件數(shù)共5個, 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1). 所以P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為

45、516. (2)記“xy≥8”為事件B,“3516, 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 16.(2015天津,15,13分)設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽. (1)求應從這三個協(xié)會中分別抽

46、取的運動員的人數(shù); (2)將抽取的6名運動員進行編號,編號分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現(xiàn)從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽. (i)用所給編號列出所有可能的結果; (ii)設A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率. 答案　(1)應從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3,1,2. (2)(i)從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},

47、{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種. (ii)編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種. 因此,事件A發(fā)生的概率P(A)=915=35. 17.(2015湖南,16,12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.抽獎方法是:從裝有2個紅球A1,A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1,a2和2個白球b1,b2的乙箱中,各隨機摸出1個球.若摸出的2個球都是紅球則中

48、獎,否則不中獎. (1)用球的標號列出所有可能的摸出結果; (2)有人認為:兩個箱子中的紅球比白球多,所以中獎的概率大于不中獎的概率.你認為正確嗎?請說明理由. 答案　(1)所有可能的摸出結果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}. (2)不正確.理由如下: 由(1)知,所有可能的摸出結果共12種,其中摸出的2個球都是紅球的結果為{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2}, 共4種,所以中獎的概率為412=13,不中獎

49、的概率為1-13=23>13,故這種說法不正確. 18.(2015福建,18,12分)全網傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網民中影響力的綜合指標.根據相關報道提供的全網傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)的數(shù)據,對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)進行分組統(tǒng)計,結果如表所示. 組號 分組 頻數(shù) 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4 [7,8] 3 (1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調研,求至少有1家的融合指數(shù)在[7,8]內的概率; (2)根據

50、分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù). 答案　(1)解法一:融合指數(shù)在[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在[4,5)內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為B1,B2.從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10個. 其中,至少有1家融合指數(shù)在[7,8]內的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{

51、A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9個. 所以所求的概率P=910. 解法二:融合指數(shù)在[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在[4,5)內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為B1,B2.從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10個. 其中,沒有1家融合指數(shù)在[7,8]內的基本事件是:{B1,B2},共1個. 所以所求的概率P=1-1

52、10=910. (2)這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)平均數(shù)等于4.5×220+5.5×820+6.5×720+7.5×320=6.05. 19.(2015四川,17,12分)一輛小客車上有5個座位,其座位號為1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號從小到大的順序先后上車.乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號座位,這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位. (1)若乘客P1坐到了3號座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時共有4種坐

53、法.下表給出了其中兩種坐法,請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處); (2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號座位的概率. 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 答案　(1)余下兩種坐法如下表所示: 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規(guī)則就座,則所有可能的坐法可用下表表示為: 乘客 P1

54、 P2 P3 P4 P5 座位號 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是,所有可能的坐法共8種. 設“乘客P5坐到5號座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個數(shù)為4. 所以P(A)=48=12. 答:乘客P5坐到5號座位的概率是12. 20.(2015山東,16,12分)某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況,數(shù)據如下表:(單位:人) 參加書法

55、社團 未參加書法社團 參加演講社團 8 5 未參加演講社團 2 30 (1)從該班隨機選1名同學,求該同學至少參加上述一個社團的概率; (2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中,有5名男同學A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率. 答案　(1)由調查數(shù)據可知,既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人, 故至少參加上述一個社團的共有45-30=15人, 所以從該班隨機選1名同學,該同學至少參加上述一個社團的概率為P=1545=13. (2)從這5名男同學和3名女

56、同學中各隨機選1人,其一切可能的結果組成的基本事件有: {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2}, {A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1}, {A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3}, 共15個. 根據題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有 {A1,B2},{A1,B3},共2個. 因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=215. 21.(2014四川,16,12分)一個盒子里裝有三張卡片,分別標記有數(shù)字1,2,

57、3,這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率. 答案　(1)由題意知,(a,b,c)所有可能的結果為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1

58、,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種. 設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A, 則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種. 所以P(A)=327=19. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為19. (2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B, 則事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種. 所以P(B)=1-P(B)=1-327=89. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為89.

59、 22.(2014天津,15,13分)某校夏令營有3名男同學A,B,C和3名女同學X,Y,Z,其年級情況如下表: 一年級 二年級 三年級 男同學 A B C 女同學 X Y Z 現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同). (1)用表中字母列舉出所有可能的結果; (2)設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”,求事件M發(fā)生的概率. 答案　(1)從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X

60、},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種. (2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種. 因此,事件M發(fā)生的概率為615=25. 考點三　幾何概型 1.(2014湖南,5,5分)在區(qū)間[-2,3]上隨機選取一個數(shù)X,則X≤1的概率為(　　) A.45 B.35 C.25 D.15 答案　B　 2.(2014遼寧,6,5分)若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是(　　)

61、 A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 答案　B　 3.(2015山東,7,5分)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x,則事件“-1≤log12x+12≤1”發(fā)生的概率為(　　) A.34 B.23 C.13 D.14 答案　A　 4.(2015湖北,8,5分)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≤12”的概率,p2為事件“xy≤12”的概率,則(　　) A.p1

62、為(　　) A.34+12π B.12+1π C.14-12π D.12-1π 答案　C　 6.(2015重慶,15,5分)在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根的概率為　　　　.? 答案　23 7.(2014重慶,15,5分)某校早上8:00開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為　　　　.(用數(shù)字作答)? 答案　932 【三年模擬】 時間:60分鐘　分值:70分 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.(20

63、18重慶九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考,4)已知隨機事件A,B發(fā)生的概率滿足條件P(A∪B)=34,某人猜測事件A∩B發(fā)生,則此人猜測正確的概率為(　　) A.1 B.12 C.14 D.0 答案　C　 2.(2019河北石家莊3月教學質量檢測,9)袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球,分別寫有“和”“諧”“校”“園”四個字,有放回地從中任意摸出一個小球,直到“和”“諧”兩個字都被摸到就停止摸球,用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù),分別用1,2,3,4代表“和”“諧”“?！薄皥@”這四個字,以每三個隨機數(shù)為一組,表示摸球三次的結果,經隨機模擬產生

64、了以下18組隨機數(shù): 343　432　341　342　234　142　243　331　112 342　241　244　431　233　214　344　142　134 由此可以估計,恰好第三次就停止摸球的概率為(　　) A.16 B.29 C.518 D.19 答案　B　 3.(2019廣東廣州綜合測試(一),6)劉徽是我國魏晉時期的數(shù)學家,在其撰寫的《九章算術注》中首創(chuàng)“割圓術”,所謂“割圓術”,是用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法,如圖所示,圓內接正十二邊形的中心為圓心O,圓O的半徑為2,現(xiàn)隨機向圓O內投放a粒豆子,其中有b粒豆子落在正十二邊形內(a,b

65、∈N*,b

66、任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有5根陽線和1根陰線的概率為(　　) A.328 B.332 C.532 D.556 答案　A　 6.(2020屆安徽貴池測試,8)勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線,它由德國機械工程專家、機構運動學家勒洛首先發(fā)現(xiàn),其作法是:以等邊三角形每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段弧,三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.現(xiàn)在勒洛三角形中隨機取一點,則此點取自三角形外的概率為(　　) A.2π-332(π-3) B.32(π-3) C.32(π+3) D.2π-332(π+3) 答案　A　 7.(多選題)(命題標準樣題,8)某平臺擬調查共享單車的使用情況,以回收多余車輛促進環(huán)保.已知某地鐵站每天早上可供使用的E、F兩種品牌共享單車各100輛,平臺統(tǒng)計了10個工作日中每天早上9:00地鐵站存留的兩種品牌共享單車的數(shù)量(不考慮從其他地點騎回該地鐵站的單車): 　天數(shù) 品牌　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E 21 30 33 15 39 18 22 20 30