高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 必考補(bǔ)充專題 專題限時(shí)集訓(xùn)22 專題6 突破點(diǎn)22 排列組合、二項(xiàng)式定理 理-人教高三數(shù)學(xué)試題
《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 必考補(bǔ)充專題 專題限時(shí)集訓(xùn)22 專題6 突破點(diǎn)22 排列組合、二項(xiàng)式定理 理-人教高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 必考補(bǔ)充專題 專題限時(shí)集訓(xùn)22 專題6 突破點(diǎn)22 排列組合、二項(xiàng)式定理 理-人教高三數(shù)學(xué)試題(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時(shí)集訓(xùn)(二十二) 排列組合、二項(xiàng)式定理 A組 高考題、模擬題重組練] 一、排列、組合 1.(2016·全國(guó)甲卷)如圖22-1,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( ) 圖22-1 A.24 B.18 C.12 D.9 B 從E到G需要分兩步完成:先從E到F,再?gòu)腇到G.從F到G的最短路徑,只要考慮縱向路徑即可,一旦縱向路徑確定,橫向路徑即可確定,故從F到G的最短路徑共有3條.如圖, 從E到F的最短路徑有兩類:先從E到A,再?gòu)腁到F,或先從E到B,再?gòu)腂到F.
2、因?yàn)閺腁到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同,所以從A到F,從B到F最短路徑的條數(shù)都是3,所以從E到F的最短路徑有3+3=6(條).所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為6×3=18.] 2.(2016·四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A.24 B.48 C.60 D.72 D 第一步,先排個(gè)位,有C種選擇; 第二步,排前4位,有A種選擇. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知有C·A=72(個(gè)).] 3.(2016·全國(guó)丙卷)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…
3、,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( ) A.18個(gè) B.16個(gè) C.14個(gè) D.12個(gè) C 由題意知:當(dāng)m=4時(shí),“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項(xiàng),其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1,且必有a1=0,a8=1.不考慮限制條件“對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)”,則中間6個(gè)數(shù)的情況共有C=20(種),其中存在k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)少于1的個(gè)數(shù)的情況有:①若a2=a3=1,則有C=4(種);②若a2=1,a3=0,則a4=1,a5=1,只有1種;③若a2=0,則a3=a4=a5=1,只有1種.綜上,不同的“規(guī)范01數(shù)列”
4、共有20-6=14(種).故共有14個(gè).故選C.] 4.(2012·全國(guó)卷)將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有( ) A.12種 B.10種 C.9種 D.8種 A 分兩步:第一步,選派一名教師到甲地,另一名到乙地,共有C=2(種)選派方法; 第二步,選派兩名學(xué)生到甲地,另外兩名到乙地,共有C=6(種)選派方法. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的選派方案共有2×6=12(種).] 5.(2016·哈爾濱一模)某中學(xué)高三學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,現(xiàn)在從中任
5、選3人,要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生,且在三班至多選1人,不同的選取法的種數(shù)為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952083】 A.484 B.472 C.252 D.232 B 分兩類,不選三班的同學(xué),利用間接法,沒(méi)有條件得選擇3人,再排除3個(gè)同學(xué)來(lái)自同一班,有C-3C=208種; 選三班的一位同學(xué),剩下的兩位同學(xué)從剩下的12人中任選2人,有C·C=264種. 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,得208+264=472,故選B.] 6.(2016·吉安一模)下列各式的展開(kāi)式中x8的系數(shù)恰能表示從重量分別為1,2,3,4,…,10克的砝碼(每種砝碼各一個(gè))中選出若干個(gè),使其總重量恰為8克的方
6、法總數(shù)的選項(xiàng)是( ) A.(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x10) B.(1+x)(1+2x)(1+3x)…(1+10x) C.(1+x)(1+2x2)(1+3x3)…(1+10x10) D.(1+x)(1+x+x2)(1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x10) A 從重量分別為1,2,3,4,…,10克的砝碼(每種砝碼各一個(gè))中選出若干個(gè),使其總重量恰為8克的方法是選一個(gè),8克,一種方法,選兩個(gè),1+7,2+6,3+5,共3種方法,選三個(gè),1+2+5,只有一種方法,其他不含1的三個(gè)的和至少是2+3+4>8.四個(gè)以上的和都大于8,因此共有方法數(shù)為5.A中,x8的系
7、數(shù)是1+3+1=5(x8,x·x7,x2·x6,x3·x5,x·x2·x5),B中,x8的系數(shù)大于1×2×3×4×5×6×7×8,C中,x8的系數(shù)大于8(8x8的系數(shù)就是8),D中,x8的系數(shù)大于C>8(有四個(gè)括號(hào)里取x2,其余取1時(shí)系數(shù)為C).因此只有A是正確的,故選A.] 7.(2016·沈陽(yáng)一模)將3本相同的小說(shuō),2本相同的詩(shī)集全部分給4名同學(xué),每名同學(xué)至少1本,則不同的分法有( ) A.24種 B.28種 C.32種 D.36種 B 法一:五本書分給四名同學(xué),每名同學(xué)至少1本,那么這四名同學(xué)中有且僅有一名同學(xué)分到兩本書,第一步驟,先選出一名同學(xué),即C;這名同學(xué)分到的兩
8、本書有三種情況:兩本小說(shuō),兩本詩(shī)集或是一本小說(shuō)和一本詩(shī)集,因?yàn)樾≌f(shuō)、詩(shī)集都不區(qū)別,所以在第一種情況下有C種分法(剩下三名同學(xué)中選一名同學(xué)分到一本小說(shuō),其余兩名同學(xué)各分到一本詩(shī)集),在第二種情況下有1種分法(剩下三名同學(xué)各分到一本小說(shuō)),在第三種情況下有C種分法(剩下三名同學(xué)中選一名同學(xué)分到一本詩(shī)集,其余兩名同學(xué)各分到一本小說(shuō)),這樣第二步驟共有情況數(shù)是C+1+C=7,故本題的答案是7C=28,選B. 法二:將3本相同的小說(shuō)記為a,a,a;2本相同的詩(shī)集記為b,b,將問(wèn)題分成3種情況,分別是①aa,a,b,b,此種情況有A=12種;②bb,a,a,a,此種情況有C=4種;③ab,a,a,b,此
9、種情況有A=12種,總共有28種,故選B.] 二、二項(xiàng)式定理 8.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2的系數(shù)為( ) A.10 B.20 C.30 D.60 C 法一:(x2+x+y)5=(x2+x)+y]5, 含y2的項(xiàng)為T3=C(x2+x)3·y2. 其中(x2+x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·x=Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC=30.故選C. 法二:(x2+x+y)5為5個(gè)x2+x+y之積,其中有兩個(gè)取y,兩個(gè)取x2,一個(gè)取x即可,所以x5y2的系數(shù)為CCC=30.故選C.] 9.(2013·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2
10、m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 B (x+y)2m展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C, ∴a=C. 同理,b=C. ∵13a=7b,∴13·C=7·C. ∴13·=7·. ∴m=6.] 10.(2013·全國(guó)卷Ⅱ)已知(1+ax)(1+x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5,則a=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 D (1+x)5中含有x與x2的項(xiàng)為T2=Cx=5x,T3=Cx2=10x2,∴x2的系數(shù)為10+5a=5,∴a=-1,故選
11、D.] 11.(2016·全國(guó)乙卷)(2x+)5的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是________.(用數(shù)字填寫答案) 10 (2x+)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=C(2x)5-r()r=25-r·C·x5-. 令5-=3,得r=4. 故x3的系數(shù)為25-4·C=2C=10.] 12.(2016·山東高考)若5的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是-80,則實(shí)數(shù)a=________. -2 Tr+1=C·(ax2)5-rr=C·a5-rx10-r.令10-r=5,解得r=2.又展開(kāi)式中x5的系數(shù)為-80,則有C·a3=-80,解得a=-2.] 13.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的
12、奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=________. 3 設(shè)(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,∴a=3.] 14.(2014·全國(guó)卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為_(kāi)_______.(用數(shù)字填寫答案) -20 x2y7=x·(xy7),其系數(shù)為C, x2y7=y(tǒng)·(x2y6),其系數(shù)為-C, ∴x2y7的系數(shù)為C-C=8-28=
13、-20.] 15.(2016·正定一模)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有(m+x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,若a1+a3+a5+a7=32,則m=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952084】 0 設(shè)(1+x)6=b0+b1x+b2x2+…+b6x6,則a1=b0+mb1,a3=b2+mb3,a5=b4+mb5,a7=b6, 所以a1+a3+a5+a7=(b0+b2+b4+b6)+m(b1+b3+b5),又由二項(xiàng)式定理知 b0+b2+b4+b6=b1+b3+b5=(1+1)6=32,所以32+32m=32,m=0.] B組 “12+4”模擬題提速練] 一、選擇題
14、 1.(2016·韶關(guān)一模)某校開(kāi)設(shè)10門課程供學(xué)生選修,其中A,B,C三門由于上課時(shí)間相同,至多選一門,學(xué)校規(guī)定:每位同學(xué)選修三門,則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是( ) A.70 B.98 C.108 D.120 B 可分為兩類:選A,B,C中的一門,其它7科中選兩門,有CC=63;不選A,B,C中的一門,其它7科中選三門,有C=35;所以共有98種,故選B.] 2.(2016·臨汾二模)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,則a8等于( ) A.-5 B.5 C.90 D.180 D 因?yàn)?1+x)1
15、0=(-2+1-x)10,所以a8等于C(-2)2=45×4=180.故選D.] 3.(2016·福州模擬)甲、乙等5人在9月3號(hào)參加了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利70周年閱兵慶典后,在天安門廣場(chǎng)排成一排拍照留念,甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有( ) A.12種 B.24種 C.48種 D.120種 B 甲乙相鄰,將甲乙捆綁在一起看作一個(gè)元素,共有AA種排法,甲乙相鄰且在兩端有CAA種排法,故甲乙相鄰且都不站在兩端的排法有AA-CAA=24(種).] 4.(2016·漳州二模)已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,則a2+a3+…+a9+a10
16、的值為( ) A.-20 B.0 C.1 D.20 D 令x=1得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,又易知a1=C×21×(-1)9=-20,所以a2+a3+…+a9+a10=20.] 5.(2016·昆明二模)在4的二項(xiàng)展開(kāi)式中,如果x3的系數(shù)為20,那么ab3=( ) A.20 B.15 C.10 D.5 D Tr+1=C·(ax6)4-r·r=Ca4-rbrx24-7r,令24-7r=3,得r=3,則4ab3=20,∴ab3=5.] 6.(2016·成都二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、
17、戊五名成員同時(shí)搶4個(gè)紅包,每人最多搶一個(gè),且紅包被全部搶光,4個(gè)紅包中兩個(gè)2元,兩個(gè)3元(紅包金額相同視為相同的紅包),則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有( ) A.36種 B.24種 C.18種 D.9種 C 由題意可得丙、丁、戊中有1人沒(méi)有搶到紅包,且搶到紅包的4人中有2人搶到2元紅包,另2人搶到3元紅包,則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有CC=18種,故選C.] 7.(2016·蘭州一模)七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照,其中甲必須站在正中間,并且乙,丙兩位同學(xué)要站在一起,則不同的排法有( ) A.240種 B.192種 C.120種 D.96種 B 不妨令乙丙在甲
18、左側(cè),先排乙丙兩人,有A種站法,再取一人站左側(cè)有C×A種站法,余下三人站右側(cè),有A種站法,考慮到乙丙在右側(cè)的站法,故總的站法總數(shù)是2×A×C×A×A=192,故選B.] 8.(2016·威海一模)某學(xué)校開(kāi)設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”,組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館,每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)博物館參觀,則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有( ) A.A×A種 B.A×54種 C.C×A種 D.C×54種 D 有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館共有C種情況,其余四個(gè)年級(jí)每個(gè)年級(jí)各有5種選擇情況,故有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有C×54種,故選D.] 9.(2016·泉州模擬)
19、在10的展開(kāi)式中,含x2項(xiàng)的系數(shù)為( ) A.10 B.30 C.45 D.120 C 因?yàn)?0=10 =(1+x)10+C(1+x)9+…+C10,所以x2項(xiàng)只能在(1+x)10的展開(kāi)式中,所以含x2的項(xiàng)為Cx2,系數(shù)為C=45,故選C.] 10.(2016·肇慶二模)(x+2y)7的展開(kāi)式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952085】 A.68y7 B.112x3y4 C.672x2y5 D.1 344x2y5 C 設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大, 則有 即 即解得 又∵r∈Z,∴r=5,∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=Cx2·25y5=672x2y5.
20、故選C.] 11.(2016·宜昌模擬)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 A 令x=1,則a0+a1+…+a4=(2+)4, 令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4, ∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(a0+a1+…+a4)(a0-a1+a2-a3+a4) =(2+)4(-2+)4 =1.] 12.(2016·長(zhǎng)春一模)若n的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),則n的最小值等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C
21、 由題意,n的展開(kāi)式的項(xiàng)為Tr+1=C(x6)n-rr=Cx6n-6r-r=Cx6n-r,令6n-r=0,得n=r,當(dāng)r=4時(shí),n取到最小值5.故選C.] 二、填空題 13.(2016·烏魯木齊一模)若9的二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是84,則實(shí)數(shù)a=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952086】 1 ∵9的二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=Carx9-3r, 令9-3r=0,即r=3,常數(shù)項(xiàng)為T4=Ca3=84a3, 依題意,有84a3=84,∴a=1.] 14.(2016·湖南東部六校聯(lián)考)如果n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128,則展開(kāi)式中的系數(shù)是________. 21 n的展開(kāi)式的
22、各項(xiàng)系數(shù)之和為n=2n=128,所以n=7,所以n=7,其展開(kāi)式的通項(xiàng)為 Tr+1=C(3x)7-rr=C·37-r·x7-r·(-x-)r=(-1)rC37-rx7-r,由7-r=-3,得r=6,所以的系數(shù)是C·(-1)6·3=21.] 15.(2016·長(zhǎng)春二模)小明試圖將一箱中的24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒時(shí)只能取出3瓶或4瓶啤酒,那么小明取出啤酒的方式共有________種. 37 由題可知,取出酒瓶的方式有3類,第一類:取6次,每次取出4瓶,只有1種方式;第二類:取8次,每次取出3瓶,只有1種方式;第三類:取7次,3次4瓶和4次3瓶,取法為C,為35種.共計(jì)37種取法.] 16.(2016·廣東八市聯(lián)考)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求取出的這些卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為_(kāi)_______. 472 由題意,不考慮特殊情況,共有C種取法,其中每一種卡片各取三張,有4C種取法,兩種紅色卡片,共有CC種取法,故所求的取法共有C-4C-CC=560-16-72=472.]
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