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1、數(shù)學(xué)物理方程 二 階 常 微 分 方 程 二階常微分方程n常用齊次定解問題n數(shù)學(xué)物理中的對稱性n特殊函數(shù)常微分方程n常微分方程的級數(shù)解法n斯圖姆劉維爾本征值問題n本章小結(jié) 常用齊次定解問題n常用齊次定解問題的要素n常用齊次定解問題的分類n拉普拉斯算符的形式n拉普拉斯算符形式的推導(dǎo) 常 用 齊 次 定 解 問 題 要 素 0 2u uau nt穩(wěn)定方程：演化方程：泛定方程）（），用球坐標(biāo)（球形：），用極（柱）坐標(biāo)（圓形：）用直角坐標(biāo)（矩形：邊界形狀 , ,r zzyx ）（初始速度：）（初始狀態(tài)：初始條件rgu rfu tt t 00| 常 用 齊 次 定 解 問 題 的 分 類直角坐標(biāo)極坐標(biāo)球

2、坐標(biāo)穩(wěn)定方程演化方程 ！ ！ 拉 普 拉 斯 算 符 的 形 式二維三維直角坐標(biāo)極柱坐標(biāo)球坐標(biāo) yyxx 2 zz 2 21 112 2 zz 2 2sin1sin1 sin 2 21 121 22 rrr rrr rrrr 極 坐 標(biāo) 下 拉 普 拉 斯 算 符 形 式 的 推 導(dǎo)yyxx 2 sincosyx 211 212 1cossin sincosyx極坐標(biāo)下的形式 直角坐標(biāo)下的形式坐標(biāo)變換關(guān)系微分變換關(guān)系 極 坐 標(biāo) 下 拉 普 拉 斯 算 符 形 式 的 推 導(dǎo)0 zzyyxx uuu化為極坐標(biāo) 0 222 sin1sincos12 uuuuu rrrrrr利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：

3、 cos sinsin cossinrz ry rx（一）令 sinr則 sincosyx sincosrrz(1) (2) 極 坐 標(biāo) 下 拉 普 拉 斯 算 符 形 式 的 推 導(dǎo)由(1) cossin sincosyuxuu yuxuyyuxxuu得由此解出 uuuyu uuuxu cossincossin sincossincos 極 坐 標(biāo) 下 拉 普 拉 斯 算 符 形 式 的 推 導(dǎo) cossin sincosyx得算子再微分一次，并利用上式算子，得 uuxuxxu sincossincos 22 uuuuu 2222222222 sincossin2sincossin2cos

4、極 坐 標(biāo) 下 拉 普 拉 斯 算 符 形 式 的 推 導(dǎo) uuyuyyu cossincossin22 uuuuu 2222222222 coscossin2coscossin2sin uuuyuxu 11 222222222 (2)由得 sincosrrz (A) uuzuuzuyuxu 11 2222222222222 極 坐 標(biāo) 下 拉 普 拉 斯 算 符 形 式 的 推 導(dǎo)變換上式中對于類似得出：2222 zuu rururruzuu 11 222222222 urruu cossinu u聯(lián)立得所以0 cossinsin1 sin111 222222222222222 urrur

5、urrururruzuyuxu因此0sin1sinsinsin12 uururrr 數(shù)學(xué)物理中的對稱性n對稱性的概念q定義：對稱性就是在某種變換下的不變性q分類n對稱性的描述n對稱性原理q當(dāng)定解問題的泛定方程和定解條件都具有某種對稱性時，它的解也具有同樣的對稱性。n對稱性的應(yīng)用 對稱性的分類空間轉(zhuǎn)動對稱性空間反演對稱性空間平移對稱性空間時間反演對稱性時間平移對稱性時間動力學(xué)對稱性時空對稱性 對稱性的描述對稱性名稱對稱條件對稱函數(shù)沿z軸反演對稱沿z軸平移對稱繞z軸轉(zhuǎn)動對稱繞原點轉(zhuǎn)動對稱),(),( zyxfzyxf ),(),( zyxfazyxf ),(),( zfzf |)|,( zyxff

6、 ),( yxff ),(),( rfrf ),( zff )(rff ),(),( rfrf ),( rff ),(),( zfazf ),( ff 對稱性的應(yīng)用柱 坐 標(biāo) 輸 運 方 程對稱性未知函數(shù)泛定方程無任何對稱性沿z軸平移對稱繞z軸轉(zhuǎn)動對稱雙重對稱),( tzuu ),( tuu ),( tuu ),( tzuu )( 22 uuau zzt uaut 22 )( 12 uuuau zzt )( 12 uuaut 特殊函數(shù)常微分方程n球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的分離變量q一般情況n歐拉方程，球函數(shù)方程，連帶勒讓德方程q軸對稱情況n勒讓德方程n極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程的分離變量 q一般情況n亥姆

7、霍茲方程，貝塞爾方程q軸對稱情況 特殊函數(shù) n特殊函數(shù)一般是指某類微分方程的解又不能用初等函數(shù)的有限形式表示的函數(shù).但是這類函數(shù)在應(yīng)用中是常見的,比如勒讓德函數(shù),貝塞耳函數(shù)及許多正交多項式等; 另外一些是由特定形式的積分所定義的函數(shù),如 -函數(shù),B-函數(shù).還有從函數(shù)的周期性的角度來考慮的所謂橢圓函數(shù),這類函數(shù)與微分方程無關(guān).本章除了介紹這些函數(shù)的概念外,還給出關(guān)于函數(shù)的一些積分、級數(shù)和無窮乘積等表達式、漸近形式、函數(shù)之間的關(guān)系以及它們的常用性質(zhì). 特殊函數(shù)范例n引用如下符號-伽馬函數(shù) 1)(,)( )()1()1( 0 aa nanaaaa n )(! )()1()1(! )1(! )1()1

8、( an annan an naaana n 式中 為正整數(shù)， 為任意數(shù). n a n 3.1由積分定義的特殊函數(shù) 3.特殊函數(shù)n 3.1.1伽馬函數(shù)（ -函數(shù)） -函數(shù)的定義與其他表達式 1o ueuz uz d)( 0 1 2o 0 d21)(1 tteiz zt積分路線從負(fù)實軸上無窮遠處 出發(fā)，正向繞原點一周，再回到出發(fā)點 )( t n 3.1由積分定義的特殊函數(shù) 3特殊函數(shù)3o 1 1 )11(1)()1( !lim)( k zzn kzkznzzz nnz )( nz 4o 1 )1()(1 k kzz ekzzez 式中 稱為歐拉常數(shù)。 6510153286060577215664

9、9.0ln1lim 1 nmn nm n 3.1由積分定義的特殊函數(shù) 3特殊函數(shù)-函數(shù)有關(guān)公式 為正整數(shù)特別 （余元公式）特別 )()1( zzz )0(Re z!)1( nn n( ) 1)2()1( zzz sin)1()( 21( ) n 3.1由積分定義的特殊函數(shù) 3特殊函數(shù)zzzz sin)()( ),3,2,1()1()!1(sin)()( 11 222 nkznzzznzn nk zzz cos)21()21( nnn 2 !)!12()21( !)!12( 2)1()21( nn nn n 3.1由積分定義的特殊函數(shù) 殊函數(shù)可化為 -函數(shù)的積分 0 10 111 )(d)1(l

10、nd zttttet zztz 0 12 )(21d2 ztet tz )0( 20 20 )12( )2 1(2dcosdsin nntttt nn )1( n n 1由積分定義的特殊函數(shù) 特殊函數(shù)3o 1 1 )11(1)()1( !lim)( k zzn kzkznzzz nnz )( nz 4o 1 )1()(1 k kzz ekzzez 式中 稱為歐拉常數(shù)。 65101532860605772156649.0ln1lim 1 nmn nm n由積分定義的特殊函數(shù) 特殊函數(shù)-函數(shù)有關(guān)公式 為正整數(shù)特別 （余元公式）特別 )()1( zzz )0(Re z!)1( nn n( ) 1)2

11、()1( zzz sin)1()( 21( ) n由積分定義的特殊函數(shù) 特殊函數(shù)zzzz sin)()( ),3,2,1()1()!1(sin)()( 11 222 nkznzzznzn nk zzz cos)21()21( nnn 2 !)!12()21( !)!12( 2)1()21( nn nn n由積分定義的特殊函數(shù) 特殊函數(shù)可化為 -函數(shù)的積分 0 10 111 )(d)1(lnd zttttet zztz 0 12 )(21d2 ztet tz )0( 20 20 )12( )2 1(2dcosdsin nntttt nn )1( n 球坐標(biāo)下拉普拉斯方程 0)( 22 uurr

12、rr0)1()( 2 RllRr )1(/)( 2 llYYRRr 0)1( YllY1 ll DrCrR /sin)1(/)(sinsin 2ll0 0sin)1()(sinsin 2 ll 0)1()1( 2212 xmllx mBmA sincos ),()( YrRu )()( Y cosx 球坐標(biāo)下拉普拉斯方程 0)( 22 uurr rr0)1()( 2 RllRr )1(/)( 2 llYYRRr 0)1( YllY 1 ll DrCrR 0sin)1(/)(sinsin 2 ll 0)1()1( 2 llx )()( YrRu )(Y cosx 極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程 uaut 2

13、20 22 TkaT 222 /)/( kvvTaT 022 vkv)exp( 22 tkaAT /)( 22 RkRR0 0)()( 221 RkR 0)1( 221 RRR xmx mBmA sincos ),()( vtTu )()( Rv kx 常微分方程的級數(shù)解法n常微分方程中點的分類n各點鄰域級數(shù)解的形式n勒讓德方程的級數(shù)解n貝塞爾方程的級數(shù)解 常 微 分 方 程 中 點 的 分 類n二階變系數(shù)常微分方程的一般形式q w”+p(z)w+q(z)w=0n方程中點的分類q常點：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析點q正則奇點：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解

14、析點 q非正則奇點：其它情況 各 點 鄰 域 級 數(shù) 解 的 形 式 n非正則奇點 z0 鄰域q有一解為 0 0)(k kk zzaw 0 0)(k skk zzaw k skk zzaw )( 0常點z0鄰域兩解均為正則奇點 z0 鄰域有一解為其中 s 由判定方程確定a00 貝 塞 爾 方 程 的 級 數(shù) 解 0)( 222 ymxxyyx貝塞爾方程為： 0 22 20 22 00 k kskk kskk ksk k ksk xaxaxayx xay：為正則奇點，鄰域解為 0 20 1)1)( )(k kskk kskxaksksy xaksy級數(shù)解的導(dǎo)數(shù)為：0)(0 222 k kskk

15、xaamsk代入方程得：0)( 222 kk aamsk即：ak0=0 貝 塞 爾 方 程 的 級 數(shù) 解 0)( 2 kk aamksmks遞推公式： 02)2)(1(!2 12)42(4 14 02)1(1 10)22(2 12 42 aaa aaa mmm mm ！具體遞推：02)()1( 122)22()2( 12 2)1( aaa kkmmkkkkmkk ！2211 0 )2( 1)( 12 00)1)(1(1 0)(0 kkk akmkamksmksak aamsmsk msamsmsk 貝 塞 爾 方 程 的 級 數(shù) 解 )1(2 100 22)1(! )1( ,)( mk km

16、xkmkm mk axJy特解： mx xJmxxJm mmmm mmN xDNxCJxBJxAJy sin )(cos)( )()()()( 通解：性質(zhì)：奇偶性：m為奇偶整數(shù)時，Jm和Nm為奇偶函數(shù)；收斂性：特解的收斂半徑為 ；有界性：在 x 0，m0 時, Jm有界，Nm發(fā)散。 斯圖姆劉維爾本征值問題n本征值問題本征值：使帶邊界條件的常微分方程有非零解的參數(shù)值本征函數(shù)：相應(yīng)的非零解本征值問題：求本征值和本征函數(shù)的問題n斯特姆劉維爾本征值問題q斯特姆劉維爾型方程q斯特姆劉維爾型邊界條件n斯特姆劉維爾本征值問題的性質(zhì) q可數(shù)性：存在可數(shù)無限多個本征值；q非負(fù)性：所有本征值均為非負(fù)數(shù)；q正交性：

17、對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交；q完備性：滿足邊界條件的光滑函數(shù)可以按本征函數(shù)展開。 斯 特 姆 劉 維 爾 本 征 值 問 題n斯特姆劉維爾型方程,0)()()( baxyxyxqyxk 其中k(x)、q(x)和(x)都非負(fù)；k(x)、k(x)和q(x)連續(xù)或以端點為一階極點。斯特姆劉維爾型邊界條件三類齊次邊界條件周期性邊界條件有界性邊界條件 斯 特 姆 劉 維 爾 本 征 值 問 題a b k q 本征值問題0 L 1 0 10 L 1 0 1-1 1 1-x 2 0 10 b x m2/x x 0)()0(,0 Lyyyy )()(,0 xyLxyyy )1(,0)1( 2 yyyx

18、0)(,)0(,0 2 byyxyyxy xm 本 征 函 數(shù) 集 合 的 正 交 性 和 完 備 性正交性 ba mmnnm Ndxxxyxy 2,)()()( 完備性 )()( xyfxf nn ba nNn dxxxyxff n )()()(21 展開系數(shù) 本 征 函 數(shù) 集 合 的 正 交 性 和 完 備 性例題1 L Lmnnm dxxyxy0 2,)()( 問題 L nLn nn dxxyxff xyfxf 02 )()( )()( 0)()0(,0 Lyyyy xwyww nnLnnnn sin,2 本征函數(shù)正交性完備性 本 征 函 數(shù) 集 合 的 正 交 性 和 完 備 性例題

19、2 20 ,2)()( mnnm dxxyxy問題 2021 )()( )()( dxxyxff xyfxf nn nn )()2(,0 xyxyyy )exp(,2 imxym mm 本征函數(shù)正交性完備性 本 征 函 數(shù) 集 合 的 正 交 性 和 完 備 性例題3 211 ,)()( nnlnl NdxxPxP 問題 111 0 )()( )()( 2 dxxPxff xPfxf lNl l lll ,2,1,0),(),1( lxPyll lll本征函數(shù)正交性完備性 )1(,0)1( 2 yyyx 本章小結(jié) 齊次化特解 常微分方程 齊次化特解條件 非斯劉問題 斯劉問題 齊次定解問題的解 齊次半通解 本征變化 齊次定解問題 非齊次定解問題