《2017-2018學年度高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1.2.2 橢圓方程及性質的應用課后提升訓練【含解析】新人教A版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年度高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1.2.2 橢圓方程及性質的應用課后提升訓練【含解析】新人教A版選修1-1（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 橢圓方程及性質的應用 (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.已知直線l過點(3,-1),且橢圓C:x225+y236=1,則直線l與橢圓C的公共點的個數為　(　　) A.1個　　 B.1個或2個　　 C.2個　 　D.0個 【解析】選C.因為直線過定點(3,-1)且3225+(-1)236<1,所以點(3,-1)在橢圓的內部,故直線l與橢圓有2個公共點. 2.橢圓x24+y23=1的右焦點到直線y=3x的距離是　(　　) A.12 B.32 C.1 D.3 【解析】選B.橢圓的右焦點為F(1,0),由點到直線的距離公式得d

2、=33+1=32. 3.直線y=x+m與橢圓x2144+y225=1有兩個公共點,則m的取值范圍是　(　　) A.(-5,5) B.(-12,12) C.(-13,13) D.(-15,15) 【解析】選C.聯立直線與橢圓方程,由判別式Δ>0,可解得-13

3、23=1得y=32,故弦長|AB|=3. 5.過點M-1,12的直線l與橢圓x2+2y2=2交于A,B兩點,設線段AB中點為M,設直線l的斜率為k1(k1≠0).直線OM的斜率為k2,則k1k2的值為　(　　) A.2 B.-2 C.12 D.-12 【解析】選D.設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x12+2y12=2,① x22+2y22=2,② ②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0. 即y2-y1x2-x1=-x1+x22(y1+y2),所以k1=y2-y1x2-x1=--221=1, 而k2=12-0-1-0=-1

4、2,故k1k2=-12. 6.(2017全國乙卷)設A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點,若C上存在點M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是　(　　) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞) 【解析】選A.當03時,焦點在y軸上,要使C上存在點M滿足∠AMB=120,則ab≥tan60=3,即m3≥3,得m≥9,故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞). 7.已知橢

5、圓C:x24+y23=1的左、右焦點分別為F1,F2,橢圓C上的點A滿足AF2⊥F1F2,若點P是橢圓C上的動點,則F1P→F2A→的最大值為　(　　) A.32 B.332 C.94 D.154 【解析】選B.由橢圓方程知c=4-3=1, 所以F1(-1,0),F2(1,0). 因為橢圓C上點A滿足AF2⊥F1F2,則可設A(1,y0), 代入橢圓方程可得y02=94,所以y0=32. 設P(x1,y1),則F1P→=(x1+1,y1),F2A→=(0,y0), 所以F1P→F2A→=y1y0. 因為點P是橢圓C上的動點,所以-3≤y1≤3, F1P→F2

6、A→的最大值為332. 8.已知橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F,直線l:x=2,點A∈l,線段AF交橢圓C于點B,若FA→=3FB→,則|AF→|=　(　　) A.2 B.2 C.3 D.3 【解析】選A.設點A(2,n),B(x0,y0). 由橢圓C:x22+y2=1知a2=2,b2=1, 所以c2=1,即c=1,所以右焦點F(1,0). 由FA→=3FB→得(1,n)=3(x0-1,y0). 所以1=3(x0-1)且n=3y0. 所以x0=43,y0=13n. 將x0,y0代入x22+y2=1, 得12432+13n2=1. 解得n2=1,

7、 所以|AF→|=(2-1)2+n2=1+1=2. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.若直線y=2x+b與橢圓x24+y2=1無公共點,則b的取值范圍為________. 【解析】由y=2x+b,x24+y2=1,得x24+(2x+b)2=1. 整理得17x2+16bx+4b2-4=0. Δ=(16b)2-417(4b2-4)<0, 解得b>17或b<-17. 答案:(-∞,-17)∪(17,+∞) 10.(2017邯鄲高二檢測)過橢圓x25+y24=1的右焦點F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為________. 【解析】由已

8、知可得直線方程為y=2x-2,聯立方程x25+y24=1,y=2x-2得交點坐標,不妨令A(0,-2), B53,43,所以S△AOB=12|OF||yA-yB|=53. 答案:53 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.設直線y=x+b與橢圓x22+y2=1相交于A,B兩個不同的點. (1)求實數b的取值范圍. (2)當b=1時,求|AB|. 【解析】(1)將y=x+b代入x22+y2=1, 消去y,整理得3x2+4bx+2b2-2=0.　① 因為直線y=x+b與橢圓x22+y2=1相交于A,B兩個不同的點, 所以Δ=16b2-12(2b2-2)=24-8b2>0,

9、 解得-3

10、x′,0), 因為NP→=2NM→,所以(x-x′,y)=2(0,y′),所以x-x=0,y=2y,所以x=x,y=y2, 因為M在橢圓C上, 所以代入橢圓方程得到x2+y2=2, 所以點P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)設P(x1,y1),Q(-3,y2),橢圓的左焦點為F(-1,0), OP→=(x1,y1),PQ→=(-3-x1,y2-y1), OP→PQ→=x1(-3-x1)+y1(y2-y1)=1, 即-3x1-x12+y1y2-y12=1, -3x1+y1y2-(x12+y12)=1, 即-3x1+y1y2=3,① 故lOQ:y=-y23x. 所以過點P

11、與直線OQ垂直的直線為: y-y1=3y2(x-x1), 當x=-1時, y=y1+3y2(-1-x1)=y1+-3y2-3x1y2 =y1-3x1y2-3y2 =y1y2-3x1y2-3y2, 將①代入得y=0, 所以過P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 【能力挑戰(zhàn)題】 (2017北京高二檢測)已知橢圓G:x24+y2=1,過點(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A,B兩點. (1)求橢圓G的焦點坐標和離心率. (2)將|AB|表示為m的函數,并求|AB|的最大值. 【解析】(1)由已知得a=2,b=1, 所以c=a2-b2=3. 所以橢圓G的焦點坐

12、標為(-3,0),(3,0), 離心率為e=ca=32. (2)由題意知,|m|≥1. 當m=1時,切線l的方程為x=1,點A,B的坐標分別為(1,32),(1,-32),此時|AB|=3. 當m=-1時,同理可得|AB|=3. 當|m|>1時,設切線l的方程為y=k(x-m). 由y=k(x-m),x24+y2=1得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=8k2m1+4k2,x1x2=4k2m2-41+4k2. 由l與圓x2+y2=1相切,得|km|k2+1=1, 即m2k2=k2+1. 所以|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2 =(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+k2)64k4m2(1+4k2)2-4(4k2m2-4)1+4k2=43|m|m2+3. 當m=1時,|AB|=3, 所以|AB|=43|m|m2+3,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). 因為|AB|=43|m|m2+3=43|m|+3|m|≤2,且當m=3時,|AB|=2, 所以|AB|的最大值為2. 8