《2017-2018學年度高中數學 第一章 三角函數 1.5 函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象（二）學案【含解析】新人教A版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年度高中數學 第一章 三角函數 1.5 函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象（二）學案【含解析】新人教A版必修4（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第二課時　函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(二) A，ω，φ的物理意義 　　[導入新知] 在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A＞0，ω＞0)中，各參數的物理意義. 振幅 A 它是簡諧振動的物體離開平衡位置的最大距離 周期 T＝ 它是物體往復運動一次所需要的時間 頻率 f＝＝ 它是單位時間內往復運動的次數 相位 ωx＋φ 其中φ為初相 [化解疑難] 簡記圖象變換名稱及步驟 (1)函數y＝sin x到y＝sin(x＋φ)的圖象變換稱為相位變換； (2)函數y＝sin x到y＝sin ωx的圖象變換稱為周期變換； (3)函數y＝sin

2、 x到y＝Asin x的圖象變換稱為振幅變換; (4)函數y＝sin x到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的變換途徑為相位變換→周期變化→振幅變換或周期變換→相位變化→振幅變換． 函數y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有關性質 　　[導入新知] 函數y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有關性質 名稱 性質 定義域 R 值域 [－A，A] 對稱性 對稱中心，k∈Z， 對稱軸x＝＋，k∈Z 奇偶性 當φ＝kπ，k∈Z時是奇函數 單調性 通過整體代換可求出其單調區(qū)間 [化解疑難] 由y＝Asin(ωx＋φ)的性質或部分圖象確定解析式 解決問題的

3、關鍵是確定參數A，ω，φ，基本方法是在觀察圖象的基礎上，利用待定系數法求解．若設所求解析式為y＝Asin(ωx＋φ)，則在觀察函數圖象的基礎上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ. (1)一般可由函數圖象上的最大值、最小值來確定|A|. (2)因為T＝，所以往往通過求周期T來確定ω，可以通過已知曲線與x軸的交點來確定T，即相鄰的最高點與最低點之間的距離為，相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T. (3)以尋找“五點法”中的第一個“零點”作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個“零點”的位置，來確定φ. 由圖象確定函數的解析式 [例1]　如圖是函數y＝Asin(ωx＋φ)

4、A>0，ω>0，|φ|<的圖象的一部分，求此函數的解析式． [解]　(逐一定參法) 由圖象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2， ∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵點在函數圖象上， ∴0＝3sin， ∴－2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)． ∵|φ|<，∴φ＝， ∴y＝3sin. [類題通法] 給出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一部分，確定A，ω，φ的方法 (1)第一零點法：如果從圖象可直接確定A和ω，則選取“第一零點”(即“五點法”作圖中的第一個點)的數據代入“ωx＋φ＝0”(要注意正確判斷哪一點是“第一零點”)求得φ. (2)特殊值法：通過若干特殊點代入函數式，可以求

5、得相關待定系數A，ω，φ.這里需要注意的是，要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點，并能正確代入列式． (3)圖象變換法：運用逆向思維的方法，先確定函數的基本解析式y＝Asin ωx，再根據圖象平移規(guī)律確定相關的參數． [活學活用] 1．(全國甲卷)函數y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 答案：A 2．已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)為奇函數，該函數的部分圖象如圖所示，△EFG是邊長為2的等邊三角形，則f(1)的值為(　　) A．－ B．

6、－ C. D．－ 答案：D 函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 [例2]　已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期為π，且圖象上一個最低點為M. (1)求f(x)的解析式； (2)當x∈時，求f(x)的最值． [解]　(1)由函數f(x)圖象上的一個最低點為 M，得A＝2. 由周期T＝π，得ω＝＝＝2. 由點M在圖象上，得2sin＝－2，即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)．又因為φ∈，所以k＝1，φ＝.所以函數的解析式為f(x)＝2sin. (2)因為x∈，所以2x＋∈，所以當2x＋＝，即x＝0時，函數f(x)取

7、得最小值1；當2x＋＝，即x＝時，函數f(x)取得最大值 . [類題通法] 函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 (1)應用的范圍：函數的單調性、最值、奇偶性、圖象的對稱性等方面都有體現和考查． (2)解決的方法：有關函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質的運用問題，充分利用三角函數的基本性質，要特別注意整體代換思想的運用． [活學活用] 設函數f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝. (1)求φ； (2)求函數y＝f(x)的單調區(qū)間及最值． 解：(1)－ (2)單調增區(qū)間為(k∈Z)；　單調減區(qū)間為(k∈Z)．當x＝kπ＋(k∈

8、Z)時，函數取得最大值1；當x＝kπ＋(k∈Z)時，函數取得最小值－1. 　　　 5．函數y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的對稱性　　 [典例]　設函數y＝cos πx的圖象位于y軸右側的所有對稱中心從左依次為A1，A2，…，An，…，則A1 006的坐標是________． [解析]　因為函數y＝cos ωx的圖象的對稱中心是點(k∈Z)， 所以y＝cos πx的圖象的對稱中心為 (2k＋1,0)(k∈Z)， 所以A1(1,0)，A2(3,0)，…，An(2(n－1)＋1,0)，…， 故A1 006的坐標為(2 011,0)． [答案]　(2 011,

9、0) [多維探究] 1．對稱軸 與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的圖象的對稱軸通過函數圖象的最值點且垂直于x軸． 函數y＝Asin(ωx＋φ)對稱軸方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，則x＝(k∈Z)，所以函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的對稱軸方程為x＝(k∈Z)． 函數y＝Acos(ωx＋φ)對稱軸方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，則x＝(k∈Z)，所以函數y＝Acos(ωx＋φ)的圖象的對稱軸方程為x＝(k∈Z)． 2．對稱中心 與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數y

10、＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)圖象的對稱中心即函數圖象與x軸的交點． 函數y＝Asin(ωx＋φ)對稱中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，則x＝(k∈Z)，所以函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于點(k∈Z)成中心對稱． 函數y＝Acos(ωx＋φ)對稱中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，則x＝(k∈Z)，所以函數y＝Acos(ωx＋φ)的圖象關于點(k∈Z)成中心對稱． [活學活用] 1．函數y＝3sin的圖象的一個對稱中心是(　　) A．(0,0)　　　　　　　　　 B. C. D．(3,0)

11、答案：C 2．已知ω＞0,0＜φ＜π，直線x＝和x＝是函數f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則φ＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 3．已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)，對于任意x都有f＝f，則f的值為________． 答案：2或－2 [隨堂即時演練] 1．最大值為，最小正周期為，初相為的函數表達式是(　　) A．y＝sin　 　B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：D 2．函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖

12、象的解析式為(　　) A．y＝sin 2x　　　　　 　B．y＝cos 2x C．y＝sin D．y＝sin 答案：D 3．函數f(x)＝Asin(A>0，ω>0)在一個周期內，當x＝時，函數f(x)取得最大值2；當x＝時，函數f(x)取得最小值－2，則函數解析式為________． 答案：f(x)＝2sin 4．已知函數f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同．若x∈，則f(x)的取值范圍是______________． 答案： 5.已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，

13、且在區(qū)間上是單調函數，求φ和ω的值． 答案：φ＝，ω＝2或 [課時達標檢測] 一、選擇題 1．函數y＝sin(2x＋φ)圖象的一條對稱軸在內，則滿足此條件的一個φ值為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 答案：A 2．已知函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為(　　) A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 答案：D 3．若函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且f(0)＝，則(　　) A．

14、ω＝，φ＝　　　 　B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 答案：D 4．若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m對任意實數t都有f＝f(－t)，且f＝－1，則實數m的值等于(　　) A．1 B．－1或3 C．3 D．－3或1 答案：D 5．函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)的值等于(　　) A. B．2＋2 C.＋2 D.－2 答案：A 二、填空題 6．已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象如圖所示，則ω＝________. 答案： 7．如圖所

15、示的是函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|∈的圖象的一部分，則f＝________. 答案：3 8．關于函數f(x)＝4sin(x∈R)的說法如下： ①y＝f(x)的解析式可改寫為y＝4cos； ②y＝f(x)是以2π為最小正周期的周期函數； ③y＝f(x)的圖象關于點對稱； ④y＝f(x)的圖象關于直線x＝－對稱． 其中，正確的說法的序號是________． 答案：①③ 三、解答題 9．函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段圖象如圖所示． (1)求f(x)的解析式； (2)把f(x)的圖象向左至少平移多少個單位長度，才能使得到的圖象對應的函數

16、為偶函數？ 解：(1)A＝3，＝＝5π，ω＝. 由f(x)＝3sin過， 得sin＝0，又|φ|<，故φ＝－， ∴f(x)＝3sin. (2)由f(x＋m)＝3sin ＝3sin為偶函數(m>0)， 知－＝kπ＋，即m＝kπ＋，k∈Z. ∵m>0，∴mmin＝. 故把f(x)的圖象向左至少平移個單位長度，才能使得到的圖象對應的函數是偶函數． 10．已知函數y＝2cos. (1)在該函數的圖象的對稱軸中，求離y軸距離最近的那條對稱軸的方程； (2)將該函數的圖象向右平移φ個單位長度后，圖象關于原點對稱，求φ的最小正值． 解：(1)由2x＋＝kπ，得函數的對稱軸方程是

17、 x＝－＋，k∈Z. 所以函數的圖象離y軸距離最近的那條對稱軸方程為x＝. (2)將函數y＝2cos的圖象向右平移φ個單位長度后，得到函數圖象的解析式是y＝2cos. 因為y＝2cos的圖象關于原點對稱，所以－2φ＝＋kπ.所以φ＝－，k∈Z. 所以φ的最小正值是. 11．已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一個最高點的坐標為，由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點，若φ∈. (1)試求這條曲線的函數解析式； (2)寫出函數的單調區(qū)間． 解：(1)依題意，A＝，T＝4＝4π， ∵T＝＝4π，ω＞0，∴ω＝. ∴y＝sin. ∵曲線上的最高點為， ∴sin＝1. ∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z. ∵－＜φ＜，∴φ＝. ∴y＝sin. (2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， ∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z. ∴函數f(x)的單調遞增區(qū)間為4kπ－，4kπ＋(k∈Z)． 令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， ∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z. ∴函數f(x)的單調遞減區(qū)間為4kπ＋，4kπ＋(k∈Z)． - 11 -