《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.2.1 直線與平面 2.2.2 平面與平面平行的判定學(xué)案【含解析】新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.2.1 直線與平面 2.2.2 平面與平面平行的判定學(xué)案【含解析】新人教A版必修2（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．2.1 & 2.2.2　直線與平面、平面與平面平行的判定 直線與平面平行的判定 [提出問題] 門扇的豎直兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動時只要門扇不被關(guān)閉，不論轉(zhuǎn)動到什么位置，它能活動的豎直一邊所在直線都與固定的豎直邊所在平面(墻面)存在不變的位置關(guān)系． 問題1：上述問題中存在著不變的位置關(guān)系是指什么？ 提示：平行． 問題2：若判斷直線與平面平行，由上述問題你能得出一種方法嗎？ 提示：可以，只需在面內(nèi)找一條與面外直線平行的直線即可． 問題3：若一直線與平面內(nèi)的直線平行，一定有直線與平面平行嗎？ 提示：不一定，要強(qiáng)調(diào)線在面外． [導(dǎo)入新知] 　表示 定理　

2、　 圖形 文字 符號 直線與平面平行的判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)一直線平行，則該直線與此平面平行 ?a∥α [化解疑難] 1．用該定理判斷直線a和平面α平行時，必須同時具備三個條件： (1)直線a在平面α外，即a?α； (2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α； (3)兩直線a，b平行，即a∥b. 2．該定理的作用：證明線面平行． 3．應(yīng)用時，只需在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可． 平面與平面平行的判定 [提出問題] 如何判斷桌子的桌面是否水平？工人師傅將水平儀放在桌子上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的(注：當(dāng)水

3、平儀的氣泡居中時，水平儀所在的直線就是水平線)，否則桌面就不是水平的，這是為什么呢？ 問題1：上述問題中給出了判斷兩面平行的一種怎樣的方法？ 提示：在一個平面內(nèi)找兩條相交線，分別平行于另一個平面即可． 問題2：若一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行嗎？ 提示：不一定，也可能相交． 問題3：若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行嗎？ 提示：不一定，也可能相交． [導(dǎo)入新知] 表示 位置　　 圖形 文字 符號 平面與平面平行的判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行 ?α∥β [化解疑難]

4、1．平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的． 2．面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行． 直線與平面平行的判定 [例1]　如圖，已知公共邊為AB的兩個全等的矩形ABCD和矩形ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE. [解]　證明：作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖， 則PM∥QN，＝，＝. ∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ. 又AB＝CD，∴PM綊QN， ∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN. 又

5、PQ?平面CBE，MN?平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. [類題通法] 利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線定理、平行公理等． [活學(xué)活用] 　如圖，在三棱臺DEFABC中，AB＝2DE，點(diǎn)G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．求證：BD∥平面FGH. 證明：如圖，連接DG，CD，設(shè)CD∩FG＝O，連接OH.在三棱臺DEFABC中，AB＝2DE，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)， 可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，所以點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)． 又因為點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥BD. 又因為OH

6、?平面FGH，BD?平面FGH， 所以BD∥平面FGH. 面面平行的判定 [例2]　如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，E，F(xiàn)，N分別是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點(diǎn)． 求證：(1)E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面； (2)平面MAN∥平面EFDB. [解]　證明： (1)連接B1D1. ∵E，F(xiàn)分別是邊B1C1，C1D1的中點(diǎn)， ∴EF∥B1D1. 而BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面． (2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD， ∴MN∥BD. 又∵M(jìn)N?平面EFDB，BD?平面EFDB， ∴MN∥平面EFDB

7、. 連接MF.∵M(jìn)，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF. 又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面MAN∥平面EFDB. [類題通法] 兩個平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法．解答問題時一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行． [活學(xué)活用] 　如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)，H分別為AB，CD，PD的中點(diǎn)．

8、 求證：平面AFH∥平面PCE. 證明：因為F，H分別為CD，PD的中點(diǎn)，所以FH∥PC. 因為PC?平面PCE，F(xiàn)H?平面PCE，所以FH∥平面PCE. 又由已知得AE∥CF且AE＝CF， 所以四邊形AECF為平行四邊形， 所以AF∥CE，而CE?平面PCE，AF?平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH?平面AFH，AF?平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE. 線線平行與面面平行的綜合問題 [例3]　如圖，在四棱錐O ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)． 證明：直線MN∥平面OCD. [解]　證明

9、：如圖，取OB的中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ME∥AB. 又∵AB∥CD， ∴ME∥CD. 又∵M(jìn)E?平面OCD，CD?平面OCD， ∴ME∥平面OCD. 又∵NE∥OC，且NE?平面OCD，OC?平面OCD，∴NE∥平面OCD. 又∵M(jìn)E∩NE＝E，且ME，NE?平面MNE， ∴平面MNE∥平面OCD. ∵M(jìn)N?平面MNE，∴MN∥平面OCD. [類題通法] 解決線線平行與面面平行的綜合問題的策略 (1)立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的． (2) 所以平行關(guān)系的綜合問題的解決必須靈活運(yùn)用三種平行

10、關(guān)系的判定定理． [活學(xué)活用] 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)． 求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 證明：(1)如圖，連接SB. ∵E，G分別是BC，SC的中點(diǎn)， ∴EG∥SB. 又∵SB?平面BDD1B1， EG?平面BDD1B1. ∴直線EG∥平面BDD1B1. (2)連接SD.∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD. 又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1， 且EG?

11、平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 　　　　 [典例]　(12分)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO? [解題流程] 觀察圖形特點(diǎn)，只需在CC1上取中點(diǎn)Q，恰好有AP∥BQ. [規(guī)范解答]　　　　　　　　 　　[名師批注] ∴PQ∥DC.(3分) 又DC∥AB， ∴PQ∥AB且PQ＝AB， ∴四邊形ABQP為平行四邊形， ∴QB∥PA.(5分)

12、 又PA?平面PAO，QB?平面PAO， ∴BQ∥平面PAO.(7分) 連接BD，則O∈BD， 又∵O為DB的中點(diǎn)，P為D1D的中點(diǎn)， ∴PO∥D1B.(8分) 又∵PO?平面PAO，D1B?平面PAO， ∴D1B∥平面PAO.(10分) 又∵D1B∩BQ＝B， ∴平面D1BQ∥平面PAO.(12分) [活學(xué)活用] 如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論． 解：在棱C1D1上存在點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE. 證明如下：如圖，分別取C1D1和CD的中點(diǎn)F，G，連接B1F，EG，B

13、G，CD1，F(xiàn)G.因為A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，因此D1C∥A1B.又E，G分別為D1D，CD的中點(diǎn)，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B.這說明A1，B，G，E四點(diǎn)共面，所以BG?平面A1BE. 因為四邊形C1CDD1與B1BCC1都是正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點(diǎn)，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B.因此四邊形B1BGF是平行四邊形，所以B1F∥BG.而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，故B1F∥平面A1BE. [隨堂即時演練] 1．若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個

14、平面的位置關(guān)系是(　　) A．一定平行 B．一定相交 C．平行或相交 D．以上判斷都不對 答案：C 2．能保證直線a與平面α平行的條件是(　　) A．b?α，a∥b B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c C．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD D．a(chǎn)?α，b?α，a∥b 答案：D 3．正方體ABCD A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過A，C，E三點(diǎn)的平面的位置關(guān)系是________． 答案：平行 4．下列命題中正確的命題序號為________ ①若一個平面內(nèi)有兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行； ②若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另

15、一個平面平行，則這兩個平面平行； ③若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行； ④若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，則這兩個平面平行． 答案：③④ 5．如圖所示，已知三棱柱A1B1C1ABC，E，E1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)． 求證：平面AB1E1∥平面BEC1. 證明：由于AE綊E1C1， 因此四邊形AE1C1E是平行四邊形，則AE1∥EC1， 因為AE1?平面BEC1，EC1?平面BEC1， 所以AE1∥平面BEC1. 同理，B1E1∥平面BEC1. 又AE1∩B1E1＝E1， 由兩平面平行的判定定理得，平面AB1E1∥平面B

16、EC1. [課時達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．已知兩條相交直線a，b，a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是(　　) A．b?平面α B．b∥α或b?α C．b∥平面α D．b與平面α相交，或b∥平面α 答案：D 2．下列說法正確的是(　　) A．若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α B．若直線a在平面α外，則a∥α C．若直線a∥b，b?α，則a∥α D．若直線a∥b，b?α，那么直線a平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線 答案：D 3．在正方體ABCD A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有(　　)

17、A．1個　　　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 答案：D 4．已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是(　　) A．m∥l，l∥α?m∥α B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β C．l∥m，l?α，m?β?α∥β D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β 答案：D 5．下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案：B 二、填空題 6．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個不重合的平面，現(xiàn)給出六個命

18、題： ①a∥c，b∥c?a∥b; ②a∥γ，b∥γ?a∥b； ③c∥α，c∥β?α∥β； ④α∥γ，β∥γ?α∥β； ⑤c∥α，a∥c?a∥α； ⑥a∥γ，α∥γ?a∥α. 正確命題是________(填序號)． 答案：①④ 7．下列說法正確的個數(shù)是________． (1)若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥平面α； (2)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行； (3)兩條平行線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行． 答案：0 8．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，

19、CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動，則M滿足________時，有MN∥平面B1BDD1. 答案：M∈FH 三、解答題 9.如圖，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)，設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1∥平面FCC1. 證明： 如圖，取A1B1的中點(diǎn)F1. 連接FF1，C1F1. 由于FF1∥BB1∥CC1， 所以F1∈平面FCC1， 因此平面FCC1即為平面C1CFF1. 連接A1D，F(xiàn)1C，由于A1F1綊D1C1綊DC， 所以四邊形A1DCF1為平行四

20、邊形， 因此A1D∥F1C. 又EE1∥A1D，得EE1∥F1C. 而EE1?平面FCC1，F(xiàn)1C?平面FCC1， 故EE1∥平面FCC1. 10.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證： (1)B，C，H，G四點(diǎn)共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明：(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)， ∴GH是△A1B1C1的中位線， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四點(diǎn)共面． (2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)， ∴EF∥BC. ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形， ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG. - 11 -