《《大學(xué)物理學(xué)》第二版上冊習(xí)題解答資料》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《大學(xué)物理學(xué)》第二版上冊習(xí)題解答資料（59頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、大學(xué)物理學(xué)習(xí)題答案 習(xí)題一答案 習(xí)題一 17 1.1 簡要回答下列問題: (1)位移和路程有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？在什么情況下二者的量值不相等? ⑵平均速度和平均速率有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等? ⑶瞬時速度和平均速度的關(guān)系和區(qū)別是什么？瞬時速率和平均速率的關(guān)系和區(qū)別又是什么? 質(zhì)點的位矢方向不變，它是否一定做直線運動？質(zhì)點做直線運動，其位矢的方向是否一定保持不變? 和L 有區(qū)別嗎？砌和v有區(qū)別嗎? 州:0 dt 州.0 和dt 各代表什么運動? (6)設(shè)質(zhì)點的運動方程為：X =XCy =丫”)，在計算質(zhì)點的速

2、度和加速度時，有人先求岳=JX ，然后根據(jù) dr d2r v = - a = -2 出及 dt 而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 v的丁但i 、1dtl 1出) 你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？兩者區(qū)別何在？ ⑺如果一質(zhì)點的加速度與時間的關(guān)系是線性的，那么，該質(zhì)點的速度和位矢與時間的關(guān)系是否也是線性的？ (8) “物體做曲線運動時，速度方向一定在運動軌道的切線方向，法向分速度恒為零，因此其法向加速度也一定懣種說法正確嗎? ⑼任意平面曲線運動的加速度的方向總指向曲線凹進那一側(cè)，為什么？ (10)質(zhì)點沿圓周運動，且速率隨時間均勻增大an、氏、a三者的大小

3、是否隨時間改變？ (11)一個人在以恒定速度運動的火車上豎直向上拋出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子拋出后，火車以恒定加速度前進，結(jié)果又如何? 1.2 —質(zhì)點沿x軸運動，坐標(biāo)與時間的變化關(guān)系鄭=4t -2t2,式中x1分別以m、s為單位，試計算：(1位最初2s內(nèi)的位移、平均速度禾2s末的 瞬時速度；(2)1s末到3s末的平均加速度;(3)3s末的瞬時加速度。 解： ⑴最初2s內(nèi)的位移為為：Ax=x(2)—x(0) =0_0=0(m/s) x 0 vave 0(m/ s) 最初2s內(nèi)的平均速度為： &t 2 dx v(t) — =4-4t t時刻的瞬時速度為： 出 2

4、s末的瞬時速度為：v(2) =4 _4父2 = Ym/s -v v(3) - v(1) -8-0 2 aave = = = = -4m/ s d(4 -4t) dt 2、 =-4(m /s ) o ⑵1s末到3s末的平均加速度為： & 2 2 dv a 二— ⑶3s末的瞬時加速度為： 出 1.3 質(zhì)點作直線運動，初速度為零，初始加速度af,質(zhì)點出發(fā)后，每經(jīng)逑時間，加速度均勻增力b。求經(jīng)過t時間后，質(zhì)點的速度和位移 解：由題意知，加速度和時間的關(guān)系為 a = a0 bt 利用dv=adt ,并取積分得 dv= a0 bt dv v = at 力t2 。

5、。?^ 2 再利用dxnvdt ,并取積允設(shè)t=0時X。=0］得 dx = jvdt . 1 2 b 3 .：x = — a0t — t x0 0 2 6T 1.4 一質(zhì)點從位矢可<0)=4 j的位置以初速度v(0) =4i開始運動，其加速度與時間的關(guān)系弁=(3t)i -2」.所有的長度以米計，時間以秒計 求： (1) ⑵ 經(jīng)過多長時間質(zhì)點到達軸; 到達X軸時的位置。 4 4 t 3 204 v(t) =v(0) 0a(t)dt = 4 ；t i -(2t)j 解： 2 4 t 1 3 . 2 . r(t) =r(0) 0v t dt = 4t ^t i 4-t j

6、 2 (1) 當(dāng)4—t =0 ,即t =2s時，到達x軸。 (2) t =2s時到達x軸的位矢為：r(2) =12i 即質(zhì)點到達x軸時的位置方=12m, y =0。 1.5 一質(zhì)點沿x軸運動，其加速度與坐標(biāo)的關(guān)系為2x ,式中切為常數(shù)，設(shè)t= 0時刻的質(zhì)點坐標(biāo)為速度為V0,求質(zhì)點的速度與坐標(biāo)的 關(guān)系。 解：按題意 由此有 即 兩邊取積分 得 由此給出 d2x 2 —2 - - x dt2 ,2 2 d x dv dv dx dv 仁 x = -2- = — = =v — dt dt dx dt dx vdv - - 2xdx vdv - - 2 x

7、 xdx 1 2 1 2 1.22 2 v - 5 V0 = x 2-2x2 2 . 1.6 —質(zhì)點的運動方程為⑴=i 4t j +tk ,式中r , t分別以m、s為單位。試求: (1)質(zhì)點的速度與加速度;⑵質(zhì)點的軌跡方程。 _ v -- =(8t) j - k a =dv = 8j 解：(1)速度和加速區(qū)分別方：_ dt , dt 2 (2)令r(t)=xi yj zk ,與所給條件比較可知x = 1, y=4t , z = t 所以軌跡方程為：x =1, y =4z。 2 1 1.7 已知質(zhì)點作直線運動，其速度為 =3tT (mS),求質(zhì)點在0~ 4s時間內(nèi)

8、的路程。 解：在求解本題中要注意：圉~ 4s時間內(nèi)，速度有時大于零，有時小于零，因而運動出現(xiàn)往返。 4 jv出 2 求路程應(yīng)當(dāng)計算積分0 。令v=3t_t =0 ,解得t =3s。由此可知：t <3s時，v>0 , vdt 如果計算積分，則求出的是位移而不是路程。 v=v； t = 3s時，v = 0；而。3s時, v <0, v =7。因而質(zhì)點在0~ 4s時間內(nèi)的路程為 4 3 4 3 4 s = 0V dt = [vdt + f(-v)dt = 3t -t2 )dt 一 f(3t -t2 )dt 0 0 3 0 3  = 6；(m) 1.8 在離船的高度油的岸邊

9、，一人以恒定的速率0收繩，求當(dāng)船頭與岸的水平距離為時，船的速度和加速度 解：建立坐標(biāo)系如題.8圖所示，船沿X軸方向作直線運動，欲求速度，應(yīng)先建立運動方程，由圖題，可得出 船速為 / 2 r 一 h c dr =2r— dt dx r dr v =—= 出 x dt 按題意dt (負(fù)號表示繩隨時時縮短)，所以船速為 dr .x2 - h2 v 二 — vo x 負(fù)號表明船速與x軸正向反向，船速呼 有關(guān)，說明船作變速運動。將上式對時間求導(dǎo)，可得船的加速度為 h vo dv a 二 一 dt 負(fù)號表明船的加速度分軸正方向相反，與船速方向相同，加速度有有關(guān)，說

10、明船作變加速運動。 1.9 一質(zhì)點沿半徑即0cm的圓周運動，其角坐神(以弧度rad計)可用下式表示 3 1-2 4t 其中t的單位是秋s)試問：(1施t=2s時，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r其總加速度與半徑成5角？ 解：⑴利用 2 =2 +4t3,8=d9 /dt =12t2, a = d缶 /dt = 24t , 得到法向加速度和切向加速度的表達式 2 4 an = r =144rt % =r- =24rt 在t =2s時，法向加速度和切向加速度為： 4 _4 _2 an =144rt =144 0.1 2 = 230.4( m s ) 一

11、一 一 一 _2 at =24rt =24 0.1 2 =4.8(m s ) 4 (2)要使總加速度與半徑誑角，必須有an -at ,即144 rt =24 rt 解得 t3 =1/6 ,此時 2 =2 +4t3 =2.67 rad 1.10 甲乙兩船，甲以10km/ h的速度向東行駛，乙以15km/ h的速度向南行駛。問坐在乙船上的人看來，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看來乙船的 速度又如何？ 解：以地球為參照系，底二j分別代表正東禾呼北方向，一則甲乙兩船速度分別為 v1 =10i km/h v2 - -15jkm/h 根據(jù)伽利略變換，當(dāng)以乙船為參照物時，甲船速度為 v =

12、v1 -v2 =(10i 15j)km/h 15 … v -；102 152 =18.1km/h = a9tg 而=5&31 即在乙船上看，甲船速度為8.1km/h ,方向為東偏:n56.31二 同理，在甲船上看，乙船速度為8.1km/h ,方向為西偏南56.31 1.11 有一水平飛行的飛機，速率40,在飛機上安置一門大炮，炮彈以水平速度向前射擊。略去空氣阻力, (1)以地球為參照系，求炮彈的軌跡方程； (2)以飛機為參照系，求炮彈的軌跡方程； (3)以炮彈為參照系，飛機的軌跡如何？ c+2 解：⑴以地球為參照系時，炮彈的初速度勢—v V0,而x—st , y — 一

13、0.5gt 消去時間參數(shù)t,得到軌跡方程為： 2 gx y =一。/…J 2(V v0) (若以豎直向下為軸正方向，則負(fù)號去掉，下同) 2 gx y = 一二 2 _ gx 一 2v2 ⑵以飛機為參照系時，炮彈的初速度為，同上可得軌跡方程為 2V y (3)以炮彈為參照系，只需事)的求解過程中IT x代替x , y代替y ,可得 1.12如題1.12圖，一條船平行于平直的海岸線航行離岸的距離為D ,速率為v , 一艘速率刈Mv的海上警衛(wèi)快艇從一港口出去攔截這條船試證明: D v2-u2 x 二 如果快艇在盡可能最遲的時刻出發(fā)，那么快艇出發(fā)時這條船到海岸線的垂

14、線與港口的距離為 u ;快艇截住這條船所需的時間為 Dv 攔截條件為: Xi = x2 、y1 = y2 "Lvt = x uco s t 即 D 二 usi n t 所以 D v -u cos - x 二 ： usin - x取最大值的條件為：dx/ dB = 0,由此得到cos@ = u/ v ,相應(yīng)地sin 8 = J Y V v 因此x的最大值為 D .v2 -u2 x 二 u x取最大值時對應(yīng)的出發(fā)時間最遲。快艇截住這條船所需的時間為 t=2 usin 二 Dv -2 2 u \ v - u 習(xí)題二答案 習(xí)題二 2.1簡要

15、回答下列問題： (1)有人說：牛頓第一定律只是牛頓第二定律在合外力等于零情況下的一個特例，因而它是多像劭看法如何？ (2)物體的運動方向與合外力方向是否一定相同？ (3)物體受到了幾個力的作用，是否一定產(chǎn)生加速度？ (4)物體運動的速率不變，所受合外力是否一定為零？ (5)物體速度很大，所受到的合外力是否也很大？ (6)為什么重力勢能有正負(fù)，彈性勢能只有正值，而引力勢能只有負(fù)值？ (7)合外力對物體所做的功等于物體動能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物體動能的增量？ (8)質(zhì)點的動量和動能是否與慣性系的選取有關(guān)？功是否與慣性系有關(guān)？質(zhì)點的動量定理與動能定理是否與慣性系有關(guān)

16、？請舉例說明 (9涉J斷下列說法是否正確，并說明理由： (a汴受外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機械能都守恒 (b)內(nèi)力都是保守力的系統(tǒng)，當(dāng)它所受的合外力為零時，其機械能守恒 (c)只有保守內(nèi)力作用而沒有外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機械能都守恒 (10)在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中，又有哪些量保持不變？ (11)放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火質(zhì)心運動軌跡如何？為什么在空中焰火總是以球形逐漸擾級略空氣阻力 2.2質(zhì)量為m質(zhì)點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻F = -kv (k為常數(shù))作用，t = 0時質(zhì)點的速度/0,證明: _ Jst m = (mv0.：k) [1

17、-門]. (1) t時刻的速度為v =V0e (2)由0到t的時間內(nèi)經(jīng)過的距離野 (3)停止運動前經(jīng)過的距離即v0；k 證明: ma 二mdv = F=-kv dt dv vdv = . tKdt v0 v 0 m 分離變量得v ln*」t v。 m --dt m ,積分得 ,kt m v = v0e vdt 二 -kt/m - mv0 v0e dt = k kt/m、 (1 -e ) ⑶質(zhì)點停止運動時速度為零，ItT" xf"dt4 ,故有 0 k 2.3—質(zhì)量為10 kg的物體沿x軸無摩擦地運動 和加速度 解.根據(jù)質(zhì)點動量定理

18、 ,4=0時，物體的速度為零，物體在方=3*4t (N)(t以s為單位)的作用下運動了 3s,求它的速度 Fdt = mv - mv0 i [3 4t dt = mv 0 0 -3t+2t2i v 二 m 3 3 2 32 10 _ .1 = 2.7(ms ) 根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn) = ma b+4t: 9:1.5 10 (m/S) 2.4 一顆子彈由槍口射出時速率多ms1,當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力F =(a—bt)N (a,b為常數(shù))，其中t以秒為單位: (1)假設(shè)子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；

19、 (2)求子彈所受的沖量； (3)求子彈的質(zhì)量 解： (1)由題意，子彈到槍口時，#=(a -bt) t I (a -bt)dt = at (2廳彈所受的沖量 0 I m =— (3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量 v0 =0,得 --bt2 2 2 a 2bVO b代入，得 2b 2.5 —質(zhì)量為m的質(zhì)點在xoy平面上運動，其位置矢量為=acoseoti +bsintj ,求質(zhì)點的動量放=0到，=兀/2切時間內(nèi)質(zhì)點所受的合力 的沖量和質(zhì)點動量的改變量。 解：質(zhì)點的動量為 p = mV = m# = m -asin ti bcos tj 將t =0和t =n/2

20、切分別住入上式，得 p1 = m，bj p2 - -m .ai 動量的增量，亦即質(zhì)點所受外力的沖量為 I = p2 - p1 - -m (ai bj) 2.6作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為F =(10+2t)IN ,式中t的單位是s。 (1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量； - (2)為了使這力的沖量理00N該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速6jm s的物體，回答這兩個問題。 解：(1醫(yī)物體原來靜止，則 4 t 4 4 H - p1 = Fdt = (10 2t)idt =56i 1 ,。 [kg ms ],沿x軸

21、正向, ?：；二衛(wèi)二5.6i[ m s」],I1 m . . 若物體原來具有初速必0 = "6jm s，則 1 _ = 56i [kg m s ] 于是 P0 - -mv0, p(t) - -mv0 ：p2 = p(t) 一 pg 二』pi t 0Fdt 同理, I2 這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量解I巾圜就一定相同，這就 是動量定理. I 二 (2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即 2 令 10t+t =200 ,解得t =10s。 t 2 O(10 2t)dt =10t t 2.7

22、一小船質(zhì)量為100kg船頭到船尾共長3.6ni現(xiàn)有一質(zhì)量為50kg的人從船尾走到船頭時，船頭將移動多少距離？假定水的阻力不計。 解：由動量守恒 M船V船—m人v人=0 t f0V船 dt t M 船 M船 史V船dt二— See 如圖，船的長度 所以 即船頭相對岸邊移與船=1.

23、2m c L 3.6 &=TI = 7^0 =1.2m 1 - 1 - m人 50 2.8 質(zhì)量m =2kg的質(zhì)點從靜止出發(fā)沿X軸作直線運動，受療=(12t)i (N),試求開始3s內(nèi)該力作的功。 3 A= LFxdx= L(12t)dx= 0(12tvx)dt t vx =vx0 0axdt t Fx 12 t —dt =——tdt = 3t 0 m 2 0 所以 =729(J) 03 12t 3t2 dt = ：36t3dt = 2 2.9 一地下蓄水池，面積為=50m ,水深度為 1.5m,假定水的上表面低于地面的高度5.0m,問欲將

24、這池水全部抽到地面，需作功多少 O h1 h。 習(xí)題2.9圖 解建坐標(biāo)如習(xí)題2.9圖，圖中h0表示水面到地面的距離，h1表示水淞 量dm = Psdy ,將此層水抽到地面需作功 , o水的密度為* = 103 kg/m3 ,對于坐標(biāo)為y、厚度為dy的一層水，其質(zhì) dA = dmgy = :?sgydy 將蓄水池中的水全部抽到地面需作功 h0 hl h0 dA= h0 h) h1 Psgydy = 1Psgi(h0+n )2-h2 I =1 :sg h2 2%, 1 3 2 10 50 9.8 1.5 2 5.0

25、 1.5 6 2 =4.23 106(J) 2.10 炮彈質(zhì)量為m,以速度V飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動T為且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍, v -/2T km 利用四 .叫二 m,有 如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為+J2kT/m 證明：設(shè)一塊的質(zhì)量劃1 ,則另一塊的質(zhì)量%m2 =km1。 m km m1 = m2 = 1 k 1 2 k 1 又設(shè)m1的速度為v1, m2的速度為v2,則有 T Jmwi2 2 Im2v2」mv2 mivi m2v2 聯(lián)醐華得 =mv ［動量守恒 v1 kv2 = (k 1)v

26、 v1 = (k 1)v - kv2 聯(lián)②^得 2T 2 2T (v2 -v) v2 = v - km ,于是有 k km 將其代入④式，有 v1 = (k 1)v -k iv . 2T km 2kT m 2kT 2T 解方法 v1 = v ： . ,v2 = v 一 . 又因為爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行當(dāng)k>1時只能取 \ m km。 2.1L質(zhì)量為m的子彈射入置于光滑水平面上質(zhì)量W 并與勁度系數(shù)為k的輕彈簧連著的木塊后使彈簧最大壓縮t ,求子彈射入前的速必0. M 習(xí)題2.10圖 解：子彈射入木塊到相對靜止的過程是一個完全非彈性

27、碰撞，時間極短，木塊獲得了速度，尚未位移，因而彈簧尚榔i穌塊和子彈有共同的速度 v1,由動量守恒， m M v1 = mvo 此后，彈簧開始壓縮，直到最大壓縮，由機械能守恒， 1 2 1 2 m M v1 = 一 kL 2 2 由兩式消去v1 ,解出v0得 vo =LJk(m - M ) m 2.11質(zhì)量m的物體從靜止開始，在豎直平面內(nèi)沿著固定的四分之一圓由t到B。在B處時，物體速度的大小力B。已知圓的半徑小，求物體 從A滑到B的過程中摩擦力所作的功(1)用功的定義求；(2)用動能定理求;(3)用功能原理求。 r r dv mg cos - - f = mat = m -

28、 -f 二-mgcos^ m-dv 出 注意摩擦力f與位移dr反向，且1 dr |= Rd9 ,因此摩擦力的功為 . 二2 . - ,. vb | dr | , Af = - o mg cosr Rd 二 m d-j dv ：■ 2 VB 1 -mgR cos"1 m vdv = -mgR — mv 二2 方法二：選m為研究對象，合外力的功為 ? ■ . 金 A = mg f N dr 3 4 N dr -0國而 考慮到‘ ，因而 2 A = Af - ? mg cos 1 | dr 卜 Af mgR o cos ?d - Af mgR . -Ek = -m

29、vB -0 由于動能增量為 2 ,因而按動能定理有 1 2 1 2 Af mgR=-mvB Af =-mgR mvB 2 2 方法三：選物體、地球組成的系統(tǒng)為研究對象，B點為重力勢能零點 初始在A點時, 終了在B點時, Epo -mgR Eko =0 、 1 2 Ep=0 Ek=2mvB Af = E = E1 — E0 由功能原理知： 經(jīng)比較可知，用功能原理求最簡捷。 二；mv2 - mgR 2.12墻壁上固定一彈簧，彈簧另一端連接一個物體，彈簧的勁度系或為物體m與桌面間的摩擦因素城，若以恒力F將物體自平衡點向右拉動, 試求到達最遠(yuǎn)時，系統(tǒng)的勢能。 <\/\

30、Z\7fk/X m fF 4 ? J 習(xí)題2.12圖 解：物體水平受力如圖，其中fk =kx , fp= Rmg 物體到達最遠(yuǎn)時，v=0。設(shè)此時物體的位移方，由動能定理有 x ? i F - kx- Jmg dx = 0 -0 一 1 . 2 Fx — - kx -」mgx = 0 x = 2_^ 解出 系統(tǒng)的勢能為 Ep , 2 2 F -」mg k 2.13 —雙原子分子的勢能函數(shù)為 「缶Y 佃？ Ep(r)=E?！?—2 的 j |_【r J

31、; ⑵分子勢能的極小值為一E0 ； ⑶當(dāng)Ep(r) =時， dEp(r) 證明：（1）當(dāng) dr d2Ep(r) dr2 0 . 時，勢能有極小* P（r）min dEP(r) d P E0 dr dr 6 = 12E0 所以r =r0,即r0為分子勢能取極值時的原子間距。另一方面, 2 dE")

32、 dr2 12 = 12E。13鼻 r d2Ep(r) 當(dāng)「=ro 時，dr = 12E。 13 7 72E。 EP (r) min 當(dāng)r = r0時， =eo 2 r0 7r r0 2 r0 J 12 -2 12 6 r0 . r0 -T3 r r J 0 ,所以r =r0時,Ep（r）取最小值。 -- eo J 12 -2 介。i Ep(r)=E。尸 |_lr J 2.14 介”6 乜=2 r 質(zhì)量為7.2

33、M，g,速度為6.0 t07m/s的粒子A, 與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒節(jié)相碰，假定這碰撞是彈性碰撞，碰撞后粒樂的速率為 5XC7m/s,求： ⑴粒子B的速率及偏轉(zhuǎn)角; ⑵粒子A的偏轉(zhuǎn)角。 Vb Va a 習(xí)題2.14圖 解：兩粒子的碰撞滿足動量守恒 mA =7.2 10 23 kg mB vA =6.0 107m / s mA 2 3.6 10”3kg vA = 5.0 107 m/s * Va niaVa =mAvA mBvB 寫成分量式有 mAVA = mAVA cos‘: mBVB cos : m

34、AvA sin = mBvB sin : 碰撞是彈性碰撞，動能不變: 1? 2 1 逐 1 ,2 二 NIaVa =-mAV a 二 NbVb 2 2 2 利用 可解得 v B = 4.69 107 m / s P = 54 4 a = 22 20 o 2.15 平板中央開一小孔,質(zhì)量為m的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量那1的重物。小球作勻速圓周運動，當(dāng)半徑為r0時重物達到平衡。今 在M1的下方再掛一質(zhì)量為M 2的物體，如題2-15圖。試問這時小球作勻速圓周運動的角速度和半徑「為多少？ -m M1 M2 III 習(xí)題2.15圖 解：在只掛

35、重物M1時，小球作圓周運動的向心力即1g ,即 2 M 1g = mro 0 掛上M 2后，則有 2 (M 1 M2)g = mr 重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守值. 2 2 2 2 即 romvo = r mv = ro 0 = r ， 聯(lián)立①、②、釧導(dǎo) 10 4 」 2.16 哈雷慧星繞太陽運動的軌道是一個橢圓。它離太陽最近距離%=8.75 10 m時的速率是v1 =546 10 ms ，它離太陽最遠(yuǎn)時的速率 2 是血=9.08父10 ms ，這時它離太陽的距離2是多少？(太陽位于橢圓的一個焦點。 解：哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引——即有心力

36、的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠(yuǎn)日點時的速度都與軌道半徑蠹雨, r1 mv = 12 mv _ 12 = 5.26 10[m] 8.75 1010 5.46 104 Z"TT ""2 9.08 102 2.17 查閱文獻，對變質(zhì)量力學(xué)問題進行分析和探討，寫成小論文。 參考文獻： [1]石照坤，變質(zhì)量問題的教學(xué)之淺見，大學(xué)物理1,991年第10卷第10期。 [2]任學(xué)藻、廖旭，變質(zhì)量柔繩問題研究，大學(xué)物喋006年第25卷第2期。 2.18 通過查閱文獻，形成對慣性系的進一步認(rèn)識，寫成小論文。 參考文獻： [1]高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考，大學(xué)物理2

37、00群第21卷第4期。 [2]高炳坤、李復(fù)，“慣性系”觥),大學(xué)物理，200溝第21卷第5期。 習(xí)題三答案 習(xí)題三 3.1 簡要回答下列問題： (1)地球由西向東自轉(zhuǎn)，它的自轉(zhuǎn)角速度矢量指向什么方向作圖說明 ⑵剛體的轉(zhuǎn)動慣量與那些因素有關(guān)？ “一個確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動慣量”這句話對嗎? （3）平彳f于Z軸的力對Z軸的力矩一定為零，垂直空軸的力對Z軸的力矩一定不為零這種說法正確嗎？ ⑷如果剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？ ⑸ 兩大小相同、質(zhì)量相同的輪子，一個輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個輪子的質(zhì)量主要集中在輪子邊緣，兩輪繞通過

38、輪心且垂直于輪面的軸轉(zhuǎn)襁）問： 如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個輪子轉(zhuǎn)動的角速度較極如果它們的角加速度相同，哪個輪子受到的力矩人C）如果它們的角動量相等， 哪個輪子轉(zhuǎn)得快？ （6）為什么質(zhì)點系動能的改變不僅與外力有關(guān)，而且也與內(nèi)力有關(guān)，而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能只與外力矩有關(guān)，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)？ ⑺下列物理量中，哪些與參考點的選擇有關(guān)，哪些與參考點的選擇無聘）位矢；（b泣移；（c速度；（d功量；（e）t動量；⑴力；（g）力矩 （8）做勻速圓周運動的質(zhì)點，對于圓周上某一定點，它的角動量是否守恒？對于通過圓心并與圓平面垂直的軸上任一點，它的角動量是否守恒？對于哪 個定點，它的角動量守恒？ ⑼一

39、人坐在角速度用"的轉(zhuǎn)臺上，手持一個旋轉(zhuǎn)著的飛輪淇轉(zhuǎn)軸垂直于地面，角速度為9 。如果忽然使飛輪的轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)將發(fā)生什么情況？設(shè)轉(zhuǎn)臺 和人的轉(zhuǎn)動慣量為I ,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量火。 3.2 質(zhì)量為m長為1的均質(zhì)桿，可以繞過B端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動開始時，用手支住A端，使桿與地面水平放置，問在突然撒手的瞬時,（1疏B 點的力矩和角加速度各是多少（2肝的質(zhì)心加速度是多少？ B A I ? A 習(xí)題3.1圖 4 , m = ~ 解：（1疏B點的力矩M由重力產(chǎn)生，設(shè)桿的線密度M , 1 ,則繞B點的力矩為 mg m 1 1 M = o xdG = gxdm = o gx?dx = - mgl

40、 , m 2 , 1 2 1 , I = x dm = x : dx = -ml 桿繞B點的轉(zhuǎn)動慣量為 角加速度為 （2肝的質(zhì)心加速度為 0 0 3 M 二3g I 2l 1 ： 3 a - - - 二 - g 2 4 3.3如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為m1與m2,滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為I ,半徑為r ⑴如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)才，求系統(tǒng)的加速胭及繩中的張丈T1與T2 （設(shè)繩子與滑輪間無相對滑耕 和張力T2 , ⑵如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力 與T2 o 解：⑴先做受力分析，物體受到重力m1g和繩的張力T1,對于滑輪，受到張月1和T

41、2,對于物體2,在水平方向上受到摩擦Jm2g 分別列出方程 m〔g -T1 =m〔a J =m1 g -a 】 T2 -」m2g =m2a12 = mb a 」g ] a T1 -T2 r =M =I - 二I — r 通過上面三個方程，可分別解出三個未知量 . 2 mi 7m2 gr 2 , mb m2r I , ， 2 , 1 」m2r g Ig T1 二 m1 2 m1m2 r I T2 二 m2 ， , 2 一 1 ! mr g ! -Ig 2 ；- mi m2 r I ⑵在⑴的解答中，取卜二0即得 2 migr a 二 2— ⑺ +m

42、2 y +I m2「2g Ig 2 m1m2 r 3.4電動機帶動一個轉(zhuǎn)動慣量為=50kgm2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動。 電動機對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)施加的力矩。 解：由于轉(zhuǎn)速是均勻增加的，所以角加速度為 a = ：t 120r/min 2 二 rad /r 0.5s 60s/min 2 m1m2r g 2 , m1 m2 r I 花.5s內(nèi)由靜止開始最后達至I20r/mi用勺轉(zhuǎn)速。假定在這一過程中轉(zhuǎn)速是均勻增加的，求 =8 二 rad / s2 從而力矩為 M =I ： - 50 8 1-1,257 103kgm2s^ 3.5—飛輪直徑為0.30團質(zhì)量為5.00kg邊緣

43、繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速經(jīng)0.50s專速達到10r/s假定飛輪可看作實心 圓柱體，求： ⑴飛輪的角加速度及在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)； ⑵拉力及拉力所作的功； ⑶從拉動后t=10sM飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。 解：⑴飛輪的角加速度為 a = "：t 轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 10r / s 2二 rad / r 0.5s 2 =125.7rad / s2 1 " ， C - n = - 10r /s 0.5s = 2.5r 2 ,1 2 I = 一 mr ⑵飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為 F』 r 所以，拉力的大小為 1 = —mr

44、：= 2 1 5 03 125.7 = 47.1(N) 2 2 拉力做功為 W=FS=F n二d=47,1 2.5 3.14 0.3 =111(J) ⑶從拉動后t=10寸寸，輪角速度為 3 ■ = ： t =125.7 10 =1.257 10 (rad / s) 輪邊緣上一點的速度為 v：=fr =1.257 103 0.15 =188(m/s) 輪邊緣上一點的加速度為 一一 一一， . 2、 a =r =125.7 父0.15 =18.8(m/s )。 求制動廿。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系麴=0,4飛輪的質(zhì)量全 0.5m 3.6 飛輪的質(zhì)量為60kg

45、,直徑為0.50m轉(zhuǎn)速為1000r/min現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動, 部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。 0.75m 習(xí)題3,6^)] 閘瓦 解：設(shè)在飛輪接觸點上所需要的壓力看，則摩擦力為“F " Mdt u L - L0 右 到0,所以由 0有 」F 摩擦力的力矩為 d d mv- 2 ,在制動過程中，摩擦力的力矩不變，而角動量由 2變化 」F 2t m d F = =785.4N 解得 2」t 0.5 F 二——F=314.2N 由桿的平衡條件得 1.25 1 2 mgh = -kh 2 將 m=6kg g=9.8kgm/s 1mv2 2

46、 Iv2 + 2r2 , h = 0.4m 2 I =0.5kgm r = 0.3m 代入，得 3.7 彈簧、定滑輪和物體的連接如霞7所示，彈簧的勁度系數(shù)M.0N m1；定滑輪的車^動慣量是0.5kg吊,半徑為0.30m問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m 時，它的速率為多大？假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長。 29 v = 2.01m/s 3.8 在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量m的人。圓盤的半徑為R,轉(zhuǎn)動慣量為J ,角速度為8。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此 系統(tǒng)動能的變化。 解：系統(tǒng)的角動量在整個過程中保持不變。 人在盤邊時，角動量為 人走到盤

47、心時角動量為  L uI 出二 J mR2 ■ 因此 人在盤邊和在盤心時，系統(tǒng)動能分別為 系統(tǒng)動能增加 Wi = 4J/2 .… … … 1 2_ 2 1 m lW =W2 - W1 m ■ R 1 J + mR2 2 2 0 2 J X.2 3.9 在半徑為R,質(zhì)量為m的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量劃 的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心，半 徑為R2[R2*R1]的圓周勻速地走動時，設(shè)他相對于圓盤的速度為,問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？ 解：整個體系的角動量保持為零，設(shè)人勻速地走動時圓盤的角速儂 則 2 L

48、 = L人 + L盤=m （v —缶 R2 ）R2 — 2 mR ②=0 解得 co -2R2 -?v R12 2R2 3.10 如題3.10圖示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速便作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣J =5 1。5kgm2?，F(xiàn)有砂粒以1g/sB勺速度落到轉(zhuǎn)臺，并粘在臺 面形成一半徑r =0.1m的圓。試求砂粒落到車專臺,使轉(zhuǎn)臺角速度變蜉00所花的時間。  1 解：要使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)? ,由于砂粒落下時不能改變體系角動量，所以必須要使體系的轉(zhuǎn)動慣量加倍才行，即 2 m沙多r r = J。將 5. 2 J =5 10 -kg m 和r =0.1m代入得 3

49、 . m 沙粒=5 10 - kg 5 10-kg 匚 二5s 所以 1g/s 3.11 一脈沖星質(zhì)量為1.5伙)3ckg,半徑為20km自旋轉(zhuǎn)速為2.1 r/號并且以1.0 1X-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動動能以多大的變化率減??？如果這一 變化率保持不變，這個脈沖星經(jīng)過多長時間就會停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。 解：脈沖星的轉(zhuǎn)動慣量為 1 2 2 =-m ■ r 轉(zhuǎn)動動能為 轉(zhuǎn)動動能的變化率為 dW 2 一 =一mr 一 dt 5 dt 5 d - a =—— 由 出 =0.4父1.5父103 父(2父104 ：父2.1 父2父兀父1.0父1

50、0,5 M2 Mli =1.99^1025J / s 切=at ,得停止自旋所需要的時間為 ,■ 2.1r/s 15 t = — = j5 2 =2.1 10 s 1.0 10 r/s 3.12 兩滑冰運動員，質(zhì)量分別WA=60kg MB=70kg它們的速率VA=7m/ VB=6m/在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時，便拉起 手來，開始繞質(zhì)心作圓周運動并保持兩者間的距離為5ml求該瞬時：⑴系統(tǒng)的總角動量;⑵系統(tǒng)的角速度;⑶兩人拉手前、后的總動能。這一過程中 能量是否守恒，為什么？ 解：⑴設(shè)兩滑冰運動員拉手后，兩人相距為，兩人與質(zhì)心距離分別為A和rB,則 Mb

51、s M a M b 「b Ma s M a M b 兩人拉手前系統(tǒng)總角動量為 L - LA L B = M AVArA M BVBr B = M aM b Ma Mb VA VB s = 630kgm2 /s (2股兩人拉手后系統(tǒng)的角速度為0 ,由于兩人拉手后系統(tǒng)角動量不變 L = M Ar： , M Br[2 . 所以, L 2 一 2 Ar A M BrB Va Vb ———B =8.67rad /s s ⑶兩人拉手前總動能為: 1 2 W1 M aVa 2 1 2 -M bVb =2730 J 2 拉手后，

52、由于整個體系的動量保持為零，所以體系動能為 1 2 2 1 2 2 W2 M ArA ■ M BrB 」 2 2 1 M aM b Ma M b VA VB 2 = 2730J 所以體系動能保持守恒。可以算出，當(dāng)且僅M AVA = MBVB時，體系能量守恒，否則能量會減小，且 -W =Wi -W2 = 2MA M b (M aVa - M bVb )2 3.13 —長l =0.40m!勺均勻木棒，質(zhì)量M=1.00kg可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時 棒自然地豎直懸垂。現(xiàn)有質(zhì)&=8g的子彈以v=200m/s勺速率從A點與。點的距離為4 l ,如圖。求：⑴

53、棒開始運動時的角速度;⑵棒的最大偏轉(zhuǎn)角。 解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點的角動量為 習(xí)題3.13圖 L =3mvl =0.48kgm2s」 1 9 9 9 9 I = —Ml 2 —ml2 = 0.054kgm2 子彈射入后，整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為 3 16 所以 L = 8.88rad / s I ⑵子彈射入后，且桿仍然垂直時，系統(tǒng)的動能為 W動 J I - =2.13J 當(dāng)桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)弱時，系統(tǒng)動能為零，勢能的增加量為 ；W勢=2Mgl 1 - cos1 4mgl 1 - cosu 由機械能守恒% =W勢得口 - 94.24 3.14 通過查閱文獻，探討計算剛體轉(zhuǎn)動慣量的

54、簡化方法，寫成小論文。 參考文獻：周海英、陳浩、張曉偉，巧算一類剛體的轉(zhuǎn)動慣量，大學(xué)物200M第24卷第2期。 3.15 通過上網(wǎng)搜尋，查找對稱陀螺規(guī)則進動在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用事例，并進行分類。 習(xí)題四參考解答 ’ ‘ ‘ ‘ 4.1慣T系K相對慣性系K以速度u運動。當(dāng)它彳門的坐標(biāo)原,Q與0重合時，t = t =。在慣性系K中一質(zhì)點作勻速率圓周運動，軌道方程 為 (x2 +(y2 =a2 z = 0 ， ， 試證：在慣性系K中的觀測者觀測到該質(zhì)點作橢圓運動，橢圓的中心以畫則動。 提示：在慣性冰 中的觀測者觀測到該質(zhì)點的軌道方程為 (x-ut)2 .上=1 a2(1- -

55、2) a2 證明：根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)變換關(guān)系 (x - ut)2 . x-ut .1- -2 y=y, z =z 代入原方程中，得到 1 一： (x - ut)2 . y 化簡得 2 2、 2 a (1 - - ) a 二1 所以，在K系中質(zhì)點做橢圓運動，橢圓中心以速度運動。 4.2 一觀測者測得運動著的米尺胞.5m ,問此米尺以多大的速度接近觀測者？ 解：由相對論長度縮短關(guān)系L = L0 J1 一(v/c f /曰, v =c1 - L/L0 2 = 3.0 108 . 1 - 1/2 2 =2.6 108m/s

56、 Y Y 10d1 - (u / c ) cosQ 1r , tge = arctan-===.

57、K系沿x軸正向以速 率u運動，試求在K系中測得的細(xì)桿的長度和細(xì)桿與x軸的夾角a o 2 百 △x = 41 - (u / c ) Ax y = Ay = l0 sin 日’ 在K系中細(xì)桿的長度為 =10 v,1 -(u cos6 7c)2 l =4Ax2 + Ay2 =l0q 1—(u/cf bos2b + sin2e 1r :y a - arcta-n- 與X軸正向夾角為 x 3 J L 4.4 一飛船以9父10 ms的速率相對于地面假設(shè)地面慣性用勻速飛行。若飛船上的鐘走:5s的時間，用地面上的鐘測量是經(jīng)過了多少時間? 8 - 4.5 已知兀 介子束的速度弱.

58、73c[c為真空中的光速，其固有平均壽命中.5 M10 s,在實驗室中看來，兀 介子在一個平均壽命期內(nèi)飛過多 大距離？ T = 解：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系 11 -(v/c)2 2.5 10 T 二 代入數(shù)據(jù)，可得 因此 S = vT 1 -0.73 — =3.658 10 晨 2 = 0.73 3 108 3.658 10"=8.01m 4.6 慣T系K 相對另一慣性系K沿x軸作勻速直線運動，在慣性水 中觀測到兩個事件同時發(fā)生軸上，且其間距旬m,在K系觀測到這兩個 事件的空間間距是2m ,求K 系中測得的這兩個事件的時間間隔。 解：由相對論的同時性的兩

59、個等價關(guān)系 Lt = U「X V/C2 X -奴 v/c2 (2) u^x - x = 代入（2成中得到 t，漢 v/c2 聯(lián)立兩式得到 1 _ jx_ ,1 -(v/c)2 x = v = c. 1 —(Lx/Lx )2 i ：x \1-( ：x/：x)2/c=2 1 -(1/2)2 /(3 1 08)=577 1 0s 4.7論證以下結(jié)論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同的地點，在有相對運動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時發(fā)生。 證明：令在某個慣T系中兩事件滿足& = 0 , Ax # 0 則在有相對運動的另一個慣性系腫目對運動速度刈),兩事件的

60、時間間隔是 2、 ， 2 ?t = u( _t _x v/c )=-u,x v/c =x v/c2 1 -(v / c) 由于 所以 以 0 , v 0 0 且 v c △t00,即兩事件一定不同時發(fā)生。 4.8 試證明：⑴如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這雨事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短：2)如果兩個事 件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短。 證明(1)設(shè)兩事件在某慣性系中于同一地點發(fā)生，舶x=0,時間間隔為△t，則在另一個相對運動速度為的慣性系中，兩事件的時間間隔為 △t =u(

61、 t T：x v/c2) = u t = ,1-(v/c)2 所以，在原慣性系中時間間隔最短。 證明(2)設(shè)兩事件在某慣性系中于同時發(fā)生, 1^=0,時間間隔為Ax ,則在另一個相對運動速度為的慣性系中，兩事件的時間間隔為 x = u( x -v t) = u x 1 -(v/c) 所以，在原慣性系中空間間隔最短。 4.9 若電子A和電子B均以0.85C[c為真空中的光速的速度相對于實驗室向右和向左飛行，問兩者的相對速度是多少？答案：0.99C] 4.10 一光源在K 系的原點 發(fā)出一光線。光線在X Y‘平面內(nèi)且與X軸的夾角為8 設(shè)K 系相對于K系沿x軸正向以速率u運動。

62、試求在 K系中的觀測者觀測到此光線導(dǎo)軸的夾角H o V； = ccos 解：光線的速度化系中兩個速度坐標(biāo)上的投影分別為Vy =csin" 由速度變換關(guān)系 Vx u Vx Vx u 1 x— 2 c Vy 7" 15 Vx 則在K系中速度的兩個投影分別為 Vx ccos二 u ( uccos1 1 2 c Vy csin1 1 -u2/c2 uccos 二 二-arctan 所以，在K系中的觀測者觀測到此光線身軸的夾角 2 c Vy V： 4.11如果一觀測者測出電子的質(zhì)量1m0[m0為電子的靜止質(zhì)蜃，問電子的速度是多大? m。 m

63、 2 解：由相對論質(zhì)量關(guān)系 1 (V/c) 而且 得到 m = 2m0 .3 V = —c = 0.866c 2 4.12 如果將電子由靜止加速至0.1c [c為真空中的光速的速度，需要對它作多少功？速度々.9c加速到0.99c,又要作多少功? 解(1)由相對論動能定理: Aab I 一2 一2 一2 dr = mbc -mac = m0c M—(Vb/c)2 ；1-(Va/c)2 因為Va Vb = 0.1c Aab 2 =m0c --11 = 0.005m0c2 = 4.095 10,6 J ： 2.56Kev 代入得到 ⑵將Va -0

64、.9c Vb =0.99 c代入原式 A 2 Aab =mc f, 卜 J1 - 0.99 2 V1 -0.92 2 13 3 = 4.7946m0c =3.93 10 J ： 2.46 10 Kev 4.13在什么速度下粒子的動量是其非相對論動量的兩倍？在什么速度下粒子的動能等于它皤 p = mV = 解(1)由相對論動量公式 而且p =2m0V m0V ,1 -(V/c)2 聯(lián)立兩式m =2m。 = -3 8 」 V =——c =2.6 10 ms 2 (2)由相對論動能公式EK = 2 而且 EK =2m0c 2 -m0c2 聯(lián)立兩式m

65、 =2m。 = ?-3 _ _ _ 8 1 V =-c =2.6 108ms 2 31 , 4.14靜止質(zhì)量為9/父10 kg的電子具有5倍于它的靜能的總能量，試求它的動量和速率。 ［提示:電子的靜能為E0 =0511MeV］ 2 解：由總能量公式E =mc 5Eo m E =5E0 ― m 「2 而且 0 — c 其中 mo m 二 11 -(v/c)2 聯(lián)立(1)、⑵兩式 2 4 mc c 1 25E _ - -31 2 _ _84 , (9.1 10 ) (3 10 ) … 25 (0.511 106 1.6 10,9)2 一 . c

66、將⑴式代入動量公式 5Eo p = mV =-2- 0.98c = c 5 0.98 0.51Mev 2.5Mev 4.15 一個質(zhì)量為M的靜止粒子，衰變?yōu)閮蓚€靜止質(zhì)量m1和m2的粒子，求這兩個粒子的動能［提示：利用能量守恒和動量守恒關(guān)容 解：令兩粒子的動能分別存K1與EK2 由相對論能量守恒得到 由相對論動量和能量的關(guān)系 Mc2 = EK1 EK2 mic2 m2c2 2 2 2 2 4 2 2 E = p c mc (Ek mc ) E p2 2moEK 得到 c 2 2 由相對論動量守恒p1 = p2得到 EL EK2 —2miEKi 二一2mzEq c c 聯(lián)立(1)、(2)兩式解得 2 2 Eki 1M -m1 2 -m2 2M 習(xí)題五參考解答 5.1