《2021屆四川省涼山州高三第三次診斷性檢測數(shù)學（理科）試卷（解析版）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021屆四川省涼山州高三第三次診斷性檢測數(shù)學（理科）試卷（解析版）（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2021年四川省涼山州高考數(shù)學三診試卷（理科） 一、選擇題（每小題5分，共60分.） 1．已知集合A＝{（x，y）|x＝1}，B＝{（x，y）|y＝x+1}，則A∩B＝（　　） A．（1，2） B．{（1，2）} C．[1，+∞） D．{1} 2．若復數(shù)z滿足z?i＝|﹣1﹣i|，則z＝（　?。? A．1﹣i B．1+i C．﹣ D． 3．直線l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣1）x﹣2y+1＝0，則“a＝2”是“l(fā)1⊥l2”的（　?。l件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：?x，y∈R，f（x+y）＝f（

2、x）?f（y），且f（1）＝2，則f（0）+f（2）＝（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知三條不重合的直線m，n，l，三個不重合的平面α，β，γ，下列命題中正確的是（　　） A．?m∥n B．?n∥α C．?α∥β D．?α∥β 6．等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，a1＝dx，S6＝36，記數(shù)列{（﹣1）nan}的前n項和為Tn，則T10+T21＝（　?。? A．﹣11 B．﹣9 C．﹣13 D．﹣7 7．我國古代很早就有對等差數(shù)列和等比數(shù)列的研究成果．北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一物品堆，從上向下數(shù)，第一

3、層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，…，以此類推．記第n層貨物的個數(shù)為an，則數(shù)列{}的前2021項和為（　?。? A． B． C． D． 8．定義運算＝a1a4﹣a2a3，設f（x）＝（ω＞0），若f（x）的圖象與直線y＝﹣2相交，且交點中兩點間的最短距離為π，則滿足f（m+x）＝f（m﹣x）的一個m的值為（　?。? A． B． C． D． 9．已知O為坐標原點，P為⊙C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2（a＞0）上的動點，直線l：x+y﹣1＝0，若P到l的最小距離為2，則a的值為（　?。? A．2 B．4 C．6 D．8 10．已知曲線C：2x2﹣2y2＝1，過它

4、的右焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝（　?。? A． B． C． D． 11．已知函數(shù)f（x）＝，記a＝f（log32），b＝f（log53），c＝f（ln），則（　　） A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 12．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣﹣+a，若曲線y＝f（x）在點（b，f（b））處與直線y＝0相切，則a＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣1或1 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13．若（x﹣）n的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項為　

5、 　.（用數(shù)字作答） 14．櫻花如約而至，武漢疫后重生．“相約春天賞櫻花”的諾言今年三月在武漢大學履行．武漢大學邀請去年援鄂的廣大醫(yī)護人員前來賞櫻．某醫(yī)院計劃在援鄂的3名醫(yī)生和5名護士（包含甲醫(yī)生和乙護士）任選3名作為第一批人員前去賞櫻，則甲醫(yī)生被選中且乙護士未被選中的概率為　 　． 15．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，其準線l與x軸的交點為K，點P（x，y）（y＞0）為C上一點，當最大時，直線KP的斜率為　 ?。? 16．如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．總有優(yōu)美等式S△PBC+S△PAC+S△PAB＝成立

6、，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理．現(xiàn)有以下命題： （1）若P是△ABC的重心，則有++＝； （2）若a+b+c＝成立，則P是△ABC的內(nèi)心； （3）若＝+，則S△ABP：S△ABC＝2：5； （4）若P是△ABC的外心，A＝，＝m+n，則m+n∈[﹣，1）． 則正確的命題有　 　． 三、解答題：（解答過程應寫出必要的文字說明，解答步驟．共70分）（一）必考題：每題12分，共60分． 17．在鈍角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且sinC﹣sin（A﹣B）＝4sin2A． （1）求的值； （2）若△ABC的外接圓半徑為，C＝，

7、求△ABC的面積． 18．某品牌汽車4S店對2020年該市前幾個月的汽車成交量進行統(tǒng)計，用y表示2020年第x月份該店汽車成交量，得到統(tǒng)計表格如表： xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ui 14 12 20 20 22 24 30 26 （1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x+，并預測該店9月份的成交量；（，精確到整數(shù)） （2）該店為增加業(yè)績，決定針對汽車成交客戶開展抽獎活動，若抽中“一等獎”獲5千元獎金；抽中“二等獎”獲2千元獎金；抽中“祝您平安”則沒有獎金．已知一次抽獎活動中獲得“二等獎”的概率為，沒有獲得獎金的概率為．現(xiàn)有甲、乙兩個客戶參與抽獎

8、活動，假設他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲獎金總額X（千元）分布列及數(shù)學期望． 參考數(shù)據(jù)及公式：xiyi＝850，xi2＝204.＝，＝﹣b． 19．如圖，在圓錐PO中，AC為⊙O的直徑，點B在上，OD∥BC，∠CAB＝． （1）證明：平面PAB⊥平面POD； （2）若直線PA與底面所成角的大小為，E是PD上一點，且OE⊥PD，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值． 20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的兩個焦點與短軸的兩個頂點圍成一個正方形，且P（2，1）在橢圓上． （1）求橢圓的方程； （2）A，B是橢圓上異于P的兩點，設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，點Q（8，3）到

9、直線AB的距離為d，若k1+k2＝1，求以d的最大值為直徑的圓的面積． 21．已知函數(shù)f（x）＝x3+x2+ax+a． （1）若曲線y＝f（x）在點（0，a）處的切線l與曲線x2+y2＝相切，求a的值； （2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍． （二）選做題：（共10分，請考生在第22，23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分．）[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 22．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin（）＝． （1）求曲線C1的極坐標方程和

10、曲線C2的直角坐標方程； （2）在極坐標系中射線θ＝（ρ≥0）與曲線C1交于點A，射線θ＝（ρ≥0）與曲線C2交于點B，求△AOB的面積． [選修4-5：不等式選講]（10分 23．函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|+1． （1）若方程f（x）＝m無實根，求實數(shù)m的取值范圍； （2）記f（x）的最小值為n．若a，b＞0，且5a+5b＝2n，證明：a+4b﹣9ab≥0．  答案 一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1．已知集合A＝{（x，y）|x＝1}，B＝{（x，y）|y＝x+1}，則A∩B＝（　

11、?。? A．（1，2） B．{（1，2）} C．[1，+∞） D．{1} 解：因為集合A＝{（x，y）|x＝1}，B＝{（x，y）|y＝x+1}， 直線x＝1與直線y＝x+1的交點為（1，2）， 所以A∩B＝{（1，2）}． 故選：B． 2．若復數(shù)z滿足z?i＝|﹣1﹣i|，則z＝（　?。? A．1﹣i B．1+i C．﹣ D． 解：由， 得z＝． 故選：C． 3．直線l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣1）x﹣2y+1＝0，則“a＝2”是“l(fā)1⊥l2”的（　?。l件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 解：若l1⊥l2，則a（a﹣1）﹣2

12、＝0， ∴a2﹣a﹣2＝0，∴a＝2或a＝﹣1， ∴a＝2是l1⊥l2的充分不必要條件． 故選：B． 4．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：?x，y∈R，f（x+y）＝f（x）?f（y），且f（1）＝2，則f（0）+f（2）＝（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 解：因為?x，y∈R，f（x+y）＝f（x）?f（y），且f（1）＝2， 令x＝0，y＝1，則有f（1）＝f（1）f（0），又f（1）＝2，則f（0）＝1， 令x＝y(tǒng)＝1，則有f（2）＝f（1）f（1）＝22＝4， 故f（0）+f（2）＝5． 故選：B． 5．已知三條不重合的直線m，n，l，三個不重合的平面α

13、，β，γ，下列命題中正確的是（　?。? A．?m∥n B．?n∥α C．?α∥β D．?α∥β 解：A．m⊥l，n⊥l，則m與n平行、相交或為異面直線三種情況都有可能，因此不正確； B．l⊥α，l⊥n，則n∥α或n?α，因此不正確； C．α⊥γ，β⊥γ，則α∥β或α與β相交，因此不正確； D．m⊥α，m⊥β，可得α∥β，因此正確． 故選：D． 6．等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，a1＝dx，S6＝36，記數(shù)列{（﹣1）nan}的前n項和為Tn，則T10+T21＝（　?。? A．﹣11 B．﹣9 C．﹣13 D．﹣7 解：等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項和， a1＝dx＝

14、lnx＝1，S6＝36， ∴＝36，解得d＝2， 記數(shù)列{（﹣1）nan}的前n項和為Tn， 則（﹣1）nan＝（﹣1）n[1+2（n﹣1）]＝（﹣1）n（2n﹣1）， T10+T21＝（﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣13+15﹣17+19）+（﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣13+15﹣17+19﹣21+23﹣25+27﹣29+31﹣33+35﹣37+39﹣41） ＝52+102﹣41 ＝﹣11． 故選：A． 7．我國古代很早就有對等差數(shù)列和等比數(shù)列的研究成果．北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一物品堆，從上向下數(shù)，第一層有1個貨物

15、，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，…，以此類推．記第n層貨物的個數(shù)為an，則數(shù)列{}的前2021項和為（　?。? A． B． C． D． 解：由題意得，a1＝1，an﹣an﹣1＝n（n≥2）， ∴an＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+……+a2﹣a1+a1＝ n+n﹣1+……+3+2+1＝（n＝1時也成立）． ∴＝＝2（﹣）， ∴數(shù)列{}的前2021項和＝2（1﹣+﹣+……+﹣+﹣） ＝2（1﹣）＝． 故選：B． 8．定義運算＝a1a4﹣a2a3，設f（x）＝（ω＞0），若f（x）的圖象與直線y＝﹣2相交，且交點中兩點間的最短距離為π，則滿足f（m+x）＝f（m

16、﹣x）的一個m的值為（　?。? A． B． C． D． 解：， 根據(jù)題意，可知f（x）的周期為π，∴，解得ω＝1， ∴，由，得，∴f（x）關(guān)于對稱， ∵f（m+x）＝f（m﹣x），∴f（x）關(guān)于x＝m對稱， ∴滿足f（m+x）＝f（m﹣x）的一個m的值為． 故選：C． 9．已知O為坐標原點，P為⊙C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2（a＞0）上的動點，直線l：x+y﹣1＝0，若P到l的最小距離為2，則a的值為（　?。? A．2 B．4 C．6 D．8 解：圓C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2（a＞0）的圓心坐標C（a，1），半徑為， 圓心到直線l：x+y﹣1＝0的距離d＝，

17、要使P到l的最小距離為2，則＝3，即|a|＝6， 又a＞0，∴a＝6． 故選：C． 10．已知曲線C：2x2﹣2y2＝1，過它的右焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝（　?。? A． B． C． D． 解：由C：2x2﹣2y2＝1，得，則c＝1． ∴F（1，0），設MN：x＝ty+1， 聯(lián)立，得（2t2﹣2）y2+4ty+1＝0． 設M（x1，y1），N（x2，y2），則，， |MN|＝＝ ＝＝． ，， 則MN的中點坐標為（）， 則MN的垂直平分線方程為，令y＝0，可得， 則|PF|＝||＝， ∴＝，即m＝．

18、 故選：A． 11．已知函數(shù)f（x）＝，記a＝f（log32），b＝f（log53），c＝f（ln），則（　?。? A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 解：f（x）為偶函數(shù)，x＞0時，，， ∴0＜x≤1時，f′（x）≥0， ∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增， ∵，，c＝， ∴l(xiāng)og32＜log53＜1， ∴f（log32）＜f（log53）＜f（1）， ∴c＞b＞a． 故選：D． 12．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣﹣+a，若曲線y＝f（x）在點（b，f（b））處與直線y＝0相切，則a＝（　?。? A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣1或1 解：由f（x

19、）＝ex﹣﹣+a，得f（x）＝＝， 因為曲線y＝f（x）在點（b，f（b））處與直線y＝0相切， 則f（b）＝0，即＝0，所以， 兩邊同取以e為底得對數(shù)，可得ln（eb?b）＝ln（）， 即lneb+lnb＝ln+ln（ln）， 所以b+lnb＝ln+ln（ln）， 設g（x）＝x+lnx，g（x）＝1+＞0， 函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增， 所以b＝ln，即b＝﹣lnb， 又f（b）＝0，所以f（b）＝＝0， 解得a＝﹣1． 故選：C． 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13．若（x﹣）n的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項為　　.

20、（用數(shù)字作答） 解：∵（x﹣）n的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，∴n＝8， 故展開式的通項公式 Tr+1＝??x8﹣2r，令8﹣2r＝0，求得r＝4， 可得展開式中常數(shù)項為?＝， 故答案為：． 14．櫻花如約而至，武漢疫后重生．“相約春天賞櫻花”的諾言今年三月在武漢大學履行．武漢大學邀請去年援鄂的廣大醫(yī)護人員前來賞櫻．某醫(yī)院計劃在援鄂的3名醫(yī)生和5名護士（包含甲醫(yī)生和乙護士）任選3名作為第一批人員前去賞櫻，則甲醫(yī)生被選中且乙護士未被選中的概率為　?。? 解：某醫(yī)院計劃在援鄂的3名醫(yī)生和5名護士（包含甲醫(yī)生和乙護士）任選3名作為第一批人員前去賞櫻， 基本事件總數(shù)n＝＝56，

21、甲醫(yī)生被選中且乙護士未被選中包含的基本事件個數(shù)m＝＝15， 則甲醫(yī)生被選中且乙護士未被選中的概率為P＝＝． 故答案為：． 15．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，其準線l與x軸的交點為K，點P（x，y）（y＞0）為C上一點，當最大時，直線KP的斜率為　1?。? 解：由題意可得，焦點F（1，0），準線方程為x＝﹣1，K（﹣1，0）， 過點P作PM垂直于準線l，垂足為M， ＝＝（（0≤∠PKF＜））． 當最大時，即cos∠PKF的值最小，等價于求tan∠PKF的值最大， 則tan∠PKF＝＝＝＝1，故cos∠PKF≥． 當且僅當，即y＝2時等號成立，此時x＝1， 所以當最大時，

22、點P的坐標為（1，2）， 此時直線KP的斜率為＝1． 故答案為：1． 16．如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．總有優(yōu)美等式S△PBC+S△PAC+S△PAB＝成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理．現(xiàn)有以下命題： （1）若P是△ABC的重心，則有++＝； （2）若a+b+c＝成立，則P是△ABC的內(nèi)心； （3）若＝+，則S△ABP：S△ABC＝2：5； （4）若P是△ABC的外心，A＝，＝m+n，則m+n∈[﹣，1）． 則正確的命題有?。?）（2）（4）　． 解：（1）∵P是△ABC的重心，∴S△PBC＝S△PAC＝S△PAB

23、＝S△ABC，∵S△PBC+S△PAC+S△PAB＝成立，∴S△ABC（++）＝，∴++）＝，因此（1）正確． （2）若a+b+c＝成立，又S△PBC+S△PAC+S△PAB＝成立，∴S△PBC：S△PAC：S△PAB＝a：b：c成立，∴S△PBC：S△PAC：S△PAB＝ar：rb：rc成立， ∴點P為△ABC的內(nèi)心，因此（2）正確． （3）若＝+，則+（﹣）+（﹣）＝，化為：2+2+＝，∵S△PBC+S△PAC+S△PAB＝成立，∴S△ABP：S△ABC＝1：5，因此不正確； （4）若P是△ABC的外心，A＝，∴∠BPC＝90，∴PB⊥PC，∵＝m+n，則＝m2+n2，∴m2+n2

24、＝1，又m+n＜1，（m+n）2≤2（m2+n2），∴﹣≤m+n＜1， ∴m+n∈[﹣，1）． 故答案為：（1）（2）（4）． 三、解答題：（解答過程應寫出必要的文字說明，解答步驟．共70分）（一）必考題：每題12分，共60分． 17．在鈍角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且sinC﹣sin（A﹣B）＝4sin2A． （1）求的值； （2）若△ABC的外接圓半徑為，C＝，求△ABC的面積． 解：（1）∵sinC﹣sin（A﹣B）＝4sin2A；A+B+C＝π， ∴sin（A+B）﹣sin（A﹣B）＝4sin2A，即2cosAsinB＝8sinAcosA．

25、又△ABC為鈍角三角形，∴cosA≠0． ∴2sinB＝8sinA，即sinB＝4sinA． ∴根據(jù)正弦定理，得b＝4a，即＝4． （2）由正弦定理，得c＝2RsinC＝， 又根據(jù)余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+（4a）2﹣2a?4a?cos＝13a2＝13． 所以a＝1，b＝4，則S△ABC＝absinC＝14＝． 18．某品牌汽車4S店對2020年該市前幾個月的汽車成交量進行統(tǒng)計，用y表示2020年第x月份該店汽車成交量，得到統(tǒng)計表格如表： xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ui 14 12 20 20 2

26、2 24 30 26 （1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x+，并預測該店9月份的成交量；（，精確到整數(shù)） （2）該店為增加業(yè)績，決定針對汽車成交客戶開展抽獎活動，若抽中“一等獎”獲5千元獎金；抽中“二等獎”獲2千元獎金；抽中“祝您平安”則沒有獎金．已知一次抽獎活動中獲得“二等獎”的概率為，沒有獲得獎金的概率為．現(xiàn)有甲、乙兩個客戶參與抽獎活動，假設他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲獎金總額X（千元）分布列及數(shù)學期望． 參考數(shù)據(jù)及公式：xiyi＝850，xi2＝204.＝，＝﹣b． 解：（1）由題意可得，， ， 所以＝＝， 所以＝﹣b＝， 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為， 當

27、x＝9時，， 故預測該店9月份的成交量為30輛； （2）由題意可得，獲得“一等獎”的概率為， 所以X的可能取值為0，2，3，5，7，10， 所以P（X＝0）＝＝， P（X＝2）＝+＝， P（X＝3）＝＝， P（X＝5）＝+＝， P（X＝7）＝+＝， P（X＝10）＝＝， 則X的分布列為： X 0 2 4 5 7 10 P 所以E（X）＝0+2+4+5+7+10＝． 19．如圖，在圓錐PO中，AC為⊙O的直徑，點B在上，OD∥BC，∠CAB＝． （1）證明：平面PAB⊥平面POD； （2）若直線PA與底面所成角的大

28、小為，E是PD上一點，且OE⊥PD，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值． 【解答】（1）證明：因為在圓錐PO中，PO⊥平面ABC，又AB?平面ABC， 所以PO⊥AB，又AC為圓O的直徑且點B在上， 所以AB⊥BC，又因為OD∥BC， 所以AB⊥OD，又PO∩DO＝O，PO，DO?平面POD， 所以AB⊥平面POD，又AB?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面POD； （2）解：設AC＝4，因為直線PA與底面所成角的大小為， 所以PO＝AO＝2， 又∠CAB＝，所以BC＝2，AB＝2， 故以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示， 則D（0，0，0），， 又點E是PD上

29、一點，且OE⊥PD，， 所以， 設平面EAC的法向量為， 則，即， 令y＝1，則，故， 又平面ABC的法向量為， 所以＝， 故二面角E﹣AC﹣B的余弦值為． 20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的兩個焦點與短軸的兩個頂點圍成一個正方形，且P（2，1）在橢圓上． （1）求橢圓的方程； （2）A，B是橢圓上異于P的兩點，設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，點Q（8，3）到直線AB的距離為d，若k1+k2＝1，求以d的最大值為直徑的圓的面積． 解：（1）由題意可知，b＝c，a＝b， 所以橢圓的方程為， 因為點P（2，1）在橢圓上， 所以，解得b2＝3， 所以橢

30、圓的方程； （2）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＝m， 設A（x1，y1），B（x2，y2）， 聯(lián)立方程組，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0， 則△＝8（6k2﹣m2+3），且， 因為直線PA，PB的斜率分別為k1，k2且k1+k2＝1， 所以，即y1x2+x1y2+（x1+x2）﹣2（y1+y2）﹣x1x2＝0， 所以， 所以（m+3）（2k+m﹣1）＝0， 故m＝﹣3或m＝1﹣2k， 當m＝1﹣2k時，直線AB的方程為y＝k（x﹣2）+1，恒過點P（2，1），不符合題意； 當m＝3時，由△＝8（6k2﹣m2+3）＞0，可得k＞1或k

31、＜﹣1， 當直線AB的斜率不存在時，直線AB過點C（0，﹣3）時， 不妨設A（0，﹣），B（0，），， 所以當直線AB恒過定點C（0，﹣3）時，則Q（8，3）到直線AB的距離d≤|QC|＝10， 當AB⊥CD時等號成立，此時， 故以d的最大值為直徑的圓的面積＝25π． 21．已知函數(shù)f（x）＝x3+x2+ax+a． （1）若曲線y＝f（x）在點（0，a）處的切線l與曲線x2+y2＝相切，求a的值； （2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍． 解：（1）∵f′（x）＝x2+2x+a，f′（0）＝a， ∴在（0，a）處的切線方程為ax﹣y+a＝0， 又

32、切線與x2+y2＝1相切， ∴，解得a＝1； （2）由f′（x）＝x2+2x+a， （i）當△＝4﹣4a≤0，即a≥1時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增，滿足f（x）與c軸有且只有一個交點； （ii）當△＝4﹣4a＞0，即a＜1時，f′（x）＝0有兩個不同的實根，設兩根為x1，x2（x1＜x2）， 則x1+x2＝﹣2，x1x2＝a， 由f′（x）＞0得x＜x1或x＞x2，由f′（x）＜0得x1＜x＜x2， ∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）單調(diào)遞增，在（x1，x2）單調(diào)遞減， y＝f（x）與x軸有且只有一個交點等價于f（x1）f（x2）＞0， 又f′（x

33、）＝x2+2x+a＝0，則x2＝﹣a﹣2x， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴0＜a＜1． 綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）． （二）選做題：（共10分，請考生在第22，23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分．）[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 22．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin（）＝． （1）求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程； （2）在極坐標系中射線θ＝（ρ≥0）與曲線C1交于點A，射線θ＝（ρ≥0）與曲線C2交于點B，求△AOB的面積． 解：

34、（1）曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去參數(shù)得：（y≥0）． 根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標方程為ρ2（2﹣cos2θ）﹣3＝0（θ∈[0，π]）， 曲線C2的極坐標方程為ρsin（）＝，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為． （2）極坐標系中射線θ＝（ρ≥0）與曲線C1交于點A， 所以， 解得， 所以A（）． 射線θ＝（ρ≥0）與曲線C2交于點B， 所以，解得， 所以B（）， 所以． [選修4-5：不等式選講]（10分 23．函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|+1． （1）若方程f（x）＝m無實根，求實數(shù)m的取值范圍； （2）記f（x）的最小值為n．若a，b＞0，且5a+5b＝2n，證明：a+4b﹣9ab≥0． 解：（1）f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|+1＝， 作出函數(shù)的圖象如圖： 由函數(shù)圖象可知，，要使f（x）＝m無實數(shù)根，則m＜． ∴實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，）； 證明：（2）由（1）可知，n＝，∴5a+5b＝5，a+b＝1，即b＝1﹣a， 由，得0＜a＜1． ∴a+4b﹣9ab＝a+4（1﹣a）﹣9a（1﹣a）＝9a2﹣12a+4 ，當a＝時等號成立． ∴a+4b﹣9ab≥0．