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1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第三章 生命表,1,生命表相關(guān)定義,生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計表。,封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。,2,生命表基本函數(shù),l,x,：,存活到確切整數(shù)年齡x歲的人口數(shù)，,x=0,1,-1,。,n,d,x,：在,x,x+n,歲死亡的人數(shù)，當(dāng),n,=1時，簡記為,d,x,n,q,x,：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當(dāng)n=1時，簡記為q,x,3,生命表基本函數(shù),(1),(2),(3),4,生命表基本函數(shù),n,p,x,：

2、xx+n,歲的存活概率,與,n,q,x,相對的一個函數(shù)。,當(dāng),n=1，,簡記為,p,x,。,5,生命表基本函數(shù),n,L,x,：,x,歲的人在,xx+n,生存的人年數(shù)。,人年數(shù)是表示人群存活時間的復(fù)合單位，1個人存活了1年是1人年，2個人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設(shè)下，,xx+n,歲的死亡人數(shù),n,d,x,平均來說存活了,n,/2年，而活到,l,x+n,歲的人存活了,n,年，故,當(dāng),n=1,時，,6,：,x,歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。,當(dāng),x,為,0,時，表示出生時平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。,生命表基本函數(shù),T,x,：,x,歲的人群未來累

3、積生存人年數(shù)。,在均勻分布假設(shè)下，,7,生命表基本函數(shù),：表示,x,歲的人存活,n,年并在第,n,+1年死亡的概率，,或,x,歲的人在,x+n,x+n+1,歲死亡的概率。,：表示,x,歲的人在,x+nx+n+m,歲之間死亡的概率。,8,生存分布,一、新生兒的生存函數(shù),二、,x,歲余壽的生存函數(shù),三、死亡力,四、整值平均余壽與中值余壽,9,F(x,),：,新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為,x,的分布函數(shù)。,s(x,),：生存函數(shù)，它是新生兒活到,x,歲的概率，以概率表示為,x,p,0,。,新生兒在,xz,歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：,新生兒的生存函數(shù),10,新生兒的生存函數(shù),生命

4、表函數(shù)中的存活人數(shù),l,x,正是生命表基數(shù),l,0,與,x,歲生存函數(shù)之積，,l,x,=l,0,s(x),而,s(x),曲線形狀如下圖所示，,11,x,歲余壽的生存函數(shù),以（,x,）表示年齡是,x,歲的人，（,x,）的余壽以,T,(,x,)表示,x,歲的人在,t,時間內(nèi)存活的概率,t,p,x,當(dāng),x,=0時，T(0)=,X,，正是新生兒未來余壽隨機變量。,x,歲的人在,t,時間內(nèi)死亡的概率,t,q,x,12,x,歲余壽的生存函數(shù),考慮,x,歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經(jīng)活到了,x,歲，,t,q,x,實際是一個條件概率,13,x,歲的人在,x+tx+t+u,的死亡概率 ，以,概率的方式表

5、示為：,x,歲余壽的生存函數(shù),14,整值剩余壽命,定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記,概率函數(shù),15,死亡力,定義：的瞬時死亡率，簡記,死亡力與生存函數(shù)的關(guān)系,16,死亡力,17,實際上生命表,x,歲平均余壽,正是,T,(,x,)隨機變量的期望值,死亡力,18,死亡力,生命表,x,歲死亡人數(shù),d,x,正是生存人數(shù)函數(shù),l,x+t,與死亡力之積在,01,上的積分,生命表,x,歲生存人年數(shù),L,x,正是生存人數(shù)函數(shù),l,x+t,在,01,上的積分,生命表,x,歲累積生存人年數(shù),T,x,正是生存人數(shù)函數(shù),l,x+t,在,0,上的積分,19,死亡力,對于,x,歲期望剩余壽命 ，可以證明：,20,整值平均余

6、壽與中值余壽,x,歲的整值平均余壽是指,x,歲未來平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿,1,年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機變量,K,(,x,),的期望值，以,e,x,表示，,21,整值平均余壽與中值余壽,由于，,所以,22,整值平均余壽與中值余壽,由于,故，,在死亡均勻分布假設(shè)下，,故，,23,整值平均余壽與中值余壽,中值余壽是(,x,)的余壽,T,(,x,)的中值，（,x,）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50%，以,m,(,x,)表示,x,歲的中值余壽，則,即，,24,非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計,死亡均勻分布假設(shè),死亡力恒定假設(shè),巴爾杜奇(Balducc,i,)假設(shè),25,有關(guān)非整數(shù)年齡的

7、假設(shè),使用背景:,生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定，估計分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況,基本原理:插值法,常用方法,均勻分布假定(線性插值),常數(shù)死亡力假定(幾何插值),Balducci假定(調(diào)和插值),26,死亡均勻分布假設(shè),假設(shè)死亡在整數(shù)年齡之間均勻發(fā)生，此時存活函數(shù)是線性的。,27,死亡均勻分布假設(shè),(0,t,0,y,0,t+y,),28,當(dāng)假設(shè)死亡力在,xx+1,上恒定時，(,x,為整數(shù)，0,t,1)，,死亡力恒定假設(shè),由死亡力的定義，,29,死亡力恒定假設(shè),若以,表示,，有,此時，,30,巴

8、爾杜奇(Balducc,i,)假設(shè),以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設(shè)是當(dāng),x,為整數(shù)，0,t,1時，生存函數(shù)的倒數(shù)是,t,的線性函數(shù)，即,31,巴爾杜奇(Balducc,i,)假設(shè),（其中，0,t,1,0,y,1,0,t+y,1）,此時，,32,三種假定下的生命表函數(shù),函數(shù),均勻分布,常數(shù)死亡力,Ballucci,33,生命表的編制,一、生命表編制的一般方法,二、選擇生命表,34,生命表編制的一般方法,時期生命表(假設(shè)同批人生命表)：采用假設(shè)同批人方法編制，描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時期各年齡死亡水平度過一生時的生命過程。,Dx,：某年齡,x,歲的死亡人數(shù)；,：,x,歲的平均人數(shù)，即年初,x,歲人數(shù)與年末,x,歲人數(shù)的平均數(shù)，有時也用年中人數(shù)代替。,35,x,歲的中心死亡率 （,分年齡死亡率）,為，,生命表編制的一般方法,生命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生存人年數(shù)中的比例。,36,生命表編制的一般方法,在死亡均勻分布假設(shè)下，有，,變換后，,通常,與 非常接近，實際中常用 近似,37,選擇生命表,選擇生命表構(gòu)造的原因,需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。,需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失,選擇生命表的使用,38,選擇生命表函數(shù)關(guān)系,39,