《《向量數(shù)乘運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《向量數(shù)乘運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、一、教學(xué)目標(biāo) 1 .知識與技能： 通過實例，掌握向量數(shù)乘運算，理解其幾何意義，理解向量共線 定理。熟練運用定義、運算律進(jìn)行有關(guān)計算，能夠運用定理解決向量 共線、三點共線、直線平行等問題。 2 .過程與方法： 理解掌握向量共線定理及其證明過程， 會根據(jù)向量共線定理判斷 兩個向量是否共線。 3 .態(tài)度情感與價值觀： 通過由實例到概念，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生自主探究知識形成 的過程的能力，合作釋疑過程中合作交流的能力。 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情感，培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度， 勇于創(chuàng)新的精神。 二、教學(xué)重難點 重點：掌握實數(shù)與向量的積的定義、運算律，理解向量共線

2、定理。 難點：向量共線定理的探究及其應(yīng)用。 三、課型：新授課 四、教法：探究釋疑和多媒體輔助教學(xué)的方法 五、教具：多媒體及課件輔助教學(xué) 六、教學(xué)過程 （一）引入 1 .復(fù)習(xí)向量的加法、減法，（溫故而知新），采用提問的形式。 問題1:向量加法的運算法則？ 問題2:向量減法的幾何意義？ 學(xué)生回答完畢后，教師通過多媒體上的圖像讓學(xué)生更直觀感受。 C 向量的加法：三角形達(dá)則.（首星相再和工行手電形法則（共起點） 向量的減法：OAa,OBb則BAab。（共起點，連終點, 方向指向被減數(shù)） 2 .問題情境：一質(zhì)點從點。出發(fā)做勻速直線運動，若經(jīng)過1s的 位移對應(yīng)的向量用a表示，

3、那么在同方向上經(jīng)過3s的位移所對應(yīng)的向 量可用 來表示。這是何種運算的結(jié)果？ 啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這些公式都是實數(shù)與向量間的關(guān)系 3 .【探究11 已知非零向量a,作出a a a和（a）（ a）,你能說處他們的幾何 意義嗎？ a O a a a A 二—— ■ T .T—— -a b -a -a p 問題1:相加后，和的長度和方向有什么變化？ 問題2:這些變化與哪些因素有關(guān)？ 生：3a與a方向相同且3可3可; 生：2a與a方向相反且 2 a 2 a 師：非常好！ 教師通過多媒體，看長度和方向的圖像變化形式。 （二）新課講解 1 .實數(shù)與向量的積的定義 請大家根據(jù)上述問題

4、弁作一下類比， 看看怎樣定義實數(shù)人與向量 a的積？啟發(fā)學(xué)生從以下角度思考： a是向量？長度？方向？根據(jù)學(xué) 生總結(jié)，讓學(xué)生看大屏幕。 2 . 一般地，我們規(guī)定實數(shù)人與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量 的數(shù)乘，記作：a ,它的長度和方向規(guī)定如下： （1） a | |a （2）當(dāng)人＞0時，a的方向與a的方向相同； 當(dāng)入＜o(jì)時，a的方向與a的方向相反。 由（1）可知，當(dāng) 0或a 0時，a 0 探究2】問題-a：觸作向量3（2a）和6a （ a為非零向量），弁進(jìn)行比較。 a a a a a a 2a 2a 2a 問題二：已知向量a、b,求作向量2(a b

5、)和2a 2b,弁進(jìn)行比較。 將全班劃分為2個小組，組內(nèi)同學(xué)展開討論，提出方法弁自主探究。 教師在學(xué)生中進(jìn)行巡視，了解學(xué)生的進(jìn)展情況，弁適時加以引導(dǎo)。在 整個過程中，同學(xué)們都能積極思考問題，參與的熱情很高。) 師：鼓勵學(xué)生踴躍回答 生：結(jié)論：3(2a)6a , (2 4)a 2a 4a 2(a b) 2a 2b 類比實數(shù)乘法的運算律向量數(shù)乘的運算律： 設(shè)a、b為任意向量，、 為任意實數(shù)，則有: 結(jié)合律： (a) ( )a 第一分配律：( )a a a 第二分配律： (a b) a b 為了降低難度，教科書不要求對三個運算律作證明， 只要求學(xué)生會用。 小注：實數(shù)與向量

6、可以求積，但不能進(jìn)行加減運算。 例1：計算(口答) （2） ( 3) 4a (2) 3(a b) 2(a b) a (3) (2a 3b c) (3a 2b c) 設(shè)計意圖：要求學(xué)生熟練運用向量數(shù)乘運算的運算律。教學(xué)中， 不能讓學(xué)生將本題簡單地看作字母的代數(shù)運算， 可以讓他們在代數(shù)運 算的同時說出其幾何意義，使學(xué)生明確向量數(shù)乘運算的特點。 解：(1)原式=12a (2) 原式=(3 2 1)a (3 2)b 5b (3)原式=(2 3)a (3 2)b (1 1)c a 5b 2c 剖析：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算。 對于任意向量a、b及任意實數(shù)、，恒有(1a

7、2b) 1a 2bo 3、向量共線定理 思考：引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的 位置關(guān)系嗎？ 2 生：數(shù)乘向量與原向量是共線的 。 【探究3】 問題1：如果b a（a 0）,那么，向量a與b是否共線？ 問題2： b與非零向量a共線，那么，b a ? （學(xué)生分成兩組，各選一問進(jìn)行研究，然后同學(xué)之間相互交流， 最后提升結(jié)論。教師巡視，適時加以引導(dǎo)，了解學(xué)生進(jìn)展情況） 生：對于向量a（a 0）、b,如果有一個實數(shù) ，使得b a,那 么，由數(shù)乘向量的定義知：向量 a與b共線。 生：若向量a與b共線，a 0,且向量b的長度是a的長度的 倍, 即有忖 補當(dāng)a與

8、b同方向時, 有b a；當(dāng)a與b反方向時， 有b a,所以始終有一個實數(shù) ，使b a。 師：如果沒有a 0的限制，會有什么結(jié)果？ （學(xué)生驚訝，沒有限制會怎么樣呢？馬上進(jìn)入思考狀態(tài)。 ） 生：問題1成立。0與任意向量都是共線向量。 生：問題2不成立。 向量共線定理：向量b與非零向量a共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯—個實數(shù) ? ? ??????? ，使得b a 評析：i.讓學(xué)生正確理解定理包含的兩層意思。也就是將來我們 在選修中學(xué)到的充要條件。 2 .讓學(xué)生自己先體驗；若無此限制，會有什么結(jié)果？再感悟到只 有用非零向量，才能表示與它共線的所有向量。 3 .通過分組討論后，集同學(xué)們的勞動成果

9、、智慧于一體，彼此之 間再進(jìn)行交流，充分體現(xiàn)了 “眾人拾柴火焰高” o 例2.已知任意兩非零向量 a、b ,試作OA a b, OB a 2b , OC a 3b。你能判斷A B、C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ 設(shè)計意圖：利用向量共線判斷三點共線的方法， 這是判斷三點共 線常用的方法。教學(xué)中可以先讓學(xué)生作圖，通過觀察圖形得到 A、B、 解：依圖觀察，知A B、C三點共線 O C A C三點共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉(zhuǎn)化為用向 量共線證明三點共線，本題主要引導(dǎo)學(xué)生理清思路， 具體過程可由學(xué) 生完成。 證明如下: : AC OC OA (a 3b) (a

10、 b) 2b 又 AB OB OA (a 2b) (a b) b AC 2AB ,又而與AC有公共點A, ??? A B、C三點共線。 評析：證明三點共線，可以直接運用定理，找出兩向量間關(guān)系， 再利用它們有一個公共點，得到三點共線。教學(xué)中利用多媒體作圖， 進(jìn)行動態(tài)演示，揭示向量a、b變化過程中，A、B、C三點始終在同一 條直線上的規(guī)律。 （三）課堂小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握實數(shù)與向量的積的定義， 掌握實數(shù) 與向量的積的運算律，理解向量共線定理，弁能在解題中加以運用。 1 .概念與定理 ①a的定義及運算律。 ② 向量共線定理：向量b與非零向量a共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯 個 ? ? ??????? 實數(shù)，使得b a 2 .知識應(yīng)用: ①證明向量共線; ② 證明 三點共線：兩向量共線且有一個公共點 若AB BC ,即AB與BC共線且有一個公共點 B,則A、B C三點共線； ③證明兩直線平行: AB CD 直線AB //直線CD。 CD 6 AB CD不重合 七、作業(yè) ： P92 9-12 單位：天津市薊縣上倉中學(xué) 授課教師：馮濤 日期： 2016 年 12 月 21 日