《曲線積分與曲面積分習(xí)題課》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《曲線積分與曲面積分習(xí)題課（30頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第十章,曲線積分與曲面積分,目錄 下頁(yè) 返回 結(jié)束,習(xí)題課,例題選講,基本內(nèi)容,1,一、曲線積分的計(jì)算法,1.基本方法,曲線積分,第一類(對(duì)弧長(zhǎng)),第二類(對(duì)坐標(biāo)),(1)統(tǒng)一積分變量,轉(zhuǎn)化,定積分,用參數(shù)方程,用直角坐標(biāo)方程,用極坐標(biāo)方程,(2)確定積分上下限,第一類:下小上大,第二類:下始上終,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2,(1)寫出曲線,L,方程及相應(yīng)弧微分公式ds,L,為參數(shù)方程:,L,為直角坐標(biāo)方程：,L,為極坐標(biāo)方程：,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,解題步驟：,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3,(2)將

2、,L,的表達(dá)式及弧微分公式直接代入曲線積分式,化為定積分,定出積分限.(,注:,下限小于上限,),L,為參數(shù)方程,L,為直角坐標(biāo)方程,L,為極坐標(biāo)方程,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,4,(1)直接化為對(duì)參變量的定積分,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,計(jì)算方法：,注:,下限對(duì)起點(diǎn),上限對(duì)終點(diǎn),首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,5,(2)利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件,若 ,則積分只與,L,的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān),故可選取便于計(jì)算的路徑,如折線段、圓弧段、直線段(結(jié)合,P,、,Q,考慮).,(3)利用格林公式(適用于封閉曲線)化為定積分.,注:,若曲線,L,不是封閉的,直接計(jì)算又困難,可考慮添加,輔助曲線,C,使,L,+,C,

3、為封閉曲線,再利用格林公式.,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,6,(4)利用斯托克斯公式(適用空間封閉曲線積分).,利用行列式記號(hào)可記為：,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,7,或：,注:,格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面閉區(qū)域,D,(空間曲面)上重積分(曲面積分)與邊界曲線,上曲線積分之關(guān)系.,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,8,(1)利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算;,(2)利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;,2.基本技巧,對(duì)于曲線積分 ,下面四個(gè)條件等價(jià):,曲線積分與路徑無(wú)關(guān).,被積表達(dá)式是某個(gè)函數(shù)的全微分.,沿任何閉路線的曲線積分為零.,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,9,(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.,

4、其中,為有向曲線,L,上點(diǎn)(,x,y,)處的切向量的方向角.,(4)利用斯托克斯公式;,(3)利用格林公式(注意,加輔助線的技巧,);,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,10,二、曲面積分的計(jì)算法,1.基本方法,曲面積分,第一類(對(duì)面積),第二類(對(duì)坐標(biāo)),轉(zhuǎn)化,二重積分,(1)統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程,(2)積分元素投影,第一類:始終非負(fù),第二類:有向投影,(3)確定積分區(qū)域,把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,11,計(jì)算方法,第一類(對(duì)面積的曲面積分),首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,12,上側(cè)取正號(hào),下側(cè)取負(fù)號(hào).,第二類(對(duì)坐標(biāo)的曲面積分),前側(cè)取正號(hào)，后側(cè)取負(fù)號(hào).,

5、首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,13,右側(cè)取正號(hào)，左側(cè)取負(fù)號(hào).,注：,對(duì)于封閉曲面,可考慮用高斯公式.,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,14,2.基本技巧,(1)利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算,(2)利用高斯公式,注意公式使用條件,添加輔助面的技巧,(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面),高斯公式反映的是空間閉區(qū)域上三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,15,(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化,其中,為有向曲面上點(diǎn)(,x,y,z,)處的法向量的方向角.,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,16,三、例題選講,解,利用極坐標(biāo),原式=,說(shuō)明:,若用參數(shù)方程計(jì)算,則,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1

6、7,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,18,解,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,19,解,因在,上有,故,原式=,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,20,解法1,令,則,這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān),故,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,21,解法2,它與,L,所圍區(qū)域?yàn)?D,(利用格林公式),則,添加輔助線段,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,22,提示:,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,23,提示:,方法1,利用對(duì)稱性,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,24,設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?方向,向上,則,方法2,利用斯托克斯公式,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,25,且取下側(cè),提示:,以半球底面,原式=,記半球域?yàn)?高斯公式有,為輔助面,利用,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,26,證,設(shè),(常向量),則,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,27,解,取足夠小的正數(shù),作曲面,取下側(cè),使其包在,內(nèi),為,xoy,平面上夾于,之間的部分,且取下側(cè),則,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,28,第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式,計(jì)算,得,首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,29,思考題,1)二重積分是哪一類積分?,答:,第一類曲面積分的特例.,2)設(shè)曲面,問(wèn)下列等式是否成立?,不對(duì)!對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與 曲面,的,側(cè)有關(guān),首頁(yè) 上頁(yè) 返回 結(jié)束,30,