《數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件（25頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,在數(shù)學(xué)研究中，人們會(huì)遇到這樣的情 況，對(duì)于任意,正整數(shù),n,或不小于某個(gè)數(shù),n,0,的任意,正整數(shù),n,，,都有某種關(guān)系成立。,對(duì)這類問題的證明我們將使用又一種重要的數(shù)學(xué)推理方法,-,數(shù)學(xué)歸納法,與正整數(shù)有關(guān)的命題,例如：,1,4+2,7+310+n(3n+1)=n(n+1),2,(,nN,+,),n,2,1+nx (x-1,nN,+,).,n=5,a,5,=25,問題情境一,問題,1,:,大球中有,5,個(gè)小球，如何驗(yàn)證它們都是綠色的？,完全歸納,法,不完全歸納法,模 擬 演

2、 示,問題,3,:,已知：,1,3=2,1,3,5=,3,1,3,5,7=4,1,+,3,5,7,9=,5,可猜想：,1+3,5,（,1,）,n,（,2n,1,）,問題,2,：若,a,n,=(n,2,-5n+5),2,，,則,a,n,=1,。對(duì)嗎？,1,1,1,1,當(dāng),n=1,a,1,=;,n=2,a,2,=;,n=3,a,3,=;,n=4,a,4,=;,（,1,）,n,n,問題情境二：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例,猜想：,都是質(zhì)數(shù),法國的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（,Pierre de Fermat,）,(1601,年,1665,年,),。,十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，,他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都

3、有極大的貢獻(xiàn)，,因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，,為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，,世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，,歸納法：由一系列有限的,特殊事例,得出,一般結(jié)論,的推理方法。,（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難）,（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）,（,1,）完全歸納法：考察,全體,對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法。,（,2,）不完全歸納法,考察,部分,對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法。,歸納法分為,完全歸納法,和,不完全歸納法。,歸納法,如何解決不完全歸納法,存在的問題呢？,必須尋找一種用,有限,個(gè)步驟，就,能處理完,無限,多個(gè)對(duì)象的方法。,問題情境三,多米諾骨牌,操作實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)歸納法,我們常采用

4、,數(shù)學(xué)歸納法,來證明：由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性,.,（,1,）證明當(dāng),n,取第一個(gè)值,n,0,(,例如,n,0,=1),時(shí)命題成立,（,2,）假設(shè)當(dāng),n=,k(k,N,k n,0,),時(shí)命題成立,證明當(dāng),n=k+1,時(shí)命題也成立。,這種證明方法叫做,數(shù)學(xué)歸納法,k=2,k+1=2+1=3,k=3,k+1=3+1=4,k=10,k+1=10+1=11,下面我們來證明前面問題,3,中猜想的正確性,證明,:(1),當(dāng),n=1,時(shí),左邊,=,1,右邊,=,1,左邊,=,右邊,當(dāng),n=1,時(shí)，式,（,*,）,成立,(2),假設(shè)當(dāng),n=k,時(shí)，式,（,*,）,成立，,即,1+

5、3,5,（,1,）,k,（,2k,1,）（,1,）,k,k,在這個(gè)假設(shè)下再考慮當(dāng),n=k+1,時(shí)，式,（,*,）,的左右兩邊,是否成立,.,例,1,、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng),nN,+,時(shí)，,1,+,3,5,（,1,）,n,（,2n,1,）（,1,）,n,n,（,*,）,當(dāng),n=k+1,時(shí),等式左邊,1+3,5,（,1,）,k,（,2k,1,）,（,1,）,k,1,2(k+1),1,（,1,）,k,1,2(k+1),1,（,1,）,k,1,(k+1),右邊,所以當(dāng),n=k+1,時(shí)等式,（,*,）,成立。,由（,1,）（,2,）可知，,1+3,5,（,1,）,n,（,2n,1,）（,1,）,n,n,

6、利用,假設(shè),湊結(jié)論,從,n=k,到,n=k+1,有什么變化,（,1,）,k,k,（,1,）,k,1,k,2(k+1),1,下面的框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程：,（,1,）驗(yàn)證：,n=n,0,（,n,0,N,+,）,時(shí)命題成立。,（,2,）證明：假設(shè),n=k,（,kn,0,）時(shí)命題成立，,則,n=k+1,時(shí)命題也成立。,對(duì)所有的,n,（,n,0,N,+,，,nn,0,）命題成立,奠基,假設(shè)與遞推,數(shù)學(xué)歸納法,是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。,主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論,:,第一步：驗(yàn)證當(dāng),n,取第一個(gè)值,n,0,（,如,n,0,=1,或,2,等）時(shí)結(jié)論正確,第二步：,假設(shè),n=k(,

7、kN,，,且,k n,0,),時(shí)結(jié)論正確，,證明,n=k+1,時(shí)結(jié)論也正確,結(jié)論：,由（,1,）、（,2,）得出結(jié)論正確,找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn),用上假設(shè),遞推才真,寫明,結(jié)論,才算完整,數(shù)學(xué)歸納法主要步驟,:,例,2,用數(shù)學(xué)歸納法證明,144,1,1,）,此時(shí),n,0,=,_,左,_,右,=,_,2,）假設(shè),n=k,時(shí)命題成立，即,當(dāng),n=k,時(shí)，等式左邊共有,_,項(xiàng)，,第,(k,1),項(xiàng)是,_,。,k,(K1)3(k1)1,1(1,1),2,=4,1,4+2,7+310+n(3n+1)=n(n+1),2,1,4+2,7+310+k(3k+1)=k(k+1),2,3,）當(dāng),n=k+1,時(shí)，命題的

8、形式是,4,）此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)是,5),從左到右如何變形？,1,4+2,7+310+k(3k+1),+(k+1)3(k+1)+1,=(k+1)(k+1)+1,2,(k+1)3(k+1)+1,證明：,（,1,）當(dāng),n=1,時(shí)，左邊,14,4,，右邊,12,2,4,，等式成立。,（,2,）假設(shè),n=k,時(shí) 命題成立，即,1,4+2,7+310+k(3k+1)=k(k+1),2,這就是說，當(dāng),n=k+1,時(shí)等式也成立。,根據(jù)（,1,）和（,2,），可知等式對(duì)任何,nN,都成立,當(dāng),n=k+1,時(shí),左邊,=,1,4+2,7+310+k(3k+1),+(k+1)(3(k+1)+1),=k(k+1),2

9、,+(k+1)(3(k+1)+1),=(k+1)k(k+1)+3(k+1)+1,=(k+1)k,2,+4k+4=(k+1)(k+1)+1,2,右邊,練習(xí)鞏固,1,.,用數(shù)學(xué)歸納法證明：,在驗(yàn)證,n=1,成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是,2,2.,某個(gè)命題與正整數(shù),n,有關(guān)，如果當(dāng) 時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng),n=k+1,時(shí)命題也成立,.,現(xiàn)已知當(dāng),n=5,時(shí)該命題不成立，那么可推得（）,A,當(dāng),n=6,時(shí)該命題不成立,B,當(dāng),n=6,時(shí)該命題成立,C,當(dāng),n=4,時(shí)該命題不成立,D,當(dāng),n=4,時(shí)該命題成立,C,3.,如下用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)嗎？,證明：,當(dāng),n=1,時(shí)，左邊,右邊,等式成立。,假設(shè),

10、n=k,時(shí)等式成立，有,那么，當(dāng),n=k+1,時(shí)，有,即,n=k+1,時(shí)，命題成立。,根據(jù),可知，對(duì),nN,，等式成立,。,注意,:,用上假設(shè),遞推才真,第二步證明中沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明,既然不對(duì)，如何改正？,三注意：,1,、有時(shí),n,0,不一定等于,1,2,、項(xiàng)數(shù)不一定只增加一項(xiàng)。,3,、一定要用上假設(shè),分析,4,.,用數(shù)學(xué)歸納法證明,12,23,34,n(n,1),練習(xí)鞏固,從,n=k,到,n=k+1,有什么變化,利用,假設(shè),湊結(jié)論,證明,:,2),假設(shè),n=k,時(shí)命題成立,即,12,23,34,k(k+1),1),當(dāng),n=1,時(shí)，左邊,=12=2,右邊,=2.,命題成立,n

11、=k+1,時(shí)命題正確。由,(1),和,(2),知，當(dāng) ，命題正確,。,明確初始值,n,0,，驗(yàn)證真假。（必不可少）,“假設(shè),n=k,時(shí)命題正確”，寫出命題形式。,證明“,n=k+1,時(shí)”命題成立。,分析“,n=k+1,時(shí)”命題是什么，并找出與“,n=k”,時(shí)命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。,注意用上假設(shè)，,要作結(jié)論,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式注意事項(xiàng)：,數(shù)學(xué)歸納法,是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。,主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論,:,（,1,）證明當(dāng),n,取第一個(gè)值,n,0,（,如,n,0,=1,或,2,等）時(shí)結(jié)論正確,（,2,）假設(shè),n=k(,kN,，,且,k n,0,),時(shí)結(jié)論正確，

12、,證明,n=k+1,時(shí)結(jié)論也正確,由（,1,）、（,2,）得出結(jié)論正確,歸納小結(jié),（,1,）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法的證明方法它適用于,與正整數(shù)有關(guān),的問題。,（,2,）,兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論缺一不可,，否則結(jié)論不能成立。,（,3,）在證明遞推步驟時(shí)，必須,使用歸納假設(shè),。,遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉,歸納法,完全歸納法,不完全歸納法,數(shù)學(xué)歸納法,窮舉法,可能錯(cuò)誤,如何避免？,課堂小結(jié),數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法,，,它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用,“有限,”,的手段，來解決,“無限,”,的問題。它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納

13、法結(jié)論不可靠的不足，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般、由有限到無窮,。,數(shù)學(xué)歸納法的核心,思想,課堂小結(jié),（,1,）思考題：,問題,1,中,大球中有很多個(gè)小球，如何證明它們都是綠色的？,模 擬 演 示,作業(yè),（,2,）課本作業(yè),P,50,.,習(xí)題,4.1,1,，,2,（,3,）補(bǔ)充作業(yè),:,用數(shù)學(xué)歸納法證明：,如果,a,n,是一個(gè)等差數(shù)列，那么,a,n,=a,1,+(n-1)d,對(duì)于一切,nN,*,都成立。,（,4,）預(yù)習(xí)課本,P,49,例,1,和例,2,哥德巴赫猜想,德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫經(jīng)過觀察,發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：,任何大于,5,的整數(shù),都可以表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)的和,.,他猜想這個(gè)命題是正確的,但他本人無法給予證明,.,1742,年,6,月,6,日,哥德巴赫去求教當(dāng)時(shí)頗負(fù)盛名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,歐拉經(jīng)過反復(fù)研究,發(fā)現(xiàn),:,問題的關(guān)鍵在于證明任意大于,2,的偶數(shù)能表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和,.,于是,歐拉對(duì)大于,2,的偶數(shù)逐個(gè)加以驗(yàn)算,最后歐拉猜想上述結(jié)論是正確的。,6,月,30,日，他復(fù)信哥德巴赫，信中指出：,“任何大于,2,的偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，,雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的定理?！?這就是著名的哥德巴赫猜想,.,謝謝！,再見！,謝謝！,再見！,謝謝！,再見！,謝謝！,再見！,