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1、第,*,頁 共,49,頁,第,*,頁 共,49,頁,第二講 命題及其關系,充分條件與必要條件,回歸課本,1.,命題,(1),一般地,我們把用,語言,符號,或,式子,表達的,可以判斷真假的,陳述句,叫命題,其中判斷為,真,的語句叫,真命題,判斷為,假,的語句叫,假命題,.,(2),“,若,p,則,q,”,是數(shù)學中常見的命題形式,其中,p,叫做命題的,條件,q,叫做命題的,結論,.,(3),若原命題為,“,若,p,則,q,”,則它的逆命題為,若,q,則,p,它的否命題為,若,p,則,q,它的逆否命題為,若,q,則,p,.,(4),互為逆否的命題是,等價的,它們同真同假,在同一個命題的四種命題中,真

2、命題的個數(shù)可能為,0,2,4,個,.,(5),否命題與命題的否定的區(qū)別,:,首先,只有,“,若,p,則,q,”,形式的命題才有否命題,其形式為,“,若,p,則,q.,”,其他形式的命題只有,“,否定,”,而沒有否命題,其次,命題的否定與原命題一真一假,而,“,若,p,則,q,”,形式的命題的否命題與原命題的真假可能相同也可能相反,.,2.,充要條件,(1),“,若,p,則,q,”,為真命題是指,由,p,通過推理可以得出,q,這時我們就說由,p,可以推出,q,記作,pq,并說,p,是,q,的,充分,條件,q,是,p,的,必要,條件,.,(2),若既有,pq,又由,qp,則,p,是,q,的,充分必

3、要,條件,記作,pq,.,(3),從集合的角度認識充分條件,必要條件,.,設,AB,為兩個集合,A=,x|p,(x),B=,x|q,(x),則若,A,B,則,p,是,q,的充分條件,q,是,p,的必要條件,;,若,B,A,則,p,是,q,的必要條件,;,若,A=B,則,p,是,q,的充要條件,.,3.,反證法證明命題的一般步驟,(1),否定結論,(2),從假設出發(fā),經(jīng)過推理論證得出矛盾,(3),斷定假設錯誤,肯定結論成立,.,反證法屬于間接證法,當證明一個結論成立,已知條件較少,或結論的情況較多,或結論是以否定形式出現(xiàn),如某些結論中含有,“,至多,”,“,至少,”,“,惟一,”,“,不可能,”

4、,“,不都,”,等指示性詞語時往往考慮采用反證法證明結論成立,.,考點陪練,答案,:B,2.,“,m2,”,是,“,方程,x,2,-mx+m+3=0,的兩根都大于,1,”,的,(),A.,充分不必要條件,B.,必要不充分條件,C.,充要條件,D.,不充分不必要條件,(2)m2,時,取,m=3,此時方程為,x,2,-3x+6=0,無實根,即,m2,不能推出,x,1,1,且,x,2,1.,由,(1)(2),知,m2,是方程的兩根都大于,1,的必要不充分條件,.,答案,:B,3.(2010,陜西,),對于數(shù)列,a,n,“,a,n+1,|a,n,|,(n=1,2,),”,是,“,a,n,為遞增數(shù)列,”

5、,的,(),A.,必要不充分條件,B.,充分不必要條件,C.,充要條件,D.,既不充分也不必要條件,解析,:,因為,a,n+1,|a,n,|,a,n+1,a,n,a,n,為遞增數(shù)列,但,a,n,為遞增數(shù)列,a,n+1,a,n,推不出,a,n+1,|a,n,|,故,“,a,n+1,|a,n,|,(n=1,2,),”,是,“,a,n,為遞增數(shù)列,”,的充分不必要條件,選,B.,答案,:B,4.(2010,山東,),設,a,n,是等比數(shù)列,則,“,a,1,a,2,a,3,”,是,“,數(shù)列,a,n,是遞增數(shù)列,”,的,(),A.,充分而不必要條件,B.,必要而不充分條件,C.,充分必要條件,D.,既不

6、充分也不必要條件,解析,:,由題可知,若,a,1,a,2,0,時,解得,q1,此時數(shù)列,a,n,是遞增數(shù)列,當,a,1,0,時,解得,0q1,此時數(shù)列,a,n,是遞增數(shù)列,;,反之,若數(shù)列,a,n,是遞增數(shù)列,則,a,1,a,2,a,3,成立,所以,“,a,1,a,2,b,則,a,2,b,2,”,的逆否命題,;,(3),“,若,x-3,則,x,2,+x-60,”,的否命題,;,(4),“,若,a,b,是無理數(shù),則,ab,是無理數(shù),”,的逆命題,.,其中真命題的個數(shù)是,(),A.0 B.1 C.2 D.3,解,(1),逆命題為,“,若,xy,互為相反數(shù),則,x+y=0,”,是真命題,.,(2),

7、原命題為假,其逆否命題為假,.,(3),否命題為,“,若,x-3,則,x,2,+x-60,”,假如,x=4-3,但,x,2,+x-6=140,故為假,.,(4),逆命題,“,若,ab,是無理數(shù),則,a,b,也是無理數(shù),”,假如則,a,b,=2,是有理數(shù),.,故為假,.,答案,B,反思感悟,判斷一個命題為假命題,只需舉出一個反例,無需證明,.,類型二四種命題及其關系,解題準備,:,互為逆否關系的命題是等價命題,:,原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,.,所以,:,當判斷一個命題的真假有困難時,可以判斷它的逆否命題的真假,;,原命題,逆命題,否命題,逆否命題這四個命題中真命題的個數(shù)可

8、能是,0,個,2,個,4,個,.,【,典例,2】,分別寫出下列命題的逆命題,否命題,逆否命題,命題的否定,并判斷它們的真假,:,(1),若,q1,則方程,x,2,+2x+q=0,有實根,;,(2),若,xy=0,則,x=0,或,y=0;,(3),若,x,2,+y,2,=0,則,x,、,y,全為,0.,解,(1),原命題是真命題,;,逆命題,:,若方程,x,2,+2x+q=0,有實根,則,q1,為真命題,;,否命題,:,若,q1,則方程,x,2,+2x+q=0,無實根,為真命題,;,逆否命題,:,若方程,x,2,+2x+q=0,無實根,則,q1,為真命題,;,命題的否定,:,若,q1,則方程,x

9、,2,+2x+q=0,無實根,為假命題,.,(2),原命題為真命題,;,逆命題,:,若,x=0,或,y=0,則,xy=0,是真命題,;,否命題,:,若,xy0,則,x0,且,y0,是真命題,;,逆否命題,:,若,x0,且,y0,則,xy0,是真命題,;,命題的否定,:,若,xy=0,則,x0,且,y0,是假命題,.,(3),原命題為真命題,.,逆命題,:,若,x,、,y,全為,0,則,x,2,+y,2,=0,為真命題,;,否命題,:,若,x,2,+y,2,0,則,x,、,y,不全為,0,為真命題,;,逆否命題,:,若,x,、,y,不全為,0,則,x,2,+y,2,0,為真命題,;,命題的否定,

10、:,若,x,2,+y,2,=0,則,x,、,y,不全為,0,是假命題,.,反思感悟,(1),注意,:,“,都是,”,的否定是,“,不都是,”,而不是,“,都不是,”,因為,“,x,、,y,不都是奇數(shù),”,包含,“,x,是奇數(shù),y,不是奇數(shù),”,“,x,不是奇數(shù),y,是奇數(shù),”,“,x,、,y,都不是奇數(shù),”,三種情況,;,“,x=0,或,y=0,”,的否定是,“,x0,且,y0,”,而不是,“,x0,或,y0,”,因為,“,x=0,或,y=0,”,包含,“,x=0,且,y0,”,、,“,x0,且,y=0,”,“,x=0,且,y=0,”,三種情況,.,(2),要注意區(qū)別,“,否命題,”,與,“,

11、命題的否定,”,:,否命題要對命題的條件和結論都否定,而命題的否定僅對命題的結論否定,.,類型三充分必要條件的判定與證明,解題準備,:,判斷一個命題是另一個命題的什么條件,關鍵是利用定義,:,如果,p,q,則,p,叫做,q,的充分條件,原命題,(,或逆否命題,),成立,命題中的條件是充分的,也可稱,q,是,p,的必要條件,;,如果,q,p,則,p,叫做,q,的必要條件,逆命題,(,或否命題,),成立,命題中的條件為必要的,也可稱,q,是,p,的充分條件,;,如果既有,p,q,又有,q,p,記作,p,q,則,p,叫做,q,的充分必要條件,簡稱充要條件,原命題和逆命題,(,或逆否命題和否命題,),

12、都成立,命題中的條件是充要的,.,【,典例,3】,求證方程,ax2+2x+1=0,有且只有一個負實數(shù)根的充要條件是,a0,或,a=1.,思路點撥,首先應從充分性和必要性兩個方面進行證明,其次要注意對參數(shù),a,的分類討論,.,證明,充分性,:,當,a=0,時,方程變?yōu)?2x+1=0,其根為,x=-,方程只有一負根,.,當,a=1,時,方程為,x,2,+2x+1=0,其根為,x=-1.,方程只有一負根,.,當,a0,方程有兩個不相等的根,且,方程有一正一負根,.,必要性,:,若方程,ax,2,+2x+1=0,有且僅有一負根,.,當,a=0,時,適合條件,.,當,a0,時,方程,ax,2,+2x+1

13、=0,有實根,則,=4-4a0,a1,當,a=1,時,方程有一負根,x=-1.,若方程有且僅有一負根,綜上方程,ax,2,+2x+1=0,有且僅有一負實數(shù)根的充要條件為,a0,或,a=1.,反思感悟,(1),這類證明問題需要證明充分性和必要性兩個方面,因此應分清條件和結論,由條件證明結論成立是充分性,由結論證明條件成立是必要性,不能將二者混淆,;(2),涉及一元二次方程根的問題,主要利用根的判別式進行求解,同時不能忘記對,x,2,項系數(shù)的分類討論,.,探究,是否存在實數(shù),p,使,“,4x+p0,”,的充分條件,?,如果存在,求出,p,的取值范圍,.,分析,“,4x+p0,”,是結論,先解出這兩

14、個不等式,再探求符合條件的,p,的范圍,.,反思感悟,本題用集合的包含關系去理解更容易解答,注意結合數(shù)軸確定,p,的范圍,.,錯源一判斷充分必要條件時不注意設問方式,【,典例,1】,使不等式,2x,2,-5x-30,成立的一個充分不必要條件是,(),A.x0,B.x,2,C.x,-1,3,5,D.x,-,或,x3,錯解,由,2x,2,-5x-30,得,x3,或,x-,當,x3,或,x-,時能推出,B,選項,但當,B,選項成立時,不一定能推出,x3,或,x-,所以選,B.,剖析,本題錯誤在于沒有弄清楚問題的設問方式,混淆了條件和結論而導致的,.,正確的理解是所選選項是,2x,2,-5x-30,成

15、立的充分不必要條件,.,正解,依題意所選選項能使不等式,2x,2,-5x-30,成立,但當不等式,2x,2,-5x-30,成立時,卻不一定能推出所選選項,.,由于不等式,2x,2,-5x-30,的解為,:x3,或,x-,所以應選,C.,答案,C,錯源二四種命題的結構不明致誤,【,典例,2】,寫出命題,“,若,a,b,都是偶數(shù),則,a+b,是偶數(shù),”,的逆命題,否命題,逆否命題,并判斷它們的真假,.,剖析,解本題易出現(xiàn)的錯誤有兩個,:,一是對一個命題的逆命題,否命題,逆否命題的結構認識模糊出錯,;,二是在否定一個結論時出錯,如對,“,a,b,都是偶數(shù),”,的否定應該是,“,a,b,不都是偶數(shù),”

16、,而不應該是,“,a,b,都是奇數(shù),”,.,正解,逆命題,:,“,若,a+b,是偶數(shù),則,a,b,都是偶數(shù),.,”,它是假命題,;,否命題,:,“,若,a,b,不都是偶數(shù),則,a+b,不是偶數(shù),.,”,它是假命題,;,逆否命題,:,“,若,a+b,不是偶數(shù),則,a,b,不都是偶數(shù),.,”,它是真命題,.,評析,四種命題的結構與等價關系,如果原命題是,“,若,A,則,B,”,則這個命題的逆命題是,“,若,B,則,A,”,否命題是,“,若,A,則,B,”,逆否命題是,“,若,B,則,A,”,.,這里面有兩組等價的命題,即,“,原命題和它的逆否命題等價,否命題與逆命題等價,”,.,在解答由一個命題寫出該命題的其他形式的命題時,一定要明確四種命題的結構以及它們之間的等價關系,.,技法一等價命題轉化法,【,典例,1】,若,p:x+y3,q:x1,或,y2.,則,p,是,q,的什么條件,?,解,直接判斷原命題,“,若,p,則,q,”,的真假比較難,但它的逆否命題即,“,若,x=1,且,y=2,則,x+y=3,”,顯然為真,故原命題也為真,即,p,q,.,逆命題的真假較難判斷,但它的等價命題否命題,