《自動控制原理課件 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《自動控制原理課件 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法（44頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法,本章主要內(nèi)容與重點,根軌跡方程,根軌跡繪制的基本法則,廣義根軌跡,本章闡述了控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法。包括根軌跡的基本概念、繪制系統(tǒng)根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,參量根軌跡和零度根軌跡的概念和繪制方法，以及利用根軌跡如何分析計算控制系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能指標等）。,本章重點,本章主要內(nèi)容,學習本章內(nèi)容,應重點掌握根軌跡的基本概念、繪制根軌跡的條件、系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則和利用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能,參量根軌跡的概念和繪制方法,理解零度根軌跡的基本概

2、念和繪制方法。,4-1 根軌跡方程,特征方程的根 運動模態(tài) 系統(tǒng)動態(tài)響應（穩(wěn)定性、系統(tǒng)性能）,根軌跡,開環(huán)系統(tǒng)（傳遞函數(shù)）的每一個參數(shù)從零變化,到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根在 s 平面上的軌跡稱為,根軌跡。,若閉環(huán)系統(tǒng)不存在零點與極點相消，閉環(huán)特征方程的根與閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點是一一對應的。,例 二階系統(tǒng)的根軌跡,開環(huán)增益K從零變到無窮，可以用解析方法求出閉環(huán)極點的全部數(shù)值。,根軌跡與系統(tǒng)性能,穩(wěn)定性,考察根軌跡是否進入右半 s 平面。,穩(wěn)態(tài)性能,開環(huán)傳遞函數(shù)在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是靜態(tài)誤差系數(shù)。但是由開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡，K是根軌跡增益，根軌跡增益與開環(huán)增益

3、之間有一個轉(zhuǎn)換關系。,動態(tài)性能,由K值變化所對應的閉環(huán)極點分布來估計。,對于高階系統(tǒng)，不能用特征方程求根的解析方法得到根軌跡。,根軌跡法,圖解法求根軌跡。從開環(huán)傳遞函數(shù)著手，通過圖解法來求閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。,閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關系,設 控制系統(tǒng)如圖所示,和,：前向通路增益,：前向通道根軌跡增益,：反饋通道根軌跡增益,結(jié)論：,（1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益=開環(huán)前向通道系統(tǒng)根軌跡,增益。,（2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點 開環(huán)前向通道傳遞函數(shù)的零點和,反饋通道傳遞函數(shù)的極點所組成。,（3）閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點、根軌跡增益,均有關。,根軌跡法的任務：由已知的開環(huán)零極點和根軌跡增益，用圖解方法確

4、定閉環(huán)極點。,根軌跡方程,由閉環(huán)傳遞函數(shù),當,求出相應的根，就可以在s平面上繪制出根軌跡。,根軌跡方程,根軌跡方程可以進一步表示為,相角條件（幅角條件）：（充分必要條件）,模值條件（幅值條件）：,4-2 根軌跡繪制的基本法則,可變參數(shù)為根軌跡增益,相角條件：,180,o,相軌跡,規(guī)則1,：根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。,簡要證明：,又從,在實際系統(tǒng)通常是 ，則還有 條根軌跡終止于s平面的無窮遠處，這意味著在無窮遠處有 個無限遠（無窮）零點。,有兩個無窮遠處的終點,有一個無窮遠處的起點,規(guī)則2,：根軌跡的分支數(shù)和對稱性,根軌跡的分支數(shù),與開環(huán)極點數(shù)n相等（nm）,或與

5、開環(huán)有限零點數(shù)m相等（nm 時，則有（n-m)條根軌跡分支終止于無限零點。這些根軌跡分支趨向無窮遠的漸近線由與實軸的夾角和交點來確定。,與實軸夾角,與實軸交點,例1 設單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為,（2）有4條根軌跡的分支，對稱于實軸,（1）,（3）有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線,與實軸夾角,與實軸交點,圖示P.135 4-6,規(guī)則4,：實軸上的根軌跡,若實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實數(shù)零點數(shù)+開環(huán)實數(shù)極點數(shù)）為奇數(shù)。,這個結(jié)論可以用相角條件證明。,由相角條件,圖示證明：P.136 圖4-7,規(guī)則5,：根軌跡分離點,兩條或兩條以上的根軌跡分支在 s 平面上相遇又立即

6、分開的點稱為分離點（會合點）。,分離點（會合點）的坐標 d 由下列方程所決定：,或,注：（1）根軌跡出現(xiàn)分離點說明對應是特征根出現(xiàn)了重根。,（2）若實軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點（包括無限零點）或開環(huán)極點（包括無限極點），則在此段根軌跡上必有分離點。,（3）分離點若在復平面上，則一定是成對出現(xiàn)的。,例 2 繪制圖示系統(tǒng)大致的根軌跡,解（1）開環(huán)零點,開環(huán)極點,根軌跡分支數(shù)為3條，有兩個無窮遠的零點。,（2）實軸上根軌跡,（3）趨向無窮遠處的漸近線的夾角與交點,（4）分離點（用試探法求解）,例3：設單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試繪制系統(tǒng)的根軌跡。,解（1）一個開環(huán)零點，兩個開環(huán)極點；兩條根軌

7、跡分支；有一個無窮遠處的零點。,（2）漸近線與實軸重合的，實軸上根軌跡（-,，-2。,（3）分離點,（4）由相角條件可以證明復平面上的根軌跡是圓的一部分，圓心為（-2，j0)，半徑為,規(guī)則6,：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）,起始角（出射角）：根軌跡離開復平面上開環(huán)極點處的切線與實軸的夾角 。,終止角（入射角）：根軌跡進入復平面上開環(huán)零點處的切線與實軸的夾角 。,例4,規(guī)則7,：,根軌跡與虛軸的交點,交點對應的根軌跡增益 和角頻率 可以用勞斯判據(jù)或閉環(huán)特征方程（）確定。,例5 設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),試繪制系統(tǒng)大致的根軌跡。,解（1）無開環(huán)零點，開環(huán)極點,在實軸上根軌跡-3，0。,（2

8、）有4條分支趨向無窮遠處。漸近線的夾角與交點,（3）分離點,（4）起始角（出射角）,（5）與虛軸的交點 運用勞斯判據(jù),由第一列、第三行元素為零,由輔助方程,規(guī)則 8,：,閉環(huán)極點之和、閉環(huán)極點之積與根軌跡分支的走向,若開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)個數(shù),結(jié)論,：（1）若 n-m,2,閉環(huán)極點之和=開環(huán)極點之和=常數(shù),表明：在某些根軌跡分支（閉環(huán)極點）向左移動，而另一些根軌跡分支（閉環(huán)極點）必須向右移動，才能維持閉環(huán)極點之和為常數(shù)。,（2）對于1型以上（包括1型）的系統(tǒng)，閉環(huán)極點之積與開環(huán)增益值成正比。,閉環(huán)極點的確定,對于特定的K,*,值下的閉環(huán)極點，可以借助根軌跡圖用模值條件確定。,根據(jù)K,*,值，

9、通常用試探法先確定在實軸上的閉環(huán)極點，然后確定其它的閉環(huán)極點。,例6 確定 K,*,=4 的閉環(huán)極點。,因為已知分離點,于是可知 K,*,=4 對應的閉環(huán)極點在分離點兩側(cè)。經(jīng)過若干次試探，找出滿足模值條件的兩個閉環(huán)極點,另外兩個根可以從特征方程求出,P.144,圖4-15給出了一些不同開環(huán)零極點分布時，其根軌跡大致走向。,4-3 廣義根軌跡,廣義根軌跡是指根軌跡參數(shù)除了開環(huán)增益之外的所有根軌跡。,參數(shù)根軌跡，開環(huán)零點個數(shù)大于開環(huán)極點個數(shù)的根軌跡，具有正反饋內(nèi)環(huán)的零度根軌跡等。,參數(shù)根軌跡,以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡,引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念,等效開環(huán)傳遞函數(shù),注意,：在此的等效意義是

10、在特征方程相同，或者是閉環(huán)極點相同的前提下成立；而此時閉環(huán)零點是不同的。,例1：設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù) 對系統(tǒng)性能的影響。,解：閉環(huán)特征方程,要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點,等效開環(huán)極點,注：若分母多項式為高次時，無法解析求解等效開環(huán)極點，則運用根軌跡法求解。如本例，求解分母特征根的根軌跡方程為：,在本例中，K可自行選定，選定不同K值，然后將G,1,(s)的零、極點畫在 s 平面上，在令,繪制出 變化時的參數(shù)根軌跡。,附加開環(huán)零點的作用,1.附加適當?shù)拈_環(huán)零點可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,設開環(huán)傳遞函數(shù)為,附加的開環(huán)實數(shù)零點，其值可

11、在s左半平面內(nèi)任意選擇，當 時，表明不存在有限零點。,令 為不同的數(shù)值，對應的根軌跡見P.150 圖4-25所示：,（a）無開環(huán)零點；（b）；（c）,（d）,2.附加開環(huán)零點的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。,結(jié)論：只有當附加零點相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點的位置選配適當，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。,零度根軌跡,在非最小相位系統(tǒng)，此時相角條件為,在一些復雜系統(tǒng)中，包含了正反饋內(nèi)回路，有時為了分析內(nèi)回路的特性，則有必要繪制相應的根軌跡，其相角條件為,具有這類相角條件的相軌跡稱為：零度根軌跡,零度根軌跡的繪制,以具有正反饋內(nèi)回路的的系統(tǒng)為例。,具有正反饋內(nèi)

12、回路系統(tǒng)如圖所示，外回路是采用負反饋加以穩(wěn)定，為了分析整個系統(tǒng)的性能，通常首先要確定內(nèi)回路的零、極點，這就相當于繪制具有正反饋系統(tǒng)的根軌跡。,等效為相角方程（幅角條件）和模方程（模值條件）,與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。,所以零度根軌跡的繪制的規(guī)則只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)則的修改。,規(guī)則3,：,漸近線的夾角,與實軸夾角,與實軸交點,規(guī)則4,：實軸上的根軌跡,若實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實數(shù)零點數(shù)+開環(huán)實數(shù)極點數(shù)）為偶數(shù)。,這個結(jié)論可以用相角條件證明。,規(guī)則6,：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）,起始角（出射角）：,終止角（入射角）：,P.152 表4-3列出了零度根軌跡繪制法則,例3 設具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別為,試繪制該回路的根軌跡圖。,（1）系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布為,有三條根軌跡分支，實軸上的根軌跡（-,，-3，-2，）。,（2）根軌跡的漸近線（n-m)=2條，漸近線夾角,（3）確定出射角,（4）確定分離點,（5）確定臨界開環(huán)增益，顯然根軌跡過坐標原點，坐標原點對應的開環(huán)增益為,例3 設飛機的縱向運動時的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試繪制飛機縱向運動的根軌跡圖。,（1）開環(huán)傳遞函數(shù)中具有右半s平面的零點，開環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。,（2）開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)具有負號，相當于是具有正反饋性質(zhì)。令,