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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,#,無意義,，,所以此,迭代,不收斂,.,法（,三,）用壓縮不動點定理,設(shè) 則,法（二）,因此不適定，,不收斂,.,3.,設(shè),存在常數(shù) 恒成立,證明,若 則對任意,x,0,迭代,序列,收斂到,f,(,x,)=0,的唯一解,x,*.,證明,所以結(jié)論成立,.,因,所以,即,7,對導(dǎo)數(shù),二次連續(xù)可微，,只要證明,迭代,滿足 即可。,由中值定理,介于,x,與,x,+,f,(,x,),之間,得,采用逼近,定義迭代,證明上述迭代是局部二階,方法,.,證明,(,一,),先證收斂性,，,則,所以,所以,又當(dāng) 時,所以,再證二階

2、收斂,.,即,因,f,(,x,*),在,x,k,點,Taylor,展開為,:,代入上式，得,從而,所以結(jié)論成立,.,羅比塔法則,（二）把,f,(,x,k,+,f,(,x,k,),在,x,k,點,Taylor,展開,:,則,把,f,(,x,*)Taylor,展開,從而,代入上式，得,所以結(jié)論成立,.,羅比塔法則,（三）因,x,*,是,f,(,x,)=0,的唯一根，則可設(shè),得,所以,所以結(jié)論成立,.,設(shè) 分別是初值問題,及攝動問題,的解，試證明,證明,：由方程（,1,）及（,2,），得,令,z,-,y,=,h,(,x,),則,用,分離變量法,求解以上關(guān)于,h,(,x,),的方程，得,法（一）,習(xí)題

3、,8 P.,435 436,法（二）,當(dāng) 時，,h,(,x,),單調(diào)減少。,另外,且,（一）令,f,(,x,y,)=-,y,+,x,+1.,?,（二）用,P,391,Th.2,及定義,1,，而這里的,K,=2,?,.,3.,試證明,Heun,方法,是二階精度方法，并求出其,主局部截斷誤差項,.,證明,：,又將,y,(,x,k,+1,)Taylor,展開為：,所以,因為,h,3,項前的系數(shù)不相同，所以,Heun,方法為二階方法，主局部截斷,誤差項,為：,7.,試確定二步法,的（,1,）主局部截斷誤差；（,2,）方法的階；（,3,）特征多項式,P(r),；,（,4,）絕對穩(wěn)定區(qū)間,.,解,：二步法為,分別在,x,=,x,k,點進(jìn)行泰勒展開得,與,y,k,+1,的展開式比較得該方法為二階方法，,主局部截斷誤差為,（,4,）由 得特證方程為：,整理,得,若 則,解得,解得,所以該方法的絕對穩(wěn)定區(qū)間是,8.,試求系數(shù),a,b,c,使三步法,的階盡量高，并寫出其主局部截斷誤差,.,解,:,三步法為,(,法一,),將,在,x,=,x,k,點進(jìn)行,Taylor,展開,若令,解得,又因,因此三步法為,三階方法,.,主局部截斷誤差,為,若令,即,h,4,項的系數(shù)不為,0,(,法二,):,由,P,422,(5.16),式,得,其它與法一相同,.,