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1、,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第

2、四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,二、最大值與最小值問題,一、函數(shù)的極值及其求法,第五節(jié),函數(shù)的極值與最值,第三章,函數(shù)的極值及其求法,由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點處形成“峰”、“谷”，函數(shù)在這些點處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點，無論在理論上還是在實際應用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。,一、函數(shù)極值的定義,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為,極值,使函數(shù)取得極值的點稱為,極值點,.,二、函數(shù)極值的求法,定理,1,(,必要條件,),定義,

3、注意,:,例如,注,這個結(jié)論又稱為,Fermat,定理,如果一個可導函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點,則此函數(shù)沒有極值，此時導數(shù)不改變符號,不可導點也可能是極值點,極值可疑點：,駐點、不可導點,極值可疑點是否是真正的極值點，還須進一步,判明。由單調(diào)性判定法則知，若極值可疑點的左、右兩側(cè)鄰近，導數(shù)分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。,定理,2(,第一充分條件,),(,是極值點情形,),求極值的步驟,:,(,不是極值點情形,),例1,解,列表討論,極大值,極小值,圖形如下,定理,3(,第二充分條件,),證,例2,解,圖形如下,注意,:,例3,解,注,:,函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點,.,例,4

4、,證,（不易判明符號）,而且是一個最大值點，,利用導數(shù)的性質(zhì)證明不等式是一種常用的,技巧,它包含以下幾個部分,:,利用微分中值定理,利用泰勒公式,(,二階以上的,),利用函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性,利用函數(shù)的極值和最值,充分條件來判定有無極值,;,對于只有駐點而沒有導數(shù)不存在的點,可用第二充分條件判斷有無極值,.,運用極值第一、第二充分條件需要注意,:,若函數(shù)有導數(shù)不存在的點時,則可用第一,(1),(2),則,最大值、最小值問題,在生產(chǎn)實踐中，為了提高經(jīng)濟效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能使用料最省，費用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數(shù)學上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。最值

5、問題主要討論問題的兩個方面：最值的存在性；最值的求法。,假定,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù)，除去有限個點外處處可導，且至多有有限個點處導數(shù)為,0,。我們就在這樣的條件下討論,f,(,x,),在,a,b,上的最值的求法。,一、最值的求法,首先由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),f,(,x,),在,a,b,上必存在最大值和最小值,其次，若最大值（或最小值）在開區(qū)間內(nèi)取得，,則這個最值一定是 極值，由假定，這個點一定是駐點或不可導點；此外最值也可能在區(qū)間的端點處取得，故求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法是,(1),其中最大(小)者,求連續(xù)函數(shù),f,(,x,),在閉區(qū)間,a,b,上的最大,(,小,),值的方法

6、,:,將閉區(qū)間,a,b,內(nèi)所有駐點和導數(shù)不存在的,區(qū)間端點,的,就是,f,(,x,),最值必在端,(2),點處達到,.,點,(,即為,極值可疑點,),處的函數(shù)值和,函數(shù)值,f,(,a,),f,(,b,),比較,在閉區(qū)間,a,b,上的最大,(,小,),值,.,當,f,(,x,),在閉區(qū)間,a,b,上,單調(diào),時,(3),(4),若連續(xù)函數(shù),f,(,x,),在區(qū)間,I,內(nèi)只有,一個極值點,為極大(小)值,區(qū)間,I,上的最大,(,小,),值,.,對實際問題常?？墒孪葦喽ㄗ畲?(,小,),值必在,區(qū)間內(nèi)部取得,如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有,一個極值可疑點,那末這點處的函數(shù)值就是最,大,(,小,),值,.,

7、二、應用舉例,例1,解,計算,例,2,解,得駐點,這些點處的函數(shù)值為：,比較以上各點處的函數(shù)值可知：,練習,解,駐點,:,導數(shù)不存在的點,:,最大值,最小值,最大值與最小值,.,實際問題求最值應注意,(1),建立目標函數(shù),;,(2),求最值,;,若目標函數(shù)只有唯一駐點,則該點的函數(shù),值即為所求的最大,(,小,),值,.,例,3.,可口可樂公司要設計一個容量為 的圓柱體易拉罐飲料瓶,試問易拉罐的半徑和高的比例等于多少時所用材料最省？,則問題歸結(jié)為求,r,h,在條件,解,:,設,r,h,分別表示半徑和高,下圓柱體飲料瓶的表面積,最小,.,為此，將條件 帶入表達式,中即得：,由條件,故可口可樂易拉罐

8、飲料瓶的半徑與高的比例為,時所用的材料最省。,令,例,4,某房產(chǎn)開發(fā)商有,50,套公寓要出租，當租金定為每月,1800,元時，公寓會全部租出去當租金每月增加,100,元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每套每月需花費,200,元的整修維護費試問房租定為多少可獲得最大收入？,解,設房租為每月 元，,租出去的房子有 套，,每月總收入為,（唯一駐點）,故每月每套租金為,3500,元時收入最高。,最大收入為,例,5,解,如圖,解得,小結(jié),極值,是函數(shù)的,局部,概念：可有多個,極大值和極小值；可能,有某個,極小值大于,某個,極大值,.,函數(shù)的極值必在,駐點和不可導點,取得,.,充分性,判別法,第一

9、充分條件,;,第二充分條件,;,(,注意使用條件,),。,最值,是,整體,概念,.,求實際問題中的最值的步驟,.,思考題,解答,:,不,一定,.,因為最值點不一定是內(nèi)點,.,例,在 有最小值，但,O,x,y,1,y=x,試問,為何值時,在,時取得極值,還是極小,.,解,:,由題意應有,又,取得極大值為,練習,1,求出該極值,并指出它是極大,練習,2,解,目標函數(shù),得,(1),(2),求最大值點,半徑為,R.,求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設球的,設圓柱體的高為,2,h,底半徑為,r,體積為,V,圓柱體的最大體積一定存在,故,唯一駐點,就是最大值點,最大體積為,令,得,(,舍去負值,),唯一駐點,費 馬,Pierre de Fermat,(1601,1665),費馬，法國數(shù)學家,.,出身于一個商人,家庭,.,他的祖父、父親、叔父都從商,.,他,的父親是當?shù)氐牡诙?zhí)政官,經(jīng)辦著一個,生意興隆的皮革商店,.,費馬畢業(yè)于法國奧爾良大學，以律師,為職,.,曾任圖盧茲議會會員,享有長袍貴,族特權,.,精通,6,種語言,.,業(yè)余愛好數(shù)學并,在數(shù)論、幾何、概率論、微積分等領域內(nèi),作出了創(chuàng)造性的工作,.,費馬大定理被稱為“會下金蛋的母雞”,.,