《圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡單應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡單應(yīng)用（35頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

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2、,1,輪）,文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,走進(jìn)高考,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)（第,1,輪）,文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,本節(jié)完，謝謝聆聽,立足教育，開創(chuàng)未來,Copyright 2004-2009,版權(quán)所有 盜版必究,新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí),第十單元,幾何證明選講,第,69,講,圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡單應(yīng)用,1.,了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會平行投影；會證明平面與圓柱截線是橢圓（特殊情形是圓）,.,2.,通過觀察平面截圓錐的情境，體會下面定理：在空間中，取直線,l,為軸，直線,l,與,l,相交于,O,點，其夾角為,l

3、,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點，,l,為母線的圓錐面，任取平面,，若它與軸,l,交角為,(,當(dāng),與,l,平行時，記,=0),，,則,(1),，平面,與圓錐的交線為橢圓；（,2,）,=,，平面,與圓錐的交線為拋物線；（,3,）,，平面,與圓錐的交線為雙曲線,.,3.,通過丹迪林雙球探求橢圓的性質(zhì)，加深對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識，理解平面與空間的統(tǒng)一關(guān)系,.,1.,下列對于半徑為,4,的圓在已知平面,上的射影的說法錯誤的是,(),D,A.,射影為線段時，其長度為,8,B.,射影為橢圓時，其短軸長小于,8,C.,射影為橢圓時，其長軸長為,8,D.,射影為圓時，其直徑為,10,利用射影的概念推理可知,A

4、,、,B,、,C,均正確,而,D,選項,射影為圓時,其直徑為,8,故選,D.,2.,如果一個三角形的平行投影還是一個三角形，則下列結(jié)論正確的是,(),B,A.,內(nèi)心的平行投影還是內(nèi)心,B.,重心的平行投影還是重心,C.,垂心的平行投影還是垂心,D.,外心的平行投影還是外心,在平行投影時，垂直關(guān)系與線段長度不一定都能保持不變，但線段的中點投影后仍是線段的中點，所以重心的平行投影還是重心,.,3.,在空間中，取直線,l,為軸，直線,l,與,l,相交于點,O,，夾角為,60,，,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點，,l,為母線的圓錐面,.,若平面,與,l,的夾角為,45,，則平面,截圓錐面所得的截

5、線為,.,雙曲線,因為,4560,，所以截線為雙曲線,.,4.,設(shè)圓柱的底面直徑為,2,，圓柱的截面與圓柱的軸所成的角為,60,，則截得的橢圓的焦距為,.,截得的橢圓的離心率為,cos60=,而橢圓的短半軸長,b,=1,而,=,所以,a,=2,c,所以,a,2,=,b,2,+,c,2,即,(2,c,),2,=1+,c,2,，解得,c,=,，故,2,c,=.,1.,平行投影基本定理,:,不平行于投影線的線段,在平面上的投影仍為,線段上的點分線段的比保持,，端點仍為端點,.,2.,平面與圓柱面的截線：若一平面,與圓柱面的軸線所成的角為銳角,，則平面,與圓柱面所截得的曲線是,此橢圓的離心率,e,=,

6、.,線段,不變,橢圓,cos,3.,平面與圓錐面的截線：在空間中，取直線,l,為軸，直線,l,與,l,相交于,O,點，其夾角為,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點，,l,為母線的圓錐面,.,任取平面,，若它與軸,l,的交角為,(,當(dāng),與,l,平行時，記,=0),，則平面,與圓錐的交線為,，其離心率,e,=cos,cos,.,平面,與圓錐的交線為,;,=,平面,與圓錐的交線為,;,平面,與圓錐的交線為,.,圓錐曲線,橢圓,拋物線,雙曲線,4.,圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)，動點,M,到定點,F,的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù),e,.,當(dāng),0,e,1,時，點,M,的軌跡是,；當(dāng),e,1,時

7、，點,M,的軌跡是,;,當(dāng),e,=1,時,點,M,的軌跡是,其中定點,F,為焦點,定直線是相應(yīng)的,.,橢圓,雙曲線,11,拋物線,12,準(zhǔn)線,題型一 投影的概念及應(yīng)用,例,1,一個圓在一個平面上的平行投影可能是,(),A.,圓,B.,橢圓,C.,線段,D.,圓或橢圓或線段,D,若圓所在平面與已知平面垂直時，則其平行投影是線段；若圓所在平面與已知平面平行時，則其正投影是圓；若圓所在平面與已知面相交時，則其平行投影是橢圓，故選,D.,一個平面圖形在一個平面上的投影既與投影的方式有關(guān)，又與平面圖形所在平面與已知平面的位置關(guān)系有關(guān),.,已知,a,、,b,、,c,、,d,是四條互不重合的直線，且,c,、

8、,d,分別為,a,、,b,在平面,上的射影，給出下面兩組判斷：,第一組：,a,b,，,a,b,；,第二組：,c,d,，,c,d,.,分別從兩組中各選出一個判斷，使一個作條件，另一個作結(jié)論，那么寫出的一個正確命題是,.,兩平行線在一個平面上的射影可能仍平行,.,填,.,題型二,圓柱截面的性質(zhì)及應(yīng)用,例,2,證明：長半軸長為,a,，短半軸長為,b,的橢圓的面積為,ab,.,如圖，橢圓在圓柱底面的平行投影為圓面，可知圓面的半徑為,b,，橢圓面與底圓面所成角為,，,則,cos,=,故,=cos,=,，,所以,S,橢圓,=,S,圓,=,b,2,=,ab,.,S,橢圓,S,圓,本例是利用圓柱形物體的斜截口

9、是橢圓這一定理，通過恰當(dāng)構(gòu)造而實現(xiàn)問題的論證,.,題型三 平面與圓錐截面的截線的性質(zhì)及應(yīng)用,例,3,一圓錐側(cè)面展開圖為半圓，平面,與圓錐的軸成,45,角，則平面,與該圓錐側(cè)面相交的交線為,(),A.,圓,B.,拋物線,C.,雙曲線,D.,橢圓,D,因為圓錐側(cè)面展開圖為半圓，所以圓錐的母線與軸成,30,角，而平面,與圓錐的軸成,45,角，故平面,與該圓錐側(cè)面相交的交線為橢圓,.,正確解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶和運用圓錐的截面與圓錐的軸所成的角與圓錐母線與軸的夾角的大小關(guān)系與圓錐跟截面交線的類型的對應(yīng)關(guān)系定理,.,一個軸截面頂角為,120,的圓錐被一個與其一條母線垂直的平面,(,不過圓錐面的頂點,)

10、,所截，則截面與圓錐側(cè)面的交線的形狀是,(),A.,橢圓的一部分,B.,拋物線的一部分,C.,雙曲線的一部分,D.,圓的一部分,因為交線的離心率,e,=,所以交線的形狀是雙曲線的一部分,.,選,C.,C,圓柱、圓錐截線問題應(yīng)注意,:(1),選擇恰當(dāng)?shù)妮S截面討論,;(2),截面的傾角對截線性質(zhì)的影響,.,題型四 幾何證明簡單應(yīng)用,例,4,在一個底面半徑為,3,，高為,4,的圓錐內(nèi)有一半徑為,1,的球，求球上的點與底面的距離的最大值,.,由于圓錐與球都是旋轉(zhuǎn)體，所以它們的關(guān)系可以用它們的軸截面來分析,.,要使球上的點到底面的距離最大，則應(yīng)使球與圓錐面相切,.,如圖是軸截面，則,EF,的長即為所求的

11、最長距離,.,設(shè)球心為,O,，則設(shè)圓與母線的切點為,C,OC,SB,.,所以,SOC,SBF,則,=,SB,=5,所以,SO,=,所以,EF,=,SF,-,SO,+,OE,=4-+1=,即該球上的點與底面的距離的最大值為,.,與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的接、切問題，通?？梢钥紤]它們的軸截面來解決，這是圓錐面的截線問題的常用處理方法,.,一個頂角為,60,的圓錐面被一平面,所截，,Dandelin,雙球均在頂點,S,的下方,且一個半徑為,1,另一個半徑為,5,，則截線的形狀是,，其離心率是,.,由,Dandelin,雙球均在,S,的同側(cè)，可知截線是橢圓，可計算出橢圓中的參數(shù),a,c,，從而求出離心率,.,(,

12、方法一,),如圖所示的軸截面，,F,1,、,F,2,是截線橢圓的兩個焦點，,所以,2,c,=,F,1,F,2,=,EF,1,+,EF,2,.,因為,O,1,O,2,=2,O,2,D,-2,O,1,C,=8,易證,Rt,O,1,EF,1,Rt,O,2,EF,2,所以,=,即,=,所以,O,1,E,=.,所以,EF,1,=,EF,2,=,故,2,c,=+=2 ,所以,c,=.,又因為,BF,1,+,BF,2,=,BC,+,BD,=,CD,所以橢圓的長軸長,2,a,=,CD,=,=4 ,所以,a,=2 ,故橢圓的離心率,e,=.,(,方法二,),因為,O,1,EF,1,為截面與軸的夾角,.,所以,c

13、os,=cos,O,1,EF,1,=.,又因為頂角為,60,所以,cos,=cos30=,所以截線的離心率,e,=cos,cos,=.,在復(fù)習(xí)中，對于,Dandelin,雙球與圓錐面的幾何關(guān)系，及它們的運算關(guān)系要有所了解，此類問題可鍛煉空間想象能力與運算能力,.,注意選擇一定方向的軸截面，使空間關(guān)系平面化，是解決這類問題的關(guān)鍵,.,在空間中，取直線,l,為軸，直線,l,與,l,相交于,O,點，其夾角為,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點，,l,為母線的圓錐面，任取平面,，若它與軸,l,交角為,(,與,l,平行，記,=0),，證明：當(dāng),=,時，平面,與圓錐的交線為拋物線,.,如圖，設(shè)平面,與圓

14、錐內(nèi)切球相切于點,F,1,，球與圓錐的交線為,S,，過該交線的平面為,，,與,相交于直線,m,在平面,與圓錐的截線上任取一點,P,，連接,PF,1,過點,P,作,PA,m,交,m,于點,A,過點,P,作,的垂線，垂足為,B,，,接結(jié),AB,則,AB,m,，,所以,PAB,是,與,所成二面角的平面角,.,連接點,P,與圓錐的頂點，與,S,相交于點,Q,1,連接,BQ,1,，,則,BPQ,1,=,，,APB,=,.,在,Rt,APB,中，,PB,=,PA,cos,.,在,Rt,PBQ,1,中,PB,=,PQ,1,cos,所以,=.,又因為,PQ,1,=,PF,1,=,=1,即,PF,1,=,PA,

15、動點,P,到定點,F,1,的距離等于它到直線,m,的距離，,故當(dāng),=,時，平面與圓錐的交線為拋物線,.,定理中的三個結(jié)論的證明思路如出一轍，證明時應(yīng)考慮到他們各自的特征，比如此例中只能作出一個,Dandelin,球，而證明結(jié)論,3,（截線為雙曲線）的雙球一個在圓錐面頂點的上面，另一個在頂點的下面,.,1.,要善于把圓的有關(guān)性質(zhì)類比推廣到球的一些性質(zhì),.,2.,定理中的兩個角,、,的確切含義要弄清楚,.,3.,當(dāng),從,0,到,90,變化時，平面,與圓錐面,S,交出的曲線形狀分析：,當(dāng),=0,時，截面過軸線，此時的截線為兩條母線（可視為退化的雙曲線）,;,當(dāng),從,0,到,變化時，截面與圓錐面的兩部

16、分均有截線，截線為雙曲線，其離心率,e,=,越來越小，并趨近于；,當(dāng),=,時，截面此時與一條母線平行,截面僅與圓錐面的一部分有截線,截線為拋物線,離心率,e,=1;,當(dāng),從,到,90,變化時，截面僅與圓錐面的一部分有截線，截線為拋物線，離心率,e,=,越來越小，得到的橢圓越來越圓；,當(dāng),=90,時，截面與軸線垂直，得到的截線為圓（可視為退化的橢圓）,.,從以上過程可知，圓錐曲線中，拋物線是雙曲線與橢圓的極端位置，也是分界線,.,它既是離心率無限趨于,1,的雙曲線的極限情況，也是離心率無限趨于,1,的橢圓的極限情況,.,學(xué)例,1,(2008,浙江卷,),如圖，,AB,是平面,的斜線段，,A,為斜足，若點,P,在平面,內(nèi)運動，使得,ABP,的面積為定值,則動點,P,的軌跡是（）,B,A.,圓,B.,橢圓,C.,一條直線,D.,兩條平行直線,因為,ABP,的面積為定值，且,AB,為定長，所以點,P,到,AB,的距離,d,為定值，則點,P,的軌跡是以,AB,為軸線，以,d,為半徑的圓柱面被平面,所截得的橢圓，故選,B.,本節(jié)完，謝謝聆聽,立足教育，開創(chuàng)未來,