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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,函數(shù)的零點,濰坊濱海中學(xué) 袁延花,請你先想一個問題。,已知二次函數(shù),y,=,x,2,x,6,，試問,x,取哪些值時，,y,=0,?,求使,y,=0,的,x,值，也就是,求二次方程,x,2,x,6=0,的所有根,.,解此方程得,x,1,=,2,，,x,2,=3,。,這就是說，當(dāng),x,=,2,或,x,=3,時，這個函數(shù)的函數(shù)值,y,=0,。,畫出這個函數(shù)的,簡圖，從圖象上可以,看出，它與,x,軸相交于,兩點,(,2,，,0),、,(3,，,0),。,這兩點把,x,軸分成三個區(qū)間,(,，,2),、,(,2,，,3

2、),、,(3,，,+),。,當(dāng),x,(,，,2),時，,y,0,；當(dāng),x,(,2,，,3),時，,y,0.,二次方程,x,2,x,6=0,的根,2,，,3,常稱作函數(shù),y,=,x,2,x,6,的零點。在坐標(biāo)系中表示,圖象與,x,軸的公共點,是,(,2,，,0),、,(3,，,0),。,零點的定義,：,一般地，如果函數(shù),y,=,f,(,x,),在實數(shù),處的值等于,0,，即,f,(,)=0,，則,叫做這個函數(shù)的零點。在坐標(biāo)系中表示圖象與,x,軸的公共點是,(,，,0),。,我們知道，對于,二次函數(shù),y,=,ax,2,+,bx,+,c,：,當(dāng),=,b,2,4,ac,0,時，方程,ax,2,+,bx,

3、+,c,=0,有兩個不相等的實數(shù)根，這時說二次函數(shù),y,=,ax,2,+,bx,+,c,有,兩個零點,；,當(dāng),=,b,2,4,ac,=0,時，方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,有兩個相等的實數(shù)根，這時說二次函數(shù),y,=,ax,2,+,bx,+,c,有一個,二重的零點,或說有,二階零點,；,當(dāng),=,b,2,4,ac,0,時，方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,沒有實數(shù)根，這時說二次函數(shù),y,=,ax,2,+,bx,+,c,沒有零點,；,考慮函數(shù),是否有零點,是研究函數(shù)性質(zhì)和精確地畫出函數(shù)圖象的重要一步。,例如求出,二次函數(shù)的零點,及其圖象的,頂點坐標(biāo),，就能確定二次函數(shù)的一些,主要性質(zhì)

4、,，并能,粗略地畫出函數(shù)的簡圖,。,另外，我們還能,從二次函數(shù)的圖象看到二次函數(shù)零點,的性質(zhì)：,（,1,）當(dāng)函數(shù)圖象通過零點,且穿過,x,軸時,，,函數(shù)值變號,。如上例，函數(shù),y,=,x,2,x,6,的圖象在零點,2,的左邊時，函數(shù)值取正號，當(dāng)它通過第一個零點,2,時，函數(shù)值由正變?yōu)樨摚偻ㄟ^第二個零點,3,時，函數(shù)值又由負變正。,（,2,）兩個零點把,x,軸分成三個區(qū)間：,(,，,2),、,(,2,，,3),、,(3,，,+),，,在每個區(qū)間上，所有函數(shù)值,保持同號,。,例,1.,求函數(shù),y,=,x,3,2,x,2,x,+2,的零點，并畫出它的圖象。,解：因為,x,3,2,x,2,x,+2=

5、,x,2,(,x,2),(,x,2),=(,x,2)(,x,+1)(,x,1).,所以函數(shù)的零點為,1,，,1,，,2.,3,個零點把,x,軸分成,4,個區(qū)間：,(,，,1),、,(,1,，,1),、,(1,，,2),、,(2,，,+),。,在這四個區(qū)間內(nèi)，取,x,的一些值，以及零點，列出這個函數(shù)的對應(yīng)值表：,x,1.5,1,0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,y,4.38,0,1.88,2,1.13,0,0.63,0,2.63,在直角坐標(biāo)系內(nèi)描點連線，這個函數(shù)的圖象如圖所示。,例,2,求函數(shù),f,(,x,)=,x,3,x,的零點，并畫出它的圖象。,解：,x,3,x,=,x,(,x,+

6、1)(,x,1),，令,f,(,x,)=0,，即,x,(,x,+1)(,x,1)=0,，,解得,x,1,=0,，,x,2,=,1,，,x,3,=1,，所以函數(shù),y,=,f,(,x,),的零點有三個，為,1,，,0,，,1,，,這三個點把,x,軸分成四個區(qū)間，,(,，,1),、,(,1,，,0),、,(0,，,1),、,(1,，,+),，在這四個區(qū)間中取一些,x,的值，列出函數(shù)的對應(yīng)值表：,x,1.5,1,0.5,0,0.5,1,1.5,y,1.875,0,0.375,0,0.375,0,1.875,在直角坐標(biāo)系中描點作圖得到圖象。,f,(,x,)=,x,3,x,例,3,若方程,7,x,2,(,

7、k,+13),x,+,k,2,k,2=0,的兩實根分別在區(qū)間,(0,，,1),，,(1,，,2),內(nèi)，則（）,（,A,）（,B,）,k,4,（,C,）,1,k,1,或,3,k,4,（,D,）,2,k,1,或,3,k,4,解：函數(shù),f,(,x,)=7,x,2,(,k,+13),x,+,k,2,k,2,的圖象是開口向上的拋物線，兩個零點分別在,(0,，,1),，,(1,，,2),內(nèi)，所以由圖象可知，函數(shù),y,=,f,(,x,),滿足,，即 ，,解得，,所以,2,k,1,或,3,k,4,，選,D,。,例,4,已知,m,R,，函數(shù),f,(,x,)=,m,(,x,2,1)+,x,a,恒有零點，求實數(shù),a

8、,的取值范圍。,解：（,1,）當(dāng),m,=0,時，,f,(,x,)=,x,a,=0,解得,x,=,a,恒有解，此時,a,R,；,（,2,）當(dāng),m,0,時，,f,(,x,)=0,，即,mx,2,+,x,m,a,=0,恒有解，,1,=1+4,m,2,+4,am,0,恒成立，,令,g,(,m,)=4,m,2,+4,am,+1,，,g,(,m,)0,恒成立，,2,=16,a,2,160,，解得,1,a,1,。,綜上所述知，當(dāng),m,=0,時，,a,R,；,m,0,時，,1,a,1,。,例,5,方程,x,2,+(,m,2),x,+5,m,=0,的兩根都大于,2,，求實數(shù),a,的取值范圍。,解：令,f,(,x,)=,x,2,+(,m,2),x,+5,m,，要使,f,(,x,)=0,的兩根都大于,2,，則應(yīng)滿足,解得,所以,即,5,m,4.,