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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第二章 行列式,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,2.5 行列式依行（列）展開(kāi),上一節(jié)我們利用行列式的性質(zhì)把一個(gè)行列式化為上三角或下三角行列式，然后根據(jù)定義算出行列式的值，或者把一個(gè)行列式化成其中含有盡量多個(gè)零的行列式，然后算出行列式的值。本節(jié)我們沿著另一條思路來(lái)計(jì)算行列式的值，即通過(guò)把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式來(lái)計(jì)算行列式的值。,例如,如果我們能把n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式，把n-1階行列式轉(zhuǎn)化為n-2階，而行列式的階數(shù)越小越容易計(jì)算，我們就可以化

2、繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而盡快算出行列式的值。,為了這個(gè)目的，我們需引進(jìn)如下概念：,一、余子式和代數(shù)行列式,定義1（余子式）：,在一個(gè)n階行列式,中，劃去元素,所在的,行和列，余下的元素構(gòu)成一個(gè)n-1階子式，稱(chēng)為元素,的余子式，記為,定義2（代數(shù)余子式）：,的余子式,附以符號(hào),后，,稱(chēng)為元素,的代數(shù)余子式，記為,。,例2.5.1.在行列式,中，求元素p和s的余子式,和代數(shù)余子式。,二、行列式依行（列）展開(kāi),先考慮比較特殊的情況，即一個(gè)n階行列式中某一行（列）除一個(gè)元素外，其余元素都為零的情況，這時(shí)有以下引理。,引理：,如果行列式,中，第i行（或第j,列）中元素除了,外其余都是零，則,證明：,1、D

3、中第一行元素除,外其余皆為零，這時(shí),2、假設(shè)D中第i行除,外其余皆為零，這時(shí),此時(shí),把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，第1行對(duì)換，再把第j列依次與第j-1列，第j-2列，第1列對(duì)換，這樣共經(jīng)過(guò)（i-1）+（j-1）次行與列的對(duì)換，則D轉(zhuǎn)化為,注意到行列式中任兩行（列）的對(duì)換改變行列式的符號(hào)，故,3、行列式依行（列）展開(kāi),定理2.5.1,行列式,等于它的任意一行（列）中所有元素與,其代數(shù)余子式乘積的和，即有,或,證：,定理2.5.2.,行列式,中，某一行（列）中元素,與另一行（列）中對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即有,考察行列式,然后按第j行展開(kāi)即知。,例2.5.2.計(jì)算行列式,解：,例2.5.3 計(jì)算行列式,解：,計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是：先利用行列式的性質(zhì)把某行（列）化成有盡可能多的零，然后把行列式按這行（列）展開(kāi)，這樣計(jì)算要簡(jiǎn)單。如果不分青紅皂白把行列式降階，由于要計(jì)算的行列式個(gè)數(shù)成倍增多，則計(jì)算量未必減少。,例2.5.4 計(jì)算范德蒙行列式,解：,這種計(jì)算行列式的方法稱(chēng)為遞推法,證明范德蒙行列式,也可用歸納法證之,