《線性代數(shù)2-2節(jié)_方陣行列式的性質(zhì)課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性代數(shù)2-2節(jié)_方陣行列式的性質(zhì)課件（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,第二節(jié) 方陣行列式的性質(zhì),從行列式的定義我們可以看出，要利用行列式的定義來計算行列式的值是比較麻煩的，因為它要涉及到,n!,項的和，而且每一項均為,n,個因子相乘。本節(jié)我們將講述行列式的一些基本性質(zhì)，以后我們計算行列式的值主要是采用本節(jié)的性質(zhì)將行列式化為上三角形式或下三角形式，然后利用上（下）三角形行列式的值等于其主對角線上元素之積。,第二節(jié) 方陣行列式的性質(zhì) 從行列式的定義,1,性質(zhì),1,（分列,/,行可加性）,若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則,D,等于下列兩個行列式之和：即,一、行列

2、式的性質(zhì),性質(zhì)1（分列/行可加性）若行列式的某一列,2,=,|,A,T,|,性質(zhì),2,方陣,A,與其轉(zhuǎn)置矩陣,A,T,的,行列式值相等,即,|,A,|,=,|,A,T,|,。,由此性質(zhì)可知，,行列式的行與列具有相同的地位,，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立，反之亦然。,=|AT|性質(zhì)2 方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣AT的行列式值相等,即,3,性質(zhì),3,若方陣,A,的第,i,行,(,列,),k,倍所得的矩陣為,B,，則,|,B,|=,k,|,A,|,推論,2.1,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面,.,即,性質(zhì)3 若方陣A的第i行(列)k倍所得的,4,例如,性質(zhì),4,若方陣

3、,A,經(jīng)過一次換法變換化為,B,，則,|,B,|=,-,|,A,|,。,推論,2.2,如果行列式有兩行（列）完全相同,則此行列式等于零,.,.,推論,2.2,如果行列式有兩行（列）完全相同,則此行列式等于零,.,證明 把這兩行互換，有,D,=,D,，故,D,=0.,例如 性質(zhì)4 若方陣A經(jīng)過一次換法變,5,例如,推論,2.3,行列式中如果有兩行（列）元素成比例，,則此行列式等于零,.,性質(zhì),5,消法變換不改變行列式的值。即若,B,=,P,(,i,j,k,),A,或,B,=,A,P,(,i,j,k,),，則,|,B,|=|,A,|.,此性質(zhì)由性質(zhì),1,及推論,2.3,即得。,例如 推論2.3 行

4、列式中如果有兩行（列）元素,6,例如,例如,7,二、應(yīng)用舉例,計算行列式常用方法,：利用運算 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值,二、應(yīng)用舉例 計算行列式常用方法：利用運算,8,例,1,計算（,教材,P51,例,3.1,),。,解,利用行列式的性質(zhì),例1 計算（教材P51例3.1)。解,9,=40,。,=40。,10,例,2,.,計算,。,解,:,利用行列式的性質(zhì)得,(P45),例2.計算。解:利用行列式的性,11,例,3,計算,。,解,:,從倒數(shù)的二行開始，把前一行的（,-1,）倍加到后一行上去。,例3 計算。解:從倒數(shù),12,同理，可得,。,同理，可得。,13,例,4,計算,解

5、,:,把所有,列,都加到,第一列,上去，然后，從,第一列,提取,公因子,，再把第二、三、四行都減去,第一行,。,例4 計算 解:把所有列都加到第一列上去,14,線性代數(shù)2-2節(jié)_方陣行列式的性質(zhì)課件,15,解：,1,2,r,r,-,（因為第三行和第四行元素相同）,例,5,計算,解：12rr-（因為第三行和第四行元素相同）例5 計算,16,例,6,計算 階行列式,解,:,將第 都加到第一列得,例6 計算 階行列式解:將第,17,線性代數(shù)2-2節(jié)_方陣行列式的性質(zhì)課件,18,例如,教材,P45,例,2.2,中,a=3,b=1,n=4,故有,D =48,又如,教材,P48(B)1-1),a=1,b=

6、0.5,n=4,故有,D,再如,教材,P48(B)2-1),a=x,b=a,故有,D,例如,教材P45例2.2中,a=3,b=1,n=4,故有又如,19,方陣的行列式是矩陣的一種運算，根據(jù)相應(yīng)的性質(zhì)，,方陣的行列式具有如下的運算規(guī)律。,設(shè),A,、,B,均為,n,階的方陣，,為常數(shù)，,m,為正整數(shù)，則,1,）,|,A,|=,n,|,A,|;,2,）,|,AB,|=|,BA,|=|,A,|,B,|;,3,）,|,A,m,|=|,A,|,m,1),顯然，,3,）是,2,）的特例，所以，我們僅證明,2,）,設(shè),A,=(,a,ij,),B,=(,b,ij,),。記,2,n,階行列式,方陣的行列式是矩陣的

7、一種運算，根據(jù)相應(yīng)的性質(zhì),20,顯然，,D=|A,|,B|,而在,D,中以,b,1,j,乘第,1,列，,b,2,j,乘第,2,列 ，,，,b,nj,乘第,n,列,都加到第,n+j,列,上（,j=,1,2,n,),有,顯然，D=|A|B|,而在,21,D=,即,D=即,22,其中,C=,(,c,il,),c,ij,=a,i,1,b,1,j,+a,i,2,b,2,j,+,+,a,in,b,nj,故,C,=,AB,。,再對,D,的行作,r,j,r,n+j,（,j=,1,2,n,），有,從而有,于是,|,AB,|=|,A,|,B,|,。,D=,(,1),n,|,E|C|,=,(,1),n,(,1),n

8、,|,C,|,=|,C,|,=|,AB,|,。,值得注意的是,，一般,|,A,+,B,|,|,A,|+|,B,|.,其中 C=(cil),cij,23,例,7.,設(shè),A,B,均為,n,階方陣,且,證明,例7.設(shè)A,B 均為 n 階方陣且證明,24,例,8,(,教材,P48(B)2-2),計算,n,階方陣的行列式,解,:,(,利用性質(zhì),|AB|=|A|B|),例8(教材P48(B)2-2)計算 n階方陣的行列式解:(,25,注,:,習(xí)題課教程,P44,例,16,對本題有另一解法,.,注:習(xí)題課教程P44例16對本題有另一解法.,26,(,行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對

9、列也同樣成立,).,2.,計算行列式常用方法,：,(1),利用定義,;(2),利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值,三、小結(jié),1.,行列式的,5,個性質(zhì)及三個推論,行列式的概念是基礎(chǔ)，,行列式的性質(zhì)是關(guān)鍵，,行列式的計算是重點，,用行列式解方程組是目的,.,請大家牢記以下四句話：,27,思考題,(,教材,P48,（,B,）第,5,題,),思考題(教材P48（B）第5題),28,思考題解答,解,（分拆法）將,D,拆成兩個行列式之和，即,思考題解答解（分拆法）將D拆成兩個行列式之和，即,29,利用分拆變換計算行列式稱為分拆法，此法比較適合分拆后所得行列式易于計算或可以抵消，分拆法往往需要一定的技巧,利用分拆變換計算行列式稱為分拆法，此法比較適合分拆后所得,30,