《第七單元：數(shù)學(xué)廣角 (2)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第七單元：數(shù)學(xué)廣角 (2)（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、《數(shù)學(xué)廣角---植樹問題》教材分析 主備人：張高英 和前面幾冊教材一樣，本冊也專門安排了“數(shù)學(xué)廣角”單元，向?qū)W生滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本冊的“數(shù)學(xué)廣角──植樹問題”包含三個例題，主要是滲透有關(guān)植樹問題的一些思想方法，通過現(xiàn)實生活中一些常見的實際問題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實際問題。 解決植樹問題的思想方法是實際生活中應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法。植樹問題通常是指沿一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關(guān)系就不同。在現(xiàn)實生活

2、中類似的問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場敲鐘等，這些問題情境中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題，我們就把這類問題統(tǒng)稱為植樹問題。在植樹問題中，“植樹”的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長方形或圓形等）。即使是關(guān)于一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。 教材在編排上，注重引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、猜測、驗證、推理等數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中探索解決問題的有效方法的能力。在教學(xué)植樹問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問

3、題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，提高學(xué)生解決實際問題的能力。 下面就教材中安排的三個典型例題進行分析。 一、經(jīng)歷解決問題的過程 教材第106頁例1通過學(xué)生熟悉的植樹情境，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖，經(jīng)歷猜想、實驗、抽象等數(shù)學(xué)活動過程，探索間隔與點之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，再運用模型解決實際問題。讓學(xué)生經(jīng)歷分析、思考、解決問題的全過程。 教材用幾個小朋友的對話和圖片來呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問題的過程。首先由一個男孩說出學(xué)生們可能會想到的答案：“1005=20（棵）”，接著一個女孩問：“對嗎？檢驗一下”，來引發(fā)學(xué)生思考。接下來由

4、小精靈提出了解決問題的常用方法──從簡單的情況入手解決復(fù)雜的問題。這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹。使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹時確定樹苗數(shù)量的問題并不能簡單地用除法來解決。緊接著一個小男孩提出“25 m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想──一個特例不足以說明問題，多個不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時教材進一步提出“不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？”讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先

5、解決簡單的問題。最后教材要求應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決前面的植樹問題：100 m長的小路共有20個間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。這樣就把分析、思考、解決問題的整個全過程展示出來，讓學(xué)生經(jīng)歷這個過程并從中學(xué)習(xí)一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來檢驗，并且可以從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題。 對于例2（兩端不栽的情況）以及第107頁“做一做”第2題（一端栽一端不栽的情況），由于學(xué)生前面有了探索的經(jīng)驗，這里可以放手讓學(xué)生去探索，用自己的方法去發(fā)現(xiàn)這兩種情況的植樹問題中隱含的規(guī)律。 二、體會基本的數(shù)

6、學(xué)思想 本單元通過一些生活中的事例，讓學(xué)生根據(jù)不同的情況總結(jié)出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決問題。但是，本單元的教學(xué)最終目的并不只是讓學(xué)生明白規(guī)律，而是要引領(lǐng)學(xué)生進一步探究規(guī)律的產(chǎn)生原因，幫助其建立“一一對應(yīng)”的思維方式，形成解決問題的策略，從而體驗數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用。 在“植樹問題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是教學(xué)“植樹問題”的難點。為了突破這一難點，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過幾何直觀幫助學(xué)生理解“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。例1是探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題，讓學(xué)生通過畫線段圖來發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。

7、通過這兩幅圖，讓學(xué)生把“點”（樹）與“線”（間隔）一一對應(yīng)起來，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還多出一個“點”（樹），所以“栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。例2通過遷移呈現(xiàn)出兩端都不栽的線段圖，“做一做”的第2題讓學(xué)生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3則讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。整個單元教材通過線段圖的教學(xué)，突出“一一對應(yīng)”的思想，并以此為基礎(chǔ)分析植樹問題三種不同的情況，即“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”。無論哪種情形，都能用“一一對應(yīng)”的思想統(tǒng)領(lǐng)。 教材通過選取生活中不同的事例，讓學(xué)生體會一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究問題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法

8、──化歸思想，使學(xué)生感悟到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題所帶來的便利。同時培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能力。 在練習(xí)中，教材以“植樹問題”為背景幫助學(xué)生清楚地認識到路燈問題、敲鐘問題、鋸木問題等都與“植樹問題”有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。 三、感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累基本的活動經(jīng)驗 教材第108頁例3討論的是在封閉圖形周圍栽樹的情形。學(xué)生學(xué)習(xí)了例1、例2后，掌握了直線段中的植樹問題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹問題的思考方法來解決封閉圖形中

9、的植樹問題。 面對封閉圖形中的植樹問題，教材首先提示研究方法：“先畫圖試試看。假設(shè)周長是40 m……”，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面例1、例2的研究經(jīng)驗──直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當(dāng)學(xué)生直觀看出能栽4棵后，教材并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹問題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是請小精靈進一步提出問題：“如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？”從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過觀察、思考發(fā)現(xiàn)，化曲為直后，封閉圖形上植樹其實可以轉(zhuǎn)化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下來，教材通過兩位學(xué)生的對話“我發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹一一對應(yīng)”“相當(dāng)于一端栽，一端不栽”，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了例3

10、與前面的例1、例2間的聯(lián)系。 本單元注重讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、驗證、推理與交流等活動，使學(xué)生既學(xué)會一些解決問題的一般方法與策略，又積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。例如，例1通過“對嗎？檢驗一下”“100 m太長了，可以先用簡單的數(shù)試試”“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律”等，滲透了“猜測──探索──歸納──應(yīng)用”的解決問題的策略和化繁為簡的解決問題的方法。 重難點突破 一、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，探尋規(guī)律 突破建議： 本單元是讓學(xué)生通過生活中的簡單事例，初步體會解決植樹問題的思想方法，同時培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能力。 教師教學(xué)時，應(yīng)從實際問題入

11、手，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的分析、思考過程中逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過程，體驗數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用。 二、初步體會植樹問題的數(shù)學(xué)思想方法 突破建議： “數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目的主要是讓學(xué)生體驗知識的形成過程和感悟數(shù)學(xué)思想方法。本單元并非讓學(xué)生記熟規(guī)律、熟練解決與植樹問題相類似的實際問題，而是把解決植樹問題作為滲透數(shù)學(xué)思想和方法的一個學(xué)習(xí)支點。在教學(xué)中教師不妨讓學(xué)生先猜測，再動手操作、實踐驗證。怎樣檢驗這個結(jié)果是否正確？初步向?qū)W生滲透用比較簡單的例子來驗證較為復(fù)雜的問題，即化繁為簡的思想。例1教學(xué)中，假設(shè)路長只有20米，要栽幾棵樹呢？提示學(xué)生用畫線段圖或

12、者示意圖的方式來輔助思考，從中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想。這樣學(xué)生就很容易地發(fā)現(xiàn)直接用除法205=4算出的結(jié)果和通過直觀圖看出的5棵樹有沖突，引發(fā)學(xué)生的思考。還要結(jié)合教材中“對嗎？檢驗一下”“可以畫線段圖來驗證”等線索，向?qū)W生滲透簡單的化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、模型、推理等數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。 三、應(yīng)用畫圖策略，有效地解決生活中的植樹問題 突破建議： 在日常教學(xué)中，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的。因此，教師在教學(xué)中要重視畫線段圖的方法，并通過多媒體直觀演示輔助教學(xué)，突出“一一對應(yīng)”思想，把間隔點數(shù)和栽樹的棵數(shù)對應(yīng)起來。之后讓學(xué)生再用“25 m”或者

13、自己列舉的數(shù)據(jù)進一步探究，教師可以出示統(tǒng)計表，學(xué)生將研究結(jié)果記錄下來，利用統(tǒng)計表發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的規(guī)律。 四、用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決生活中的一些簡單實際問題 突破建議： 植樹問題的模型是現(xiàn)實世界中一類相近問題的拓展，它源于現(xiàn)實，又高于生活。所以，在現(xiàn)實中有著廣泛的應(yīng)用價值。為了讓學(xué)生理解這一建模的意義，在教學(xué)中把植樹問題推廣到與植樹問題相近的一些問題中，以圖片、文字等形式讓學(xué)生了解生活中與植樹問題相似的現(xiàn)象，讓學(xué)生進一步體會現(xiàn)實生活中的許多不同事件（如隊列問題、公交站問題、敲鐘問題等），這些問題都含有與植樹問題相同的數(shù)量關(guān)系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)建模的

14、重要意義。從而引導(dǎo)學(xué)生靈活運用所學(xué)知識解決生活中的一些實際問題，體驗生活中的數(shù)學(xué)，充分感受到數(shù)學(xué)知識來源于生活，又回歸于生活。 但是，也要注意不要對例題進行過多的變式，提高問題的難度，造成教學(xué)要求過高。 第一課時：《在一條線段上植樹（兩端都栽）》 教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊第106頁例1及相關(guān)內(nèi)容。 教學(xué)目標： 1．建立并理解在線段上植樹（兩端都栽）的情況中“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)學(xué)模型。 2．利用線段圖理解“點數(shù)=間隔數(shù)+1”“總長=間隔數(shù)間距”等間隔數(shù)與點數(shù)、總長、間距之間的關(guān)系，解決生活中的實際問題。 教學(xué)重點：建立并理解“點數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)學(xué)模型。 教學(xué)

15、難點：培養(yǎng)用畫線段圖的方法解決問題的意識，并能熟練掌握這種方法。 教學(xué)準備：課件。 教學(xué)過程： 一、情境出示，設(shè)疑激趣 教師：哪位同學(xué)知道我們國家設(shè)立的植樹節(jié)是在哪一天？（3月12日）在這一天的植樹活動中，遇到了這樣一個問題。（課件出示問題） 例1：同學(xué)們在全長100 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？ 教師：你能利用所學(xué)的知識解決問題嗎？ 預(yù)設(shè)1：20棵。（教師追問：你是怎么想的？）每隔5 m栽一棵，共栽1005=20（棵）。 預(yù)設(shè)2：我認為是21棵，因為題目中寫著“兩端要栽”，所以要再加1棵。 教師：你認為哪一個結(jié)果是正確的？（指名回答）

16、 【設(shè)計意圖】直接出示例題的情境，通過學(xué)生的嘗試解答，既是對教學(xué)起點的了解，又利用兩種不同的結(jié)果設(shè)置疑問，激發(fā)了學(xué)生探求新知的熱情。 二、經(jīng)歷過程，感受方法 教師：可以用怎樣的方法進行檢驗?zāi)?？（畫線段圖）那我們可以在草稿本上試一試。遇到了什么困難？ 預(yù)設(shè)：100 m太長了，不太好畫。（追問：那我們可以怎么辦？） 學(xué)生：可以先用簡單的數(shù)試一試。（課件出示） 【設(shè)計意圖】使學(xué)生經(jīng)歷分析思考的整個過程，感受“猜測──驗證”的學(xué)習(xí)方法。在實際操作中發(fā)現(xiàn)問題有助于激發(fā)學(xué)生的思考，從而深刻地體會“從簡單事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用此規(guī)律解決較復(fù)雜問題”的數(shù)學(xué)思想。 三、探索實踐，建立模型

17、 教師：先看看20 m的距離，在兩端都栽的情況下可以栽幾棵樹，在草稿本上畫一畫。 實物投影或課件出示： 教師：說說你是怎么想的？ 預(yù)設(shè)：205=4，20 m被平均分成4段，因為兩端要栽，所以要栽5棵樹。 教師：再畫一畫，25 m可以栽幾棵樹？（學(xué)生操作）誰來說說你的想法？ 預(yù)設(shè)：255=5，就是把25 m平均分成了5段，因為兩端都要栽，所以要栽6棵樹。 還可以這樣畫：這里的藍色線段表示什么？（間隔數(shù)）紅色線段呢？（植樹棵數(shù)） 教師：不畫圖，你能把下面的表格填寫完整嗎？ （根據(jù)學(xué)生回答，教師在課件上輸入數(shù)據(jù)）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ 預(yù)設(shè)：棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。（追問：可以用怎樣的一

18、個式子表示？）棵數(shù)=間隔數(shù)+1。 教師：誰能說說為什么要“+1”？（因為兩端都要栽，所以栽樹的棵樹比間隔數(shù)多1。）你能用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決開頭的問題嗎？（指名回答，分析講解） 教師：回顧這個問題的解答過程，說說你的想法。 歸納小結(jié)：在解決較復(fù)雜或數(shù)據(jù)較大的問題時，可以先從簡單數(shù)據(jù)出發(fā)得出規(guī)律，然后將規(guī)律運用于復(fù)雜問題進行解決。 【設(shè)計意圖】“畫示意圖──抽象出線段圖──不畫圖”的教學(xué)過程，體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的設(shè)計理念，也正是在這一進程中，通過積極有效的教學(xué)活動，使學(xué)生建立起“一條線段兩端都栽”這類植樹問題的數(shù)學(xué)模型。 四、利用新知，解決問題 教師：根據(jù)剛才學(xué)到的知識，還可

19、以解決許多生活中的問題。（課件出示問題） 1．在一條全長2 km的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50 m安一盞。一共要安裝多少盞路燈？ 教師：讀完這個題目，你覺得有哪些地方需要特別引起注意？ 預(yù)設(shè)1：單位不統(tǒng)一，要先進行轉(zhuǎn)化再計算。 預(yù)設(shè)2：兩旁。（追問：表示什么？）就是兩邊。你能通過畫圖的方法表示出“兩旁”嗎？在計算時該怎樣體現(xiàn)？（先算出一邊的路燈的數(shù)量，再乘以2。） 學(xué)生練習(xí)，指名回答。 2 km=2000 m （200050+1）2=82（盞） 答：一共要安裝82盞路燈。 教師：200050算的是什么？（間隔數(shù)）“+1”說明了什么？（兩端都要安裝） 2．馬

20、路一邊栽了25棵梧桐樹。如果每兩棵梧桐樹中間栽一棵銀杏樹，一共要栽多少棵？ 教師：仔細讀題，認真思考，說說你對這個題目的理解。 引導(dǎo)得出：要求一共栽多少棵銀杏樹，實際就是求梧桐樹的間隔數(shù)。由“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”可得“間隔數(shù)=棵數(shù)-1”。 25-1=24（棵） 答：一共要栽24棵銀杏樹。 教師：可以用怎樣的方法驗證結(jié)果是否正確？（可以先用比較簡單的例子，通過畫線段圖的方法進行驗證）和這題有關(guān)的簡單的例子，我們只要張開一只手。五個手指相當(dāng)于題目中的？（梧桐樹）每兩個手指之間栽一棵（銀杏樹），可以栽幾棵？你還有其他的方法嗎？ 【設(shè)計意圖】練習(xí)中的實際問題，相比例題有一些變化，對于學(xué)生的理

21、解能力提出了更高的要求。第1題用畫圖的方法直觀地表示出“兩旁”，解決了算式中為什么要“2”的問題；第2題先讓學(xué)生思考，說說自己的理解，驗證的環(huán)節(jié)既是對方法的回顧，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的趣味性。 五、逆向思考，拓展新知 園林工人沿一條筆直的公路一側(cè)植樹，每隔6 m種一棵，一共種了36棵。從第1棵到最后一棵的距離有多遠？ 教師：讀題并思考，要求“從第1棵到最后一棵的距離”就是求什么？（路長）跟例題相比，有什么不同？ 預(yù)設(shè)：例題是知道了路長求栽樹的棵數(shù)，這題是知道了栽樹的棵數(shù)，求路線長度。 教師追問：該怎樣解答呢？試一試，并說說你的思路。 （36-1）6=210（m） 答：從第1棵到最后一棵的

22、距離是210 m。 教師：“36-1”算的是什么？（間隔數(shù)）再根據(jù)“間隔數(shù)間隔距離=路長”計算。 【設(shè)計意圖】通過變式練習(xí)，加深學(xué)生對例題中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的理解。該題是植樹問題數(shù)學(xué)模型的逆向應(yīng)用，有了前一題“間隔數(shù)=棵數(shù)-1”的知識為基礎(chǔ)，學(xué)生應(yīng)該能比較容易地解決這一問題。對于學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)，也可引導(dǎo)他們用畫線段圖的方法解答。 六、回顧思考，全課總結(jié) 教師：通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？跟大家交流一下。 根據(jù)學(xué)生回答，強調(diào)： 1．解決兩端都要栽的植樹問題的數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。 2．當(dāng)遇到較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，可以先從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題

23、。 板書設(shè)計： 例1：1005=20（棵）。 2 km=2000 m （200050+1）2=82（盞） 20+1=21（棵） 答：一共要安裝82盞路燈。 答：一共可以載21棵。 教學(xué)反思： 第二課時：《在一條線段上植樹（兩端都不栽）》 教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊第107頁例2及相關(guān)內(nèi)容。 教學(xué)目標： 1．建立并理解在線段上植樹（兩端都不栽）的情況中“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”的數(shù)學(xué)模型。 2．通過畫線段圖初步培養(yǎng)學(xué)生探索解決問題的有效方法的能力，嘗試用植樹問題的模型解決實際生活中的簡單問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識

24、。 教學(xué)重點：建立并理解“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”的數(shù)學(xué)模型。 教學(xué)難點：培養(yǎng)學(xué)生探索解決問題的有效方法的能力。 教學(xué)準備：課件。 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入 教師：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了植樹問題中兩端都栽的情況，誰能說一說是用怎樣的數(shù)學(xué)模型解決這類問題的？（棵數(shù)=間隔數(shù)+1）能快速地完成下一題嗎？（課件出示題目） 準備題：綠化隊要在相距60 m的小路一邊植樹（兩端都栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3 m。一共要栽多少棵樹？ 指名回答：603+1=21（棵） 答：一共要栽21棵樹。 再來看看這一題（課件出示例2）認真思考，這兩個題目有什么不同？ 大象館和猴山相距60 m。綠化隊

25、要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3 m。一共要栽多少棵樹？ 【設(shè)計意圖】例2是在例1的基礎(chǔ)上教學(xué)的，對已學(xué)知識的復(fù)習(xí)是為了找準知識遷移的“原點”，為下一個環(huán)節(jié)的教學(xué)做好鋪墊。 二、比較分析，遷移新知 教師：你能用畫圖的方法表示出你的發(fā)現(xiàn)嗎？同桌之間可以互相交流。（指名匯報） 預(yù)設(shè)1：準備題是一邊，例2是小路兩旁。（追問：在圖上該如何表示？）就是有兩條線段。（怎么計算？）只要先算出一邊的樹木數(shù)量，再“2”就可以了。 預(yù)設(shè)2：準備題是兩端都栽，例2是兩端不栽。（追問：你能通過示意圖說說為什么嗎？）因為小路的兩端都是場館。 教師：這個題目該如何解決呢？你想到了

26、什么方法？（可以先從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律）請你在草稿本上試一試。 【設(shè)計意圖】通過比較分析，使學(xué)生更為深刻地理解題意，引導(dǎo)“用畫圖的方法表示出來”對于培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣具有非常重要的作用。該環(huán)節(jié)的設(shè)計還重點突出了對“先從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再將規(guī)律應(yīng)用于問題的解決”這一數(shù)學(xué)方法的遷移。 三、理解歸納，得出模型 指名回答，過程預(yù)設(shè)： 1．先畫一個簡單的線段圖看看，以20 m長的線段為例，在兩端都栽的情況下“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，需要栽5棵樹。 2．同樣長的線段，在兩端都不栽的情況下只需要栽3棵樹，也就是說栽的棵數(shù)比間隔數(shù)少1。（教師追問：可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型表示？）棵數(shù)=間隔數(shù)-1

27、。 教師：你能用不同的方法試一試，對這一數(shù)學(xué)模型進行驗證嗎？（學(xué)生操作，交流發(fā)現(xiàn)。）運用這一模型，例2可以怎樣解答？ 603-1=19（棵）　　192=38（棵） 答：一共要栽38棵樹。 教師追問：為什么要“2”？（因為小路兩旁都要栽樹） 教師小結(jié)：我們一起來回顧一下這個題目的解決過程。通過與例1中兩端都栽的植樹問題相比較，采用同樣的方法得出了兩端不栽的植樹問題的數(shù)學(xué)模型，即棵數(shù)=間隔數(shù)-1。 【設(shè)計意圖】通過教師的引導(dǎo)，促使學(xué)生自主探索，經(jīng)歷了問題解決的整個過程，對數(shù)學(xué)思想的滲透也在知識的遷移和轉(zhuǎn)化過程中得到了體現(xiàn)。在教學(xué)實際中，可結(jié)合“你能用不同的方法對這一數(shù)學(xué)模型進行驗證嗎？

28、”這一問題，進行開放式的教學(xué)實踐，鼓勵學(xué)生用自己的方法探索出規(guī)律。 四、課堂練習(xí)，應(yīng)用新知 教師：利用這一數(shù)學(xué)模型，還能解決許多生活中的問題。 1．一條走廊長32 m，每隔4 m擺放一盆植物（兩端不放）。一共要放多少盆植物？ 學(xué)生練習(xí)，指名回答： 324-1=7（盆） 答：一共要放7盆植物。 教師：如果改為兩端都放，該怎么算？ 324+1=9（盆） 教師：這兩種不同的擺法相差幾盆？（2盆）為什么？（兩端都放時，盆數(shù)=間隔數(shù)+1；兩端都不放時，盆數(shù)=間隔數(shù)-1。） 2．一根木頭長10 m，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸?fù)暌还惨ǘ嗌俜昼姡? 教師：這個問題和我們

29、學(xué)習(xí)的植樹問題有關(guān)聯(lián)嗎？屬于植樹問題中的哪一種情況？可以先用畫圖的方法試一試。 學(xué)生練習(xí)，分析講評： 105-1=4（次） 84=32（分鐘） 答：鋸?fù)暌还惨?2分鐘。 【設(shè)計意圖】第1題在完成后進行了比較練習(xí)，加深了學(xué)生對兩種不同數(shù)學(xué)模型之間關(guān)系的認識；第2題雖然不是植樹的情境，但規(guī)律是相同的，引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖的方法即可抓住題目的本質(zhì)，同時擴展了學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用視野。 五、利用變式，強化認知 小明家門前有一條35 m的小路，綠化隊要在路旁栽一排樹。每隔5 m栽一棵樹（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？ 教師：這題與已經(jīng)學(xué)過的植樹問題有什么不同？（一端栽一端不栽）先

30、猜一猜，再用自己喜歡的方法驗證結(jié)果是否正確。 預(yù)設(shè)1：兩端都栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；兩端不栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。這種一端栽一端不栽的情況，應(yīng)該是棵數(shù)=間隔數(shù)。 預(yù)設(shè)2：是用畫線段圖的方法得出的，一共要栽7棵。 預(yù)設(shè)3：直接用355=7（棵）。（教師追問：355算的是什么？）間隔數(shù)。（用這樣的方法計算其實是以什么作為依據(jù)的？）在一端栽一端不栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)。 教師：比較植樹問題的三種情況，說說你自己的理解。 【設(shè)計意圖】以已學(xué)知識為基礎(chǔ)，放手讓學(xué)生獨立思考，鼓勵用自己喜歡的方法探索這種情況的規(guī)律，在最后的比較環(huán)節(jié)也強調(diào)說出自己的理解。學(xué)生通過這樣的方式獲取的知識、

31、思維活動的經(jīng)驗才能更加鮮活和深刻，充分體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一基本理念。 六、課堂小結(jié)，布置作業(yè) 小結(jié)：植樹問題在生活中的應(yīng)用非常廣泛，在解決這類問題時，應(yīng)該先判斷出屬于哪一種情況，再根據(jù)題意列式解答。 課外作業(yè)：先判斷以下各題屬于哪種情況，再列式解答。 （1）在一條長2千米的公路的一邊栽白楊樹，每隔8米栽1棵，最多可以栽多少棵？最少可以栽多少棵？ （2）搬運工從一樓到二樓，走了16級臺階，王麗家住6樓，每相鄰兩層臺階相同，從一樓到六樓一共走多少級臺階？ （3）一個古老的擺鐘，于六時整敲響六下，需時五秒鐘；那么，在正午敲響十二下時，需時多少秒？ 板書設(shè)計：

32、例2：603-1=19（棵）　　192=38（棵） 答：一共要栽38棵樹。 教學(xué)反思： 第三課時：《在一條首尾相接的封閉曲線上植樹》 教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊第108頁例3相關(guān)內(nèi)容。 教學(xué)目標： 1．運用轉(zhuǎn)化的方法，使學(xué)生理解在一條首尾封閉的曲線上植樹所需棵數(shù)與間隔數(shù)“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)模型。 2．進一步培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，以及抽取數(shù)學(xué)模型的能力。 教學(xué)重點：理解在一條首尾相接的封閉曲線上植樹的基本數(shù)學(xué)模型。 教學(xué)難點：培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力。 教學(xué)準備：

33、課件。 教學(xué)過程： 一、談話引入，復(fù)習(xí)舊知 教師：在前面兩節(jié)課中，我們共同探討了在一條線段上植樹的問題，還運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決了許多生活中的實際問題。誰來幫助大家一起回顧這些知識？ 預(yù)設(shè)：在一條線段上植樹可以分成三種情況：兩端都栽時，棵數(shù)比間隔數(shù)多1；兩端都不栽時，棵數(shù)比間隔數(shù)少1；一端栽一端不栽時，棵數(shù)和間隔數(shù)相等。 教師：在解決復(fù)雜問題時，我們是怎么做的？ 預(yù)設(shè)：可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題。 教師：同學(xué)們對已學(xué)知識掌握得很好！今天這節(jié)課，我們要一起來研究植樹問題中的另一種情況。 【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)舊知再

34、現(xiàn)了在一條線段上植樹的三種情況，以及“猜測──驗證”的方法和“從簡單事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再將規(guī)律應(yīng)用于復(fù)雜問題解決”的數(shù)學(xué)思想，為本課新知內(nèi)容的探索打下了堅實的基礎(chǔ)。 二、自主探索，學(xué)習(xí)新知 1．出示情境，展開探索 例3：張伯伯準備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵樹？ 教師：這道題與前面學(xué)習(xí)的植樹問題相比，有什么相同和不同的地方？ 預(yù)設(shè)：不同之處在于前面學(xué)習(xí)的是在線段上植樹的問題，這道題是在一個圓形周圍植樹。（教師追問1：線段是怎樣的？圓形又是怎樣的？）線段是直的，圓形是一條曲線。（教師追問2：一條什么樣的曲線？） 逐步引導(dǎo)得出：一條首

35、尾相接的封閉曲線。 預(yù)設(shè)：相同之處是，都是已知長度和間隔距離。 教師：你能聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識，自主解決“一共要栽多少棵樹”的問題嗎？ 學(xué)生獨立思考，討論匯報。 2．概括歸納，得出模型 教師：大家想到了用什么方法來解決問題？（畫圖）120 m的長度太長了，怎么辦？（先用簡單的數(shù)據(jù)試一試） （1）以周長為40 m的圓為例，通過下圖得知，能栽4棵樹。 （2）如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？ 預(yù)設(shè)：相當(dāng)于在線段上植樹的問題中“一端栽一端不栽”的情況。 （3）我們還可以用這樣的方式來理解。 引導(dǎo)得出：植樹的棵數(shù)與間隔數(shù)“一一對應(yīng)”。 教師：利用發(fā)現(xiàn)的知識，你能解決例3的問題嗎？（

36、出示：池塘的周長是120 m？） 12010=12（棵） 答：一共要栽12棵樹。 教師：誰能完整地概括一下剛才的發(fā)現(xiàn)？ 預(yù)設(shè)：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹，所需棵數(shù)與間隔數(shù)“一一對應(yīng)”，相當(dāng)于在線段上植樹的一端栽一端不栽的情況。 【設(shè)計意圖】學(xué)生已經(jīng)有了“在線段上植樹”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在出示情境圖引導(dǎo)學(xué)生比較相同點和不同點之后，教師放手讓學(xué)生自主探究。在概括歸納的環(huán)節(jié)，注重模型的對比和溝通，通過兩種不同的方式，自然地得出在一條首尾相接的曲線上植樹所需棵樹與間隔數(shù)“一一對應(yīng)”的結(jié)論，相當(dāng)于在線段上植樹中一端栽一端不栽的情況。 三、課堂練習(xí)，鞏固強化 教師：運用剛才的發(fā)現(xiàn)，解決以下實際

37、問題。 1．圓形滑冰場的一周全長是150 m。如果沿著這一圈每隔15 m安裝一盞燈，一共需要裝幾盞燈？ 15015=10（盞） 答：一共需要裝10盞燈。 教師：你能利用題目中的數(shù)據(jù)編出一道在線段上植樹（一端栽一端不栽）的問題嗎？ 學(xué)生練習(xí)，交流匯報。 2．一條項鏈長60 cm，每隔5 cm有一顆水晶。這條項鏈上共有多少顆水晶？ 教師：這題與我們學(xué)習(xí)的植樹問題的知識有關(guān)聯(lián)嗎？屬于哪一種情況？（在一條首尾相接的封閉曲線上植樹）你能說說在這題中誰與誰“一一對應(yīng)”嗎？（水晶的顆數(shù)與間隔數(shù)） 練習(xí)校對：605=12（顆） 答：這條項鏈上共有12顆水晶。 【設(shè)計意圖】第1題中利用題目中

38、的數(shù)據(jù)編出一道在線段上植樹（一端栽一端不栽）的解決問題，進一步溝通了這兩種植樹問題之間的聯(lián)系；第2題通過提問，使學(xué)生切實感受到植樹問題的知識在實際生活中的廣泛應(yīng)用，同時強化了“一一對應(yīng)”的模型思想。 四、拓展延伸，靈活應(yīng)用 小區(qū)花園是一個長60 m，寬40 m的長方形?，F(xiàn)在要在花園四周栽樹，四個角上都要栽，每相鄰兩棵間隔5 m。一共要栽多少棵樹？ 教師：仔細讀題并思考，這題與我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容有什么不同？（是在長方形的四周植樹）你能運用畫圖的方法找到這類問題中隱藏的規(guī)律嗎？ 獨立思考，合作交流。 預(yù)設(shè)1：可以先求出花園的周長，再按照棵數(shù)和間隔數(shù)一一對應(yīng)的方法來求。（追問：這種方法跟我

39、們今天這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容是？）相同的。 （60+40）2=200（m） 2005=40（棵） 答：一共要栽40棵樹。 教師：這樣的方法栽樹能夠保證四個角上都有樹嗎？為什么？（能夠保證，因為長和寬都是5的倍數(shù)） 預(yù)設(shè)2：也可以分別求四條邊上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。（追問：用這種方法求的時候，要特別注意什么？）四個角上的樹不能重復(fù)計算。 教師：那我們可以把4條邊都當(dāng)作一端栽一端不栽的情況來求。（你能自己畫一畫嗎？） 6052=24（棵） 4052=16（棵） 24+16=40（棵） 答：一共要栽40棵樹。 【設(shè)計意圖】通過從一條首尾相接的封閉曲線到長方形的轉(zhuǎn)變，繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生利用畫圖方法解決問題的能力。按第一種方法計算，最后的提問“這樣的方法能夠保證四個角上都有樹嗎？”意在引起學(xué)生的反思；第二種思路可以演化出多種算法，通過畫示意圖的方法能使學(xué)生更為深刻地理解此類問題中隱藏的規(guī)律。 五、全課總結(jié)，暢談收獲 教師：通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？跟大家交流一下。 根據(jù)學(xué)生回答，強調(diào)：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹，所需棵數(shù)和間隔數(shù)“一一對應(yīng)”，相當(dāng)于在線段上植樹的問題中一端栽一端不栽的情況。 板書設(shè)計： 例3： 12010=12（棵） 答：一共要栽12棵樹。 教學(xué)反思： 16