《《數(shù)列的極限》PPT課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)列的極限》PPT課件（27頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第 一 章 二 、 收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì) 三 、 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 一 、 數(shù) 列 極 限 的 定 義 第 二 節(jié) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 數(shù) 列 的 極 限 數(shù) 學(xué) 語 言 描 述 : r一 、 數(shù) 列 極 限 的 定 義引 例 . 設(shè) 有 半 徑 為 r 的 圓 ,nA 逼 近 圓 面 積 S . n如 圖 所 示 , 可 知nA n nnr cossin2 ),5,4,3( n當(dāng) n 無 限 增 大 時(shí) , nA 無 限 逼 近 S (劉 徽 割 圓 術(shù) ) , ,0 ,N正 整 數(shù) 當(dāng) n N 時(shí) ,SAn 用 其 內(nèi) 接 正 n 邊 形 的 面

2、積總 有劉 徽 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 義 : 自 變 量 取 正 整 數(shù) 的 函 數(shù) 稱 為 數(shù) 列 ,記 作 )(nfxn 或 .nx nx 稱 為 通 項(xiàng) (一 般 項(xiàng) ) .若 數(shù) 列 nx 及 常 數(shù) a 有 下 列 關(guān) 系 :,0 ,N正 數(shù) 當(dāng) n N 時(shí) , 總 有記 作此 時(shí) 也 稱 數(shù) 列 收 斂 , 否 則 稱 數(shù) 列 發(fā) 散 .幾 何 解 釋 : a aa )( axa n )( Nn即 ),( axn )( Nnaxnn lim 或 )( naxn1Nx 2Nx axn則 稱 該 數(shù) 列 nx 的 極 限 為 a , 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁

3、 返 回 結(jié) 束 例 如 , ,1,43,32,21 nn 1 nnxn )(1 n ,)1(,43,34,21,2 1nn n nnx nn 1)1( )(1 n ,2,8,4,2 n nnx 2 )( n ,)1(,1,1,1 1 n 1)1( nnx 趨 勢 不 定 收 斂發(fā) 散 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 1. 已 知 ,)1(nnx nn 證 明 數(shù) 列 nx 的 極 限 為 1. 證 : 1nx 1)1( nn n n1,0 欲 使 ,1 nx 即 ,1 n 只 要 1n因 此 , 取 ,1N 則 當(dāng) Nn 時(shí) , 就 有 1)1(nn n故 1)1(lim

4、lim nnx nnnn 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 2. 已 知 ,)1( )1( 2 nx nn 證 明 .0lim nn x證 : 0nx 0)1( )1( 2 n n 2)1( 1 n 11 n,)1,0( 欲 使 ,0 nx 只 要 ,11 n 即 n取 ,11 N 則 當(dāng) Nn 時(shí) , 就 有 ,0 nx故 0)1( )1(limlim 2 nx nnnn ,0 111 nnnx 故 也 可 取 1N也 可 由 2)1( 10 nnx .11N 與 有 關(guān) , 但 不 唯 一 .不 一 定 取 最 小 的 N .說 明 : 取 11 N 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上

5、頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 3. 設(shè) ,1q 證 明 等 比 數(shù) 列 ,1 12 nqqq證 : 0nx 01 nq,)1,0( 欲 使 ,0 nx 只 要 ,1 nq 即,lnln)1( qn 亦 即因 此 , 取 qN lnln1 , 則 當(dāng) n N 時(shí) , 就 有 01nq故 0lim 1 nn q .lnln1 qn 的 極 限 為 0 . 1 nq 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 23 ba a b22 abnab ax 二 、 收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì)證 : 用 反 證 法 . axnn lim 及 ,lim bxnn 且 .ba取 ,2ab 因 ,lim a

6、xnn 故 存 在 N1 , ,2abn ax 從 而 2banx 同 理 , 因 ,lim bxnn 故 存 在 N2 , 使 當(dāng) n N2 時(shí) , 有2banx 1. 收 斂 數(shù) 列 的 極 限 唯 一 . 使 當(dāng) n N1 時(shí) , 2ba2ab 2ab假 設(shè)b nba x2 23 ab,2abn bx 從 而 2banx 矛 盾 . 因 此 收 斂 數(shù) 列 的 極 限 必 唯 一 .則 當(dāng) n N 時(shí) , ,max 21 NNN 取 故 假 設(shè) 不 真 ! nx 滿 足 的 不 等 式機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 4. 證 明 數(shù) 列 ),2,1()1( 1 nx

7、nn 是 發(fā) 散 的 . 證 : 用 反 證 法 .假 設(shè) 數(shù) 列 nx 收 斂 , 則 有 唯 一 極 限 a 存 在 .取 ,21 則 存 在 N , 2121 axa n但 因 nx 交 替 取 值 1 與 1 , ),( 2121 aa 內(nèi) ,而 此 二 數(shù) 不 可 能 同 時(shí) 落 在21a 21aa長 度 為 1 的 開 區(qū) 間 使 當(dāng) n N 時(shí) , 有因 此 該 數(shù) 列 發(fā) 散 .機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 收 斂 數(shù) 列 一 定 有 界 .證 : 設(shè) ,lim axnn 取 ,1 ,N則 當(dāng) Nn 時(shí) , 從 而 有nx aaxn a1取 ,max 2

8、1 NxxxM a1則 有 .),2,1( nMxn由 此 證 明 收 斂 數(shù) 列 必 有 界 .說 明 : 此 性 質(zhì) 反 過 來 不 一 定 成 立 . 例 如 , 1)1( n 雖 有 界 但 不 收 斂 .aaxn )(,1axn 有數(shù) 列 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 3. 收 斂 數(shù) 列 的 保 號(hào) 性 .若 ,lim axnn 且 0a ,NN則 Nn當(dāng)時(shí) , 有 0nx ,)0(.)0(證 : 對 a 0 , 取 ,2a ,NN則 ,時(shí)當(dāng) Nnaxn 2a nx 02 aa a x2a 2a推 論 : 若 數(shù) 列 從 某 項(xiàng) 起 0nx ,lim axnn 且

9、0a則 )0(.)0( (用 反 證 法 證 明 ) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 *,ax kn4. 收 斂 數(shù) 列 的 任 一 子 數(shù) 列 收 斂 于 同 一 極 限 .證 : 設(shè) 數(shù) 列 knx 是 數(shù) 列 nx 的 任 一 子 數(shù) 列 .若 ,lim axnn 則 ,0 ,N 當(dāng) Nn 時(shí) , 有axn現(xiàn) 取 正 整 數(shù) K , 使 ,NnK 于 是 當(dāng) Kk 時(shí) , 有kn Kn N從 而 有 由 此 證 明 .lim ax knk N KnNx Knx機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 三 、 極 限 存 在 準(zhǔn) 則由 此 性 質(zhì) 可 知 , 若 數(shù)

10、列 有 兩 個(gè) 子 數(shù) 列 收 斂 于 不 同 的 極限 ,例 如 ， ),2,1()1( 1 nx nn ;1lim 12 kk x 1lim 2 kk x 發(fā) 散 !夾 逼 準(zhǔn) 則 ; 單 調(diào) 有 界 準(zhǔn) 則 ; 柯 西 審 斂 準(zhǔn) 則 .則 原 數(shù) 列 一 定 發(fā) 散 . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 說 明 : azy nnnn limlim)2(1. 夾 逼 準(zhǔn) 則 (準(zhǔn) 則 1) (P49) ),2,1()1( nzxy nnn axnn lim證 : 由 條 件 (2) , ,0 ,1N當(dāng) 1Nn 時(shí) , ayn當(dāng) 2Nn 時(shí) , azn令 ,max 21 NN

11、N 則 當(dāng) Nn 時(shí) , 有, aya n , aza n由 條 件 (1) nnn zxy a a即 ,axn 故 .lim axnn ,2N 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 5. 證 明 11211lim 222 nnnnnn 證 : 利 用 夾 逼 準(zhǔn) 則 . nnnnn 222 1211 nn n2 2 2 2n n且 nn nn 2 2lim nn 1 1lim 1 2 2lim n nn 21 1lim nn 1nn lim nnnn 222 1211 1由 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 單 調(diào) 有 界 數(shù) 列 必 有 極 限 ( 準(zhǔn) 則

12、 2 ) ( P52 ) Mxxxx nn 121 mxxxx nn 121 )(lim Maxnn )(lim mbxnn nx 1nx M1x 2x x m nx1nx 1x2x x( 證 明 略 )ab 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 6. 設(shè) ,),2,1()1( 1 nx nnn 證 明 數(shù) 列 nx極 限 存 在 . (P52 P54)證 : 利 用 二 項(xiàng) 式 公 式 , 有nnnx )1( 1 1 nn 1!1 21!2 )1( nnn 31!3 )2)(1( nnnn nnn nnnn 1! )1()1( 11 ) 1( 1!1 nn ) 1( 2n )

13、1( 1nn)1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 11nx ) 1( 1!1 nn ) 1( 2n ) 1( 1nn)1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n 111nx )1( 11!21 n )1)(1( 1211!31 nn )1()1)(1( 11211!)1( 1 nnnnn 大 大 正),2,1(1 nxx nn 11)1( 1 nnnx !21 !31 !1n又比 較 可 知 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 根 據(jù) 準(zhǔn) 則 2 可 知 數(shù) 列 nx記 此 極 限 為 e , ennn

14、 )1(lim 1 e 為 無 理 數(shù) , 其 值 為 590457182818284.2e 即 有 極 限 . 原 題 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 11)1( 1 nnnx !21 !31 !1n 11 21 221 121 n又 32121111 n 1213 n *3. 柯 西 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 (柯 西 審 斂 原 理 ) (P55)數(shù) 列 nx 極 限 存 在 的 充 要 條 件 是 :,0 存 在 正 整 數(shù) N , 使 當(dāng) NnNm , 時(shí) , mn xx證 : “必 要 性 ” .設(shè) ,lim axnn 則 ,0NnNm , 時(shí) , 有 使 當(dāng),2axn 2a

15、xm因 此 mn xx )()( axax mn axn axm “充 分 性 ” 證 明 從 略 . ,N有 柯 西 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 數(shù) 列 極 限 的 “ N ” 定 義 及 應(yīng) 用2. 收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì) :唯 一 性 ; 有 界 性 ; 保 號(hào) 性 ;任 一 子 數(shù) 列 收 斂 于 同 一 極 限3. 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 :夾 逼 準(zhǔn) 則 ; 單 調(diào) 有 界 準(zhǔn) 則 ; 柯 西 準(zhǔn) 則 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí)1. 如 何 判 斷 極 限 不 存 在 ?方 法 1. 找 一 個(gè) 趨 于 的

16、 子 數(shù) 列 ;方 法 2. 找 兩 個(gè) 收 斂 于 不 同 極 限 的 子 數(shù) 列 .2. 已 知 ),2,1(21,1 11 nxxx nn , 求 nn xlim時(shí) , 下 述 作 法 是 否 正 確 ? 說 明 理 由 .設(shè) ,lim ax nn 由 遞 推 式 兩 邊 取 極 限 得aa 21 1a不 對 ! 此 處 nn xlim 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 作 業(yè)P30 3 (2) , (3) , 4 , 6P56 4 (1) , (3)4 (3) 提 示 : 222 nx 12 nx可 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 2nx 第 三 節(jié) 目 錄 上 頁 下 頁

17、返 回 結(jié) 束 故 極 限 存 在 ，備 用 題 1.設(shè) )(211 nnn xaxx ),2,1( n,0a ,01 x, 且求 .lim nn x解 ： 設(shè) Axnn lim則 由 遞 推 公 式 有 )(21 AaAA aA )(211 nnn xaxx nx nxa annxx 1 )1(21 2nxa )1(21 aa 1 數(shù) 列 單 調(diào) 遞 減 有 下 界 ，,01 x 故 axnn lim 利 用 極 限 存 在 準(zhǔn) 則,0 nx 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 設(shè) ,),2,1(0 iai證 : 顯 然 ,1

18、 nn xx 證 明 下 述 數(shù) 列 有 極 限 .)1()1)(1()1)(1(1 2121 211 nn aaa aaa aaanx ),2,1( n即 nx 單 調(diào) 增 , 又 nk kkn aa ax 1 1 )1()1( 11 11 a1( 1) nk kaa2 11 )1()1( 1 )1()1( 11 kaa )1()1( 11 1 naa 1 nn x lim 存 在“拆 項(xiàng) 相 消 ” 法 劉 徽 (約 225 295年 )我 國 古 代 魏 末 晉 初 的 杰 出 數(shù) 學(xué) 家 . 他 撰 寫 的 重 差 對 九 章 算 術(shù) 中 的 方 法 和 公 式 作 了 全 面 的 評

19、 注 , 指 出 并 糾 正 了 其 中 的 錯(cuò) 誤 , 在 數(shù) 學(xué) 方 法 和 數(shù) 學(xué) 理 論 上 作 出 了 杰 出 的 貢 獻(xiàn) . 他 的 “ 割 圓 術(shù) ” 求 圓 周 率 “ 割 之 彌 細(xì) , 所 失 彌 小 , 割 之 又 割 , 以 至 于 不 可 割 ,則 與 圓 合 體 而 無 所 失 矣 ”它 包 含 了 “ 用 已 知 逼 近 未 知 , 用 近 似 逼 近 精 確 ” 的 重 要極 限 思 想 . 的 方 法 : 柯 西 (1789 1857)法 國 數(shù) 學(xué) 家 , 他 對 數(shù) 學(xué) 的 貢 獻(xiàn) 主 要 集 中在 微 積 分 學(xué) , 柯 西 全 集 共 有 27 卷 . 其 中 最 重 要 的 的 是 為 巴 黎 綜 合 學(xué) 校 編 寫 的 分 析 教 程 , 無 窮 小 分 析 概 論 , 微 積分 在 幾 何 上 的 應(yīng) 用 等 , 有 思 想 有 創(chuàng) 建 , 響 廣 泛 而 深 遠(yuǎn) . 對 數(shù) 學(xué) 的 影他 是 經(jīng) 典 分 析 的 奠 人 之 一 , 他 為 微 積 分所 奠 定 的 基 礎(chǔ) 推 動(dòng) 了 分 析 的 發(fā) 展 . 復(fù) 變 函 數(shù) 和 微 分 方 程 方 面 . 一 生 發(fā) 表 論 文 800余 篇 , 著 書 7 本 ,