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1、應(yīng)用直觀教學(xué)手段 開(kāi)展學(xué)生的抽象思維能力 摘要：數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，應(yīng)用直觀的教學(xué)手段增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，開(kāi)展學(xué)生的認(rèn)知能力具有十分重要的作用.初中階段正是學(xué)生思維方式開(kāi)展的關(guān)鍵期和轉(zhuǎn)折期，思維上表達(dá)手段，以領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)為媒介，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的開(kāi)展，是數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)當(dāng)思考的問(wèn)題.關(guān)鍵詞：實(shí)物直觀；模像直觀；模式直觀；語(yǔ)言直觀義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔2021年版〕指出：“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系〞、“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程〞[1].捷克教育家夸美紐斯在?大教學(xué)論?中指出，“應(yīng)該盡可能地把事物本身或代替它的圖像

2、放在面前，讓學(xué)生去看看、聽(tīng)聽(tīng)、觸觸[2].〞美國(guó)著名的哲學(xué)家、教育學(xué)家和心理學(xué)家杜威提出了“做中學(xué)〞，“從活動(dòng)中學(xué)〞，“從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)〞.他明確提出：“從做中學(xué)要比從聽(tīng)中學(xué)更是一種較好的方法[3].〞這些教育思想中無(wú)不說(shuō)明手段以深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的領(lǐng)悟方面談?wù)劰P者的一些做法和感受.1通過(guò)實(shí)物直觀教學(xué)，開(kāi)展抽象思維能力以新北師大版數(shù)學(xué)教材〔下同〕為例，列舉一些運(yùn)用實(shí)物直觀教學(xué)來(lái)深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系的領(lǐng)悟的例子，比方在“九年級(jí)上冊(cè)第一章——特殊的平行四邊形〞這一章節(jié)中，結(jié)合教材資源提問(wèn)：用折紙和剪紙的方法〔如圖1〕如何得到一個(gè)菱形或正方形，并說(shuō)明道理.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)際操作和演示，讓他們嘗試解說(shuō)從折到

3、剪的全過(guò)程，力求能夠做到具體、形象地講解圖形的邊、角、對(duì)角線的內(nèi)在關(guān)系，并辨析圖形變化前后的數(shù)值和位置關(guān)系.筆者讓學(xué)生思考和驗(yàn)證：上述方法能否剪出一個(gè)〔不是正方形的〕矩形，為什么？調(diào)動(dòng)和激發(fā)學(xué)生的積極性和好奇心，課堂活動(dòng)進(jìn)入了新的高潮.從而深化了學(xué)生從邊、角或?qū)蔷€的角度，對(duì)菱形、正方形間的內(nèi)在關(guān)系的領(lǐng)悟和掌握.又如在“七年級(jí)上冊(cè)第一章——豐富的圖形世界〞這一章節(jié)中，通過(guò)準(zhǔn)備好長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、剪刀、美工刀、卡紙等教具，在課堂演示操作，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生準(zhǔn)確地把握?qǐng)D形的形狀、數(shù)量和位置關(guān)系。通過(guò)直觀的實(shí)物展示，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)相對(duì)復(fù)雜的空間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，準(zhǔn)確把握了長(zhǎng)方體和圓柱體的

4、截面形狀、組合體的三視圖以及其間正方形的分布位置、組合體中正方體最多或最少個(gè)數(shù)問(wèn)題等的解決方法；為了進(jìn)一步深化領(lǐng)悟，再設(shè)置了如下問(wèn)題：用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，截面形狀能否是七邊形？請(qǐng)同學(xué)們切割用白蘿卜制成的正方體，并說(shuō)說(shuō)你在切割中的發(fā)現(xiàn).實(shí)物直觀教學(xué)開(kāi)展了學(xué)生抽象思維能力、空間想象能力，提高了他們發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力.再如，事件的“可能性〞、“頻率與概率〞，讓學(xué)生參與摸紅球、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)、擲骰子、拋硬幣、拋圖釘、擲飛鏢等游戲活動(dòng)中，通過(guò)親身經(jīng)歷和實(shí)際操作，感知數(shù)學(xué)規(guī)律的真實(shí)性與存在性，深化了學(xué)生對(duì)應(yīng)用古典概型或幾何概型解決實(shí)際問(wèn)題的方法的領(lǐng)悟，從根本上把握不確定事件的數(shù)學(xué)關(guān)系.這樣的例子

5、還有很多.實(shí)物直觀本身也存在局限性，如圖形的變換〔縮放、平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)折等〕，想通過(guò)實(shí)物直觀教學(xué)手段來(lái)深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的領(lǐng)悟的難度是很大的，所以實(shí)際教學(xué)中借助了其他直觀手段加以實(shí)現(xiàn).2通過(guò)數(shù)學(xué)模像直觀教學(xué)，開(kāi)展抽象思維能力一般地，觀察與教材相關(guān)的模型與圖像〔如PPT、圖片、圖表、視頻等〕，形成表象的方法被稱為模像直觀。它是實(shí)物直觀的有效補(bǔ)充.數(shù)學(xué)模像直觀主要是通過(guò)前景或背景顏色的強(qiáng)調(diào)、形狀的縮放、動(dòng)作路徑的設(shè)定、對(duì)象的參照等手段形成實(shí)物中非本質(zhì)特征的強(qiáng)度改變，從而突出數(shù)學(xué)教學(xué)中需要概括的數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)因素.用動(dòng)畫(huà)形式表現(xiàn)圖形的變換〔縮放、平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)折〕、呈現(xiàn)點(diǎn)、線、面、體的動(dòng)態(tài)過(guò)程、展示相關(guān)

6、數(shù)學(xué)關(guān)系之間的互相轉(zhuǎn)換等，實(shí)際教學(xué)中可利用的資源有很多，教師亦可自己制作課件，實(shí)現(xiàn)圖像動(dòng)態(tài)效果的易用軟件包括PPT、Flash、幾何畫(huà)板等.例如，七年級(jí)下冊(cè)“第五章生活中的軸對(duì)稱——探索軸對(duì)稱的性質(zhì)〞，如果教學(xué)過(guò)程中只停留在性質(zhì)的驗(yàn)證和應(yīng)用上，課堂學(xué)習(xí)將會(huì)變得枯燥無(wú)味，學(xué)生的主體性和主動(dòng)性也將無(wú)法得到充分的表達(dá)以下結(jié)論〔如圖2〕：AD=A/D/，∠1=∠2，∠3=∠4，以及AA/被對(duì)稱軸l垂直平分等類似的關(guān)系，同時(shí)對(duì)稱軸的位置也顯得十分直觀，不容疑心.模像直觀彌補(bǔ)了實(shí)物直觀的缺乏，便于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的理解和把握，并且在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力.3運(yùn)用模式直觀，促進(jìn)思維的遷移，

7、開(kāi)展抽象思維能力所謂模式直觀，是通過(guò)相比照較具體的、先前已經(jīng)熟悉的、具有普遍協(xié)調(diào)感的、容易接近的模式作為背景，使得人們能夠進(jìn)一步把握和理解更加抽象、更為深刻的思維對(duì)象[4].模式直觀是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常運(yùn)用的教學(xué)手段.比方有理數(shù)、實(shí)數(shù)、無(wú)理數(shù)乃至代數(shù)式的運(yùn)算教學(xué)，通過(guò)類比小學(xué)已學(xué)的運(yùn)算律、運(yùn)算順序等已有的算法模式和計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，化未知為，成功拓展了數(shù)的范圍，深化了對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系的領(lǐng)悟.再如利用“糖水的直觀模式〞證明a/b類似的例子還有許多，比方用溫度計(jì)類比數(shù)軸來(lái)比較實(shí)數(shù)的大小問(wèn)題、用方格紙表達(dá)勾股定理及其逆定理、用抽屜原理說(shuō)明400人中定有2人生日相同問(wèn)題、用方程與函數(shù)思想解應(yīng)用題、用摸球游

8、戲做模擬實(shí)驗(yàn)估算概率問(wèn)題等，通過(guò)建模形成不同的模式，用以解決許多同類的實(shí)際問(wèn)題是我們經(jīng)常運(yùn)用的思想方法.模式直觀的應(yīng)用，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的遷移，化被動(dòng)為主動(dòng)，化未知為，深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系的領(lǐng)悟，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維模式和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題起到了不可替代的作用.4采用語(yǔ)言直觀教學(xué)，開(kāi)展抽象思維能力?醫(yī)學(xué)百科?對(duì)“語(yǔ)言直觀〞解釋是：教師用生動(dòng)形象、富有感染力的語(yǔ)言喚起學(xué)生對(duì)有關(guān)事物表象的重現(xiàn)，并按照描述進(jìn)行重組，以形成新事物的表象.歸結(jié)一些口訣或順口溜，不僅直觀形象、富有趣味性，而且對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的領(lǐng)悟和掌握也很有幫助.比方，正方體的展開(kāi)圖有11種情況，如何準(zhǔn)確、快速、牢固地掌握它們呢？在實(shí)踐中借助口訣輔助

9、教學(xué)，稱以下6種根本圖形為1-4-1型，并輔以口訣“四個(gè)側(cè)面放中間，上下兩面各一邊〞，如圖3〔甲〕.當(dāng)然，為了更加準(zhǔn)確、快速地判斷一個(gè)圖形是否為正方體的展開(kāi)圖，還應(yīng)當(dāng)對(duì)圖形進(jìn)行變式訓(xùn)練，即對(duì)圖形進(jìn)行位置的改變，如圖3〔乙〕其實(shí)是圖3〔甲〕水平翻轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的圖形.為了便于學(xué)生掌握，可對(duì)1-4-1型的圖形進(jìn)行了有序的排列，在教學(xué)中也便于語(yǔ)言直觀的表達(dá).同時(shí)，還將其他展開(kāi)圖分別直觀地概括為2-3-1型〔共3種〕也輔以口訣“二三相連不成田，三一相連位不限〞、2-2-2型和3-3型〔各1種〕用一句口訣“二二三三連成梯，十一種類歸四型〞.再如，不等式組的解集問(wèn)題，可用“大大取大；小小取??；大小、小大取中間；

10、大大小小分兩邊〔無(wú)解〕.〞類似于這樣的口訣結(jié)合線段圖加以輔助教學(xué)，讓復(fù)雜的情況變得簡(jiǎn)單易懂、生動(dòng)有趣.通過(guò)語(yǔ)言直觀和模像直觀〔或?qū)嵨镏庇^〕相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)，為深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的領(lǐng)悟起到了事半功倍的效果.除了用口訣方式使學(xué)習(xí)內(nèi)容變得形象生動(dòng)外，還可借助比喻、對(duì)照、轉(zhuǎn)化、類比等一系列形象生動(dòng)的教學(xué)語(yǔ)言，使一些原本抽象復(fù)雜、邏輯性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)關(guān)系變得更加簡(jiǎn)單、有趣、易懂.比方在“九年級(jí)下冊(cè)第三章——圓〞這一章節(jié)中，關(guān)于“垂徑定理〞的逆定理是這樣描述的：“平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧〞，學(xué)生覺(jué)得不是太好理解.假設(shè)讓學(xué)生把這句話轉(zhuǎn)化為“如果……，那么……〞的形式，同時(shí)畫(huà)成圖形，

11、即“如果圓O的直徑d平分一條不是直徑〔停頓強(qiáng)調(diào)〕的弦a〔學(xué)生畫(huà)圖〕，那么這條直徑d就會(huì)垂直于弦a，并且平分弦a所對(duì)的兩條弧〔結(jié)合圖形說(shuō)明〕〞，學(xué)生很快就改寫(xiě)好了，并且也順利地畫(huà)出正確的圖形進(jìn)行描述.為了加深對(duì)定理的理解，又引導(dǎo)學(xué)生思考：如果把括號(hào)中“不是直徑〞四個(gè)字省略了，這個(gè)命題還會(huì)成立嗎？學(xué)生依照之前的方式將命題轉(zhuǎn)化成“如果圓O的直徑d平分一條弦a，那么這條直徑d就會(huì)垂直于弦a，并且平分弦a所對(duì)的兩條弧〞，接著用畫(huà)圖形的方式加以說(shuō)明手段，它不會(huì)受時(shí)空限制，生動(dòng)形象、富有趣味、感染力強(qiáng)，能夠喚起學(xué)生對(duì)各種表象的再現(xiàn).語(yǔ)言直觀要恰當(dāng)?shù)赝瑢?shí)物直觀、模像直觀以及模式直觀相結(jié)合，充分發(fā)揮直觀性教學(xué)手段標(biāo)準(zhǔn)〔20212021：3-4.【2】張煥庭.西方資產(chǎn)階級(jí)教育論著選讀[M].北京：人民教育出版，1979：49.【3】鄭治國(guó).從杜威的“做中學(xué)〞看現(xiàn)代教育[J].江西教育，2021〔3〕：2.【4】羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2021：61.【5】張廣祥，張奠宙.代數(shù)教學(xué)中的模式直觀[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021〔1〕：2.