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1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算題復(fù)習(xí)資料 一．線(xiàn)性代數(shù) 一）矩陣 1．運(yùn)算法則：（1）m行n列的矩陣與p行q列的矩陣的矩陣在m =p, n =q的條件下可以相加減,加減法則：對(duì)應(yīng)元素相加減. （2）數(shù)乘 （3）n行m列的矩陣與p行q列的矩陣的矩陣在m=p的條件下可以相乘，得n行q列的矩陣。乘法法則：行列相乘。 如： （4）A的轉(zhuǎn)置，是A的行列互換。 注：A為對(duì)稱(chēng)矩陣的概念 （即A的元素關(guān)于A的主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)） 如是對(duì)稱(chēng)矩陣 如不是對(duì)稱(chēng)矩陣 （5）逆矩陣：矩陣A的逆矩陣用表示，滿(mǎn)足。（其中I是相應(yīng)于A的單位矩陣，即對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)全為1，其余的數(shù)全為0的n階矩陣） 逆矩陣求

2、法：A的元素與對(duì)應(yīng)I的元素左右放置成n行2n列的矩陣（A I），對(duì)矩陣(A I)進(jìn)行初等行變換，變到左半部分為I時(shí)右半部分即為。 初等行變換有三種：①交換某二行 ②某一行乘非零常數(shù) ③某一行每一元素都乘同一非零常數(shù)加到另一行 （6）矩陣的秩：任一矩陣通過(guò)初等行變換轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣后非零行的行數(shù)就是矩陣的秩，記為秩（A）或r(A) 階梯形矩陣滿(mǎn)足：1.零行（一行中所有元素都是0）在最下面、 2.非零行中每行最前面0的個(gè)數(shù)比它前一行的最前面的0的個(gè)數(shù)多 典型例題： 說(shuō)明：這部分考試時(shí)不必寫(xiě)，我只是寫(xiě)給你看看的，為了容易理解 1．矩陣，求。

3、 下面求的逆矩陣 說(shuō)明：此題每個(gè)箭頭上方的文字考試時(shí)可以不寫(xiě)，我只是寫(xiě)給你看看的，容易理解 （以下各題也一樣） 2． 分析：A是3行3列的矩陣，即3階矩陣，所以對(duì)應(yīng)I為3階單位矩陣，即這里 解： 3．設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求． 解：由矩陣減法運(yùn)算得 利用初等行變換得 　即　 方法總結(jié)：先從左到右變，使左下方元素變?yōu)?，再?gòu)挠业阶笞儯褂疑戏皆刈優(yōu)?且對(duì)角線(xiàn)元素為1。 4．設(shè)矩陣，，求． 解 所以， = 5．設(shè)矩陣，求解矩陣方程． 分析：

4、 即，所以本題還是求逆矩陣，即求 解 因?yàn)? 所以 且 ． 說(shuō)明：如果題目改為，則即 所以秩（A）＝3 （也可寫(xiě)成r（A）＝3） 二）線(xiàn)性方程組 1．齊次線(xiàn)性方程組（即方程右邊常數(shù)項(xiàng)全為0） 解法：第

5、一步 寫(xiě)出系數(shù)矩陣A 第二步 對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換（同上面求逆矩陣），化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣 第三步 根據(jù)行簡(jiǎn)化階梯形矩陣寫(xiě)出方程組的一般解。 行簡(jiǎn)化階梯形矩陣是每一個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素是1，且其上下都是0的階梯形矩陣。 例1．求線(xiàn)性方程組 的一般解． 說(shuō)明：一般解中的系數(shù)就是方框中的數(shù)的相反數(shù)，如箭頭所示。你考試時(shí)不必畫(huà)框框和箭頭 一般解為：（其中，是自由未知量） 2．非齊次線(xiàn)性方程組（即方程右邊常數(shù)項(xiàng)不全為0） 解法：第一步 寫(xiě)出增廣矩陣，即系數(shù)矩陣A再加上一列常數(shù)列

6、 第二步 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換（同上面求逆矩陣），化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣 第三步 根據(jù)行簡(jiǎn)階梯形矩陣寫(xiě)出方程組的一般解。 例：求線(xiàn)性方程組的一般解． 解： 說(shuō)明：一般解中的系數(shù)就是第一方框中的數(shù)的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)就是第二方框內(nèi)的數(shù)，如箭頭所示。你考試時(shí)不必畫(huà)框框和箭頭 于是方程組的一般解是（是自由未知量） 3．含參數(shù)的齊次方程組 用方程組的系數(shù)矩陣A的秩（即通過(guò)初等行變換變?yōu)殡A梯形后非零行的行數(shù)）小于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有非零解來(lái)確定參數(shù)的值，然后寫(xiě)出一般解。 例：求當(dāng)λ取何值時(shí)方程組有非零解？并求出非零解。 解：將方程的系數(shù)矩陣化為階梯形

7、矩陣 因?yàn)榉匠讨心┲獢?shù)有3個(gè)，必須A的秩小于3，方程組才會(huì)有非零解，所以λ＝5時(shí)方程組有非零解 此時(shí) 故一般解為 4．含參數(shù)的非齊次方程組 用方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等（即兩者通過(guò)初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣后非零行的行數(shù)相等）時(shí)方程組有解來(lái)確定參數(shù)的值，然后求解。 例：求當(dāng)取何值時(shí)線(xiàn)性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解． 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣 由此可知當(dāng)時(shí)，方程組有解． 此時(shí) 得方程組的一般解為其中是自由未知量． 二．應(yīng)用題 1．主要有兩大類(lèi)，求平均成本及平均成本最低，求總利潤(rùn)和總利潤(rùn)最高。 2．名字解釋 總成

8、本：固定成本加可變成本 邊際成本：總成本的導(dǎo)數(shù) 總收益：生產(chǎn)的產(chǎn)品銷(xiāo)售后得到的收入 邊際收益：總收益的導(dǎo)數(shù)數(shù) 總利潤(rùn)：總收益減去總成本 邊際利潤(rùn)：總收益的導(dǎo)數(shù)或邊際收益減去邊際成本 3．已知總成本求邊際成本就是求總成本的導(dǎo)數(shù)，已知邊際成本求總成本就是求邊際成本的積分再加上固定成本；已知總收益（或總利潤(rùn)）求邊際收益（ 或邊際收益）就是求導(dǎo)數(shù)，已知邊際收益（或邊際利潤(rùn)）求總收益（或總利潤(rùn)）就是求邊際的積分。如： 4．解題方法 求平均成本最低的方法：邊際平均成本即平均成本的導(dǎo)數(shù)等于零

9、的產(chǎn)量對(duì)應(yīng)的平均成本就是最低平均成本 求利潤(rùn)最高的方法：邊際利潤(rùn)即利潤(rùn)的導(dǎo)數(shù)等于零的產(chǎn)量對(duì)就的利潤(rùn)就是最高利潤(rùn)。 求總產(chǎn)量變化時(shí)成本、平均成本、收益或利潤(rùn)的增量時(shí)用相應(yīng)的邊際函數(shù)的定積分（見(jiàn)例2的第二小題） 應(yīng)用題中的導(dǎo)數(shù)與積分是比較簡(jiǎn)單的，以多項(xiàng)式為主，主要公式為： 如： 5．典型例題： 例1 已知某產(chǎn)品的邊際成本（萬(wàn)元/百臺(tái)），為產(chǎn)量（百臺(tái)），固定成本為18（萬(wàn)元）， 求⑴該產(chǎn)品的平均成本．⑵最低平均成本． 解（1） ∴平均成本函數(shù) （說(shuō)明：若要求產(chǎn)量q=10時(shí)的總成本與平均成本，則只要把q=10代入就可以。即 （2），令，解得唯一駐點(diǎn) 因?yàn)?/p>

10、平均成本存在最小值，且駐點(diǎn)唯一，所以，當(dāng)產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，可使平均成本達(dá)到最低。 ∴最低平均成本為（萬(wàn)元/百臺(tái)） 例2 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 (萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為（萬(wàn)元/百臺(tái)），其中為產(chǎn)量，問(wèn)（1）產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？ （2）從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？ 　解： 令 得 （百臺(tái)），可以驗(yàn)證是是的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為20（百臺(tái)）即臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大． 從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)變化為 即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺(tái)，利潤(rùn)將減少萬(wàn)元 三．微積分部分 一）求導(dǎo)數(shù)：以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)為主。 1．記住常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

11、 1 2．求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則：(1)和差的導(dǎo)數(shù) （2）乘積的導(dǎo)數(shù) 特例 （3）商的導(dǎo)數(shù) 3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法： 如：。 思路：把 解： （這實(shí)際上就是上面公式 等等的應(yīng)用） 典型例題： 1．已知，求． 分析：這首先是乘積的導(dǎo)數(shù),然后求的導(dǎo)數(shù)時(shí)是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解： 2．設(shè)，求． 分析：這首先是差的導(dǎo)數(shù),然后求的導(dǎo)數(shù)都是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 3． 分

12、析：這首先是商的導(dǎo)數(shù)，然后在求的導(dǎo)數(shù)時(shí)是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4． 分析：這是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但有兩層復(fù)合。 解： 說(shuō)明：（1）若題目改為求dy，則只要在求出即可。 （2）若題目改為求，則只要在求出導(dǎo)數(shù)后 如： 二）求積分 1．原函數(shù)定義 2．積分的定義 3．積分公式

13、 4．積分方法 （1）直接法 直接利用公式計(jì)算 （而且用到公式） （2）湊微分法 ， 如常用到： （3）分部積分法 （主要掌握以下幾個(gè)題型即可） 5．定積分 （1） 即 （要見(jiàn)求定積分實(shí)際上是先求不定積分再補(bǔ)是最后一步即可） 如： (2)分部積分法 如： 典型例題： 1．求 解： 2．計(jì)算 解： 3．計(jì)算 解：=== 上面三題是湊微分法。 3．計(jì)算． 4．求 解： 5． 解： 以上三題是積分的分部積分法。 復(fù)習(xí)課資料9（共9頁(yè)）