《方程的根與函數(shù)的零點 教學設計 兩篇》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《方程的根與函數(shù)的零點 教學設計 兩篇（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 方程的根與函數(shù)的零點 教學設計 兩篇 一．內容和內容解析 本節(jié)內容有函數(shù)零點概念、函數(shù)零點與相應方程根的關系、函數(shù)零點存在性定理． 函數(shù)零點是研究當函數(shù)的值為零時，相應的自變量的取值，反映在函數(shù)圖象上，也就是函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標． 由于函數(shù)的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數(shù)的零點必然與方程有著不可分割的聯(lián)系，事實上，若方程有解，則函數(shù)存在零點，且方程的根就是相應函數(shù)的零點，也是函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標．順理成章的，方程的求解問題，可以轉化為求函數(shù)零點的問題．這是函數(shù)與方程關系認識的第一步． 零點存在性定理，是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的充分不必要條件．如果

2、函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足f(a)f(b)<0，則函數(shù)在區(qū)間(a,b)內至少有一個零點，但零點的個數(shù)，需結合函數(shù)的單調性等性質進行判斷．定理的逆命題不成立． 方程的根與函數(shù)零點的研究方法，符合從特殊到一般的認識規(guī)律，從特殊的、具體的二次函數(shù)入手，建立二次函數(shù)的零點與相應二次方程的聯(lián)系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與相應方程的情形；零點存在性的研究，也同樣采用了類似的方法，同時還使用了“數(shù)形結合思想”及“轉化與化歸思想”． 方程的根與函數(shù)零點的關系研究，不僅為“用二分法求方程的近似解”的學習做好準備，而且揭示了方程與函數(shù)之間的本質聯(lián)系，這種聯(lián)系正是中學數(shù)學

3、重要思想方法——“函數(shù)與方程思想”的理論基礎．可見，函數(shù)零點概念在中學數(shù)學中具有核心地位． 本節(jié)的教學重點是，方程的根與函數(shù)零點的關系、函數(shù)零點存在性定理． 二．目標和目標解析 通過本課教學，要求學生：理解并掌握方程的根與相應函數(shù)零點的關系，在此基礎上，學會將求方程的根的問題轉化為求相應函數(shù)零點的問題；理解零點存在性定理，并能初步確定具體函數(shù)存在零點的區(qū)間． 1．能夠結合具體方程（如二次方程），說明方程的根、相應函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標以及相應函數(shù)零點的關系； 2．正確理解函數(shù)零點存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用；知道定理只是函數(shù)存在零點的一個充分條件；了解函數(shù)零點只能不止一

4、個； 3．能利用函數(shù)圖象和性質判斷某些函數(shù)的零點個數(shù)； 4．能順利將一個方程求解問題轉化為一個函數(shù)零點問題，寫出與方程對應的函數(shù)；并會判斷存在零點的區(qū)間（可使用計算器）． 三．教學問題診斷分析 學生已有的認知基礎是，初中學習過二次函數(shù)圖象和二次方程，并且解過“當函數(shù)值為0時，求相應自變量的值”的問題，初步認識到二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系，對二次函數(shù)圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認識與體會．在高中階段，已經(jīng)學習了函數(shù)概念與性質，掌握了部分基本初等函數(shù)的圖象與性質． 教學的重點是方程的根與函數(shù)零點的關系及零點存在性定理的深入理解與應用． 以二次方程及相應的二次函數(shù)為例，引入函數(shù)零點的概

5、念，說明方程的根與函數(shù)零點的關系，學生并不會覺得困難．學生學習的難點是準確理解零點存在性定理，并針對具體函數(shù)（或方程），能求出存在零點（或根）的區(qū)間． 教學過程中，通過引導學生通過探究，發(fā)現(xiàn)方程的根與函數(shù)零點的關系；而零點存在性定理的教學，則應引導學生觀察函數(shù)圖象與軸的交點的情況，來研究函數(shù)零點的情況，通過研究：①函數(shù)圖象不連續(xù)；②；③，函數(shù)在區(qū)間上不單調；④，函數(shù)在區(qū)間上單調，等各種情況，加深學生對零點存在性定理的理解． 四．教學支持條件分析 本節(jié)教學目標的實現(xiàn)，需要借助計算機或者計算器，一方面是繪制函數(shù)圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數(shù)零點以及同時函數(shù)圖象與軸的交點的關系；另一方面

6、，判斷零點所在區(qū)間過程中，一些函數(shù)值的計算也必須借助計算機或計算器． 五．教學過程設計 1．方程的根與相應函數(shù)圖象的關系 復習總結一元二次方程與相應函數(shù)與軸的交點及其坐標的關系： 一元二次方程根的個數(shù) 圖象與軸交點個數(shù) 圖象與軸交點坐標 意圖：回顧二次函數(shù)圖象與軸的交點和相應方程的根的關系，為一般函數(shù)及相應方程關系作準備． 問題一、上述結論對其他函數(shù)成立嗎？為什么？ 在《幾何畫板》下展示如下函數(shù)的圖象： 、、、、， 比較函數(shù)圖象與軸的交點和相應方程的根的關系。 函數(shù)的圖象與軸交點，即當，該方程有幾個根，的圖象與

7、軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標． 意圖：通過各種函數(shù)，將結論推廣到一般函數(shù)。 2．函數(shù)零點概念 對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點． 說明：函數(shù)零點不是一個點，而是具體的自變量的取值． 3．方程的根與函數(shù)零點的關系 方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點 以上關系說明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，從而有些方程問題可以轉化為函數(shù)問題來求解，同樣，函數(shù)問題有時也可轉化為方程問題．這正是函數(shù)與方程思想的基礎． 4．零點存在性定理 問題二、觀察圖象（氣溫變化圖）片段，根據(jù)該圖象片段，將其補充成完整函數(shù)圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃？為什么？（假設氣溫是連續(xù)變化的）

8、 意圖：通過類比得出零點存在性定理． 給出零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內有零點.即存在，使得，這個c也就是方程的根. 問題三、不是連續(xù)函數(shù)結論還成立嗎？請舉例說明。 在《幾何畫板》下結合函數(shù)的圖象說明。 問題四、若，函數(shù)在區(qū)間在上一定沒有零點嗎？ 問題五、若，函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點嗎？可能有幾個？ 問題六、時，增加什么條件可確定函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點？ 在《幾何畫板》下結合函數(shù)的圖象說明問題四、五、六。 意圖：通過四個問題使學生準確理解零點存在性定理． 5．例題：求函數(shù)的零點的個數(shù)． 問題七、能否確定一個區(qū)間，

9、使函數(shù)在該區(qū)間內有零點． 問題八、該函數(shù)有幾個零點？為什么？ 意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區(qū)間，并且結合函數(shù)性質，判斷零點個數(shù)的方法． 六．目標檢測設計 1.已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表，則函數(shù)在哪幾個區(qū)間內有零點？為什么？ x 1 2 3 4 6 10 f (x) 20 -5.5 -2 6 18 -3 2.函數(shù)在區(qū)間[-5，6]上是否存在零點？若存在，有幾個？ 3.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根 （1） （2） 4．指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間 （1） （2） 最后，師生共同小結（略

10、） 思考題：函數(shù)的零點在區(qū)間內有零點，如何求出這個零點？設計意圖：為下一節(jié)“二分法”的學習做準備． “方程的根與函數(shù)的零點”教學設計2 一、教學內容解析 本節(jié)課的主要內容有函數(shù)零點的的概念、函數(shù)零點存在性判定定理。 函數(shù)f(x)的零點,是中學數(shù)學的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應的角度看,就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x;從方程的角度看,即為相應方程f（x）=0的實數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點就是函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標.函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數(shù)與形,函

11、數(shù)與方程有機的聯(lián)系在一起。 函數(shù)零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數(shù)的零點來研究方程的根，進一步突出函數(shù)思想的應用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，由些需要結合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應用的局限性，即定理的前提是函數(shù)的圖象必須是連續(xù)的，定理只能判定函數(shù)的“變號”零點；定理結論中零點存在但不一定唯一，需要結合函數(shù)的圖象和性質作進一步的判斷。 對函數(shù)與方程的關系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則．從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方

12、程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形。 函數(shù)與方程相比較,一個“動”，一個“靜”；一個“整體”，一個“局部”。用函數(shù)的觀點研究方程，本質上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結果放在動態(tài)的過程中研究，這為今后進一步學習函數(shù)與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實的基礎。 本節(jié)是函數(shù)應用的第一課，因此教學時應當站在函數(shù)應用的高度，從函數(shù)與其他知識的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。 二、教學目標解析 1．結合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學生領會函數(shù)與方程之間的內在聯(lián)系，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。 2．結合函數(shù)圖象，通過觀察分析特殊函數(shù)的零點存

13、在的特點，通過問題，理解連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，并能由此方法判定函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點。了解定理應用的前提條件，應用的局限性，及定理的準確結論。 3．通過具體實例，學生能結合函數(shù)的圖象和性質進一步判斷函數(shù)零點的個數(shù)。 4．在學習過程中，體驗函數(shù)與方程思想及數(shù)形結合思想。 三、教學問題診斷分析 1．通過前面的學習，學生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數(shù)零點的概念本質的理解，學生缺乏的是函數(shù)的觀點，或是函數(shù)應用的意識，造成對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由

14、此作為函數(shù)應用的第一課時，有必要點明函數(shù)的核心地位，即說明函數(shù)與其他知識的聯(lián)系及其在生活中的應用，初步樹立起函數(shù)應用的意識。并從此出發(fā)，通過問題的設置，引導學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。 2．對于零點存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知，同時鼓勵學生舉例來驗證，最終能自主地獲得并確認該定理的結論。對于定理的條件和結論，學生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導學生從正面、反面、側面等不同的角度重新進行審視。 3．函數(shù)的零點，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系，教學中應

15、遵循高中數(shù)學以函數(shù)為主線的這一原則進行聯(lián)結，側重在從函數(shù)的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。 四、教學過程設計 (一)創(chuàng)設情景，揭示課題 函數(shù)是中學數(shù)學的核心內容，它不僅在生活中有著大量的應用，與其他數(shù)學知識有著千絲萬縷的聯(lián)系，若能抓住這一聯(lián)系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。 案例1：周長為定值的矩形 不妨取l=12 問題1：求其面積的值： ， 顯然面積是一個關于x的一個二次多項式， 用幾何畫板演示矩形的變化： 問題2：求矩形面積的最大值？ 當x取不同值時，代數(shù)式的值也相應隨之變化，你能從函數(shù)的角度審視其中的關系嗎？ 問題3：能否使得矩

16、形的面積為8？你是如何分析的？ （1）實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況； （2）解方程：x（6-x）=8 （3）方程x（6-x）=8能否從函數(shù)的角度來進行描述？ 問題4： 一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數(shù)，它們之間有何聯(lián)系？ 結論： 代數(shù)式的值就是相應的函數(shù)值； 方程的根就是使相應函數(shù)值為0的x的值。 更一般地 方程f（x）=0的根，就是使函數(shù)值y=f（x）的函數(shù)值為0的x值，從函數(shù)的角度我們稱之為零點。 設計意圖:本節(jié)課是函數(shù)應用的第一課，有必要讓學生對函數(shù)的應用有所了解。從具體的問題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內在

17、聯(lián)系，并從學生所熟悉的具體的二次函數(shù)，推廣到一般的二次函數(shù)，再進一步推廣到一般的函數(shù)。 （二） 互動交流 研討新知 1．函數(shù)零點的概念： 對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點． 2．對零點概念的理解 案例2：觀察圖象 問題1：此圖象是否能表示函數(shù)？ 問題2：你能從中分析函數(shù)有哪些零點嗎？ 問題3：從函數(shù)圖象的角度，你能對函數(shù)的零點換一種說法嗎？ 結論：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即： 方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點． 設計意圖：進一步掌握函數(shù)的核心概念，同時通過圖象進行一步完善對函數(shù)零點的全面理解，為下面借助圖象探究零點存在

18、性定理作好一定的鋪墊。 2.零點存在定理的探究 案例3：下表是三次函數(shù)的部分對應值表： 問題1：你能從表中找出函數(shù)的零點嗎？ 問題2：結合圖象與表格，你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點的附近函數(shù)值有何特點？ 生：兩邊的函數(shù)值異號！ 問題3：如果一個函數(shù)f（x）滿足f（a）f（b）<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數(shù)的零點? 注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫),從而引出零點存在性定理. 問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢? 問題5:你能改變定理的條件或結論,得到一些新的命題嗎? 如1:加強定理的結論:若在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f（x）滿

19、足f(a)f(b)<0,是否意味著函數(shù)f(x)在[a,b]上恰有一個零點? 如2.將定理反過來:若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上有一個零點,是否一定有f(a)f(b)<0? 如3:一般化:一個函數(shù)的零點是否都可由上述的定理進行判斷?(反例:同號零點,如案例2中的零點-2) 設計意圖：通過表格，是為了進一步鞏固對函數(shù)這一概念的全面認識，并為觀察零點存在性定理中函數(shù)值的異號埋下伏筆。通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領悟定理的內容，而鼓勵學生提問，是培養(yǎng)學生學習主動性和創(chuàng)造能力必要的過程。 （三）鞏固深化，發(fā)展思維 例1、求函數(shù)f(x)=㏑x＋2x －6的零點個數(shù)。 設計問題： （1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點？ （2）你是如何來確定零點所在的區(qū)間的？請各自選擇。 （3）零點是唯一的嗎？為什么？ 設計意圖：對所學內容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數(shù)f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數(shù)值表觀察。 本題可以使學生意識對零點的區(qū)間是不唯一的，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎。 讓學生進一步領悟，零點的唯一性需要借助函數(shù)的單調性。 （四）歸納整理，整體認識 請回顧本節(jié)課所學知識內容有哪些？ 所涉及到的主要數(shù)學思想又有哪些？ 你還獲得了什么？ 　(五)作業(yè)（略）