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1、高等數(shù)學基礎形考作業(yè)1答案 第1章 函數(shù) 第2章 極限與連續(xù) （一） 單項選擇題 ⒈下列各函數(shù)對中，（C）中的兩個函數(shù)相等． A. ， B. ， C. ， D. ， ⒉設函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的圖形關于（C）對稱． A. 坐標原點 B. 軸 C. 軸 D. ⒊下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）． A. B. C. D. ⒋下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）． A.

2、 B. C. D. ⒌下列極限存計算不正確的是（D）． A. B. C. D. ⒍當時，變量（C）是無窮小量． A. B. C. D. ⒎若函數(shù)在點滿足（A），則在點連續(xù)。 A. B. 在點的某個鄰域內(nèi)有定義 C. D. （二）填空題 ⒈函數(shù)的定義域是． ⒉已知函數(shù)，則

3、 x2-x ． ⒊． ⒋若函數(shù)，在處連續(xù)，則　e ． ⒌函數(shù)的間斷點是． ⒍若，則當時，稱為。 （三）計算題 ⒈設函數(shù) 求：． 解：，， ⒉求函數(shù)的定義域． 解：有意義，要求解得 則定義域為 ⒊在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)． 解： A R O h E

4、 B C 設梯形ABCD即為題中要求的梯形，設高為h，即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得 則上底＝ 故 ⒋求． 解：＝ ⒌求． 解： ⒍求． 解： ⒎求． 解： ⒏求． 解： ⒐求． 解： ⒑設函數(shù) 討論的連續(xù)性。 解：分別對分段點處討論連續(xù)性 （1） 所以，即在處不連續(xù) （2） 所以即在處連續(xù) 由（1）（2）得在除點外均連續(xù) 高等數(shù)學基礎作業(yè)2答案： 第3章 導數(shù)與微分 （一）單項選擇題

5、 ⒈設且極限存在，則（C）． A. B. C. D. cvx ⒉設在可導，則（D）． A. B. C. D. ⒊設，則（A）． A. B. C. D. ⒋設，則（D）． A. B. C. D. ⒌下列結論中正確的是（C）． A. 若在點有極限，則在點可導． B. 若在點連續(xù)，則在點可

6、導． C. 若在點可導，則在點有極限． D. 若在點有極限，則在點連續(xù)． （二）填空題 ⒈設函數(shù)，則　　0 ． ⒉設，則。 ⒊曲線在處的切線斜率是。 ⒋曲線在處的切線方程是。 ⒌設，則 ⒍設，則。 （三）計算題 ⒈求下列函數(shù)的導數(shù)： ⑴ 解: ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⒉求下列函數(shù)的導數(shù)： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸

7、 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⑼ 解： ⒊在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⒋求下列函數(shù)的微分：（注：） ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑹ 解： ⒌求下列函數(shù)的二階導數(shù)： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： （四）證明題 設是可導的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù)． 證：因為f(

8、x)是奇函數(shù) 所以 兩邊導數(shù)得： 所以是偶函數(shù)。 高等數(shù)學基礎形考作業(yè)3答案： 第4章 導數(shù)的應用 （一）單項選擇題 ⒈若函數(shù)滿足條件（D），則存在，使得． A. 在內(nèi)連續(xù) B. 在內(nèi)可導 C. 在內(nèi)連續(xù)且可導 D. 在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導 ⒉函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（D　）． A. B. C. D. ⒊函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（A?。? A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降

9、 D. 單調(diào)上升 ⒋函數(shù)滿足的點，一定是的（C　）． A. 間斷點 B. 極值點 C. 駐點 D. 拐點 ⒌設在內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù)，，若滿足（ C ），則在取到極小值． A. B. C. D. ⒍設在內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù)，且，則在此區(qū)間內(nèi)是（ A ）． A. 單調(diào)減少且是凸的 B. 單調(diào)減少且是凹的 C. 單調(diào)增加且是凸的 D. 單調(diào)增加且是凹的 （二）填空題

10、 ⒈設在內(nèi)可導，，且當時，當時，則是的 極小值 點． ⒉若函數(shù)在點可導，且是的極值點，則 0 ． ⒊函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是． ⒋函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ⒌若函數(shù)在內(nèi)恒有，則在上的最大值是． ⒍函數(shù)的拐點是 （三）計算題 ⒈求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值． 解：令 X 1 (1,5) 5 + 0 — 0 + y 上升 極大值32 下降 極小值0 上升 列表： 極大值： 極小值： ⒉求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點，并求最大值和最小值． 解：令：，列表： （0,1） 1

11、（1,3） + 0 — 上升 極大值2 下降 3.求曲線上的點，使其到點的距離最短． 解：，d為p到A點的距離，則： 。 4.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？ 解：設園柱體半徑為R，高為h，則體積 5.一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最?。? 解：設園柱體半徑為R，高為h，則體積 答：當 時表面積最大。 6.欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？ 解：設底長為x，高為h。則： 側(cè)面積為：

12、 令 答：當?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。 （四）證明題 ⒈當時，證明不等式． 證：在區(qū)間 其中，于是由上式可得 ⒉當時，證明不等式． 證： 高等數(shù)學基礎形考作業(yè)4答案： 第5章 不定積分 第6章 定積分及其應用 （一）單項選擇題 ⒈若的一個原函數(shù)是，則（D）． A. B. C. D. ⒉下列等式成立的是（D）． A B. C. D. ⒊若，則（B）． A. B.

13、 C. D. ⒋（B）． A. B. C. D. ⒌若，則（B）． A. B. C. D. ⒍下列無窮限積分收斂的是（D）． A. B. C. D. （二）填空題 ⒈函數(shù)的不定積分是。 ⒉若函數(shù)與是同一函數(shù)的原函數(shù)，則與之間有關系式。 ⒊。 ⒋。 ⒌若，則。

14、 ⒍3 ⒎若無窮積分收斂，則。 （三）計算題 ⒈ ⒉ ⒊ ⒋ ⒌ ⒍ ⒎ ⒏ （四）證明題 ⒈證明：若在上可積并為奇函數(shù)，則． 證: 證畢 ⒉證明：若在上可積并為偶函數(shù)，則． 證：  高等數(shù)學（1）學習輔導(一) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)中符號f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會求

15、函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會判斷兩個函數(shù)是否相等。 兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應關系相同。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。 若對任意，有，則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關于軸對稱。 若對任意，有，則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。 掌握奇偶函數(shù)的判別方法。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類型： ① 常數(shù)函數(shù)： ② 冪函數(shù)： ③ 指數(shù)函數(shù)： ④ 對數(shù)函數(shù)： ⑤ 三角函數(shù)： ⑥ 反三角函數(shù)： ⒋了解復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會把

16、一個復合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。 如函數(shù) 可以分解，，，。分解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù)，而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。 ⒌會列簡單的應用問題的函數(shù)關系式。 例題選解 　　一、填空題 ⒈設，則　　　　　。 解：設，則，得 故。 ⒉函數(shù)的定義域是　　　　　。 解：對函數(shù)的第一項，要求且，即且；對函數(shù)的第二項，要求，即。取公共部分，得函數(shù)定義域為。 ⒊函數(shù)的定義域為，則的定義域是　　　　　。 解：要使有意義，必須使，由此得定義域為。 ⒋函數(shù)的定義域為 。 解：要使有意義，必須滿足且，即成立，解不等式方程組，得出，故得出函數(shù)的定義域為

17、。 ⒌設，則函數(shù)的圖形關于　　　　　對稱。 解：的定義域為 ，且有 即是偶函數(shù)，故圖形關于軸對稱。 　　二、單項選擇題 　?、毕铝懈鲗瘮?shù)中，（?。┦窍嗤摹? 　　A.；　　　B.； C.；　　D. 解：A中兩函數(shù)的對應關系不同, ， B, D三個選項中的每對函數(shù)的定義域都不同，所以A B, D都不是正確的選項；而選項C中的函數(shù)定義域相等，且對應關系相同，故選項C正確。 　　⒉設函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的圖形關于（　）對稱。 A.y＝x；　　　　　B.x軸；　　　　　C.y軸；　　　　　D.坐標原點 解：設，則對任意有 即是奇函數(shù)，故圖形關于原點對稱。選項D正確。

18、 3．設函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，則函數(shù)是（?。? 　　A.單調(diào)減函數(shù)；　　　　　　　　　 B.有界函數(shù)； C.偶函數(shù)；　　　　　　　　　　　 D.周期函數(shù) 解：A, B, D三個選項都不一定滿足。 設，則對任意有 即是偶函數(shù)，故選項C正確。 ⒋函數(shù)（ ） A.是奇函數(shù)；　　　　　　　　　 B. 是偶函數(shù)； C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；　　　　 D.是非奇非偶函數(shù)。 解：利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。 所以B正確。 ⒌若函數(shù)，則（ ） A.；　　　　　　　　　 B. ； C.；　　　 　 D. 。 解：因為 所以

19、則，故選項B正確。 第二章 極限與連續(xù) 　?、敝罃?shù)列極限的“”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。 ⒉理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運算性質(zhì)及其與無窮大量的關系；知道無窮小量的比較。 無窮小量的運算性質(zhì)主要有： ① 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量； ② 有限個無窮小量的乘積是無窮小量； ③ 無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。 ⒊熟練掌握極限的計算方法：包括極限的四則運算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運算性質(zhì)，有理化根式，兩個重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。 求極限有幾種典型的類型 （1） （2） （3） 　?、词炀氄莆諆蓚€重要極限： 　　　　

20、　　　　 　　　　　　　　　?。ɑ颍? 　　重要極限的一般形式： 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（或） 利用兩個重要極限求極限，往往需要作適當?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴展形式，再利用重要極限的結論和極限的四則運算法則，如 ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性；會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點的概念；會對函數(shù)的間斷點進行分類。 間斷點的分類： 已知點是的間斷點， 若在點的左、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點； 若在點的左、右極限有一個不存在，則稱為的第二類間斷點。 ⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復合仍是

21、連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結論。 典型例題解析 　　一、填空題 ⒈極限　　　　　。 解： 注意：（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量） ，其中=1是第一個重要極限。 ⒉函數(shù)的間斷點是　　　　　。 解：由是分段函數(shù)，是的分段點，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。 因為 所以函數(shù)在處是間斷的， 又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點是。 ⒊⒋⒌⒍設，則　　　　　。 解：，故 ⒎函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是　　　　　。 　　二、單項選擇題 　?、焙瘮?shù)在點處（　）． 　　A.有定義且有極限；　　　　 　 　B.無定義但有

22、極限； C.有定義但無極限；　　　　　 　D.無定義且無極限 解：在點處沒有定義，但 （無窮小量有界變量=無窮小量） 故選項B正確。 　?、蚕铝泻瘮?shù)在指定的變化過程中，（?。┦菬o窮小量。 　　A.；　　　　　　　 　B.； C. ；　　　　　　D. 解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以 而A, C, D三個選項中的極限都不為0，故選項B正確。 三、計算應用題 　?、庇嬎阆铝袠O限： 　?、拧　　?　⑵ （4） 解：⑴ = ⑵ ⑶ 題目所給極限式分子的最高次項為 分母的最高

23、次項為，由此得 （4）當時，分子、分母的極限均為0，所以不能用極限的除法法則。求解時先有理化根式在利用除法法則和第一個重要極限計算。 = 2.設函數(shù) 問（1）為何值時，在處有極限存在？ （2）為何值時，在處連續(xù)？ 解：（1）要在處有極限存在，即要成立。 因為 所以，當時，有成立，即時，函數(shù)在處有極限存在，又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時可以取任意值。 （2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是 　　于是有，即時函數(shù)在

24、處連續(xù)。 第三章 導數(shù)與微分 導數(shù)與微分這一章是我們課程的學習重點之一。在學習的時候要側(cè)重以下幾點： ⒈理解導數(shù)的概念；了解導數(shù)的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計算簡單函數(shù)的導數(shù)；知道可導與連續(xù)的關系。 在點處可導是指極限 存在，且該點處的導數(shù)就是這個極限的值。導數(shù)的定義式還可寫成極限 函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義是曲線上點處切線的斜率。 曲線在點處的切線方程為 函數(shù)在點可導，則在點連續(xù)。反之則不然，函數(shù)在點連續(xù)，在點不一定可導。 　　⒉了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。 ⒊熟記導數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導方法 （1）導數(shù)的

25、四則運算法則 （2）復合函數(shù)求導法則 （3）隱函數(shù)求導方法 （4）對數(shù)求導方法 （5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導法 正確的采用求導方法有助于我們的導數(shù)計算，如 一般當函數(shù)表達式中有乘除關系或根式時，求導時采用取對數(shù)求導法， 例如函數(shù)，求。 在求導時直接用導數(shù)的除法法則是可以的，但是計算時會麻煩一些，而且容易出錯。如果我們把函數(shù)先進行變形，即 再用導數(shù)的加法法則計算其導數(shù)，于是有 這樣計算不但簡單而且不易出錯。 又例如函數(shù) ，求。 顯然直接求導比較麻煩，可采用取對數(shù)求導法，將上式兩端取對數(shù)得 兩端求

26、導得 整理后便可得 若函數(shù)由參數(shù)方程 的形式給出，則有導數(shù)公式 能夠熟練地利用導數(shù)基本公式和導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則計算函數(shù)的導數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導法，取對數(shù)求導法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導數(shù)。 ⒋熟練掌握微分運算法則 微分四則運算法則與導數(shù)四則運算法則類似 一階微分形式的不變性 微分的計算可以歸結為導數(shù)的計算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量微分的乘積。 ⒍了解高階導數(shù)的概念；會求顯函數(shù)的二階導數(shù)。 函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導數(shù)就要先求函數(shù)的一階導

27、數(shù)。要求函數(shù)的階導數(shù)就要先求函數(shù)的階導數(shù)。 第三章 導數(shù)與微分典型例題選解 　　一、填空題 ⒈設函數(shù)在鄰近有定義，且，則　　　　　。 解： 故應填1。 ⒉曲線在點（1，1）處切線的斜率是　　　　　。 解：由導數(shù)的幾何意義知，曲線在處切線的斜率是，即為函數(shù)在該點處的導數(shù)，于是 故應填。 ⒊設，則　　　　　。 解：，故 故應填 　　二、單項選擇題 　　⒈設函數(shù)，則（　）。 A.；　　　B.2； C.4；　　D不存在 解：因為，且， 所以，即C正確。 　　⒉設，則（　）。 A.；　　　　　B. ；　　　　　C. ；　　　　　D. 解：

28、先要求出，再求。 因為，由此得，所以 即選項D正確。 3．設函數(shù)，則（　）． 　　A.0；　　　　　　　　　 B.1； C.2；　　　　　　　　　　　 D. 解：因為，其中的三項當時為0，所以 故選項C正確。 4．曲線在點（?。┨幍那芯€斜率等于0。 A.；　　　　　B.；　　　　C.；　　　　D. 解：，令得。而，故選項C正確。 5． ，則（?。? A.；　　　　B.；　　　C.；　　　D. 解： 故選項C正確。 三、計算應用題 ⒈設，求 解：⑴由導數(shù)四則運算法則和復合函數(shù)求導法則 由此得 ⒉設，其中為可微函數(shù)，求。

29、 解 = = = 求復合函數(shù)的導數(shù)時，要先搞清函數(shù)的復合構成，即復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，特別要分清復合函數(shù)的復合層次，然后由外層開始，逐層使用復合函數(shù)求導公式，一層一層求導，關鍵是不要遺漏，最后化簡。 3.設函數(shù)由方程確定，求。 解：方法一：等式兩端對求導得 整理得 方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得 左端 右端 由此得 整理得 　　4.設函數(shù)由參數(shù)方程 確定，求。 解：由參數(shù)求導法 5．設，求。 解 第四章 導數(shù)的應用典型例題 一、填空題

30、 1.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是　　　　　. 解：，當時.故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是. 2.極限　　　　　. 解：由洛必達法則 3.函數(shù)的極小值點為 。 解：，令，解得駐點，又時，；時，，所以是函數(shù)的極小值點。 二、單選題 1.函數(shù) 在區(qū)間上是（ ） A） 單調(diào)增加 B）單調(diào)減少 C）先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加 解：選擇D ，當時，；當時，；所以在區(qū)間上函數(shù)先單調(diào)減少再單調(diào)增加。 2. 若函數(shù)滿足條件（ ），則在內(nèi)至少存在一點，使得 成立。

31、 A）在內(nèi)連續(xù)； B）在內(nèi)可導； C）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導； D）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導。 解：選擇D。 由拉格朗日定理條件，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導，所以選擇D正確。 3. 滿足方程的點是函數(shù)的（ ）。 A）極值點 B）拐點 C）駐點 D）間斷點 解：選擇C。 依駐點定義，函數(shù)的駐點是使函數(shù)一階導數(shù)為零的點。 4.設函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，，且，則函數(shù)在處（ ）。 A）取得極大值

32、 B）取得極小值 C）一定有拐點 D）可能有極值，也可能有拐點 解：選擇D 函數(shù)的一階導數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的極值點；函數(shù)的二階導數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的拐點，所以選擇D。 三、解答題 1.計算題 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 解：函數(shù)的定義區(qū)間為，由于 令，解得，這樣可以將定義區(qū)間分成和兩個區(qū)間來討論。當時，；當是，。 由此得出，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)增加。 2.應用題 　　欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最??？ 解：設底邊邊長為，高為，所

33、用材料為 且 令得， 且因為，所以為最小值.此時。 于是以6米為底邊長，3米為高做長方體容器用料最省。 3．證明題：當時，證明不等式 證 設函數(shù)，因為在上連續(xù)可導，所以在上滿足拉格朗日中值定理條件，有公式可得 其中，即 又

34、由于，有 故有 兩邊同時取以為底的指數(shù)，有 即 所以當時，有不等式 成立. 第5章學習輔導（2） 典型例題解析 　　一、填空題 ⒈曲線在任意一點處的切線斜率為，且曲線過點，則曲線方程為　　　　　。 解：，即曲線方程為。將點代入得，所求曲線方程為 ⒉已知函數(shù)的一個原函數(shù)是，則　　　　　。 解： ⒊已知是的一個原函數(shù)，那么　　　　　。 解：用湊微分法

35、 　　二、單項選擇題 　?、痹O，則（　）。 　　A. ；　　　　 　　B. ； C. ；　　　　　　 　　D. 解：因 故選項A正確． ?、苍O是的一個原函數(shù)，則等式（?。┏闪?。 　　A.；　　　　　　B.； C.；　　　　　　　　D. 解：正確的等式關系是 故選項D正確． ⒊設是的一個原函數(shù)，則（?。?。 　　A. ；　　 　　B. ； C. ；　　　　 　　　　D. 解：由復合函數(shù)求導法則得

36、 故選項C正確． 　　三、計算題 　　⒈計算下列積分： 　?、拧　　　、啤　　　? 解：⑴利用第一換元法 ⑵利用第二換元法，設， 　?、灿嬎阆铝蟹e分： 　　⑴　　　?、啤　　　? 解：⑴利用分部積分法 ⑵利用分部積分法 高等數(shù)學（1）第六章學習輔導 綜合練習題 （一）單項選擇題 （1）．下列式

37、子中，正確的是（ ）。 A. B. C. D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） A. B. C. D. (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 A .B. C. D. (4) 若是上的連續(xù)

38、偶函數(shù)，則 。 A. B． 0 C． D． (5) 若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ). A. B. C. D. 答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。 而 B不正確。 在（0，1）區(qū)間內(nèi) C 不正確。

39、根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關，而與積分變量的選取無關。 故D不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 ∴A、C不正確。 由定積分定義知 B不正確。 D正確。 (3) ∴A不正確。 ∴B。不正確。 ∴C。不正確。 D D正確 （4）由課本344頁 （6—4—2）和345頁（6—4—3）知C。正確。 （5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) ∴ A正確。 （二） 填空題

40、(1) (2) (3) 在區(qū)間上，曲線和軸所圍圖形的面積為______________。 (4) (5) (a＞0 p＞0 ) 答案： 解：（1） （2） （2） 所圍圖形的面積S= （3） 由定積分的幾何意義知: 　　定積分的值等于 （4） y= 所圍圖形的面積∴ （5） p≤1時 無窮積分發(fā)散。 （三）　計算下列定積分 (1） (2） （3） （4） （5）

41、 答案： (1） (2） （3） （4） (5) （四）定積分應用 求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積 x 解：畫草圖 求交點 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1 y 2 y=2 y=x 0 xy=1 第七章綜合練習題 （一）單項選擇題 1、若（ ）成立，則級數(shù)發(fā)散，其中 表示此級數(shù)的部分和。 A、

42、； B、單調(diào)上升； C、 D、不存在 2、當條件（ ）成立時，級數(shù)一定發(fā)散。 A、發(fā)散且收斂； B、發(fā)散； C、發(fā)散； D、和都發(fā)散。 3、若正項級數(shù)收斂，則（ ）收斂。 A、 B、 C 、 D、 4、若兩個正項級數(shù)、滿足，則結論（ ），是正確的。 A、發(fā)散則發(fā)散； B、收斂則收斂； C、發(fā)散則收斂；

43、 D、收斂則發(fā)散。 5、 若f(x)= , 則 = ( )。 A、 B 、 C D、 答案：1、D 2、A 3、B 4、A 5、C （二）填空題 1、 當_________時，幾何級數(shù)收斂。 2、 級數(shù)是___________級數(shù)。 3、 若級數(shù)收斂，則級數(shù)_____________。 4、 指數(shù)函數(shù)f(x)= 展成 x的冪級數(shù)為__________________。 5、 若冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（—9 ，9 ），則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 ___________。 答案：1、<1 2、發(fā)散

44、3、收斂 4、 5、C ( 0 ,6 ) （三）計算題 1、 判斷下列級數(shù)的收斂性 ⑴ ⑵ ⑶ 解：⑴此正項級數(shù)的通項滿足 n=2,3,…. 由于收斂，則由比較判別法可知收斂。 ⑵>1 則由比值判別法可知發(fā)散。 ⑶ 由于是交錯級數(shù)，且= 及，由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂。 2、 求下列冪級數(shù)的收斂半徑 ⑴ ⑵ 解：⑴ 因此收斂半徑R=1， ⑵ 令 得冪級數(shù) 可知的收斂半徑為4 ，所以原冪級數(shù)的收斂半徑 第八章綜合練習題及參考答案 （一）單項選擇題

45、 1、 下列階數(shù)最高的微分方程是 （ ）。 A、； B、； C、 D、 2、下列一階微分方程中為可分離變量的微分方程是（ ）。 A、； B、 C、 D、 3、微分方程的通解為（ ）。 A、 B、 C 、 D、 4、微分方程的通解為（ ）。 A、； B、 C、； D、 5、微分方程的特解應設為（ ）。 A、

46、 B 、 C D、 答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D （二）填空題 6、 一階線性微分方程的通解公式為_________。 7、 二階線性微分方程的特征根為_________。 8、 二階線性微分方程的通解中含有____________獨立的任意常數(shù)。 9、 二階微分方程的通解為_____________。 10、 若是二階線性非齊次微分方程的一個特解，為其相應的齊次微分方程的通解，則非齊次微分方程的通解為_________________。 答案：1、 2、

47、3、兩個 4、 5、 （三）計算題 3、 ⑴求一階微分方程的滿足的特解 ⑵求一階微分方程的滿足的特解 ⑶ 解：⑴微分方程變?yōu)?，兩邊積分得方程的通解為 由條件得， 故微分方程的的特解 ⑵方法一 由一階線性微分方程的通解公式得 由條件得,故微分方程的的特解 方法二 由微分方程可得，兩邊積分得方程的通解為 由條件得,故微分方程的的特解 2、⑴求微分方程的通解 解：

48、原方程對應的齊次方程的特征方程為 特征根為， 故齊次微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） 設原方程的一個特解應為，代入方程得得 故微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） ⑵求微分方程的通解 解：原方程對應的齊次方程的特征方程為 得特征根為， 故齊次微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） 設原方程的一個特解應為，代入方程得 故微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） 高等數(shù)學基礎綜合練習題解答 一．填空題 1．函數(shù)的定義域為 。 2．函數(shù)

49、的定義域是 。 3．函數(shù)的定義域是 。 4．設，則 。 解：設，則且原式 即＝ 亦即 4．若函數(shù)在處連續(xù)，則= 。 5．曲線在處的切線方程為 。 曲線在點處的切線方程為 解：， ， 6. 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為 。 初等函數(shù)在其定義區(qū)間連續(xù)。 且 7．曲線在點處的切線方程為 。 8. 設函數(shù)可導，則 。 解：＝＝＝ ＝＝ 9.（判斷

50、單調(diào)性、凹凸性）曲線在區(qū)間內(nèi)是 單調(diào)遞減且凹 。 解： 10．設，則 。 解：，， 11． 0 。 解：是奇函數(shù)；是偶函數(shù)，由于偶+偶=偶，則是偶函數(shù)， 因為奇偶＝奇，所以是奇函數(shù)，是對稱區(qū)間 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零 12． 。 解： 是奇函數(shù)（奇偶＝奇），故； 而是偶函數(shù)，故 13．設，則 。 解： 14．已知，則 。 解： 15．設為的原函數(shù)，那么 。 分析：為的原函數(shù)， 解： 16．設的一個原函數(shù)是, 則 。 解：的一個原函數(shù)為＝＝＝

51、 17．，那么 。 解： 18．_________________。 解： 19．設，則 。 解： 20．= 。 解：＝－＝ 二．選擇題 1． 下列函數(shù)中（ B ）的圖像關于坐標原點對稱。 A． B． C． D． 規(guī)律：（1）1．奇偶函數(shù)定義： ； （2）．常見的偶函數(shù)： 常見的奇函數(shù)： 常見的非奇非偶函數(shù)：； （3）．奇偶函數(shù)運算性質(zhì)： 奇奇=奇；奇偶=非；偶偶=偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶； （4）．奇函數(shù)圖像關于原點對稱；偶

52、函數(shù)圖像關于軸對稱。 解：A．非奇非偶； B．奇偶=奇（原點）； C．奇奇=偶（軸）； D．非奇非偶 2．下列函數(shù)中（ B ）不是奇函數(shù)。 A．； B．； C．； D． 解：A．奇函數(shù)（定義）； B．非奇非偶（定義）；C．奇函數(shù)（奇偶）；D．奇函數(shù)（定義） 3．下列函數(shù)中，其圖像關于軸對稱的是（ A ）。 A． B． C． D． 解：A．偶函數(shù)（軸）； B．非奇非偶（定義）；C．奇函數(shù)（常見）；D．非奇非偶（定義） 4．下列極限正確的是（ B ）。 A． B． C.

53、 D． 解：A錯。∵，～∴； B正確。分子分母最高次冪前的系數(shù)之比； C錯?！?，即是無窮小，即是有界變量，∴； D錯。第二個重要極限應為或，其類型為。 5．當時，（ D ）為無窮小量。 A． B． C． D． 解：A． ＝； B．，，， 不存在； C．，； D．，。 6. 下列等式中，成立的是（ B ）。 A． B． C． D． 解：A．錯，正確的應為 B。 正確，即 C．錯，正確的應為 D．錯，正確的應為 7．設在點可微，且，則下列結論成立的是（ C

54、 ）。 A． 是的極小值點 B． 是的極大值點 ； C．是的駐點； D． 是的最大值點； 解：駐點定義：設在點可微，且，則是的駐點。駐點為可能的極值點。 8．．函數(shù)，則 （ D ）。 A． 3 ； B． ； C． ； D． 解一： 解二： 9．設，則（ B ）。 A． ； B． ； C． ； D． 不存在 10．曲線在區(qū)間內(nèi)是（ A ）。 A．下降且凹 B．上升且凹 C．下降且凸 D． 上升且凸 解： 11．曲線在內(nèi)是（ B

55、 ）。 A． 下降且凹； B．上升且凹； C．下降且凸； D．上升且凸 解： 12．曲線在點處的法線方程為（ B ）。 A.；B.；C．D. 規(guī)律：曲線在x=處的法線方程為 解：，， 故法線方程為B．； 13．下列結論中正確的是（ C ）。 A．函數(shù)的駐點一定是極值點 　　 B．函數(shù)的極值點一定是駐點 C．函數(shù)一階導數(shù)為的點一定是駐點 D．函數(shù)的極值點處導數(shù)必為 解：駐點定義：設在點可微，且，則是的駐點。駐點為可能的極值點。 14．設函數(shù)，則（ A ）。 A．； B．； C．； D．

56、 解： 15．當函數(shù)不恒為0，為常數(shù)時，下列等式不成立的是（ B ）。 A. B. C. D. 解： A. 成立，為不定積分的性質(zhì)； B. 不成立，常數(shù)，而常數(shù)的導數(shù)為零； C. 成立，為不定積分的性質(zhì)； D. 成立，為牛頓－萊布尼茲公式。 16．設函數(shù)的原函數(shù)為，則（ A ）。 A． ； B．； C．； D． 解：函數(shù)的原函數(shù)為， 17．下列無窮積分為收斂的是（　B?。?。 A.　　　 B. 　　　C.　　D. 規(guī)律：⑴ ⑵ ⑶、發(fā)散 ⑷

57、 解：A.；B.，收斂； C.，發(fā)散； D. ，發(fā)散 18．下列無窮積分為收斂的是（　C?。? A.　　　 B.　　　C. 　　　D. 解：A. 發(fā)散；B. 發(fā)散；C. 收斂；D. 發(fā)散； 三．計算題 1、求極限 2、求極限 解：∵ 解：∵ ∴原題＝ ∴原題＝ 3、求極限解：∵，～，～ ∴原題＝=＝ 4、求極限解：∵，～，～ ∴原題＝＝ 5、求極限解：∵，～，～ ∴原題＝＝ 6、求極限 解：∵，～～，～ ∴原題＝

58、＝ 7、設函數(shù)，求 解： 8、設函數(shù)，求。 解： 9、設函數(shù)，求。 解： 10、設函數(shù)，求。 11、設函數(shù)，求。 解： 12、計算不定積分 2 0 + — + ＝ 13、計算不定積分 解： 1 0 ＋ —

59、 ＝ 四、應用題 1、 要做一個有底無蓋的圓柱體容器,已知容器的容積為4立方米,試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使所用材料最省。 解：設圓柱體底半徑為，高為， 則體積 材料最省即表面積最小 表面積＝＝＝ ＝，令＝0，得唯一駐點 所以當?shù)装霃綖槊?，此時高為米時表面積最小即材料最省。 2、 要做一個有底無蓋的圓柱體容器,已知容器的容積為16立方米,底面單位面積的造價為10元/平方米，側(cè)面單位面積的造價為20元/平方米，試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使建造費用最省。 解：設圓柱體底半徑為，高為，

60、 則體積 且造價函數(shù) 令，得唯一駐點 所以當?shù)装霃綖槊?，此時高為米時造價最低。 3、要用同一種材料建造一個有底無蓋的容積為108立方米的圓柱體容器，試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使建造費用最省。 解：要使建造費用最省，就是在體積不變的情況下，使圓柱體的表面積最小。 設圓柱體底半徑為，高為， 則體積 則圓柱體倉庫的表面積為＝＝＝ ＝，令＝0，得唯一駐點, 所以當?shù)装霃綖槊?，此時高為米時表面積最小即建造費用最省。 4、在半徑為8的半圓和直徑圍成的半圓內(nèi)內(nèi)接

61、一個長方形（如圖）， 為使長方形的面積最大，該長方形的底長和高各為多少。 解：設長方形的底邊長為，高為， 則 8 面積 令，得唯一駐點 所以當?shù)走呴L為米，此時高為米時面積最大。 5、在半徑為8的圓內(nèi)內(nèi)接一個長方形，為使長方形的面積最大， 該長方形的底長和高各為多少。 解：設長方形的底邊長為，高為， 則 面積 令，得唯一駐點 所以當?shù)走呴L為米，此時高為米時面積最大。 6、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點為， 面積＝= ＝＝ 7、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點為，， 面積＝＝＝ 8、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點為，， 面積＝＝＝ 9、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點為, 面積＝＝ 10、求由拋物線與直線所圍的面積。 解： 拋物線與直線的交點為，， 面積＝＝＝-1 -1 36