《北京市東城區(qū)高三第二學期綜合練習（一） 理科數學試題及答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《北京市東城區(qū)高三第二學期綜合練習（一） 理科數學試題及答案（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 北京市東城區(qū)2014屆高三第二學期綜合練習（一） 數學理試題 2014．4 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題3分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項． 1． 已知集合，則（ ）． A． B．或 C． D． 2． 復數（ ）． A． B． C． D． 3． 為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象（ ）． A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 4． 設等差數列的前項和為，若，，則（ ）． A．27

2、 B．36 C．42 D．63 5． 在極坐標系中，點到直線的距離等于（ ）． A． B． C． D．2 6． 如圖，在中，，，是的中點，則（ ）． A．3 B．4 C．5 D．不能確定 7． 若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（ ）． A．2 B． C． D． 8． 已知符號函數則函數的零點個數為（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9． 的二項展開式中常數項為_

3、_______．（用數字作答） 10． 如圖，是圓的直徑，延長至，使，且，是圓的切線，切點為，連接，則________，________． 11． 設不等式組表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內隨機取一個點，則的概率為________． 12． 已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則時，的解析式為______，不等式的解集為________． 13． 某寫字樓將排成一排的6個車位出租給4個公司，其中有兩個公司各有兩輛汽車，如果這兩個公司要求本公司的兩個車位相鄰，那么不同的分配方法共有________種．（用數字作答） 14． 如圖，在三棱錐中，，，平面平面，為中點，點分別為線段上的動點（不含端

4、點），且，則三棱錐體積的最大值為________． 三、解答題共6小題，共80分． 15． （本小題共13分） 在中，． （1）求角的值； （2）如果，求面積的最大值． 16、（本小題共13分） 某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統計結果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的有8人． （1）求直方圖中的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的人數； （2）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲

5、班學生的人數為，求的分布列和數學期望． 17、（本小題共14分） 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，是中點，為上一點． （1）求證：平面； （2）當為何值時，二面角為． 18、（本小題共13分） 已知函數，． （1）當時，求的單調區(qū)間； （2）已知點和函數圖象上動點，對任意，直線傾斜角都是鈍角，求的取值范圍． 19、（本小題共13分） 已知橢圓過點和點． （1）求橢圓的方程； （2）設過點的直線與橢圓交于兩點，且，求直線的方程． 20、（本小題共14分） 已知集合，若該集合具有下列性質的子

6、集：每個子集至少含有2個元素，且每個子集中任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱這些子集為子集，記子集的個數為． （1）當時，寫出所有子集； （2）求； （3）記，求證： 北京市東城區(qū)2014屆高三第二學期綜合練習（一） 數學參考答案（理科） 一、選擇題 1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 二、填空題 9． 10．； 11． 12．； 13．24 14． 三、解答題 15．（共13分） 解：⑴ 因為，， 所以，．

7、 因為． 所以． ⑵ 因為， 所以， 因為， 所以， 所以（當且僅當時，等號成立）， 所以，， 所以面積最大值為． 16． （共13分） 解：⑴ 由直方圖知，， 解得， 因為甲班學習時間在區(qū)間的有8人， 所以甲班的學生人數為， 所以甲、乙兩班人數均為40人． 所以甲班學習時間在區(qū)間的人數為 （人）． ⑵ 乙班學習時間在區(qū)間的人數為（人）． 由⑴知甲班學習時間在區(qū)間的人數為3人， 在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人，的所有可能取值為0，1，2，3． ， ， ， ． 所以隨機變量的分布列為： 0 1 2

8、 3 ． 17．（共14分） 證明⑴ 因為平面，平面， 所以， 因為是矩形，所以． 因為，所以平面， 因為平面，所以， 因為，是中點，所以， 因為 所以平面． ⑵ 解：因為平面，， 所以以為坐標原點，、、所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設，則，，，． 所以，． 設平面的法向量為，則 所以 令，得，， 所以． 平面的法向量為． 所以． 所以． 所以當時，二面角為． 17． （共13分） 解：⑴ 當時，，定義域為， ↘ ↗ 所以當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為． ⑵ 因為對任

9、意，直線的傾斜角都是鈍角， 所以對任意，直線的斜率小于0， 即，， 即在區(qū)間上的最大值小于1， ，． 令 ①當時，在上單調遞減， ，顯然成立，所以． ②當時，二次函數的圖象開口向下， 且，， ，， 故，在上單調遞減， 故在上單調遞減，，顯然成立，所以． ⑶ 當時，二次函數的圖象開口向上， 且，． 所以，當時，． 當時，． 所以在區(qū)間內先遞減再遞增． 故在區(qū)間上的最大值只能是或． 所以 即 所以． 綜上． 19．(共13分) 解：（Ⅰ）因為橢圓過點和點． 所以，由，得． 所以橢圓的方程為． （Ⅱ）顯然直

10、線的斜率存在，且． 設直線的方程為． 由消去并整理得， 由，． 設，，中點為， 得，． 由，知， 所以，即． 化簡得，滿足． 所以． 因此直線的方程為． （20）(共14分) 解：（Ⅰ）當時，所以子集：，，，，，，． （Ⅱ）的子集可分為兩類： 第一類子集中不含有，這類子集有個； 第二類子集中含有，這類子集成為的子集與的并，或為的單元素子集與的并，共有個． 所以． 因為，， 所以，，，，，． （Ⅲ）因為， ① 所以 ② ①②得 所以． 15