經(jīng)典題集 七年級(jí)數(shù)學(xué) 寒假講義 相交線與平行線 實(shí)數(shù)
七年級(jí)數(shù)學(xué) 寒假教材
第五章 相交線與平行線
第1課 相交線
鄰補(bǔ)角：一條邊公共，另一條邊互為反向延長(zhǎng)線。具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角。
注意：鄰補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種特殊情況，數(shù)量上互補(bǔ)，位置上有一條公共邊，而互補(bǔ)的角與位置無(wú)關(guān)。
對(duì)頂角：有公共的頂點(diǎn)，兩邊互為反向延長(zhǎng)線。具有這種位置關(guān)系的角，互為對(duì)頂角。
注意：對(duì)頂角形成的前提條件是兩條直線相交，而鄰補(bǔ)角不一定是兩條直線相交形成的；每個(gè)角的對(duì)頂角只有一個(gè)，而每個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)。
兩直線相交，有4對(duì)鄰補(bǔ)角；2對(duì)對(duì)頂角
對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等
垂線：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。
注意：①兩條直線相交所成的四個(gè)角相等;
②兩條直線相交,有一組鄰補(bǔ)角相等;
③兩條直線相交,對(duì)頂角互補(bǔ).都可以判斷這兩條直線互相垂直
垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“過(guò)一點(diǎn)”中的“點(diǎn)”在直線上或在直線外。
垂線的性質(zhì)：性質(zhì)2 垂線段最短.
畫出PA在擺動(dòng)過(guò)程中的幾個(gè)位置，如圖，點(diǎn)A1、A2、A3……在l上,連接PA1、PA2、PA3……，PO⊥ l，垂足為O，用疊合法或度量法比較PO、PA1、PA2、PA3……的長(zhǎng)短，可知垂線段PO最短。
點(diǎn)到直線的距離：連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離，這里我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫做點(diǎn)到直線的距離.如上圖，PO就是點(diǎn)P到直線l的距離。
注意：點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離一樣是一個(gè)正值，是一個(gè)數(shù)量，所以不能畫距離，只能量距離。
垂線的畫法：
畫已知線段或射線的垂線：
（1）垂足在線段或射線上；（2）垂足在線段的延長(zhǎng)線或射線的反向延長(zhǎng)線上
例1.下圖中直線AB、CD相交于O，∠BOC的對(duì)頂角是 ，鄰補(bǔ)角是
例2.一個(gè)角的對(duì)頂角有 個(gè)，鄰補(bǔ)角最多有 個(gè)，而補(bǔ)角則可以有 個(gè)。
例3.判斷正確與錯(cuò)誤,如果正確,請(qǐng)說(shuō)明理由,若錯(cuò)誤,請(qǐng)訂正.
(1)直線外一點(diǎn)與直線上的一點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度是這一點(diǎn)到這條直線的距離.
(2)如圖,線段AE是點(diǎn)A到直線BC的距離.
(3)如圖,線段CD的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線AB的距離.
（4）過(guò)直線外一點(diǎn)畫直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離；
（5）從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離；
（6）兩條直線相交，若有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線互相垂直；
（7）兩條直線的位置關(guān)系要么相交，要么平行。
例4.如圖，過(guò)鈍角頂點(diǎn)B作AB、BC、CA的垂線，分別交于AC于D、E、F，并指出所畫三條垂線的垂足。
例5.如圖，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，MN分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊。
（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近，行駛到點(diǎn)Q位置時(shí)，距離村莊N最近，請(qǐng)?jiān)趫D中的AB上分別畫出點(diǎn)P、Q的位置；
（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在哪一個(gè)位置到村莊M、N的路程之和最短？請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出這個(gè)位置。
例6.已知：如圖，直線a、b、c兩兩相交，∠1=2∠3，∠2=860，求∠4的度數(shù)．
例7.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,OD平分∠BOF,EO⊥CD于O,∠EOF=1180,求∠COA的度數(shù)。
例8.如圖,O是直線AB上的一點(diǎn)，OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線，求證：OD⊥OE.
例9.已知,如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:∠DOE=4:1,求∠AOF的度數(shù)．
課堂練習(xí)：
1.判斷正誤
(1)如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角． ( )．
(2)如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒(méi)有公共邊，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角． ( )．
(3)有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角． ( )．
(4)如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互為補(bǔ)角． ( )．
(5)對(duì)頂角的角平分線在同一直線上． ( )．
(6)有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角． ( )．
2.如圖所示，直線l1，l2，l3相交于一點(diǎn)，則下列答案中，全對(duì)的一組是( )．
A.∠1=900，∠2=300，∠3=∠4=600； B.∠1=∠3=900，∠2=∠4=30
C.∠1=∠3=900，∠2=∠4=60 D.∠1=∠3=900，∠2=600，∠4=30
3.如圖所示,∠1和∠2是對(duì)頂角的圖形有( )
4.在兩條直線相交所成的四個(gè)角中，( )不能判定這兩條直線垂直
A.對(duì)頂角互補(bǔ) B.四對(duì)鄰補(bǔ)角 C.三個(gè)角等 D.鄰補(bǔ)角相等
5.互為鄰補(bǔ)角的角平分線關(guān)系是 . ( )
A.互相垂直 B.相交而不垂直 C.成一條直線 D.以上都有可能
6.直線a、b、c相交于點(diǎn)O，則圖中對(duì)頂角共有( )
A.6對(duì) B.5對(duì) C.4對(duì) D.3對(duì)
7.下列說(shuō)法正確的是( )
A.相等的角是對(duì)頂角 B.一個(gè)角的鄰補(bǔ)角只有一個(gè)
C.補(bǔ)角即為鄰補(bǔ)角 D.對(duì)頂角的平分線在一條直線上
8.如圖,直線AB和CD相交于點(diǎn)O,若∠AOD與∠BOC的和為236,則∠AOC的度數(shù)為( )
A.62 B.118 C.72 D.59
9.點(diǎn)到直線的距離是指 .( )
A.直線外一點(diǎn)與這條直線上一點(diǎn)所連結(jié)的線段
B.直線外一點(diǎn)與這條直線上任一點(diǎn)所連結(jié)的線段的長(zhǎng)度
C.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段
D.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長(zhǎng)度
10.如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是( )毛
A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB; B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC
C.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段; D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段
11.如圖，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，則下列關(guān)系不成立的是( )
A．AB>AC>AD B．AB>BC>CD C．AC+BC>AB D．AC>CD>BC
12.點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn),點(diǎn)A,B,C為直線m上三點(diǎn),PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點(diǎn)P到直線m的距離為( )
A.4cm B.2cm C.小于2cm D.不大于2cm
13.如圖，直線AB、CD相交于O點(diǎn)，∠AOE=90，
①∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互為_(kāi)_____角；∠2和∠3互為_(kāi)_____角；∠1和∠3互為_(kāi)_____角；∠2和∠4互為_(kāi)_____角．
②若∠1＝20，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______=______-______=______；
∠4＝∠______-∠1＝______-______=______.
14.如圖，直線AB與CD相交于O點(diǎn)，且∠COE=90，則
①與∠BOD互補(bǔ)的角有________________________________________；
②與∠BOD互余的角有________________________________________；
③與∠EOA互余的角有________________________________________；
④若∠BOD=42017′，則∠AOD＝______；∠EOD＝_____；∠AOE＝_____.
15.如圖所示,直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O,則∠AOD的對(duì)頂角是 ,∠AOC的鄰補(bǔ)角是
若∠AOC=50,則∠BOD= ,∠COB= .
16.如圖，AB⊥CD,垂足為O,EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且∠3＝260，則∠1＝ .
17.如圖，線段 的長(zhǎng)度表示點(diǎn)D到直線BC的距離，線段 的長(zhǎng)度表示點(diǎn)B到直線CD的距離，線段 的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A、B之間的距離。
18.如圖, ∠1和∠2互為余角,EF⊥AB，則∠1= ；∠2= .
19.如圖，直線AB、CD、EF相交于O點(diǎn)，則∠AOC= ，∠COE= ，∠AOC的鄰補(bǔ)角是 .
20.直線AB、CD相交于點(diǎn)O，
⑴如果∠AOC+∠BOD=1000，那么∠AOD= ；⑵如果∠B0C比∠AOC的2倍大300，那么∠AOC= .
21.直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，⑴∠BOE的鄰補(bǔ)角是___________；⑵∠DOA的對(duì)頂角是___________；⑶如果∠AOC=500，那么∠BOD= ，∠COB= .
22.如圖，∠AOB是直角，C、O、D三點(diǎn)共線，∠AOC=25，則∠AOC的余角的補(bǔ)角為 .
23.下列說(shuō)法：①一條直線有且只有一條垂線；②畫出點(diǎn)P到直線l的距離；③兩條直線相交就是垂直；④線段和射線也有垂線，其中正確的有 .
24.三角形ABC中，∠C=900，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，那么點(diǎn)B到直線 AC的距離是___________，
A、B兩點(diǎn)的距離是________.
25.如圖，已知，，試說(shuō)明.
證明：∵，，
∴( )
∴
==________.
26.按要求畫圖：
(1）如圖，過(guò)A點(diǎn)作CD⊥MN，過(guò)A點(diǎn)作PQ⊥EF于B．
(圖a) (圖b) (圖c)
(2)如圖，過(guò)A點(diǎn)作BC邊所在直線的垂線EF，垂足是D，并量出A點(diǎn)到BC邊的距離．
(圖a) (圖b) (圖c)
(3)如圖，已知∠AOB及點(diǎn)P，分別畫出點(diǎn)P到射線OA、OB的垂線段PM及PN．
(圖a) (圖b) (圖c)
(4)如圖，小明從A村到B村去取魚蟲，將魚蟲放到河里，請(qǐng)作出小明經(jīng)過(guò)的最短路線．
27.如圖所示，如果OA⊥OC,O是垂足，OB是一條射線，且∠AOB:∠AOC=2:3,求∠BOC的度數(shù)。
28.如圖，MN⊥AB,垂足為M,MC平分∠AMD, ∠BMD=440,求∠CMN的度數(shù)。
29.如圖，已知直線AB、CD、EF相交于O，OG⊥AB，且∠FOG=32，∠COE=38，求∠BOD．
30.如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，，，OC平分．
⑴求的度數(shù)；⑵求的度數(shù)．
課后練習(xí)：
1.判斷下列語(yǔ)句是否正確?(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“”)
(1)兩條直線相交，若有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線互相垂直． ( )．
(2)若兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角相等，則這兩條直線互相垂直． ( )．
(3)一條直線的垂線只能畫一條． ( )．
(4)平面內(nèi)，過(guò)線段AB外一點(diǎn)有且只有一條直線與AB垂直． ( )．
(5)度量直線l外一點(diǎn)到直線l的距離． ( )．
(6)點(diǎn)到直線的距離，是過(guò)這點(diǎn)畫這條直線的垂線，這點(diǎn)與垂足的距離． ( )．
(7)畫出點(diǎn)A到直線l的距離． ( )．
(8)在三角形ABC中，若∠B=90，則AC＞AB． ( )．
2.若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC=α，則∠AOD等于( )．
A.1800-2a B.1800-a C. D.2-90
3.下列說(shuō)法，錯(cuò)誤的是 .( )
A.垂線段最短 B.對(duì)頂角相等 C.同位角相等 D.一個(gè)銳角的補(bǔ)角大于這個(gè)銳角
4.直線a上一點(diǎn)A與a外一點(diǎn)B的距離為2，與a外一點(diǎn)C的距離為3，則點(diǎn)B到a的距離d1與點(diǎn)C到直線a的距離d2的關(guān)系是 .
A.d1< d2 B.d1= d2 C.d1> d2 D.以上都有可能
5.如果∠AOB和∠BOC互補(bǔ)，則∠AOB和∠BOC的角平分線關(guān)系是 .( )
A.垂直 B.相交但不垂直 C.重合 D.以上三種情況都有可能
6.點(diǎn)P是直線l,點(diǎn) A、B、C 為直線l上三點(diǎn),PA=5cm,PB=4cm,PC=3cm,則點(diǎn)P到直線l的距離( )
A.等于4cm B.等于3cm C.小于3cm D.不大于3cm
7.如圖，直線a、b相交，∠1=120，則∠2＋∠3=（ ?。?
A.60 B.90 C.120 D.180
8.如圖，直線a、b、c兩兩相交，共構(gòu)成 對(duì)對(duì)頂角.
9.如圖，直線a，b，c交于O，∠1=30，∠2=50，則∠3=________．
10.如圖，CB⊥AB，∠CBA與∠CBD的度數(shù)比是5:1，則∠DBA＝_____度，∠CBD的補(bǔ)角是______度
11.如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O,OE⊥AB于O,∠EOC=280,則∠AOD= 度。
12.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，點(diǎn)A到BC邊的距離是線段_____的長(zhǎng)，點(diǎn)B到CD邊的距離是線段_____的長(zhǎng)，圖中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。
13.已知點(diǎn)O直線AB上一點(diǎn)，OD平分， OE平分，試說(shuō)明.
證明 ：點(diǎn)O在直線AB上，
( )
OD平分， OE平分，
____，( )
即.
∴( ).
14.如圖，EOF為一條直線，∠AOB=∠COD=900，OE平分∠COB，∠EOB=15030′，求∠AOF.
15.已知：如圖，三條直線AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF,∠AOE=700，若OG平分∠BOF，求∠DOG．
能力提高：
1.如圖所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a, BC=b,則BD的范圍是( )
A.大于a B.小于b C.大于a或小于b D.大于b且小于a
2.如圖，BC⊥AC，AD⊥CD，AB=m，CD=n，則AC的長(zhǎng)的取值范圍是( )．
A.AC＜m B.AC＞n C.n≤AC≤m D.n＜AC＜m
3.如圖，AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，能表示點(diǎn)到直線(或線段)的距離的線段有( )條．A.3 B.4 C.7 D.8
4.若直線a與直線b相交于點(diǎn)A，則直線b上到直線a距離等于2cm的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )．
A.0 B.1 C.2 D.3
5.OC把∠AOB分成兩部分：①∠AOC=直角＋∠BOC;②∠BOC=平角-∠AOC.
問(wèn)：（1）OA與OB的位置關(guān)系怎樣？（2）OC是否為∠AOB的平分線？并寫出判斷的理由。
6.回答下列問(wèn)題：
(1)三條直線AB、CD、EF兩兩相交，圖形中共有幾對(duì)對(duì)頂角(平角除外)?幾對(duì)鄰補(bǔ)角?
(2)四條直線AB、CD、EF、GH兩兩相交，圖形中共有幾對(duì)對(duì)頂角(平角除外)?幾對(duì)鄰補(bǔ)角?
(3)m條直線a1、a2、a3，……，am－1，am相交于點(diǎn)O，則圖中一共有幾對(duì)對(duì)頂角(平角除外)?幾對(duì)鄰補(bǔ)角?
7.從點(diǎn)O引出四條射線OA、OB、OC、OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，試探索∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系．
8.一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互為鄰角，過(guò)頂點(diǎn)作公共邊的垂線，若此垂線與銳角的另一邊構(gòu)成直角，與鈍角的另一邊構(gòu)成直角，則此銳角與鈍角的和等于直角的多少倍?
第2課 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
“三線八角”
兩條直線被第三條線所截，可得八個(gè)角，即“三線八角”，如圖所示。
（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，
直線a,b的同一方，這樣位置的一對(duì)角就是同位角。圖中的同位角
還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。
（2）內(nèi)錯(cuò)角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，
直線a,b的兩方，這樣位置的一對(duì)角就是內(nèi)錯(cuò)角。圖中的內(nèi)錯(cuò)角
還有∠4與∠6。
（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，
直線a,b的兩方，這樣位置的一對(duì)角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。
平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
注意：
（1）在平行線的定義中，“在同一平面內(nèi)”是個(gè)重要前提；
（2）必須是兩條直線；
（3）同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是：相交或平行，兩條互相重合的直線視為同一條直線。
兩條直線的位置關(guān)系是以這兩條直線是否在同一平面內(nèi)以及它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類的。
平行線的表示方法：
平行用“∥”表示，直線AB與直線CD平行，記作AB∥CD，讀作AB 平行于CD。
平行線的畫法：（平移法）
平行線的基本性質(zhì)：
（1）平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。
（2）平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。
(3)行線間的距離，即平行線間的距離處處相等.
例1.如下圖所示，直線DE、BC被直線AB所截，問(wèn)∠1與∠4，∠2與∠4，∠3與∠4各是什么角？
例2.如圖，判斷下列角之間的關(guān)系：
（1）∠1與∠2是兩條直線______與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。
（2）∠1與∠3是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。
（3）∠3與∠4是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。
（4）∠5與∠6是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。
課堂練習(xí)：
1.圖中，∠1和∠2是同位角的是( )
2.如圖，判斷錯(cuò)誤的是 （ ）
A.∠1和∠7是同旁內(nèi)角 B.∠3和∠4是同位角 C.∠5和∠6是對(duì)頂角 D.∠8和∠1是內(nèi)錯(cuò)角
3.如圖，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
A.是同位角 B.是同旁內(nèi)角 C.是同位角 D.是內(nèi)錯(cuò)角
4.如圖，下面結(jié)論正確的是（ ）
A.是同位角 B.是內(nèi)錯(cuò)角 C.是同旁內(nèi)角 D.是內(nèi)錯(cuò)角
5.如圖，圖中同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)是（ ）
A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì)
6.如圖，能與構(gòu)成同位角的有（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
7.如圖，若直線a、b被直線c所截，在所構(gòu)成的八個(gè)角中指出，下列各對(duì)角之間是屬于哪種特殊位置關(guān)系的角?
(1)∠1與∠2是______；(2)∠5與∠7是______；
(3)∠1與∠5是______；(4)∠5與∠3是______；
(5)∠5與∠4是______；(6)∠8與∠4是______；
(7)∠4與∠6是______；(8)∠6與∠3是______；
(9)∠3與∠7是______；(10)∠6與∠2是______．
8.如圖：(1)∠D的同位角是 ;(2)∠D的內(nèi)錯(cuò)角是 ;(3)∠D的同旁內(nèi)角是______．
9.已知如圖，
①∠1與∠2是_______被_______所截成的_______角；
②∠2與∠3是_______被_______截成的_______角；
?、邸?與∠A是_______被_______截成的_______角；
④AB、AC被BE截成的同位角_______，內(nèi)錯(cuò)角_______，同旁內(nèi)角_______；
?、軩E、BC被AB截成的同位角是_______，內(nèi)錯(cuò)角_______，同旁內(nèi)角_______．
10.如圖, ∠1和∠2是 角, ∠3和 是內(nèi)錯(cuò)角, ∠4和∠5是 角.
11.如圖,∠1的同位角是_______________,∠1的內(nèi)錯(cuò)角是_______________,∠1的同旁內(nèi)角是_______________.
12.如圖,直線截直線所得的同位角有_______________對(duì),它是_______________;內(nèi)錯(cuò)角有_______________對(duì),它們是_______________;同旁內(nèi)角有_______________對(duì),它們是_______________;對(duì)頂角有_______________對(duì),它們是_______________.
課后練習(xí)：
1.如圖，∠1和∠2是同位角的是 .（ ）
2.如圖，下列結(jié)論正確的是( )
(A)∠5與∠2是對(duì)頂角 (B)∠1與∠3是同位角 (C)∠2與∠3是同旁內(nèi)角 (D)∠1與∠2是同旁內(nèi)角
3.如圖，∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，可看成是由直線( )
(A)AD、BC被AC所截構(gòu)成 (B)AB、CD被AC所截構(gòu)成
(C)AB、CD被AD所截構(gòu)成 (D)AB、CD被BC所截構(gòu)成
4.如圖，圖中的內(nèi)錯(cuò)角的對(duì)數(shù)是（ ）
A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì)
5.如圖所示，
(1)∠B和∠ECD可看成是直線AB、CE被直線______所截得的______角；
(2)∠A和∠ACE可看成是直線______、______被直線______所截得的______角．
6.如圖所示，
(1)∠AED和∠ABC可看成是直線______、______被直線______所截得的______角；
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直線______、______被直線______所截得的______角；
(3)∠EDC和∠C可看成是直線______、______被直線______所截得的______角．
7.如圖，已知四條直線AB、AC、DE、FG
（1）∠1與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
(2) ∠3與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
(3) ∠5與∠6是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
(4) ∠4與∠7是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
(5) ∠8與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
8.指出圖中，
① ∠ 2和∠ 5的關(guān)系是___________； ② ∠ 3和∠ 5的關(guān)系是___________；
③ ∠ 2和____是直線____、______被_____所截，形成的同位角；
④ ∠ 1和∠ 4呢?∠ 3和∠ 4呢?∠ 6和∠ 7是對(duì)頂角嗎?
9.如圖，∠BEF的同位角是 ，內(nèi)錯(cuò)角是 ，同旁內(nèi)角是 .
10.如圖，∠1和∠C是直線 和直線 被直線 截成的 .
11.如圖，∠1和∠2是直線 和 被直線 所截成的 .
能力提高：
1.如圖，直線AB、CD與直線EF、GH分別相交，圖中的同旁內(nèi)角共有( )對(duì)．
(A)4對(duì) (B)8對(duì) (C)12對(duì) (D)16對(duì)
2.如圖,與∠C是同旁內(nèi)角的有( )個(gè).
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如果∠1與∠2互為補(bǔ)角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是( ).
A.(∠1+∠2) B.∠1 C.(∠1-∠2) D.∠2
第3課 平行線的判定
平行線的判定方法：
（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。
（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。
（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。
（4）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。
（5）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。
例1.已知：如圖，請(qǐng)分別依據(jù)所給出的條件，判定相應(yīng)的哪兩條直線平行?并寫出推理的根據(jù)．
(1)如果∠2=∠3，那么____________.(____________，____________)
(2)如果∠2=∠5，那么____________.(____________，____________)
(3)如果∠2+∠1=1800，那么____________.(____________，____________)
(4)如果∠5=∠3，那么____________.(____________，____________)
(5)如果∠4+∠6=1800，那么____________.(____________，____________)
(6)如果∠6=∠3，那么____________.(____________，____________)
例2.如圖，已知：∠1+∠2=1800，∠3=78，求∠4的大小
例3.如圖，已知∠AMF=∠BNG=750，∠CMA=550，求∠MPN的大小。
例4.如圖，∠1與∠3為余角，∠2與∠3的余角互補(bǔ)，∠4=1150，CP平分∠ACM，求∠PCM
例5.如圖，DE，BE 分別為∠BDC，∠DBA的平分線，∠DEB=∠1+∠2。
（1）求證：AB∥CD；（2）求證：∠DEB=900。
課堂練習(xí)：
1.已知直線a與直線c的夾角等于直線b與直線c的夾角，則直線a和直線b的位置關(guān)系是( ).
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能確定
2.下列與垂直相交的洗法:①平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線互相平行; ②一條直線如果它與兩條平行線中的一條垂直,那么它與另一條也垂直;③平行內(nèi), 一條直線不可能與兩條相交直線都垂直,其中說(shuō)法錯(cuò)誤個(gè)數(shù)有( )
A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)
3.如圖，要得到a∥b，則需要條件（ ?。?
A.∠2=∠4 B. ∠1+∠3=180 C.∠1+∠2=180 D. ∠2=∠3
4.如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（ ）
A. 同位角相等，兩直線平行 B. 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D. 兩直線平行，同位角相等
5.已知：如圖，請(qǐng)分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
(1)∵∠B=∠3(已知)，∴______∥______.(______，______)
(2)∵∠1=∠D(已知)，∴______∥______.(______，______)
(3)∵∠2=∠A(已知)，∴______∥______.(______，______)
(4)∵∠B＋∠BCE=180(已知)，∴______∥______.(______，______)
6.已知：如圖，∠1=∠2，求證：AB∥CD．
(方法一)分析：如圖，欲證AB∥CD，只要證∠1=______．
證法1：
∵∠1=∠2，(已知)
又∠3=∠2，( )
∴∠1=______．( )
∴AB∥CD．( ， )
(方法二)分析：如圖，欲證AB∥CD，只要證∠3=∠4．
證法2：
∴∠4=∠1，∠3=∠2，( )
又∠1=∠2，(已知)
從而∠3=______．( )
∴AB∥CD．( ， )
7.已知：如圖，∠1=∠2，∠3=110，求∠4的度數(shù)．
解題思路分析：欲求∠4，需先證明______//______.
解：∵∠1＝∠2，( )
∴______//______.( ， )
∴∠4＝______＝______.( ， )
8.如圖，當(dāng)∠1=∠_____時(shí)，AB∥CD；當(dāng)∠D＋∠_____=180時(shí)，AB∥CD；當(dāng)∠B=∠_____時(shí)，AB∥CD。
9.已知：如圖，。求證：。
證明：（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
10.如圖,AB⊥BD,CD⊥MN,垂足分別是B、D點(diǎn),∠FDC=∠EBA.
(1)判斷CD與AB的位置關(guān)系;(2)BE與DE平行嗎?為什么?
11.如圖,∠1+∠2=180,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.
(1)AE與FC會(huì)平行嗎?說(shuō)明理由.
(2)AD與BC的位置關(guān)系如何?為什么?
(3)BC平分∠DBE嗎?為什么.
課后練習(xí)：
1. 已知：如圖，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，試確定射線DF與AE的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．
(1)問(wèn)題的結(jié)論：DF______AE．
(2)證明思路分析：欲證DF______AE，只要證∠3＝______．
(3)證明過(guò)程：
證明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( )
∴∠CDA＝∠DAB＝______．(垂直定義)
又∠1＝∠2，( )
從而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性質(zhì))
即∠3＝______.
∴DF______AE．(___________，___________)
2.已知：如圖，∠ABC=∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3．求證：AB∥DC．
證明∵∠ABC=∠ADC，
∴( )
又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，
∴( )
∵∠______＝∠______.( )
∵∠1＝∠3，( )
∴∠2＝______．(等量代換)
∴______∥______.( )
3.已知：如圖，∠1=∠2，∠3+∠4=180，試確定直線a與直線c的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．
(1)問(wèn)題的結(jié)論：a______c．
(2)證明思路分析：欲證a______c，只要證______∥______．
(3)證明過(guò)程：
證明：∵∠1=∠2，( )
∴a∥______，(_________，_________)①
∵∠3＋∠4=180
∴c∥______，(_________，_________)②
由①、②，因?yàn)閍∥______，c∥______，
∴a______c.(_________，_________)
4.如圖，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G, ∠1=∠2,試問(wèn)ED∥BC嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。
5.如圖，CD∥AB,∠DCB=700，∠CBF=200，∠EFB=1300，問(wèn)直線EF與CD有怎樣的位置關(guān)系，為什么？
6.如圖，已知∠1+∠2=1800，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行說(shuō)理．
能力提高：
1.將一副三角板如圖放置，使點(diǎn)A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的度數(shù)為（ ?。?
A.45 B.50 C.60 D.75
2.學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過(guò)己知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線的新方法，她是通過(guò)折一張半透明的紙得到的（如圖（1）～（4）），從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（ ?。?
①兩直線平行，同位角相等； ②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
③同位角相等，兩直線平行； ④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
3.如圖，∠ADC=∠ABC， ∠1＋∠2=180，AD為∠FDB的平分線，說(shuō)明：BC為∠DBE的平分線。
4.已知：如圖，∠1=∠2,∠3=∠B,AC∥DE,，且B、C、D在一條直線上。求證：AE∥BD.
5.已知：如圖，∠E=∠F,∠1=∠2.求證：∠BAP+∠APD=1800.
6.已知：如圖，。求證：
7.如圖，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=400，∠D=300，求∠NMP的度數(shù)。
第4課 平行線的性質(zhì)
平行線的性質(zhì)：
（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)記：兩直線平行，同位角相等。
（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)記：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)記：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
例1.已知：如圖，請(qǐng)分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
(1)如果AB∥EF，那么∠2=______，理由是_____________________________________.
(2)如果AB∥DC，那么∠3=______，理由是____________________________________.
(3)如果AF∥BE，那么∠1+∠2=______，理由是_______________________________.
(4)如果AF∥BE，∠4=120，那么∠5=______，理由是________________________.
例2.已知：如圖，DE∥AB．請(qǐng)根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，分別得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
(1)∵DE∥AB，( )
∴∠2=______.( ， )
(2)∵DE∥AB，( )
∴∠3=______.( ， )
(3)∵DE∥AB( )，
∴∠1＋______=180．( ， )
例3.如圖所示，AB//CD，A=1350，E=800。求CDE的度數(shù)。
例4.如圖，已知：∠BAP與∠APD 互補(bǔ)，∠1=∠2，說(shuō)明：∠E=∠F.
例5.如圖，已知AB∥CD，P為HD上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線交HF于O點(diǎn)，試問(wèn)：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎樣的關(guān)系？用式子表示并證明。
例6.如圖，已知AB∥CD，說(shuō)明：∠B＋∠BED＋∠D=360.
例7.已知：如圖，E、F分別是AB和CD上的點(diǎn)，DE、AF分別交BC于G、H,A=D,1=2,
求證：B=C。
課堂練習(xí)：
1.下列語(yǔ)句:①三條直線只有兩個(gè)交點(diǎn),則其中兩條直線互相平行; ②如果兩條平行線被第三條截,同旁內(nèi)角相等,那么這兩條平行線都與第三條直線垂直; ③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,
其中( )
A.①、②是正確的命題 B.②、③是正確命題 C.①、③是正確命題 D.以上結(jié)論皆錯(cuò)
2.如圖,如果AB∥CD,那么圖中相等的內(nèi)錯(cuò)角是( )
A.∠1與∠5,∠2與∠6 B.∠3與∠7,∠4與∠8 C.∠5與∠1,∠4與∠8 D.∠2與∠6,∠7與∠3
3.如圖，AB∥ED，則∠A+∠C+∠D=（ ?。?
A. 180 B. 270 C. 360 D. 540
4.如圖，AB∥CD，則結(jié)論：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠1+∠3=∠2+∠4中正確的是（ ）
A.只有（1） B.只有（2） C.（1）和（2） C.（1）（2）（3）
5.如圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，則圖中與∠1相等的角（不包括∠1）的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
6.如圖，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=1100，則∠ECD的度數(shù)為（ ）
A.110 B.70 C.55 D.35
7.如圖，如果DE∥BC，那么圖中互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)是（ ）
A. 2對(duì) B. 3對(duì) C. 4對(duì) D. 5對(duì)
8.如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，而其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少300，那么這兩個(gè)角是（ ）
A.420,1380 B. 都是100 C.420,1380 或420,100 D.以上都不對(duì)
9.已知：如圖，∠1+∠2=180，求證：∠3=∠4．
證明思路分析：欲證∠3=∠4，只要證______//______.
證明：∵∠1＋∠2=180，( )
∴______//______.( ， )
∴∠3=∠4．( ， )
10.已知：如圖，∠A=∠C，求證：∠B=∠D．
證明思路分析：欲證∠B=∠D，只要證______//______.
證明：∵∠A=∠C，( )
∴______//______.( ， )
∴∠B＝∠D．( ， )
11.已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠B，求證：CD是∠BCE的平分線．
證明思路分析：欲證CD是∠BCE的平分線，只要證______//______.
證明：∵AB∥CD，( )
∴∠2=______.( ， )
但∠1=∠B，( )
∴______=______.(等量代換)
即CD是_______________________.
12.已知：如圖，AB∥CD，∠B＝35，∠1＝75，求∠A的度數(shù)．
解題思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大?。?
解：∵CD∥AB，∠B=35，( )
∴∠2＝∠______=______( ， )
而∠1＝75，
∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______。
∵CD∥AB，( )
∴∠A＋______＝180．( ， )
∴∠A＝______=______.
13.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B=50．求∠D的度數(shù)．
分析：可利用∠DCE作為中間量過(guò)渡．
解：∵AB∥CD，∠B=50，( )
∴∠DCE=∠______=______(_________，_________)
又∵AD∥BC，( )
∴∠D＝∠______=______(_________，_________)
想一想：如果以∠A作為中間量，如何求解?
解法2：∵AD∥BC，∠B=50，( )
∴∠A＋∠B=______.(_________，_________)
即∠A＝______-______=______-______=______.
∵DC∥AB，( )
∴∠D＋∠A=______.(_________，_________)
即∠D＝______-______=______-______=______.
14.已知：如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數(shù)．
解：過(guò)P點(diǎn)作PM∥AB交AC于點(diǎn)M．
∵AB∥CD，( )
∴∠BAC＋∠______=180( )
∵PM∥AB，
∴∠1=∠______，( )
且PM∥______。(平行于同一直線的兩直線也互相平行)
∴∠3=∠______。(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，( )
( )
( )
∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90( )
總結(jié)：兩直線平行時(shí)，同旁內(nèi)角的角平分線______。
15.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，你能發(fā)現(xiàn)BE和CF有怎樣的位置關(guān)系么？并證明你的結(jié)論。
16.如圖：（1）若AE平分∠CAD，AE∥BC，則∠B=∠C。（2）若∠B=∠C，AE∥BC，則AE平分∠CAD。
17.求證：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行．
課后練習(xí)：
1.如圖，AD∥BC，∠1=600，∠2=500，則∠A=（ ），∠CBD=（ ），∠ADB=（ ），
∠A＋∠ADB＋∠2=（ ）
2.如圖，AB∥CD，直線l平分∠AOE，∠1=40，則∠2=________
3.如圖，a∥b，AB⊥a垂足為O，BC與b相交于點(diǎn)E，若∠1=43，則∠2=
4.如圖,直線a、b被C所截,a⊥L于M,b⊥L于N,∠1=66,則∠2=_______
5.在同一平面內(nèi)有三條直線a、b、c，已知a∥b，且c⊥a，則b與c的位置關(guān)系是 。
6.如圖，由A測(cè)B的方向是 ，由B測(cè)A的方向是
7.某人在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛方向與原來(lái)相同，這兩次拐彎的角度可能是( )
A.第一次左拐30，第二次右拐30 B.第一次右拐50，第二次左拐130
C.第一次右拐50，第二次右拐130 D.第一次向左拐50，第二次向左拐130
8.如圖，∵∠1=∠2∴ ∥ （ ）
∴∠D= （ ）
又∵∠D=∠3（已知）
∴∠ =∠ （ ）
∴ ∥ （ ）
9.如圖所示，已知∠AOB=50，PC∥OB，PD平分∠OPC，則∠APC=___，∠PDO=______
10.如圖,MN⊥AB,垂足為M點(diǎn),MN交CD于N,過(guò)M點(diǎn)作MG⊥CD,垂足為G,EF 過(guò)點(diǎn)N點(diǎn),且EF∥AB,交MG于H點(diǎn),其中線段GM的長(zhǎng)度是________到________的距離, 線段MN的長(zhǎng)度是________到________的距離,又是_______的距離,點(diǎn)N到直線MG 的距離是___.
11.如圖,AD∥BC,EF∥BC,BD平分∠ABC,圖中與∠ADO相等的角有_______ 個(gè),分別是___________.
12.已知：如圖，已知DE∥BC，∠D:∠DBC=2:1，∠1:∠2，求∠E的度數(shù)．
13.小張從家（圖中A處）出發(fā)，向南偏東40方向走到學(xué)校（圖中B處），再?gòu)膶W(xué)校出發(fā)，向北偏西75的方向走到小明家（圖中C處），試問(wèn)∠ABC為多少度？說(shuō)明你的理由。
14.如圖，AB∥CD，∠ABE=∠FCD，∠F=40，求∠E的度數(shù)。
15.已知，∠DBF：∠ABF：∠BFC=1：2：3，AB∥CD，說(shuō)明：BA平分∠EBF.
能力提高：
1.如圖，AB∥CD，∠E=40，∠C=65，則∠EAB的度數(shù)為（ ）
A．65 B．75
收藏
- 資源描述：
-
七年級(jí)數(shù)學(xué) 寒假教材
第五章 相交線與平行線
第1課 相交線
鄰補(bǔ)角：一條邊公共，另一條邊互為反向延長(zhǎng)線。具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角。
注意：鄰補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種特殊情況，數(shù)量上互補(bǔ)，位置上有一條公共邊，而互補(bǔ)的角與位置無(wú)關(guān)。
對(duì)頂角：有公共的頂點(diǎn)，兩邊互為反向延長(zhǎng)線。具有這種位置關(guān)系的角，互為對(duì)頂角。
注意：對(duì)頂角形成的前提條件是兩條直線相交，而鄰補(bǔ)角不一定是兩條直線相交形成的；每個(gè)角的對(duì)頂角只有一個(gè)，而每個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)。
兩直線相交，有4對(duì)鄰補(bǔ)角；2對(duì)對(duì)頂角
對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等
垂線：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。
注意：①兩條直線相交所成的四個(gè)角相等;
②兩條直線相交,有一組鄰補(bǔ)角相等;
③兩條直線相交,對(duì)頂角互補(bǔ).都可以判斷這兩條直線互相垂直
垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“過(guò)一點(diǎn)”中的“點(diǎn)”在直線上或在直線外。
垂線的性質(zhì)：性質(zhì)2 垂線段最短.
畫出PA在擺動(dòng)過(guò)程中的幾個(gè)位置，如圖，點(diǎn)A1、A2、A3……在l上,連接PA1、PA2、PA3……，PO⊥ l，垂足為O，用疊合法或度量法比較PO、PA1、PA2、PA3……的長(zhǎng)短，可知垂線段PO最短。
點(diǎn)到直線的距離：連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離，這里我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫做點(diǎn)到直線的距離.如上圖，PO就是點(diǎn)P到直線l的距離。
注意：點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離一樣是一個(gè)正值，是一個(gè)數(shù)量，所以不能畫距離，只能量距離。
垂線的畫法：
畫已知線段或射線的垂線：
（1）垂足在線段或射線上；（2）垂足在線段的延長(zhǎng)線或射線的反向延長(zhǎng)線上
例1.下圖中直線AB、CD相交于O，∠BOC的對(duì)頂角是 ，鄰補(bǔ)角是
例2.一個(gè)角的對(duì)頂角有 個(gè)，鄰補(bǔ)角最多有 個(gè)，而補(bǔ)角則可以有 個(gè)。
例3.判斷正確與錯(cuò)誤,如果正確,請(qǐng)說(shuō)明理由,若錯(cuò)誤,請(qǐng)訂正.
(1)直線外一點(diǎn)與直線上的一點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度是這一點(diǎn)到這條直線的距離.
(2)如圖,線段AE是點(diǎn)A到直線BC的距離.
(3)如圖,線段CD的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線AB的距離.
（4）過(guò)直線外一點(diǎn)畫直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離；
（5）從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離；
（6）兩條直線相交，若有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線互相垂直；
（7）兩條直線的位置關(guān)系要么相交，要么平行。
例4.如圖，過(guò)鈍角頂點(diǎn)B作AB、BC、CA的垂線，分別交于AC于D、E、F，并指出所畫三條垂線的垂足。
例5.如圖，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，MN分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊。
（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近，行駛到點(diǎn)Q位置時(shí)，距離村莊N最近，請(qǐng)?jiān)趫D中的AB上分別畫出點(diǎn)P、Q的位置；
（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在哪一個(gè)位置到村莊M、N的路程之和最短？請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出這個(gè)位置。
例6.已知：如圖，直線a、b、c兩兩相交，∠1=2∠3，∠2=860，求∠4的度數(shù)．
例7.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,OD平分∠BOF,EO⊥CD于O,∠EOF=1180,求∠COA的度數(shù)。
例8.如圖,O是直線AB上的一點(diǎn)，OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線，求證：OD⊥OE.
例9.已知,如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:∠DOE=4:1,求∠AOF的度數(shù)．
課堂練習(xí)：
1.判斷正誤
(1)如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角． ( )．
(2)如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒(méi)有公共邊，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角． ( )．
(3)有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角． ( )．
(4)如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互為補(bǔ)角． ( )．
(5)對(duì)頂角的角平分線在同一直線上． ( )．
(6)有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角． ( )．
2.如圖所示，直線l1，l2，l3相交于一點(diǎn)，則下列答案中，全對(duì)的一組是( )．
A.∠1=900，∠2=300，∠3=∠4=600； B.∠1=∠3=900，∠2=∠4=30
C.∠1=∠3=900，∠2=∠4=60 D.∠1=∠3=900，∠2=600，∠4=30
3.如圖所示,∠1和∠2是對(duì)頂角的圖形有( )
4.在兩條直線相交所成的四個(gè)角中，( )不能判定這兩條直線垂直
A.對(duì)頂角互補(bǔ) B.四對(duì)鄰補(bǔ)角 C.三個(gè)角等 D.鄰補(bǔ)角相等
5.互為鄰補(bǔ)角的角平分線關(guān)系是 . ( )
A.互相垂直 B.相交而不垂直 C.成一條直線 D.以上都有可能
6.直線a、b、c相交于點(diǎn)O，則圖中對(duì)頂角共有( )
A.6對(duì) B.5對(duì) C.4對(duì) D.3對(duì)
7.下列說(shuō)法正確的是( )
A.相等的角是對(duì)頂角 B.一個(gè)角的鄰補(bǔ)角只有一個(gè)
C.補(bǔ)角即為鄰補(bǔ)角 D.對(duì)頂角的平分線在一條直線上
8.如圖,直線AB和CD相交于點(diǎn)O,若∠AOD與∠BOC的和為236,則∠AOC的度數(shù)為( )
A.62 B.118 C.72 D.59
9.點(diǎn)到直線的距離是指 .( )
A.直線外一點(diǎn)與這條直線上一點(diǎn)所連結(jié)的線段
B.直線外一點(diǎn)與這條直線上任一點(diǎn)所連結(jié)的線段的長(zhǎng)度
C.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段
D.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長(zhǎng)度
10.如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是( )毛
A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB; B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC
C.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段; D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段
11.如圖，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，則下列關(guān)系不成立的是( )
A．AB>AC>AD B．AB>BC>CD C．AC+BC>AB D．AC>CD>BC
12.點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn),點(diǎn)A,B,C為直線m上三點(diǎn),PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點(diǎn)P到直線m的距離為( )
A.4cm B.2cm C.小于2cm D.不大于2cm
13.如圖，直線AB、CD相交于O點(diǎn)，∠AOE=90，
①∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互為_(kāi)_____角；∠2和∠3互為_(kāi)_____角；∠1和∠3互為_(kāi)_____角；∠2和∠4互為_(kāi)_____角．
②若∠1＝20，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______=______-______=______；
∠4＝∠______-∠1＝______-______=______.
14.如圖，直線AB與CD相交于O點(diǎn)，且∠COE=90，則
①與∠BOD互補(bǔ)的角有________________________________________；
②與∠BOD互余的角有________________________________________；
③與∠EOA互余的角有________________________________________；
④若∠BOD=42017′，則∠AOD＝______；∠EOD＝_____；∠AOE＝_____.
15.如圖所示,直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O,則∠AOD的對(duì)頂角是 ,∠AOC的鄰補(bǔ)角是
若∠AOC=50,則∠BOD= ,∠COB= .
16.如圖，AB⊥CD,垂足為O,EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且∠3＝260，則∠1＝ .
17.如圖，線段 的長(zhǎng)度表示點(diǎn)D到直線BC的距離，線段 的長(zhǎng)度表示點(diǎn)B到直線CD的距離，線段 的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A、B之間的距離。
18.如圖, ∠1和∠2互為余角,EF⊥AB，則∠1= ；∠2= .
19.如圖，直線AB、CD、EF相交于O點(diǎn)，則∠AOC= ，∠COE= ，∠AOC的鄰補(bǔ)角是 .
20.直線AB、CD相交于點(diǎn)O，
⑴如果∠AOC+∠BOD=1000，那么∠AOD= ；⑵如果∠B0C比∠AOC的2倍大300，那么∠AOC= .
21.直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，⑴∠BOE的鄰補(bǔ)角是___________；⑵∠DOA的對(duì)頂角是___________；⑶如果∠AOC=500，那么∠BOD= ，∠COB= .
22.如圖，∠AOB是直角，C、O、D三點(diǎn)共線，∠AOC=25，則∠AOC的余角的補(bǔ)角為 .
23.下列說(shuō)法：①一條直線有且只有一條垂線；②畫出點(diǎn)P到直線l的距離；③兩條直線相交就是垂直；④線段和射線也有垂線，其中正確的有 .
24.三角形ABC中，∠C=900，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，那么點(diǎn)B到直線 AC的距離是___________，
A、B兩點(diǎn)的距離是________.
25.如圖，已知，，試說(shuō)明.
證明：∵，，
∴( )
∴
==________.
26.按要求畫圖：
(1）如圖，過(guò)A點(diǎn)作CD⊥MN，過(guò)A點(diǎn)作PQ⊥EF于B．
(圖a) (圖b) (圖c)
(2)如圖，過(guò)A點(diǎn)作BC邊所在直線的垂線EF，垂足是D，并量出A點(diǎn)到BC邊的距離．
(圖a) (圖b) (圖c)
(3)如圖，已知∠AOB及點(diǎn)P，分別畫出點(diǎn)P到射線OA、OB的垂線段PM及PN．
(圖a) (圖b) (圖c)
(4)如圖，小明從A村到B村去取魚蟲，將魚蟲放到河里，請(qǐng)作出小明經(jīng)過(guò)的最短路線．
27.如圖所示，如果OA⊥OC,O是垂足，OB是一條射線，且∠AOB:∠AOC=2:3,求∠BOC的度數(shù)。
28.如圖，MN⊥AB,垂足為M,MC平分∠AMD, ∠BMD=440,求∠CMN的度數(shù)。
29.如圖，已知直線AB、CD、EF相交于O，OG⊥AB，且∠FOG=32，∠COE=38，求∠BOD．
30.如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，，，OC平分．
⑴求的度數(shù)；⑵求的度數(shù)．
課后練習(xí)：
1.判斷下列語(yǔ)句是否正確?(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“”)
(1)兩條直線相交，若有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線互相垂直． ( )．
(2)若兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角相等，則這兩條直線互相垂直． ( )．
(3)一條直線的垂線只能畫一條． ( )．
(4)平面內(nèi)，過(guò)線段AB外一點(diǎn)有且只有一條直線與AB垂直． ( )．
(5)度量直線l外一點(diǎn)到直線l的距離． ( )．
(6)點(diǎn)到直線的距離，是過(guò)這點(diǎn)畫這條直線的垂線，這點(diǎn)與垂足的距離． ( )．
(7)畫出點(diǎn)A到直線l的距離． ( )．
(8)在三角形ABC中，若∠B=90，則AC＞AB． ( )．
2.若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC=α，則∠AOD等于( )．
A.1800-2a B.1800-a C. D.2-90
3.下列說(shuō)法，錯(cuò)誤的是 .( )
A.垂線段最短 B.對(duì)頂角相等 C.同位角相等 D.一個(gè)銳角的補(bǔ)角大于這個(gè)銳角
4.直線a上一點(diǎn)A與a外一點(diǎn)B的距離為2，與a外一點(diǎn)C的距離為3，則點(diǎn)B到a的距離d1與點(diǎn)C到直線a的距離d2的關(guān)系是 .
A.d1< d2 B.d1= d2 C.d1> d2 D.以上都有可能
5.如果∠AOB和∠BOC互補(bǔ)，則∠AOB和∠BOC的角平分線關(guān)系是 .( )
A.垂直 B.相交但不垂直 C.重合 D.以上三種情況都有可能
6.點(diǎn)P是直線l,點(diǎn) A、B、C 為直線l上三點(diǎn),PA=5cm,PB=4cm,PC=3cm,則點(diǎn)P到直線l的距離( )
A.等于4cm B.等于3cm C.小于3cm D.不大于3cm
7.如圖，直線a、b相交，∠1=120，則∠2＋∠3=（ ）
A.60 B.90 C.120 D.180
8.如圖，直線a、b、c兩兩相交，共構(gòu)成 對(duì)對(duì)頂角.
9.如圖，直線a，b，c交于O，∠1=30，∠2=50，則∠3=________．
10.如圖，CB⊥AB，∠CBA與∠CBD的度數(shù)比是5:1，則∠DBA＝_____度，∠CBD的補(bǔ)角是______度
11.如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O,OE⊥AB于O,∠EOC=280,則∠AOD= 度。
12.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，點(diǎn)A到BC邊的距離是線段_____的長(zhǎng)，點(diǎn)B到CD邊的距離是線段_____的長(zhǎng)，圖中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。
13.已知點(diǎn)O直線AB上一點(diǎn)，OD平分， OE平分，試說(shuō)明.
證明 ：點(diǎn)O在直線AB上，
( )
OD平分， OE平分，
____，( )
即.
∴( ).
14.如圖，EOF為一條直線，∠AOB=∠COD=900，OE平分∠COB，∠EOB=15030′，求∠AOF.
15.已知：如圖，三條直線AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF,∠AOE=700，若OG平分∠BOF，求∠DOG．
能力提高：
1.如圖所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a, BC=b,則BD的范圍是( )
A.大于a B.小于b C.大于a或小于b D.大于b且小于a
2.如圖，BC⊥AC，AD⊥CD，AB=m，CD=n，則AC的長(zhǎng)的取值范圍是( )．
A.AC＜m B.AC＞n C.n≤AC≤m D.n＜AC＜m
3.如圖，AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，能表示點(diǎn)到直線(或線段)的距離的線段有( )條．A.3 B.4 C.7 D.8
4.若直線a與直線b相交于點(diǎn)A，則直線b上到直線a距離等于2cm的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )．
A.0 B.1 C.2 D.3
5.OC把∠AOB分成兩部分：①∠AOC=直角＋∠BOC;②∠BOC=平角-∠AOC.
問(wèn)：（1）OA與OB的位置關(guān)系怎樣？（2）OC是否為∠AOB的平分線？并寫出判斷的理由。
6.回答下列問(wèn)題：
(1)三條直線AB、CD、EF兩兩相交，圖形中共有幾對(duì)對(duì)頂角(平角除外)?幾對(duì)鄰補(bǔ)角?
(2)四條直線AB、CD、EF、GH兩兩相交，圖形中共有幾對(duì)對(duì)頂角(平角除外)?幾對(duì)鄰補(bǔ)角?
(3)m條直線a1、a2、a3，……，am－1，am相交于點(diǎn)O，則圖中一共有幾對(duì)對(duì)頂角(平角除外)?幾對(duì)鄰補(bǔ)角?
7.從點(diǎn)O引出四條射線OA、OB、OC、OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，試探索∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系．
8.一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互為鄰角，過(guò)頂點(diǎn)作公共邊的垂線，若此垂線與銳角的另一邊構(gòu)成直角，與鈍角的另一邊構(gòu)成直角，則此銳角與鈍角的和等于直角的多少倍?
第2課 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
“三線八角”
兩條直線被第三條線所截，可得八個(gè)角，即“三線八角”，如圖所示。
（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，
直線a,b的同一方，這樣位置的一對(duì)角就是同位角。圖中的同位角
還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。
（2）內(nèi)錯(cuò)角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，
直線a,b的兩方，這樣位置的一對(duì)角就是內(nèi)錯(cuò)角。圖中的內(nèi)錯(cuò)角
還有∠4與∠6。
（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，
直線a,b的兩方，這樣位置的一對(duì)角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。
平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
注意：
（1）在平行線的定義中，“在同一平面內(nèi)”是個(gè)重要前提；
（2）必須是兩條直線；
（3）同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是：相交或平行，兩條互相重合的直線視為同一條直線。
兩條直線的位置關(guān)系是以這兩條直線是否在同一平面內(nèi)以及它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類的。
平行線的表示方法：
平行用“∥”表示，直線AB與直線CD平行，記作AB∥CD，讀作AB 平行于CD。
平行線的畫法：（平移法）
平行線的基本性質(zhì)：
（1）平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。
（2）平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。
(3)行線間的距離，即平行線間的距離處處相等.
例1.如下圖所示，直線DE、BC被直線AB所截，問(wèn)∠1與∠4，∠2與∠4，∠3與∠4各是什么角？
例2.如圖，判斷下列角之間的關(guān)系：
（1）∠1與∠2是兩條直線______與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。
（2）∠1與∠3是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。
（3）∠3與∠4是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。
（4）∠5與∠6是兩條直線_____與_____被第三條直線_____所截構(gòu)成的________角。
課堂練習(xí)：
1.圖中，∠1和∠2是同位角的是( )
2.如圖，判斷錯(cuò)誤的是 （ ）
A.∠1和∠7是同旁內(nèi)角 B.∠3和∠4是同位角 C.∠5和∠6是對(duì)頂角 D.∠8和∠1是內(nèi)錯(cuò)角
3.如圖，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
A.是同位角 B.是同旁內(nèi)角 C.是同位角 D.是內(nèi)錯(cuò)角
4.如圖，下面結(jié)論正確的是（ ）
A.是同位角 B.是內(nèi)錯(cuò)角 C.是同旁內(nèi)角 D.是內(nèi)錯(cuò)角
5.如圖，圖中同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)是（ ）
A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì)
6.如圖，能與構(gòu)成同位角的有（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
7.如圖，若直線a、b被直線c所截，在所構(gòu)成的八個(gè)角中指出，下列各對(duì)角之間是屬于哪種特殊位置關(guān)系的角?
(1)∠1與∠2是______；(2)∠5與∠7是______；
(3)∠1與∠5是______；(4)∠5與∠3是______；
(5)∠5與∠4是______；(6)∠8與∠4是______；
(7)∠4與∠6是______；(8)∠6與∠3是______；
(9)∠3與∠7是______；(10)∠6與∠2是______．
8.如圖：(1)∠D的同位角是 ;(2)∠D的內(nèi)錯(cuò)角是 ;(3)∠D的同旁內(nèi)角是______．
9.已知如圖，
?、佟?與∠2是_______被_______所截成的_______角；
?、凇?與∠3是_______被_______截成的_______角；
③∠3與∠A是_______被_______截成的_______角；
?、蹵B、AC被BE截成的同位角_______，內(nèi)錯(cuò)角_______，同旁內(nèi)角_______；
?、軩E、BC被AB截成的同位角是_______，內(nèi)錯(cuò)角_______，同旁內(nèi)角_______．
10.如圖, ∠1和∠2是 角, ∠3和 是內(nèi)錯(cuò)角, ∠4和∠5是 角.
11.如圖,∠1的同位角是_______________,∠1的內(nèi)錯(cuò)角是_______________,∠1的同旁內(nèi)角是_______________.
12.如圖,直線截直線所得的同位角有_______________對(duì),它是_______________;內(nèi)錯(cuò)角有_______________對(duì),它們是_______________;同旁內(nèi)角有_______________對(duì),它們是_______________;對(duì)頂角有_______________對(duì),它們是_______________.
課后練習(xí)：
1.如圖，∠1和∠2是同位角的是 .（ ）
2.如圖，下列結(jié)論正確的是( )
(A)∠5與∠2是對(duì)頂角 (B)∠1與∠3是同位角 (C)∠2與∠3是同旁內(nèi)角 (D)∠1與∠2是同旁內(nèi)角
3.如圖，∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，可看成是由直線( )
(A)AD、BC被AC所截構(gòu)成 (B)AB、CD被AC所截構(gòu)成
(C)AB、CD被AD所截構(gòu)成 (D)AB、CD被BC所截構(gòu)成
4.如圖，圖中的內(nèi)錯(cuò)角的對(duì)數(shù)是（ ）
A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì)
5.如圖所示，
(1)∠B和∠ECD可看成是直線AB、CE被直線______所截得的______角；
(2)∠A和∠ACE可看成是直線______、______被直線______所截得的______角．
6.如圖所示，
(1)∠AED和∠ABC可看成是直線______、______被直線______所截得的______角；
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直線______、______被直線______所截得的______角；
(3)∠EDC和∠C可看成是直線______、______被直線______所截得的______角．
7.如圖，已知四條直線AB、AC、DE、FG
（1）∠1與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
(2) ∠3與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
(3) ∠5與∠6是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
(4) ∠4與∠7是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
(5) ∠8與∠2是直線_____和直線____被直線________所截而成的________角.
8.指出圖中，
① ∠ 2和∠ 5的關(guān)系是___________； ② ∠ 3和∠ 5的關(guān)系是___________；
③ ∠ 2和____是直線____、______被_____所截，形成的同位角；
④ ∠ 1和∠ 4呢?∠ 3和∠ 4呢?∠ 6和∠ 7是對(duì)頂角嗎?
9.如圖，∠BEF的同位角是 ，內(nèi)錯(cuò)角是 ，同旁內(nèi)角是 .
10.如圖，∠1和∠C是直線 和直線 被直線 截成的 .
11.如圖，∠1和∠2是直線 和 被直線 所截成的 .
能力提高：
1.如圖，直線AB、CD與直線EF、GH分別相交，圖中的同旁內(nèi)角共有( )對(duì)．
(A)4對(duì) (B)8對(duì) (C)12對(duì) (D)16對(duì)
2.如圖,與∠C是同旁內(nèi)角的有( )個(gè).
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如果∠1與∠2互為補(bǔ)角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是( ).
A.(∠1+∠2) B.∠1 C.(∠1-∠2) D.∠2
第3課 平行線的判定
平行線的判定方法：
（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。
（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。
（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。
（4）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。
（5）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。
例1.已知：如圖，請(qǐng)分別依據(jù)所給出的條件，判定相應(yīng)的哪兩條直線平行?并寫出推理的根據(jù)．
(1)如果∠2=∠3，那么____________.(____________，____________)
(2)如果∠2=∠5，那么____________.(____________，____________)
(3)如果∠2+∠1=1800，那么____________.(____________，____________)
(4)如果∠5=∠3，那么____________.(____________，____________)
(5)如果∠4+∠6=1800，那么____________.(____________，____________)
(6)如果∠6=∠3，那么____________.(____________，____________)
例2.如圖，已知：∠1+∠2=1800，∠3=78，求∠4的大小
例3.如圖，已知∠AMF=∠BNG=750，∠CMA=550，求∠MPN的大小。
例4.如圖，∠1與∠3為余角，∠2與∠3的余角互補(bǔ)，∠4=1150，CP平分∠ACM，求∠PCM
例5.如圖，DE，BE 分別為∠BDC，∠DBA的平分線，∠DEB=∠1+∠2。
（1）求證：AB∥CD；（2）求證：∠DEB=900。
課堂練習(xí)：
1.已知直線a與直線c的夾角等于直線b與直線c的夾角，則直線a和直線b的位置關(guān)系是( ).
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能確定
2.下列與垂直相交的洗法:①平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線互相平行; ②一條直線如果它與兩條平行線中的一條垂直,那么它與另一條也垂直;③平行內(nèi), 一條直線不可能與兩條相交直線都垂直,其中說(shuō)法錯(cuò)誤個(gè)數(shù)有( )
A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)
3.如圖，要得到a∥b，則需要條件（ ?。?
A.∠2=∠4 B. ∠1+∠3=180 C.∠1+∠2=180 D. ∠2=∠3
4.如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（ ）
A. 同位角相等，兩直線平行 B. 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D. 兩直線平行，同位角相等
5.已知：如圖，請(qǐng)分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
(1)∵∠B=∠3(已知)，∴______∥______.(______，______)
(2)∵∠1=∠D(已知)，∴______∥______.(______，______)
(3)∵∠2=∠A(已知)，∴______∥______.(______，______)
(4)∵∠B＋∠BCE=180(已知)，∴______∥______.(______，______)
6.已知：如圖，∠1=∠2，求證：AB∥CD．
(方法一)分析：如圖，欲證AB∥CD，只要證∠1=______．
證法1：
∵∠1=∠2，(已知)
又∠3=∠2，( )
∴∠1=______．( )
∴AB∥CD．( ， )
(方法二)分析：如圖，欲證AB∥CD，只要證∠3=∠4．
證法2：
∴∠4=∠1，∠3=∠2，( )
又∠1=∠2，(已知)
從而∠3=______．( )
∴AB∥CD．( ， )
7.已知：如圖，∠1=∠2，∠3=110，求∠4的度數(shù)．
解題思路分析：欲求∠4，需先證明______//______.
解：∵∠1＝∠2，( )
∴______//______.( ， )
∴∠4＝______＝______.( ， )
8.如圖，當(dāng)∠1=∠_____時(shí)，AB∥CD；當(dāng)∠D＋∠_____=180時(shí)，AB∥CD；當(dāng)∠B=∠_____時(shí)，AB∥CD。
9.已知：如圖，。求證：。
證明：（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
10.如圖,AB⊥BD,CD⊥MN,垂足分別是B、D點(diǎn),∠FDC=∠EBA.
(1)判斷CD與AB的位置關(guān)系;(2)BE與DE平行嗎?為什么?
11.如圖,∠1+∠2=180,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.
(1)AE與FC會(huì)平行嗎?說(shuō)明理由.
(2)AD與BC的位置關(guān)系如何?為什么?
(3)BC平分∠DBE嗎?為什么.
課后練習(xí)：
1. 已知：如圖，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，試確定射線DF與AE的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．
(1)問(wèn)題的結(jié)論：DF______AE．
(2)證明思路分析：欲證DF______AE，只要證∠3＝______．
(3)證明過(guò)程：
證明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( )
∴∠CDA＝∠DAB＝______．(垂直定義)
又∠1＝∠2，( )
從而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性質(zhì))
即∠3＝______.
∴DF______AE．(___________，___________)
2.已知：如圖，∠ABC=∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3．求證：AB∥DC．
證明∵∠ABC=∠ADC，
∴( )
又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，
∴( )
∵∠______＝∠______.( )
∵∠1＝∠3，( )
∴∠2＝______．(等量代換)
∴______∥______.( )
3.已知：如圖，∠1=∠2，∠3+∠4=180，試確定直線a與直線c的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．
(1)問(wèn)題的結(jié)論：a______c．
(2)證明思路分析：欲證a______c，只要證______∥______．
(3)證明過(guò)程：
證明：∵∠1=∠2，( )
∴a∥______，(_________，_________)①
∵∠3＋∠4=180
∴c∥______，(_________，_________)②
由①、②，因?yàn)閍∥______，c∥______，
∴a______c.(_________，_________)
4.如圖，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G, ∠1=∠2,試問(wèn)ED∥BC嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。
5.如圖，CD∥AB,∠DCB=700，∠CBF=200，∠EFB=1300，問(wèn)直線EF與CD有怎樣的位置關(guān)系，為什么？
6.如圖，已知∠1+∠2=1800，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行說(shuō)理．
能力提高：
1.將一副三角板如圖放置，使點(diǎn)A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的度數(shù)為（ ?。?
A.45 B.50 C.60 D.75
2.學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過(guò)己知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線的新方法，她是通過(guò)折一張半透明的紙得到的（如圖（1）～（4）），從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（ ?。?
①兩直線平行，同位角相等； ②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
③同位角相等，兩直線平行； ④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
3.如圖，∠ADC=∠ABC， ∠1＋∠2=180，AD為∠FDB的平分線，說(shuō)明：BC為∠DBE的平分線。
4.已知：如圖，∠1=∠2,∠3=∠B,AC∥DE,，且B、C、D在一條直線上。求證：AE∥BD.
5.已知：如圖，∠E=∠F,∠1=∠2.求證：∠BAP+∠APD=1800.
6.已知：如圖，。求證：
7.如圖，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=400，∠D=300，求∠NMP的度數(shù)。
第4課 平行線的性質(zhì)
平行線的性質(zhì)：
（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)記：兩直線平行，同位角相等。
（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)記：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)記：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
例1.已知：如圖，請(qǐng)分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
(1)如果AB∥EF，那么∠2=______，理由是_____________________________________.
(2)如果AB∥DC，那么∠3=______，理由是____________________________________.
(3)如果AF∥BE，那么∠1+∠2=______，理由是_______________________________.
(4)如果AF∥BE，∠4=120，那么∠5=______，理由是________________________.
例2.已知：如圖，DE∥AB．請(qǐng)根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，分別得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
(1)∵DE∥AB，( )
∴∠2=______.( ， )
(2)∵DE∥AB，( )
∴∠3=______.( ， )
(3)∵DE∥AB( )，
∴∠1＋______=180．( ， )
例3.如圖所示，AB//CD，A=1350，E=800。求CDE的度數(shù)。
例4.如圖，已知：∠BAP與∠APD 互補(bǔ)，∠1=∠2，說(shuō)明：∠E=∠F.
例5.如圖，已知AB∥CD，P為HD上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線交HF于O點(diǎn)，試問(wèn)：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎樣的關(guān)系？用式子表示并證明。
例6.如圖，已知AB∥CD，說(shuō)明：∠B＋∠BED＋∠D=360.
例7.已知：如圖，E、F分別是AB和CD上的點(diǎn)，DE、AF分別交BC于G、H,A=D,1=2,
求證：B=C。
課堂練習(xí)：
1.下列語(yǔ)句:①三條直線只有兩個(gè)交點(diǎn),則其中兩條直線互相平行; ②如果兩條平行線被第三條截,同旁內(nèi)角相等,那么這兩條平行線都與第三條直線垂直; ③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,
其中( )
A.①、②是正確的命題 B.②、③是正確命題 C.①、③是正確命題 D.以上結(jié)論皆錯(cuò)
2.如圖,如果AB∥CD,那么圖中相等的內(nèi)錯(cuò)角是( )
A.∠1與∠5,∠2與∠6 B.∠3與∠7,∠4與∠8 C.∠5與∠1,∠4與∠8 D.∠2與∠6,∠7與∠3
3.如圖，AB∥ED，則∠A+∠C+∠D=（ ?。?
A. 180 B. 270 C. 360 D. 540
4.如圖，AB∥CD，則結(jié)論：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠1+∠3=∠2+∠4中正確的是（ ）
A.只有（1） B.只有（2） C.（1）和（2） C.（1）（2）（3）
5.如圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，則圖中與∠1相等的角（不包括∠1）的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
6.如圖，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=1100，則∠ECD的度數(shù)為（ ）
A.110 B.70 C.55 D.35
7.如圖，如果DE∥BC，那么圖中互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)是（ ）
A. 2對(duì) B. 3對(duì) C. 4對(duì) D. 5對(duì)
8.如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，而其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少300，那么這兩個(gè)角是（ ）
A.420,1380 B. 都是100 C.420,1380 或420,100 D.以上都不對(duì)
9.已知：如圖，∠1+∠2=180，求證：∠3=∠4．
證明思路分析：欲證∠3=∠4，只要證______//______.
證明：∵∠1＋∠2=180，( )
∴______//______.( ， )
∴∠3=∠4．( ， )
10.已知：如圖，∠A=∠C，求證：∠B=∠D．
證明思路分析：欲證∠B=∠D，只要證______//______.
證明：∵∠A=∠C，( )
∴______//______.( ， )
∴∠B＝∠D．( ， )
11.已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠B，求證：CD是∠BCE的平分線．
證明思路分析：欲證CD是∠BCE的平分線，只要證______//______.
證明：∵AB∥CD，( )
∴∠2=______.( ， )
但∠1=∠B，( )
∴______=______.(等量代換)
即CD是_______________________.
12.已知：如圖，AB∥CD，∠B＝35，∠1＝75，求∠A的度數(shù)．
解題思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大?。?
解：∵CD∥AB，∠B=35，( )
∴∠2＝∠______=______( ， )
而∠1＝75，
∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______。
∵CD∥AB，( )
∴∠A＋______＝180．( ， )
∴∠A＝______=______.
13.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B=50．求∠D的度數(shù)．
分析：可利用∠DCE作為中間量過(guò)渡．
解：∵AB∥CD，∠B=50，( )
∴∠DCE=∠______=______(_________，_________)
又∵AD∥BC，( )
∴∠D＝∠______=______(_________，_________)
想一想：如果以∠A作為中間量，如何求解?
解法2：∵AD∥BC，∠B=50，( )
∴∠A＋∠B=______.(_________，_________)
即∠A＝______-______=______-______=______.
∵DC∥AB，( )
∴∠D＋∠A=______.(_________，_________)
即∠D＝______-______=______-______=______.
14.已知：如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數(shù)．
解：過(guò)P點(diǎn)作PM∥AB交AC于點(diǎn)M．
∵AB∥CD，( )
∴∠BAC＋∠______=180( )
∵PM∥AB，
∴∠1=∠______，( )
且PM∥______。(平行于同一直線的兩直線也互相平行)
∴∠3=∠______。(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，( )
( )
( )
∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90( )
總結(jié)：兩直線平行時(shí)，同旁內(nèi)角的角平分線______。
15.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，你能發(fā)現(xiàn)BE和CF有怎樣的位置關(guān)系么？并證明你的結(jié)論。
16.如圖：（1）若AE平分∠CAD，AE∥BC，則∠B=∠C。（2）若∠B=∠C，AE∥BC，則AE平分∠CAD。
17.求證：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行．
課后練習(xí)：
1.如圖，AD∥BC，∠1=600，∠2=500，則∠A=（ ），∠CBD=（ ），∠ADB=（ ），
∠A＋∠ADB＋∠2=（ ）
2.如圖，AB∥CD，直線l平分∠AOE，∠1=40，則∠2=________
3.如圖，a∥b，AB⊥a垂足為O，BC與b相交于點(diǎn)E，若∠1=43，則∠2=
4.如圖,直線a、b被C所截,a⊥L于M,b⊥L于N,∠1=66,則∠2=_______
5.在同一平面內(nèi)有三條直線a、b、c，已知a∥b，且c⊥a，則b與c的位置關(guān)系是 。
6.如圖，由A測(cè)B的方向是 ，由B測(cè)A的方向是
7.某人在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛方向與原來(lái)相同，這兩次拐彎的角度可能是( )
A.第一次左拐30，第二次右拐30 B.第一次右拐50，第二次左拐130
C.第一次右拐50，第二次右拐130 D.第一次向左拐50，第二次向左拐130
8.如圖，∵∠1=∠2∴ ∥ （ ）
∴∠D= （ ）
又∵∠D=∠3（已知）
∴∠ =∠ （ ）
∴ ∥ （ ）
9.如圖所示，已知∠AOB=50，PC∥OB，PD平分∠OPC，則∠APC=___，∠PDO=______
10.如圖,MN⊥AB,垂足為M點(diǎn),MN交CD于N,過(guò)M點(diǎn)作MG⊥CD,垂足為G,EF 過(guò)點(diǎn)N點(diǎn),且EF∥AB,交MG于H點(diǎn),其中線段GM的長(zhǎng)度是________到________的距離, 線段MN的長(zhǎng)度是________到________的距離,又是_______的距離,點(diǎn)N到直線MG 的距離是___.
11.如圖,AD∥BC,EF∥BC,BD平分∠ABC,圖中與∠ADO相等的角有_______ 個(gè),分別是___________.
12.已知：如圖，已知DE∥BC，∠D:∠DBC=2:1，∠1:∠2，求∠E的度數(shù)．
13.小張從家（圖中A處）出發(fā)，向南偏東40方向走到學(xué)校（圖中B處），再?gòu)膶W(xué)校出發(fā)，向北偏西75的方向走到小明家（圖中C處），試問(wèn)∠ABC為多少度？說(shuō)明你的理由。
14.如圖，AB∥CD，∠ABE=∠FCD，∠F=40，求∠E的度數(shù)。
15.已知，∠DBF：∠ABF：∠BFC=1：2：3，AB∥CD，說(shuō)明：BA平分∠EBF.
能力提高：
1.如圖，AB∥CD，∠E=40，∠C=65，則∠EAB的度數(shù)為（ ）
A．65 B．75
展開(kāi)閱讀全文