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1、江西省紅色七校2017屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題
(分宜中學(xué)、蓮花中學(xué)、任弼時(shí)中學(xué)、瑞金一中、南城一中、遂川中學(xué)、會(huì)昌中學(xué))
命題人:南城一中:高國(guó)才 瑞金一中:謝小平 會(huì)昌中學(xué):云龍
第Ⅰ卷
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,總共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、已知集合則( )
A. B. C. D.
2、把復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知,(其中i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A. 第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.
2、第一象限
3.下列說(shuō)法正確的是( )
A.,“”是“”的必要不充分條件
B.“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件
C.命題“,使得”的否定是:“,”
D.命題:“,”,則是真命題
4.《九章算術(shù)》之后,人們學(xué)會(huì)了用等差數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題,《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織390尺布”,則從第2天起每天比前一天多織( )尺布.
A. B. C. D.
5.已知是三角形的最大內(nèi)角,且,則
的值為( )
A.
3、 B.
C. D.
6.算法程序框圖如右圖所示,若,,,則輸出的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
7、已知拋物線和所圍成的封閉曲線如圖所示,給定點(diǎn),若在此封閉曲線上恰有三對(duì)不同的點(diǎn),滿足每一對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8、正方體的棱長(zhǎng)為,半徑為的圓在平面內(nèi),其圓心為正方形的中心, 為圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則多面體的外接球的表面積為( )
A. B.
4、C. D.
9、直線分別與曲線,交于A,B,則的最小值為( )
A.3 B.2 C. D.
10. 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交兩漸近線于,兩點(diǎn),與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,若,且,則該雙曲線的漸近線為( )
A. B.
C. D.
11. 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體
積為 ( )
A.5 B.4 C. 3 D. 2
12、若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),
其中,且,則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為(
5、)
A.3 B.4 C.5 D.6
第II卷
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分
13、過(guò)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)P作圓O:x2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,記∠APB=α,當(dāng)α最小時(shí),此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為 .
14.函數(shù)的圖象在上恰有兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則實(shí)
數(shù)的取值范圍是 .
15、已知展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為15,則______.
16、已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為 .
三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。
17、(本小題滿分10分)如圖,在△ABC
6、 中,點(diǎn)D在邊 AB上,且.記∠ACD= ,
∠BCD=.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若,求BC 的長(zhǎng).
18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,,數(shù)列滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)是否存在正實(shí)數(shù),使得為等比數(shù)列?并說(shuō)明理由.
19、(本小題滿分12分)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段
7、的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.
(Ⅰ)求在未來(lái)4年中,至多1年的年入流量超過(guò)120的概率;
(Ⅱ)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制,并有如下關(guān)系;
年入流量
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)
1
2
3
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?
20、(本小題滿分12分)如圖,已知長(zhǎng)方形中,,為的中點(diǎn). 將沿折起,使得平面平面.
(Ⅰ)求證:;
A
(第20題)圖
8、)
(Ⅱ)若,當(dāng)二面角大小為時(shí),求的值.
21、(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線的斜率為1時(shí),求的面積;
(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
22、(本小題滿分12分)已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)時(shí),;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,比較與的大小,并證明你的結(jié)論。
9、
江西省紅色七校2017屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)參考答案:
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
D
B
C
D
A
D
C
A
C
13.(-4,-2) 14. 15. 16.6
17.解:(Ⅰ) 在中,由正弦定理,有
在中,由正弦定理,有
因?yàn)?,所?
因?yàn)椋?所以……………………..5
(Ⅱ)因?yàn)?,,由(Ⅰ)?
設(shè),由余弦定理,
代入,得到,
解得,所以.……………………..10
18. 由題意知…..2
兩式相減可得,由于,可得,所以的公差為2,故…………………
10、….6
(Ⅱ)由題設(shè), ,兩式相除可得,即和都是以4為公比的等比數(shù)列.因?yàn)樗?,由及,可得,又,所?……………………..9
所以,即,則,
因此存在,使得數(shù)列為等比數(shù)列. ……………………..12
20、(Ⅰ)由于,則,
又平面平面,平面平面=,
平面,故平面.
又平面,從而有. …………………..5
(Ⅱ)(方法一)過(guò)點(diǎn)E作MB的平行線交DM于F,
由平面得平面ADM;
在平面ADM中過(guò)點(diǎn)F作AM的垂線,垂足為H,連接HE,
則即為二面角的平面角,大小為.
設(shè),則在中,
11、由,則.
.
故當(dāng)二面角大小為時(shí),,即.…………………..12
A
(方法二)以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
,,,,
且,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,則
,,
所以,.
又平面的法向量為,
所以,,解得或(舍去).
所以,.
21.解:(1)設(shè)橢圓方程為,
根據(jù)題意得 所以,
所以橢圓方程為;…
12、………………..2
(2)根據(jù)題意得直線方程為,
解方程組得坐標(biāo)為, 計(jì)算,
點(diǎn)到直線的距離為, 所以,;………………….6
(3)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形.因?yàn)橹本€與軸不垂直,所以設(shè)直線的方程為.
坐標(biāo)為,
由得,,
,
計(jì)算得:,其中,
由于以為鄰邊的平行四邊形是菱形,所以,
計(jì)算得, 即, , 所以.…………………..12
(可以設(shè)點(diǎn),也可以設(shè)直線得到和的函數(shù)關(guān)系式)
22.解:(1)①時(shí),f(x)在(0,1)上遞增,在上遞減;
②時(shí),f’(x)=0的兩根為
A. ,即時(shí),f(x)在上遞增;
B. ,即時(shí),f(x)在上遞增,上遞減,上遞增;
且,故此時(shí)f(x)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
C. ,即時(shí),f(x)在上遞增,上遞減,上遞增;
且,故此時(shí)f(x)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述:時(shí),f(x)在上遞增,上遞減,上遞增;
時(shí),f(x)在上遞增;
時(shí),f(x)在上遞增,上遞減,上遞增;
時(shí),f(x)在上遞增,在上遞減;
(2)
設(shè)
∴
∴在上單調(diào)遞減
∴得證.
(3)由(1)知,函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn),則
∴ 又
不妨設(shè)
∴由(2)得,又因?yàn)樗?
∴ ∴ ∴。(也可以證得到。還可以用點(diǎn)差法來(lái)求)