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1、 2441【經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】綜合練習(xí)及參考答案 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合練習(xí)及參考答案 第三部 線性代數(shù) 一、單項(xiàng)選擇題 1．設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運(yùn)算中（ ）可以進(jìn)行. A．AB B．ABT C．A+B D．BAT 2．設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ ） 　　A. 　 　 B. 　　C. D. 3．設(shè)為同階可逆方陣，則下列說(shuō)法正確的是（　 ）． 　　A. 若AB = I，則必有A = I或B = I

2、　 　 B. 　　C. 秩秩秩 D. 4．設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（ ）． A． B． C． D． 5．設(shè)是可逆矩陣，且，則（　 ）. 　　A. 　　 　B. 　　 C. 　　D. 6．設(shè)，，是單位矩陣，則＝（ ）． A． B． C． D． 7．設(shè)下面矩陣A, B, C能進(jìn)行乘法運(yùn)算，那么（ ）成立. A．AB = AC，A 0，則B = C B．AB = AC，A可逆，

3、則B = C C．A可逆，則AB = BA D．AB = 0，則有A = 0，或B = 0 8．設(shè)是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，則（ 　）． 　　A.　　 B. 　　 C. 　　　　D. 9．設(shè)，則r(A) =（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 10．設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為（ ）． A．1 B．2 C．3

4、 D．4 11．線性方程組 解的情況是（ ?。? 　　A. 無(wú)解　　 　B. 只有0解　　 C. 有唯一解　 　 　 D. 有無(wú)窮多解 12．若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)＝（ ）時(shí)線性方程組無(wú)解． A． B．0 C．1 D．2 　　13． 線性方程組只有零解，則（ ）. 　　A. 有唯一解　　　 B. 可能無(wú)解 　　 C. 有無(wú)窮多解　　 D. 無(wú)解 14．設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組

5、（ ）． A．有唯一解 B．無(wú)解 C．有非零解 D．有無(wú)窮多解 15．設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ ）． A．無(wú)解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能確定 二、填空題 1．兩個(gè)矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 　　　 　　　. 2．計(jì)算矩陣乘積= ． 3．若矩陣A = ，B = ，則ATB= ． 4．設(shè)為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進(jìn)行運(yùn)算，則有關(guān)系式　　　　　 ?。? 5．設(shè)，當(dāng)　　 　 　 時(shí)，是對(duì)稱

6、矩陣. 6．當(dāng) 時(shí)，矩陣可逆. 7．設(shè)為兩個(gè)已知矩陣，且可逆，則方程的解　　　 　?。? 8．設(shè)為階可逆矩陣，則(A)= ． 9．若矩陣A =，則r(A) = ． 10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b ． 11．若線性方程組有非零解，則 ． 12．設(shè)齊次線性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于 ． 13．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為

7、 . 14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為 則當(dāng)　 　時(shí)，方程組有無(wú)窮多解. 15．若線性方程組有唯一解，則　　　　　 　. 三、計(jì)算題 1．設(shè)矩陣，，求． 2．設(shè)矩陣 ，，，計(jì)算． 3．設(shè)矩陣A =，求． 4．設(shè)矩陣A =，求逆矩陣． 5．設(shè)矩陣 A =，B =，計(jì)算(AB)-1． 6．設(shè)矩陣 A =，B =，計(jì)算(BA)-1． 7．解矩陣方程． 8．解矩陣方程. 9．設(shè)線性方程組 討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程組無(wú)解，有唯一解

8、，有無(wú)窮多解. 10．設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況. 11．求下列線性方程組的一般解： 12．求下列線性方程組的一般解： 13．設(shè)齊次線性方程組 問(wèn)l取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解. 14．當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組 有解？并求一般解. 15．已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為 問(wèn)取何值時(shí)，方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組的一般解. 四、證明題 1．試證：設(shè)A，B，AB均為n階對(duì)稱矩陣，則AB =BA． 2．試證：設(shè)是n階矩陣，若= 0，則． 　　3．已知矩陣

9、，且，試證是可逆矩陣，并求. 4. 設(shè)階矩陣滿足，，證明是對(duì)稱矩陣. 5．設(shè)A，B均為n階對(duì)稱矩陣，則AB＋BA也是對(duì)稱矩陣． 試題答案 一、 單項(xiàng)選擇題 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9.D 10. A 11. A 12. A 13. B 14. B 15. C 二、填空題 1．與是同階矩陣 2．[4] 3． 4． 5．0 6． 7． 8． 9．2 10．無(wú)解 1

10、1．-1 12．n – r 13． (其中是自由未知量) 14． 15．只有0解 三、計(jì)算題 1．解 因?yàn)?= == 所以 == 2．解：= = = 3．解 因?yàn)?(A I )= 所以 A-1 = 4．解 因?yàn)?A I ) = 所以 A-1= 5．解

11、 因?yàn)锳B == (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6．解 因?yàn)锽A== (BA I )= 所以 (BA)-1= 7．解 因?yàn)? 即 所以，X == 8．解：因?yàn)? 即 所以，X === 9．解 因?yàn)? 所以當(dāng)且時(shí)，方程組無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，方程

12、組有唯一解； 當(dāng)且時(shí)，方程組有無(wú)窮多解. 10．解 因?yàn)? 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因?yàn)閞(A) r()，所以方程組無(wú)解. 11．解 因?yàn)橄禂?shù)矩陣 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 12．解 因?yàn)樵鰪V矩陣 所以一般解為 （其中是自由未知量） 13．解 因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A = 所以當(dāng)l = 5時(shí)，方程組有非零解. 且一般解為 （其中

13、是自由未知量） 14．解 因?yàn)樵鰪V矩陣 所以當(dāng)=0時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解，且一般解為： 是自由未知量〕 15．解：當(dāng)=3時(shí)，，方程組有解. 當(dāng)=3時(shí)， 一般解為， 其中, 為自由未知量. 四、證明題 1．證 因?yàn)锳T = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2．證 因?yàn)? = == 所以 3. 證 因?yàn)?，且，? ， 得，所以是可逆矩陣，且. 4. 證 因?yàn)? == 所以是對(duì)稱矩陣. 5．證 因?yàn)?，且 所以 AB＋BA是對(duì)稱矩陣． 更多資料請(qǐng)百度一下“電大天堂” 10