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1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修 2-2 第二章第二章 推理與證明推理與證明 2021/8/28 孝高 蔣志方 1 2.2 2.2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法 演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程重要思維過程. . 數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn), ,主要靠合情推主要靠合情推理理. . 復(fù)習(xí) 推推 理理 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理 歸納歸納 (特殊到一般）特殊到一般） 類比類比 （特殊到特殊）（特殊到特殊） 三段論三段論 （一般到特殊）（一般到特殊） 合情推理

2、得到的結(jié)論是不可靠的，需要證明。數(shù)學(xué)中證明的方法有哪些呢？ 間接證明（反證法）分析法綜合法直接證明證明的方法例例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc 因?yàn)橐驗(yàn)閎 b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0 所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏 c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0 所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc. 因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2

3、) )4abc.4abc. 證明證明: : 在數(shù)學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些在數(shù)學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理、性質(zhì)等出發(fā)通過推數(shù)學(xué)定義、定理、公理、性質(zhì)等出發(fā)通過推理導(dǎo)出所要的結(jié)論。理導(dǎo)出所要的結(jié)論。 .綜合法綜合法 由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn) 算法則，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證算法則，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證 明的結(jié)論成立明的結(jié)論成立. (又稱順推證法又稱順推證法) 探索求知探索求知 注：用注：用P P表示已知條件表示已知條件, ,已有的定義已有的定義, ,定

4、理定理, ,公理等公理等.Q.Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論, ,則綜合法可用框圖表示為則綜合法可用框圖表示為: : P Q1 Qn Q Q2 Q3 Q1 Q2 特點(diǎn)特點(diǎn): :由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч? (浮想聯(lián)翩浮想聯(lián)翩, ,嘗試前進(jìn)嘗試前進(jìn)!)!) 探索求知探索求知 例：求證不等式：例：求證不等式： .10578. 注：從求證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的條件。 證明：證明： 要證要證 ,10578.)105()78(22即證即證 .50210556278.5056,502562即故不等式成立故不等式成立. 只需證只需證 只需證只需證 2.分析法分析法 探索求知探索求知 從證明的結(jié)論出發(fā)

5、從證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件逐步尋求使它成立的充分條件,直直至最后至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件件(已知已知,定理定理,定義定義,公理等公理等).這種證明的方法叫做分析法這種證明的方法叫做分析法. （又稱倒推證法）（又稱倒推證法） 執(zhí)果索因執(zhí)果索因 注：用注：用Q Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論, ,則分析法可用框圖表示為則分析法可用框圖表示為: : 得到一個(gè)明顯 成立的條件 Q P1 P1 P2 P2 P3 特點(diǎn)特點(diǎn): :執(zhí)果索因執(zhí)果索因( (執(zhí)果索因執(zhí)果索因, ,妙在轉(zhuǎn)化妙在轉(zhuǎn)化!)!) 問題問題: :在數(shù)

6、學(xué)在數(shù)學(xué) 5(5(必修必修) )中，我們?nèi)绾巫C明基本不等式中，我們?nèi)绾巫C明基本不等式(0,0)?2ababab 指出指出其中的其中的證明方法證明方法的的特點(diǎn)特點(diǎn). . 證法證法1 1: :對(duì)于正數(shù)對(duì)于正數(shù)a, ,b, , 有有 202022ababababababab （）證法證法2 2: :要證要證 只要證只要證 只要證只要證 只要證只要證 2abab 2abab 02aabb20()ab 因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，故結(jié)論成立。立，故結(jié)論成立。 綜合法綜合法 分析法分析法 表達(dá)簡(jiǎn)潔表達(dá)簡(jiǎn)潔! 目的性強(qiáng)目的性強(qiáng),易于探索易于探索! 【分析法分析法】 從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的

7、充分條件從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件 直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一 個(gè)明顯成立的條件。個(gè)明顯成立的條件。 要證：要證： 只要證：只要證： 只需證：只需證： 顯然成立顯然成立 上述各步均可逆上述各步均可逆 所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立 要證：要證： 所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立 格格 式式 372 5練習(xí)： 求證372 5解解: :要證要證 ()()22372 5只需證只需證 展開展開, ,只需證只需證 215只需證只需證 21252125 因?yàn)橐驗(yàn)?21252125成立成立, ,所以所以 成成立立. . 372 5例例3 3：在：在中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)

8、中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)應(yīng)的邊分別為應(yīng)的邊分別為a a、b b、c c，且、成等，且、成等差數(shù)列，差數(shù)列，a a、b b、c c成等比數(shù)列，求證成等比數(shù)列，求證為等邊三角形為等邊三角形 分析：把題中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語分析：把題中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言：言：A+C=2BA+C=2B，b b2 2 =ac=ac 由（由（1 1）聯(lián)想到內(nèi)角各能得到什么？）聯(lián)想到內(nèi)角各能得到什么？ 由（由（2 2）聯(lián)想到三角形什么知識(shí)？余弦定理，）聯(lián)想到三角形什么知識(shí)？余弦定理，二者聯(lián)系起來能得到什么結(jié)論二者聯(lián)系起來能得到什么結(jié)論 證明：證明： 由由A A，B B，C C成等差數(shù)列，有成等差數(shù)列，有 2B=A+C 2B

9、=A+C CBAABCCBA的內(nèi)角，所以為，因?yàn)橛?，得由，?3B 由啊，由啊，a a，b b，c c成等比數(shù)列，有成等比數(shù)列，有 acb 2 由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得 accaBaccab22222cos2再由，得再由，得 0222）即（caacacca因此，因此，a=ca=c 從而有從而有 A=CA=C 由，得由，得 3CBA.為等邊三角形所以 ABC2 222222222例例. 已. 已知知, , kk+(kZ),且+(kZ),且2 2 sin sin+cos+cos= 2sin= 2sin sin sincoscos= sin= sin1-tan1-tan1-tan1-ta

10、n求求 =. =.1+tan1+tan2(1+tan2(1+tan) )證證: 例：例： 1PP 21PP PPnmQQ 12QQ QQ 1上述過程可用框圖表示上述過程可用框圖表示: : 直接證明(回顧小結(jié)) 分析法分析法 解題方向比較明確，解題方向比較明確， 利于尋找解題思路；利于尋找解題思路； 綜合法綜合法 條理清晰，易于表述。條理清晰，易于表述。 通常以通常以分析法分析法尋求尋求 思路，再用思路，再用綜合法綜合法有條理地有條理地 表述解題過程表述解題過程 分析法分析法 綜合法綜合法 概念概念 直接證明（綜合法和分析法） 上述兩種證法有什么異同？ 都是直接證明都是直接證明 證法證法1 1綜合法：由因?qū)Ч?，形式?jiǎn)潔，易于表述綜合法：由因?qū)Ч问胶?jiǎn)潔，易于表述 ； 相同 不同不同 證法證法2 2分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探路分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探路 【鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)】 abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求證求證已知已知、求證：、求證：