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1、 山東省2014屆理科數學一輪復習試題選編41：函數的極值與導數 一、選擇題 ．(2012年高考(陜西文))設函數f(x)=+lnx 則 （　?。? A．x=為f(x)的極大值點 B．x=為f(x)的極小值點 C．x=2為 f(x)的極大值點 D．x=2為 f(x)的極小值點 解析:,令得,時,,為減函數;時,,為增函數,所以為的極小值點,選 D． ．（山東濟南外國語學校2012—2013學年度第一學期高三質量檢測數學試題（理科））若a>0,b>0,且函數在x=1處有極值,則ab的最大值 （　?。? A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【解析】函數的導數為

2、,函數在處有極值,則有,即,所以,即,當且僅當時取等號,選 D． ．(2013浙江高考數學(理))已知為自然對數的底數,設函數,則 （　　） A．當時,在處取得極小值 B．當時,在處取得極大值 C．當時,在處取得極小值 D．當時,在處取得極大值 【答案】 C解:當時,,且,所以當時,,函數遞增;當時,,函數遞減;所以當時函數取得極小值;所以選C; ．（山東省泰安市2013屆高三第一輪復習質量檢測數學（理）試題）設函數有三個零點、x2、x3,且則下列結論正確的是 （　?。? A． B． C． D． 【答案】D ∵函數, ∴f′(x)=3x2﹣4.

3、令f′(x)=0,得 x=. ∵當時,;在上,;在上,.故函數在)上是增函數,在上是減函數,在上是增函數.故是極大值,是極小值.再由f (x)的三個零點為x1,x2,x3,且得 x1<﹣,﹣. 根據f(0)=a>0,且f()=a﹣<0,得>x2>0. ∴0

4、,則 （　　） A．或2 B．或3 C．或1 D．或1 【答案】 答案A 【解析】因為三次函數的圖像與軸恰有兩個公共點,結合該函數的圖像,可得極大值或者極小值為零即可滿足要求.而,當時取得極值 由或可得或,即. ．(2013福建高考數學(文))設函數的定義域為,是的極大值點,以下結論一定正確的是 （　?。? A． B．是的極小值點 C．是的極小值點 D．是的極小值點 【答案】 D【解析】本題考查的是函數的極值.函數的極值不是最值,A錯誤;因為和關于原點對稱,故是的極小值點,D正確. ．(2013湖北高考數學(文))已知函數有兩個極值點,則實數的取值范

5、圍是 （　?。? A． B． C． D． 【答案】 B．,由由兩個極值點,得有兩個不等的實數解,即有兩個實數解,從而直線與曲線有兩個交點. 過點(0,-1)作的切線,設切點為(x0,y0),則切線的斜率,切線方程為. 切點在切線上,則,又切點在曲線上,則,即切點為(1,0).切線方程為. 再由直線與曲線有兩個交點.,知直線位于兩直線和之間,如圖所示,其斜率2a滿足:0<2a<1,解得0

6、 C．函數有極大值和極小值 D．函數有極大值和極小值 【答案】 【答案】D 【解析】,由,函數為增; ,由,函數為減; ,由,函數為減; ,由,函數為增. 【考點定位】判斷函數的單調性一般利用導函數的符號,當導函數大于0,則函數為增,當導函數小于0則函數遞減. ．(2013遼寧高考數學(理))設函數 （　?。? A．有極大值,無極小值 B．有極小值,無極大值 C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值 【答案】 D解:由已知,.在已知中令,并將代入,得;因為,兩邊乘以后令.求導并將(1)式代入,,顯然時,,

7、減;時,,增;并且由(2)式知,所以為的最小值,即,所以,在時得,所以為增函數,故沒有極大值也沒有極小值. 二、填空題 ．（山東省泰安市2013屆高三上學期期末考試數學理）已知函數的定義域為,部分對應值如下表,的導函數的圖像如圖所示,給出關于的下列命題: ①函數時,取極小值②函數是減函數,在是增函數,③當時,函數有4個零點④如果當時,的最大值是2,那么的最小值為0,其中所有正確命題序號為_________. 【答案】①③④ 【解析】由導數圖象可知,當或時,,函數遞增.當或時,,函數遞減.所以在處,函數取得極小值,所以①正確,②錯誤.當時,由得.由圖象可知,此時有四個交點,所

8、以③正確.當時,的最大值是2,由圖象可知,所以的最小值為0,所以④正確.綜上所有正確命題序號為①③④. 三、解答題 ．（2013屆山東省高考壓軸卷理科數學）已知函數f(x)=-x3+x2-2x(a∈R). (1)當a=3時,求函數f(x)的單調區(qū)間; (2)若對于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求實數a的取值范圍; (3)若過點可作函數y=f(x)圖象的三條不同切線,求實數a的取值范圍. 【答案】【解析】(1)當a=3時,f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2. 因為f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2), 所以當

9、10,函數f(x)單調遞增; 當x<1或x>2時,f′(x)<0,函數f(x)單調遞減. 故函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,2),單調遞減區(qū)間為(-∞,1)和(2,+∞). (2)方法一:由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2. 因為對于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立, 即對于任意x∈[1,+∞)都有-x2+ax-2<2(a-1)成立,即對于任意x∈[1,+∞)都有x2-ax+2a>0成立. 令h(x)=x2-ax+2a, 要使h(x)對任意x∈[1,+∞)都有h(x)>0成立,必須滿足Δ<0,

10、或 即a2-8a<0或 所以實數a的取值范圍為(-1,8). 方法二:由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2. 因為對于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,即對于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1). 因為f′(x)=-2+-2,其圖象開口向下,對稱軸為x=. ①當<1,即a<2時,f′(x)在[1,+∞)上單調遞減,所以f′(x)max=f′(1)=a-3. 由a-3<2(a-1),得a>-1,此時-1

11、2.由-2<2(a-1),得0

12、,解得t=0或t=. 因為g(0)=,g=-a3+,所以g=-a3+<0,即a>2. 所以實數a的取值范圍為(2,+∞). ．（山東省青島即墨市2013屆高三上學期期末考試數學（理）試題）已知函數. (1)是函數的一個極值點,求a的值; (2)求函數的單調區(qū)間; (3)當時,函數,若對任意,都成立,求的取值范圍. 【答案】解:(1)函數 , 是函數的一個極值點 解得: (2) (3)當a=2時,由(2)知f(x)在(1,2)減,在(2,+∞)增. b>0 解得:0

13、 ．（山東省泰安市2013屆高三第一輪復習質量檢測數學（理）試題）已知函數 (I)若在區(qū)間上單調遞減,求實數a的取值范圍; (II)當a=0時,是否存在實數m使不等式對任意恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由. 【答案】 ．（山東省鳳城高中2013屆高三4月模擬檢測數學理試題 ）已知曲線在點處的切線互相平行,且函數的一個極值點為. (Ⅰ)求實數的值; (Ⅱ)若函數的圖象與直線恰有三個交點,求實數的取值范圍; (Ⅲ)若存在,使得成立(其中的導數),求實數的取值范圍 【答案】(Ⅰ),依題意有 ,即,所以 (Ⅱ), 由, 所以函數在區(qū)間上遞增

14、,在區(qū)間上遞減 且. 所以函數的圖象與直線恰有三個交點,則,所以實數的取值范圍為 (Ⅲ)依題意成立, 設,則, ①當時,由得函數在上遞增, 所以得 ②當時,在上在上 所以恒成立,所以 ③當時,在上所以函數是減函數, 所以,, 又,所以 所以實數的取值范圍為 ．(2013課標Ⅰ卷高考數學(文))(本小題滿分共12分) 已知函數,曲線在點處切線方程為. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)討論的單調性,并求的極大值. 【答案】【解析】(Ⅰ)=. 由已知得=4,=4,故,=8,從而=4,; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,=, ==,

15、 令=0得,=或=-2, ∴當時,>0,當∈(-2,)時,<0, ∴在(-∞,-2),(,+∞)單調遞增,在(-2,)上單調遞減. 當=-2時,函數取得極大值,極大值為. ．（山東省煙臺市2013屆高三上學期期中考試數學試題(理科)）已知函數. (1)求的極值; (2)若函數的圖象與函數的圖象在區(qū)間上有公共點,求實數a的取值范圍 【答案】解:(1)的定義域為,, 令得, 當時,是增函數; 當時,是減函數, ∴在處取得極大值,, 無極小值 (2)①當時,即時, 由(1)知在上是增函數,在上是減函數, , 又當時,,

16、當時,;當時,; 與圖象的圖象在上有公共點, ,解得,又,所以 ②當時,即時,在上是增函數, ∴在上的最大值為, 所以原問題等價于,解得. 又,∴無解. 綜上,實數a的取值范圍是 ．（山東省兗州市2013高三9月入學診斷檢測數學(理)試題）已知函數f(x)=x3+mx2+nx-2的圖象過點(-1,-6),且函數g(x)=+6x的圖象關于y軸對稱. (1)求m、n的值及函數y=f(x)的單調區(qū)間; (2)若a>0,求函數y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內的極值. 【答案】(1)由函數f(x)的

17、圖象過點(-1,-6),得m-n=-3.① 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得=3x2+2mx+n, 則g(x)=+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的圖象關于y軸對稱,所以-=0,解得 m=-3. 代入①得n=0. 于是=3x2-6x=3x(x-2) 由>0得x>2或x<0, 故f(x)的單調遞增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞); 由<0,得0

18、 (0,2) 2 (2，＋∞) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增函數 極大值 減函數 極小值 增函數 由此可得:當0

19、12年高考(重慶理))(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問6分,(Ⅱ)小問7分.) 設其中,曲線在點處的切線垂直于軸. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 求函數的極值. 【答案】解:(1)因,故 由于曲線在點處的切線垂直于軸,故該切線斜率為0,即, 從而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定義域內,舍去), 當時,,故在上為減函數; 當時,,故在上為增函數; 故在處取得極小值. ．(2013福建高考數學(理))已知函數 (1)當時,求曲線在點處的切線方程; (2)求函數的極值. 【答案】解:函數的定義域為,. (Ⅰ)

20、當時,,, , 在點處的切線方程為, 即. (Ⅱ)由可知: ①當時,,函數為上的增函數,函數無極值; ②當時,由,解得; 時,,時, 在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上:當時,函數無極值 當時,函數在處取得極小值,無極大值. ．（山東省煙臺市2013屆高三上學期期中考試數學試題(理科)）已知是三次函數的兩個極值點,且,,求動點所在的區(qū)域面積. 【答案】解:由函數可得, , 由題意知,是方程的兩個根, 且,,因此得到可 行域, 即,畫出可行域如圖.

21、 所以 ．（山東省壽光市2013屆高三10月階段性檢測數學（理）試題）已知 (1) 當a=1時,求的單調區(qū)間; (2) 求在點(0,1)處的切線與直線x=1及曲線所圍成的封閉圖形的面積; (3) 是否存在實數a,使的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由. 【答案】解:(1)當a=1時,, 當時,時,或 的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為:(-∞,0),(1,+∞) (2)切線的斜率為 ∴切線方程為y=-x+1 所求封閉圖形面積為 (3) 令 列表如下: 由表可知,= 設 在上是增函數, 不存在實數a,使極大值為3. 11