《2020—2021學(xué)年 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)：第十八章平行四邊形 專(zhuān)題練習(xí)（附答案）》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2020—2021學(xué)年 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)：第十八章平行四邊形 專(zhuān)題練習(xí)（附答案）（24頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第18章 平行四邊形 專(zhuān)題練習(xí) 專(zhuān)題1　平行四邊形的證明思路 類(lèi)型1　若已知(已證)四邊形中邊的關(guān)系 (1)已知一組對(duì)邊平行，可以證這一組對(duì)邊相等或另一組對(duì)邊平行； (2)已知一組對(duì)邊相等，可以證這一組對(duì)邊平行或另一組對(duì)邊相等 1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn)，與AC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC上，EF＝EC.求證：四邊形DBFE是平行四邊形． 2．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC，BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且CF＝BC，求證：四邊形OCFE是平行四邊形． 3．如圖

2、，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD.求證：四邊形ABED是平行四邊形． 4．如圖，在?ABCD中，分別以AD，BC為邊向內(nèi)作等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形． 5．如圖，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，將FD延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使FG＝2DF，連接AG，則ED與AG互相平分嗎？ 請(qǐng)說(shuō)明理由． 6．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF與BE交于點(diǎn)G，CE與DF交于點(diǎn)H

3、，求證：四邊形EGFH是平行四邊形． 類(lèi)型2　若已知條件(已證結(jié)論)與對(duì)角線(xiàn)有關(guān)，則可以通過(guò)證明對(duì)角線(xiàn)互相平分得到平行四邊形 7．如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，分別與AB，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：四邊形AECF是平行四邊形． 8．如圖，在?ABCD 中，點(diǎn)O 是對(duì)角線(xiàn)AC 的中點(diǎn)，EF 過(guò)點(diǎn)O，與AD，BC 分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH 過(guò)點(diǎn)O，與AB，CD 分別相交于點(diǎn)G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH.求證：四邊形EGFH 是平行四邊形．

4、 專(zhuān)題2　與正方形有關(guān)的四個(gè)?？寄Ｐ? 模型1　正方形中相交垂線(xiàn)段問(wèn)題——教材P68復(fù)習(xí)題T8的變式與應(yīng)用 1．如圖，ABCD是一個(gè)正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個(gè)門(mén)，且DE＝CF.要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長(zhǎng)嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？ 【探究】若去掉“DE＝CF”這一條件，將兩個(gè)結(jié)論中的一個(gè)作為條件能推出另一個(gè)結(jié)論成立嗎？ (1)若已知BE＝AF，則BE⊥AF成立嗎？ 正方形內(nèi)，分別連接兩組對(duì)邊上任意兩點(diǎn)，得到的兩條線(xiàn)段(如：圖1中的線(xiàn)段AF與BE，圖2中的線(xiàn)段AF與EG，圖3中的

5、線(xiàn)段HF與EG)滿(mǎn)足：若垂直，則相等． 模型2　正方形中過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的直角問(wèn)題 2．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC1交BC于點(diǎn)F. (1)求證：△AOE≌△BOF； (2)如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為a，那么這兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少？為什么？ 【變式1】　如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)O在對(duì)角線(xiàn)DB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B，D重合)，連接OA，作OP⊥OA，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)P.判斷線(xiàn)段OA，OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【變式2】　如

6、圖，將n個(gè)邊長(zhǎng)都為2的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An分別是正方形的中心，則這n個(gè)正方形重疊部分的面積之和是( ) A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n 正方形ABCD中，O為兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上．若∠EOF為直角，OE，OF分別與DA，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，H，則△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四邊形OEBF＝S正方形ABCD. 模型3　正方形中三垂直全等模型——教材P69復(fù)習(xí)題

7、T14的變式與應(yīng)用 3．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BD上，點(diǎn)E是線(xiàn)段AD上或AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且PE⊥PC. (1)如圖1，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，求證：PE＝PC； (2)如圖2，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由． 模型4　正方形中的半角模型 4．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DF＝BE. (1)求證：CE＝CF； (2)若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE＝45，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

8、 (1)如圖，正方形ABCD中，若∠EAF＝45，則： ①EF＝BE＋DF；②△CEF的周長(zhǎng)為正方形ABCD邊長(zhǎng)的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF. (2)如圖，正方形ABCD中，若∠EAF＝45，F(xiàn)A平分∠DFE，則EF＝DF－BE. 專(zhuān)題3　特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定 1．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)E，F(xiàn)是AP上的兩點(diǎn)，連接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求證： (1)△ABF≌△DAE； (2)DE＝BF＋EF. 2．

9、如圖，四邊形ABCD，BEFG均為正方形，連接AG，CE.求證： (1)AG＝CE； (2)AG⊥CE. 3．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，延長(zhǎng)ME交射線(xiàn)CD于點(diǎn)N，連接MD，AN. (1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形； (2)請(qǐng)求出AM的長(zhǎng)為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形，并說(shuō)明理由． 4.已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形)

10、． (1)四邊形EFGH的形狀是 ，證明你的結(jié)論； (2)當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足 條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形； (3)你學(xué)過(guò)的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？ ． 5．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD交BE于點(diǎn)G，連接CG. (1)求證：四邊形CEFG是菱形； (2)若AB＝6，AD＝10，求四邊形CEFG的面積． 6．如圖所示，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB

11、，CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，CE與BF相交于點(diǎn)H. (1)你能說(shuō)明四邊形EHFG是平行四邊形嗎？ (2)當(dāng)四邊形ABCD滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形EHFG是一個(gè)菱形？ (3)四邊形EHFG會(huì)成為一個(gè)正方形嗎？ 專(zhuān)題4　四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 ——教材P68復(fù)習(xí)題T13的變式與應(yīng)用 【例】　如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之

12、停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s. (1)CD邊的長(zhǎng)度為 cm，t的取值范圍為 ； (2)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ∥CD? (3)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ＝CD? 【拓展變式1】　在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【拓展變式2】　從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形PQBA是矩形？ 【拓展變式3】　在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在t值，使得四邊形PQBA是正方形？若存在，請(qǐng)求出t值

13、；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【拓展變式4】　是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 專(zhuān)題5　特殊平行四邊形中的折疊問(wèn)題 ——教材P64“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的變式與應(yīng)用 【例】　如圖1，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線(xiàn)段BN，MN.請(qǐng)你觀(guān)察圖1，猜想∠MBN的度數(shù)是多少，并證明你的結(jié)論． 圖1 【拓展延伸】　再沿MN所在的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B′處，得到折痕MG

14、，同時(shí)得到線(xiàn)段B′G，展開(kāi)如圖2.探究四邊形MBGB′的形狀，并證明你的結(jié)論． 圖2 在折疊問(wèn)題中，原圖形與折疊后圖形中所隱含的相等線(xiàn)段與相等角常常是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意翻折變換的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，折疊前后，重疊部分是全等形，另外注意勾股定理等知識(shí)在求折疊圖形的線(xiàn)段中的適當(dāng)運(yùn)用． 1．如圖，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，折痕為EF，EF與AC交于點(diǎn)O.若AE＝5，BF＝3，則AO的長(zhǎng)為( ) A. B. C．2

15、D．4 2．如圖，將邊長(zhǎng)為6 cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，折痕為FH，則線(xiàn)段AF的長(zhǎng)是 cm. 3．如圖，將一張菱形紙片ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙無(wú)重疊的四邊形EFGH.若EF＝4，EH＝3，則AB＝ ． 4．如圖，在矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE.求證： (1)△ADE≌△CED； (2)△DEF是等腰三角形． 專(zhuān)題6　特殊平行四邊形中的最值問(wèn)題 【例】　如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)

16、為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PF＋PE的最小值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)先確定點(diǎn)P的位置：作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接FE′，交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；(2)求E′F的長(zhǎng)度：將E′F放到一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的長(zhǎng)，即求出了PF＋PE的最小值． 求線(xiàn)段和最小時(shí)，若已知的兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的同側(cè)，將動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)當(dāng)作對(duì)稱(chēng)軸，作出其中一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再將另一點(diǎn)與這個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接，則其與直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求動(dòng)點(diǎn)所在位置，再求出所連接的線(xiàn)段長(zhǎng)即為所求． 1．如圖，菱形

17、ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAB＝60，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PE的最小值為 ． 2．如圖，在矩形ABCD的邊AD上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)的距離之和最短，則點(diǎn)P的位置應(yīng)該在 ． 3．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60，M為對(duì)角線(xiàn)BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，則AM＋BM的最小值為 ． 4．如圖，以邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線(xiàn)，分別與正方形的邊交于A，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的最小值．  參考答案： 專(zhuān)題1　平行

18、四邊形的證明思路 1．證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C. ∴∠B＝∠EFC. ∴AB∥EF. 又∵DE∥BC， ∴四邊形DBFE是平行四邊形． 2．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)． 又∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)， ∴OE是△BCD的中位線(xiàn)． ∴OE∥BC，且OE＝BC. 又∵CF＝BC， ∴OE＝CF. 又∵點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上， ∴OE∥CF. ∴四邊形OCFE是平行四邊形． 3．證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF. ∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F. ∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝

19、EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AB＝DE. ∵AB∥DE， ∴四邊形ABED是平行四邊形． 4．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD. 又∵△ADE和△BCF都是等邊三角形， ∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60. ∴BF＝DE，CF＝AE. ∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE， ∴∠DCF＝∠BAE. 在△DCF和△BAE中， ∴△DCF≌△BAE(SAS)． ∴DF＝BE. 又∵BF＝DE， ∴四邊形BEDF是平行四

20、邊形． 5．解：ED與AG互相平分． 理由：連接EG，AD. ∵DE∥AF，DE＝AF， ∴四邊形AEDF是平行四邊形． ∴AE∥DF，AE＝DF. 又∵FG＝2DF， ∴DG＝DF. ∴AE＝DG. 又∵AE∥DG， ∴四邊形AEGD是平行四邊形． ∴ED與AG互相平分． 6．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)， ∴AE＝AD，F(xiàn)C＝BC. ∴AE∥FC，AE＝FC. ∴四邊形AECF是平行四邊形． ∴GF∥EH. 同理可證：ED∥BF且ED＝BF. ∴四邊形BFDE是平行四邊形． ∴

21、GE∥FH. ∴四邊形EGFH是平行四邊形． 7．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD. ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO. 在△FDO和△EBO中， ∴△FDO≌△EBO(AAS)． ∴OF＝OE. 又∵OA＝OC， ∴四邊形AECF是平行四邊形． 8．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵O為AC的中點(diǎn)， ∴OA＝OC. 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF(ASA)． ∴OE＝OF. 同理可證：OG＝OH. ∴四邊形EGFH是平行四邊

22、形． 專(zhuān)題2　與正方形有關(guān)的四個(gè)常考模型 1．解：BE＝AF且BE⊥AF，理由： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90. 又∵DE＝CF，∴AE＝DF. ∴△ABE≌△DAF(SAS)． ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF. ∵∠DAF＋∠BAF＝90，∴∠ABE＋∠BAF＝90. ∴∠AGB＝90，即BE⊥AF. 【探究】解：成立．理由：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90，AB＝AD. 在Rt△ABE和Rt△DAF中， ∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)． ∴∠ABE＝∠DAF. ∵∠DAF＋∠BAF＝90

23、，∴∠ABE＋∠BAF＝90.∴∠AGB＝90，即BE⊥AF. (2)若已知BE⊥AF，則BE＝AF成立嗎？ 解：成立．理由：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90. 又∵BE⊥AF，∴∠AGB＝90. ∴∠ABE＋∠BAF＝90. ∵∠DAF＋∠BAF＝90，∴∠ABE＝∠DAF. ∴△ABE≌△DAF(ASA)． ∴BE＝AF. 2．解：(1)證明：在正方形ABCD中， AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90，∠OAB＝∠OBC＝45. ∴∠AOE＋∠EOB＝90，∠BOF＋∠EOB＝90. ∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中

24、， ∴△AOE≌△BOF(ASA)． (2)兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于a2.理由如下： ∵△AOE≌△BOF， ∴S四邊形OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝a2. 【變式1】　解：OA＝OP，理由： 過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC. ∴OG＝OH. ∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90， ∴四邊形OGBH是正方形． ∴∠GOH＝90. ∵∠AOP＝∠GOH＝90，∴∠AOG＝∠POH. ∴△AGO≌△PHO(ASA)． ∴

25、OA＝OP. 【變式2】　B 3．解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)P作FG∥DC分別交AD，BC于點(diǎn)F，G. 易得∠PFD＝∠CGP＝90. ∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)， ∴∠BDF＝∠FPD＝45. ∴PF＝FD. 又∵FG∥DC，F(xiàn)D∥GC，∠ADC＝90， ∴四邊形FGCD為矩形． ∴DF＝CG. ∴PF＝CG. ∵PE⊥PC， ∴∠FPE＋∠GPC＝90. ∵∠FEP＋∠FPE＝90， ∴∠FEP＝∠GPC. ∴在△PFE和△CGP中， ∴△PFE≌△CGP(AAS)． ∴PE＝CP. (2)成立．理由：過(guò)點(diǎn)P作FG∥DC分別交AD，BC于點(diǎn)F，G.

26、同理可證△PFE≌△CGP(AAS)． ∴PE＝PC. 4．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF. 又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)． ∴CE＝CF. (2)GE＝BE＋GD成立． 理由：由(1)得，△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD， 即∠BCD＝∠ECF＝90. 又∵∠GCE＝45， ∴∠GCF＝∠GCE＝45. ∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG(SAS)． ∴GE＝GF. ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD. 專(zhuān)題3　

27、特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定 1．證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC.∴∠BPF＝∠DAE. ∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE. ∵∠ABF＝∠BPF，∴∠ABF＝∠DAE. ∵AB＝DA， ∴△ABF≌△DAE(ASA)． (2)∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF，DE＝AF. ∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF， ∴DE＝BF＋EF. 2．證明：(1)∵四邊形ABCD，BEFG均為正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90，BG＝BE. ∴∠ABG＝∠CBE. 在△ABG和△CBE中， ∴△ABG≌△CBE(SAS)

28、． ∴AG＝CE. (2)設(shè)AG交BC于點(diǎn)M，交CE于點(diǎn)N. ∵△ABG≌△CBE， ∴∠BAG＝∠BCE. ∵∠ABC＝90， ∴∠BAG＋∠AMB＝90. ∵∠AMB＝∠CMN， ∴∠BCE＋∠CMN＝90. ∴∠CNM＝90. ∴AG⊥CE. 3．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴ND∥AM. ∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME. 又∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)， ∴DE＝AE. ∴△NDE≌△MAE(AAS)． ∴ND＝MA. ∴四邊形AMDN是平行四邊形． (2)當(dāng)AM的長(zhǎng)為1時(shí)，四邊形AMDN是矩形．理由如下： ∵AM＝1＝AD＝A

29、E，∠DAB＝60， ∴△AEM是等邊三角形． ∴∠AME＝∠AEM＝60，EM＝AE＝ED. ∴∠EMD＝∠EDM＝30. ∴∠AMD＝∠AME＋∠EMD＝90. ∴四邊形AMDN是矩形． 4.(1)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，證明你的結(jié)論； (2)當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足互相垂直條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形； (3)你學(xué)過(guò)的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？菱形． 證明：連接BD.∵E，H分別是AB，AD中點(diǎn)， ∴EH∥BD，EH＝BD. 同理FG∥BD，F(xiàn)G＝BD， ∴EH∥FG，EH＝FG. ∴四邊形EFGH是平行四邊形． 5．解：(1)證

30、明：由題意得△BCE≌△BFE， ∴∠BEC＝∠BEF，F(xiàn)E＝CE. ∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠BEC. ∴∠FGE＝∠BEF. ∴FG＝FE.∴FG＝EC. ∴四邊形CEFG是平行四邊形． 又∵CE＝FE， ∴四邊形CEFG是菱形． (2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF， ∴∠BAF＝90，AD＝BC＝BF＝10. ∴AF＝＝8.∴DF＝2. 設(shè)EF＝x，則CE＝x，DE＝6－x. ∵∠FDE＝90， ∴22＋(6－x)2＝x2.解得x＝.∴CE＝. ∴S四邊形CEFG＝CEDF＝2＝. 6．解：(1)能說(shuō)明四邊形EHFG是平行四邊形．

31、∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB綊CD. 而AE＝AB，CF＝CD， ∴AE綊CF. ∴四邊形AECF是平行四邊形．∴GF∥EH. 同理可得GE∥HF. ∴四邊形EHFG是平行四邊形． (2)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EHFG是菱形． 由(1)知，四邊形EHFG是平行四邊形． 連接EF.當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EBCF也是矩形， ∴EH＝FH，∴四邊形EHFG是菱形． (3)當(dāng)四邊形ABCD是矩形且AB＝2AD時(shí)，四邊形EHFG是正方形． 由(2)知，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EHFG是菱形． 又由AB＝2AD可知，四邊形EBCF是正方形．

32、 根據(jù)正方形的性質(zhì)知，EC⊥BF，即∠EHF＝90， ∴四邊形EHFG是正方形． 專(zhuān)題4　四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 【例】　(1)CD邊的長(zhǎng)度為10cm，t的取值范圍為0≤t≤9； 解：(2)設(shè)經(jīng)過(guò)t s時(shí)，PQ∥CD，此時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形，則PD＝CQ. ∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4. ∴當(dāng)t＝4時(shí)，PQ∥CD. (3)設(shè)經(jīng)過(guò)t s時(shí)，PQ＝CD，分別過(guò)點(diǎn)P，D作BC邊的垂線(xiàn)PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn). 當(dāng)CF＝EQ時(shí)，四邊形PQCD為梯形(腰相等)或者平行四邊形． ∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90， ∴四邊形ABF

33、D是矩形．∴AD＝BF. ∵AD＝12 cm，BC＝18 cm， ∴CF＝BC－BF＝6 cm. ①當(dāng)四邊形PQCD為梯形(腰相等)時(shí)， PD＋2(BC－AD)＝CQ， ∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8. ∴當(dāng)t＝8時(shí)，PQ＝CD； ②當(dāng)四邊形PQCD為平行四邊形時(shí)，由(2)知當(dāng)t＝4 s時(shí)，PQ＝CD. 綜上，當(dāng)t＝4或t＝8時(shí)，PQ＝CD. 【拓展變式1】　解：不存在．理由： 要使四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD一定是平行四邊形． 由例知當(dāng)t＝4 s時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形． 此時(shí)DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC， 所以按已知速度運(yùn)動(dòng)，四

34、邊形PQCD只能是平行四邊形，不可能是菱形． 【拓展變式2】　 解：如圖，由題意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t. 要使四邊形PQBA是矩形，已有∠B＝90，AD∥BC，即AP∥BQ，只需滿(mǎn)足AP＝BQ，即t＝18－2t，解得t＝6. 所以當(dāng)t＝6時(shí)，四邊形PQBA是矩形． 【拓展變式3】　解：不存在．理由： 要使四邊形PQBA是正方形，則四邊形PQBA一定是矩形． 由變式2知，當(dāng)t＝6時(shí)，四邊形PQBA是矩形． 此時(shí)AP＝t＝6≠8，即AP≠AB， 所以按已知速度運(yùn)動(dòng)，四邊形PQBA只能是矩形，不可能是正方形． 【拓展變式4】　解

35、：△DQC是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論： 圖1 圖2 圖3 ①如圖1，當(dāng)QC＝DC時(shí)，即2t＝10，∴t＝5. ②如圖2，當(dāng)DQ＝DC時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CQ， 則QH＝CH＝CQ＝t. 在矩形ABHD中，BH＝AD＝12，∴CH＝BC－BH＝6，∴t＝6. ③如圖3，當(dāng)QD＝QC時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CQ，DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝|2t－6|. 在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2. ∴82＋|2t－6|2＝(2t)2. 解得t＝. 綜上，當(dāng)t

36、＝5或6或時(shí)，△DQC是等腰三角形 專(zhuān)題5　特殊平行四邊形中的折疊問(wèn)題 【例】　解：∠MBN＝30. 證明：連接AN.∵直線(xiàn)EF是AB的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)N在EF上，∴AN＝BN. 由折疊可知，BN＝AB， ∴△ABN是等邊三角形． ∴∠ABN＝60. ∴∠MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30. 【拓展延伸】　解：四邊形MBGB′是菱形．證明： ∵∠ABM＝30，∠A＝∠ABC＝90， ∴∠MBG＝∠AMB＝60. 根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BM＝MB′，BG＝B′G，∠BMN＝∠AMB. ∴∠BMN＝∠MBG＝60. ∴△MBG是等邊三角形． ∴BM＝BG. ∴BM＝M

37、B′＝BG＝B′G. ∴四邊形MBGB′是菱形． 1．C 2． cm. 3．5． 4．證明：(1)由折疊相關(guān)性質(zhì)可知，AE＝AB，CE＝CB. ∵四邊形ABCD是矩形，∴AE＝AB＝DC，CE＝CB＝AD. 在△ADE和△CED中， ∴△ADE≌△CED(SSS)． (2)由(1)知，△ADE≌△CED，∴∠AED＝∠CDE. ∴△DEF是等腰三角形． 小專(zhuān)題(十)　特殊平行四邊形中的最值問(wèn)題 【例】　解：作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′(易知點(diǎn)E′在CD上)，連接E′F，交AC于點(diǎn)P. 則PE＝PE′，CE′＝CE. ∴PE＋PF＝PE′＋PF＝E′F. ∴P

38、即為所求的使PF＋PE最短的點(diǎn)． ∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)， ∴BF＝2，CE＝CB－BE＝3. ∴CE′＝CE＝3. 過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD于點(diǎn)G，則∠FGE′＝∠FGC＝90. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝∠FGC＝90. ∴四邊形FBCG是矩形． ∴CG＝BF＝2，F(xiàn)G＝BC＝4. ∴E′G＝E′C－CG＝1. ∴在Rt△E′FG中，E′F＝＝＝. ∴PF＋PE的最小值為. 1．． 2．AD的中點(diǎn)． 3．4． 4．解：∵四邊形CDEF是正方形， ∴∠OCA＝∠ODB＝45，∠COD＝90，OC＝OD. ∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90. ∴∠COA＋∠AOD＝90，∠AOD＋∠DOB＝90. ∴∠COA＝∠DOB. 在△COA和△DOB中， ∴△COA≌△DOB(ASA)． ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝90，∴△AOB是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB＝＝OA， 要使AB最小，只要OA取最小值即可， 根據(jù)垂線(xiàn)段最短，得OA⊥CD時(shí)，OA最小， ∵四邊形CDEF是正方形，∴OD＝OC. 又∵OA⊥CD，∴CA＝DA. ∴OA＝CF＝1.∴AB＝. ∴AB的最小值為.