《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考試電大小抄(微分完整版)【電大?？瓶荚囆〕俊酚蓵T分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考試電大小抄(微分完整版)【電大專科考試小抄】（86頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分函數(shù) 一、單項選擇題 1．函數(shù)的定義域是（ D ）． A． B． C． D． 且 2．若函數(shù)的定義域是[0，1]，則函數(shù)的定義域是( C )． A． B． C． D 3．下列各函數(shù)對中，（ D ）中的兩個函數(shù)相等． A．， B．，+ 1 C．， D．， 4．設(shè)，則=（ A ）． A． B． C． D． 5．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ C ）． A． B． C． D． 6．下列函數(shù)中，（ C ）不是基本初等函數(shù)．

2、 A． B． C． D． 7．下列結(jié)論中，（ C ）是正確的． A．基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) B．偶函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 C．奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 D．周期函數(shù)都是有界函數(shù) 8. 當(dāng)時，下列變量中（　B ）是無窮大量． 　　A.　 B. 　C. 　　　 D. 9. 已知，當(dāng)（　A ）時，為無窮小量. 　　A. 　 B. 　C. 　　 D. 10．函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = ( A )． A．-2 B．-1

3、 C．1 D．2 11. 函數(shù) 在x = 0處（　B ）． 　　A. 左連續(xù)　 B. 右連續(xù) 　　C. 連續(xù)　　　 D. 左右皆不連續(xù) 12．曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ A ） A． B． C． D． 13. 曲線在點(0, 0)處的切線方程為（　A ）． 　　A. y = x　 B. y = 2x 　　C. y = x　　　 D. y = -x 14．若函數(shù)，則=（ B ）．

4、 A． B．- C． D．- 15．若，則（ D ）． A． B． C． D． 16．下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ B ）． A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x 17．下列結(jié)論正確的有（ A ）． A．x0是f (x)的極值點，且(x0)存在，則必有(x0) = 0

5、 B．x0是f (x)的極值點，則x0必是f (x)的駐點 C．若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點 D．使不存在的點x0，一定是f (x)的極值點 18. 設(shè)需求量q對價格p的函數(shù)為，則需求彈性為Ep=（ B ）． A． B． C． D． 19．函數(shù)的定義域是（D ）． A． B． C． D． 且 20．函數(shù)的定義域是（ C ）。 A． B． C． D 21．下列各函數(shù)對中，（ D ）中的兩個函數(shù)相等． A．， B．，+ 1 C．， D．， 22．設(shè)，則=（

6、 C ）． A． B． C． D． 23．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ C ）． A． B． C． D． 24．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ D ）． A． B． C． D． 25. 已知，當(dāng)（　A ）時，為無窮小量. A. 　 B. 　C. D. 26．函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = (A )． A．-2 B．-1 C．1 D．2 27. 函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則（A ）． A. 1　

7、 B. 0 　　C.　2　　 D. 28．曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ A ）． A． B． C． D． 29. 曲線在點(1, 2)處的切線方程為（　B ）． A. B. 　 C. 　　　 D. 30．若函數(shù)，則=（ B ）． A． B．- C． D．- 31．下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)減少的是（ D ）． A．sinx

8、B．e x C．x 2 D．3 – x 32．下列結(jié)論正確的有（ A ）． A．x0是f (x)的極值點，且(x0)存在，則必有(x0) = 0 B．x0是f (x)的極值點，則x0必是f (x)的駐點 C．若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點 D．使不存在的點x0，一定是f (x)的極值點 33. 設(shè)需求量q對價格p的函數(shù)為，則需求彈性為Ep=（ B ）． A． B． C． D． 二、填空題 1．函數(shù)的定義域是 [-5，2] 2．函數(shù)的定

9、義域是 (-5, 2 ) 3．若函數(shù)，則 4．設(shè)函數(shù)，，則 5．設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于　　y軸 　　　對稱． 6．已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q) = 80 + 2q，則當(dāng)產(chǎn)量q = 50時，該產(chǎn)品的平均成本為3.6 7．已知某商品的需求函數(shù)為q = 180 – 4p，其中p為該商品的價格，則該商品的收入函數(shù)R(q) = 45q – 0.25q 2 8. 　　　1　　　. 9．已知，當(dāng)時，為無窮小量． 　　10. 已知，若在內(nèi)連續(xù) ，則　　2　 . 　　11. 函數(shù)的間斷點是 12．函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，， 13．曲線在點處的切線斜率是 14．函數(shù)y = x 2

10、 + 1的單調(diào)增加區(qū)間為(0, +) 15．已知，則= 　　　0　　　． 16．函數(shù)的駐點是 17．需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為 18．已知需求函數(shù)為，其中p為價格，則需求彈性Ep = 19．函數(shù)的定義域是 ．答案：(-5, 2 ) 20．若函數(shù)，則．答案： 21．設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于　　對稱．答案：y軸 22．已知，當(dāng) 時，為無窮小量．答案： 23．已知，若在內(nèi)連續(xù) 則　 . 答案2 24．函數(shù)的間斷點是　　　．答案： 25. 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ．答案： 26．曲線在點處的切線斜率是 ．答案：． 27. 已知，則= 　　　　　?。?/p>

11、答案：0 28．函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 ．答案：（ 29. 函數(shù)的駐點是　　 　 　. 答案： 30．需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為 。 答案： 三、計算題 1． 1．解 = = = 2． 2．解：= = 3． 3．解 = ==22 = 4 4． 4．解 = = = 2 5． 5．解

12、 6． 6．解 = = 7．已知，求 ． 7．解：(x)== = 8．已知，求 ． 8．解 9．已知，求； 9．解 因為 所以 10．已知y =，求 ． 10．解 因為 所以 11．設(shè)，求． 11．解 因為 所以 12．設(shè)，求． 12．解 因為 所以 13．已知，求

13、 ． 13．解 14．已知，求 ． 14．解： 15．由方程確定是的隱函數(shù)，求． 　 15．解 在方程等號兩邊對x求導(dǎo)，得 故 　16．由方程確定是的隱函數(shù)，求. 16．解 對方程兩邊同時求導(dǎo)，得 =. 17．設(shè)函數(shù)由方程確定，求． 17．解：方程兩邊對x求導(dǎo)，得 當(dāng)時

14、， 所以， 18．由方程確定是的隱函數(shù)，求． 18．解 在方程等號兩邊對x求導(dǎo)，得 故 19．已知，求 ． 解： 20．已知，求 解：． 21．已知，求； 解： 22．已知，求dy ． 解： dy= 23．設(shè) y，求dy． 解： 24．設(shè)，求． 解： 四、應(yīng)用題 1．設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成

15、本函數(shù)為：（萬元）, 求：（1）當(dāng)時的總成本、平均成本和邊際成本； （2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，平均成本最??？ 1．解（1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為： ， 所以， ， （2）令 ，得（舍去）因為 是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當(dāng)20時，平均成本最小. 2．某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為（為需求量，為價格）． 試求：（1）成本函數(shù)，收入函數(shù)； （

16、2）產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？ 2．解 （1）成本函數(shù)= 60+2000． 因為 ，即， 所以 收入函數(shù)==()=． （2）因為利潤函數(shù)=- =-(60+2000) = 40--2000 且 =(40--2000=40- 0.2 令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以，= 200是利潤函數(shù)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時利潤最大． 3．設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100元．又已知需求函數(shù)，其中為價格，為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場

17、上是暢銷的，試求：（1）價格為多少時利潤最大？（2）最大利潤是多少？ 3．解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利潤函數(shù)L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 – 8p = 0 得p =300，該問題確實存在最大值. 所以，當(dāng)價格為p =300元時，

18、利潤最大. （2）最大利潤 （元） 4．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為p = 14-0.01q（元/件），試求：（1）產(chǎn)量為多少時可使利潤達(dá)到最大？（2）最大利潤是多少？ 4．解 （1）由已知 利潤函數(shù) 則，令，解出唯一駐點. 因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時可使利潤達(dá)到最大， （2）最大利潤為 （元 5．某

19、廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的成本函數(shù)為（元）.為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？ 5. 解 因為 == （） == 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）. =140是在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. 所以=140是平均成本函數(shù)的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為140件. 此時的平均成本為 ==176 （元/件） 6．已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為

20、（萬元）．問：要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 6．解 （1） 因為 == == 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以，=50是的最小值點，即要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品． 7．設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）, 求：（1）當(dāng)時的總成本、平均成本和邊際成本； （2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，平均成本最小？ 解（1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為： ， 所以，

21、 ， （2）令 ，得（舍去） 因為是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當(dāng)20時，平均成本最小. 8．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為p = 14-0.01q（元/件），問產(chǎn)量為多少時可使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少. 解 由已知 利潤函數(shù) 則，令，解出唯一駐點. 因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時可使利潤達(dá)到最大， 且最大利潤為 （元） 9．某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件

22、的成本函數(shù)為（元）.為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？ 解 因為 == （） == 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）. =140是在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. 所以=140是平均成本函數(shù)的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為140件. 此時的平均成本為 ==176 （元/件） 10．某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為

23、60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為（為需求量，為價格）．試求： （1）成本函數(shù)，收入函數(shù)； （2）產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？ 解 （1）成本函數(shù)= 60+2000． 因為 ，即， 所以 收入函數(shù)==()=． （2）因為利潤函數(shù)=- =-(60+2000) = 40--2000 且 =(40--2000=40- 0.2 令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以，= 200是利潤函數(shù)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時利潤最大． 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線

24、性代數(shù) 一、單項選擇題 1．設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（ A ）可以進(jìn)行. A．AB B．ABT C．A+B D．BAT 2．設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ B ） 　　A. 　 　 B. 　　C. D. 3．設(shè)為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（　D ）． 　　A. 若AB = I，則必有A = I或B = I　 　 B. C. 秩秩秩 D. 4．設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的

25、是（ D ）． A． B． C． D． 5．設(shè)是可逆矩陣，且，則（　C ）. 　　A. 　　 　B. 　　 C. 　　D. 6．設(shè)，，是單位矩陣，則 ＝（ D ）． A． B． C． D． 7．設(shè)下面矩陣A, B, C能進(jìn)行乘法運算，那么（ B ）成立. A．AB = AC，A 0，則B = C B．AB = AC，A可逆，則B = C C．A可逆，則AB = BA D．AB = 0，則有A = 0，或B = 0 8．設(shè)是階可逆矩陣，是不

26、為0的常數(shù)，則（ C ?。? 　　A.　　 B. 　　 C. 　　　　D. 9．設(shè)，則r(A) =（ D ）． A．4 B．3 C．2 D．1 10．設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為， 則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ A ）． A．1 B．2 C．3 D．4 11．線性方程組 解的情況是（ A ?。? 　　A. 無解　　 　B. 只有0解　　 C

27、. 有唯一解　 　　 D. 有無窮多解 12．若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)＝（ A ）時線性方程組無解． A． B．0 C．1 D．2 　　13． 線性方程組只有零解，則（ B ）. 　　A. 有唯一解　　　 B. 可能無解 　　 C. 有無窮多解　　 D. 無解 14．設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（ B ）． A．有唯一解 B．無解 C．有非零解 D．有無窮多解 15．設(shè)線性方程組有唯一解，則

28、相應(yīng)的齊次方程組（ C ）． A．無解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能確定 16．設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（ A ）可以進(jìn)行. A．AB B．ABT C．A+B D．BAT 17．設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ B ） 　　A. 　 　 B. C. D. 18．設(shè)為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（　D ）． 　　A. 若AB = I，則必有A = I或B = I　 　 B. C.

29、 秩秩秩 D. 19．設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（ D ）． A． B． C． D． 20．設(shè)是可逆矩陣，且，則（　C ）. A. 　　 　B. 　　 C. 　　D. 21．設(shè)，，是單位矩陣，則 ＝（ D ）． A． B． C． D． 22．設(shè)下面矩陣A, B, C能進(jìn)行乘法運算，那么（ B ）成立. A．AB = AC，A 0，則B = C B．AB = AC，A可逆，則B = C C．A可逆，則AB = BA D．A

30、B = 0，則有A = 0，或B = 0 23．若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)＝（D）時線性方程組有無窮多解． A．1 B． C．2 D． 24． 若非齊次線性方程組Amn X = b的( C )，那么該方程組無解． A．秩(A) ＝ n B．秩(A)＝m C．秩(A） 秩 () D．秩(A）= 秩() 25．線性方程組 解的情況是（ A 　）． 　　A. 無解　　 　B. 只有0解　　 C. 有唯一解　 　 D. 有無窮多解 　　26． 線性方程組只有零解，則（B ）. A.

31、 有唯一解　　　 B. 可能無解 　　 C. 有無窮多解　　 D. 無解 27．設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（ B ）． A．有唯一解 B．無解 C．有非零解 D．有無窮多解 28．設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ C ）． A．無解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能確定 30. 設(shè)A, B均為同階可逆矩陣, 則下列等式成立的是( B ). 　　 A. (AB)T = ATBT　　　 B.

32、(AB)T = BTAT C. (AB T)-1 = A-1(BT)–1 　　 　 D. (AB T)-1 = A-1(B–1) T 解析：(AB )-1＝B-1 A-1　　(AB)T = BTAT　　故答案是B 31. 設(shè)A= (1 2), B= (-1 3), E是單位矩陣, 則ATB –E ＝( A ). A. B. C. D. 解析：ATB –E＝ 32. 設(shè)線性方程組AX = B的增廣矩陣為, 則此線性方程組 一般解中自由未知量的個數(shù)為( A

33、 ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 33. 若線性方程組的增廣矩陣為(A, B)=, 則當(dāng)＝(D )時線性方程組有無窮多解. A. 1 B. 4 C. 2 D. 解析： 34. 線性方程組 解的情況是( A 　). A. 無解　　　B. 只有零解　　 C. 有惟一解　 D. 有無窮多解 解析： 35. 以下結(jié)論或等式正確的是（ C ）． A．若均為零矩

34、陣，則有 B．若，且，則 C．對角矩陣是對稱矩陣 D．若，則 36. 設(shè)為矩陣，為矩陣，且乘積矩陣有意義，則為（ A ）矩陣． A． B． C． D． 37. 設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是（　C ）． ` A．， B． C． D． 38. 下列矩陣可逆的是（ A ）． A． B． C． D． 39. 矩

35、陣的秩是（ B ）． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空題 1．兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 與是同階矩陣 2．計算矩陣乘積=[4] 3．若矩陣A = ，B = ，則ATB= 4．設(shè)為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進(jìn)行運算，則有關(guān)系式 5．設(shè)，當(dāng)　　 0　 　 時，是對稱矩陣. 6．當(dāng) 時，矩陣可逆. 7．設(shè)為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解 8．設(shè)為階可逆矩陣，則(A)= n ． 9．若矩陣A =，則r(A) = 2 ． 10．若r(A, b) =

36、4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b 無解 ． 11．若線性方程組有非零解，則 -1 ． 12．設(shè)齊次線性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于 n-r ． 13．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 (其中是自由未知量) 14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為 則當(dāng)　 =-1 　時，方程組有無窮多解. 15．若線性方程組有唯一解，則　只有0解 　. 16．兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 　　. 答案：同階矩陣 17．若矩陣A = ，B = ，則ATB= ．答案 18

37、．設(shè)，當(dāng)　 　 時，是對稱矩陣. 答案： 19．當(dāng) 時，矩陣可逆. 答案： 20．設(shè)為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解答案： 21．設(shè)為階可逆矩陣，則(A)= ．答案： 22．若矩陣A =，則r(A) = ．答案：2 23．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b ．答案：無解 24．若線性方程組有非零解，則 ．答案： 25．設(shè)齊次線性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于答案： 26．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 . 答案： (其中是自由未知量)

38、 27．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為 則當(dāng)　 　時，方程組有無窮多解. 答案： 28. 計算矩陣乘積= [4] . 29. 設(shè)A為階可逆矩陣, 則(A)= n . 30. 設(shè)矩陣A =, E為單位矩陣, 則(E –A) T= 31. 若線性方程組有非零解, 則 －1 . 32. 若線性方程組AX=B(B O)有惟一解, 則AX=O　　無非零解 　　　　. 33.設(shè)矩陣，則的元素.答案：3 34.設(shè)均為3階矩陣，且，則=. 答案： 35. 設(shè)均

39、為階矩陣，則等式成立的充分必要條件是 .答案： 36. 設(shè)均為階矩陣，可逆，則矩陣的解.答案： 37. 設(shè)矩陣，則.答案： 三、計算題 1．設(shè)矩陣，，求． 1．解 因為 = == 所以 == 2．設(shè)矩陣 ，，，計算． 2．解：= = = 3．設(shè)矩陣A =，求． 3．解 因為 (A I )= 所以 A-1 =

40、 4．設(shè)矩陣A =，求逆矩陣． 4．解 因為(A I ) = 所以 A-1= 5．設(shè)矩陣 A =，B =，計算(AB)-1． 5．解 因為AB == (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6．設(shè)矩陣 A =，B =，計算(BA)-1． 6．解 因為BA== (BA I )=

41、 所以 (BA)-1= 7．解矩陣方程． 7．解 因為 即 所以，X == 8．解矩陣方程. 8．解：因為 即 所以，X === 9．設(shè)線性方程組 討論當(dāng)a，b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解. 9．解 因為 所以當(dāng)且時，方程組無解； 當(dāng)時，方程組有唯一解； 當(dāng)且時，方程組有

42、無窮多解. 10．設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況. 10．解 因為 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因為r(A) r()，所以方程組無解. 11．求下列線性方程組的一般解： 11．解 因為系數(shù)矩陣 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 12．求下列線性方程組的一般解： 12．解 因為增廣矩陣 所以一般解為 （其中

43、是自由未知量） 13．設(shè)齊次線性方程組 問l取何值時方程組有非零解，并求一般解. 13．解 因為系數(shù)矩陣 A = 所以當(dāng)l = 5時，方程組有非零解. 且一般解為 （其中是自由未知量） 14．當(dāng)取何值時，線性方程組 有解？并求一般解. 14．解 因為增廣矩陣 所以當(dāng)=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量〕 15．已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為 問取何值時，方程組有解

44、？當(dāng)方程組有解時，求方程組的一般解. 15．解：當(dāng)=3時，，方程組有解. 當(dāng)=3時， 一般解為， 其中, 為自由未知量. 16．設(shè)矩陣 A =，B =，計算(BA)-1． 解 因為BA== (BA I )= 17．設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求． 解：由矩陣減法運算得 　　　　　 利用初等行變換得 　　　　　　　 　　　　　　　 即　　　　 18．設(shè)矩陣，求． 解：利用初等行變換得 　　　　　　　 　　　　　　　 即

45、　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　 由矩陣乘法得 　　　　　 19．求解線性方程組的一般解 解：將方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形 一般解為 (是自由未知量) 20．求當(dāng)取何值時，線性方程組 有解，在有解的情況下求方程組的一般解． 解 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 所以，當(dāng)時，方程組有解，且有無窮多解， 答案：其中是自由未知量． 21．求當(dāng)取何值時，線性方程組 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 　　　　 　 　　　　　 　 　當(dāng)時，方程組有

46、解，且方程組的一般解為 　　　 　 其中為自由未知量． 22．計算 解 = 23．設(shè)矩陣，求。 解 因為 所以 （注意：因為符號輸入方面的原因，在題4—題7的矩陣初等行變換中，書寫時應(yīng)把（1）寫成①；（2）寫成②；（3）寫成③；…） 24．設(shè)矩陣，確定的值，使最小。 解： 當(dāng)時，達(dá)到最小值。 25．求矩陣的秩。 解： → ∴。 26．求下列矩陣的逆矩陣： （1） 解： ∴ （2）A =． 解：→ → ∴A-1 = 27．設(shè)矩陣，求解矩陣方

47、程． 解： ∴ ∴ = 四、證明題 1．試證：設(shè)A，B，AB均為n階對稱矩陣，則AB =BA． 1．證 因為AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2．試證：設(shè)是n階矩陣，若= 0，則． 　　2．證 因為 = == 所以 3．已知矩陣 ，且，試證是可逆矩陣，并求. 3. 證 因為，且，即 ， 得，所以是可逆矩陣，且. 4. 設(shè)階矩

48、陣滿足，，證明是對稱矩陣. 4. 證 因為 == 所以是對稱矩陣. 5．設(shè)A，B均為n階對稱矩陣，則AB＋BA也是對稱矩陣． 5．證 因為 ，且 所以 AB＋BA是對稱矩陣． 6、試證：若都與可交換，則，也與可交換。 證：∵， ∴ 即 也與可交換。 即 也與可交換. 7．試證：對于任意方陣，，是對稱矩陣。 證：∵ ∴是對稱矩陣。 ∵= ∴是對稱矩陣。 ∵ ∴是對稱矩陣.

49、 8．設(shè)均為階對稱矩陣，則對稱的充分必要條件是：。 證： 必要性： ∵ ， 若是對稱矩陣，即 而 因此 充分性： 若，則 ∴是對稱矩陣. 9．設(shè)為階對稱矩陣，為階可逆矩陣，且，證明是對稱矩陣。 證：∵ ∴是對稱矩陣. 證畢. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)積分學(xué) 一、單項選擇題 1．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ A ）． A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x 2. 若= 2，則k =（

50、A ）． A．1 B．-1 C．0 D． 3．下列等式不成立的是（ D ）． A． B． C． D． 4．若，則=（　D ）. 　　A. 　 B. 　C. D. 5. （ B ）． A． B． C． D． 6. 若，則f (x) =（ C ）． A． B．-

51、C． D．- 7. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是( B )． A． B． C． D． 8．下列定積分中積分值為0的是（ A ）． A． B． C． D． 9．下列無窮積分中收斂的是（ C ）． A． B． C． D． 10．設(shè)(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是（ B ）． A．-550 B．-350 C．35

52、0 D．以上都不對 11．下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程． A． B． C． D． 12．微分方程的階是（　C ）. A. 4　　 　B. 3　 C. 2　　 　D. 1 13．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 3）的曲線為（ C ）． A． B． C． D． 14．下列函數(shù)中，（ C ）是的原函數(shù)． A．- B． C． D． 15．下

53、列等式不成立的是（ D ）． A． B． C． D． 16．若，則=（　D ）. A. 　 B. 　C. 　　 D. 17. （ B ）． A．B． C． D． 18. 若，則f (x) =（ C ）． A． B．- C． D．- 19. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是( B )． A．

54、 B． C． D． 20．下列定積分中積分值為0的是（ A ）． A． B． C． D． 21．下列無窮積分中收斂的是（ C ）． A． B． C． D． 22．下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程． A． B． C． D． 23．微分方程的階是（　C ）. A. 4　　 　B. 3　 C. 2　　

55、 　D. 1 24.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（ A ）. A. 奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù) 25. 若，則( A )． A. 　 B. C. 　　 D. 26. 曲線在處的切線方程為( A ). A． B． C． D． 27. 若的一個原函數(shù)是, 則=（　D）． 　 　A．　　　　　B． C．　　 　D． 28. 若, 則（ C ）. A. B. C. D. 二、填空題

56、 1． ． 2．函數(shù)的原函數(shù)是-cos2x + c (c 是任意常數(shù)) ． 　　3．若，則　　. 　　4．若，則= . 　　5．　0　　. 6． 0　 ． 7．無窮積分是 收斂的 ．（判別其斂散性） 8．設(shè)邊際收入函數(shù)為(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為2 + ． 　　9. 是　 2 階微分方程. 10．微分方程的通解是 ． 11． 12．。答案： 13．函數(shù)f (x) = sin2x的原函數(shù)是 ． 14．若，則　. 答案： 15．若，則= . 答案： 16．　　　　　　. 答案：0

57、 17． ．答案：0 18．無窮積分是 ．答案：1 19. 是　　 階微分方程. 答案：二階 20．微分方程的通解是 ．答案： 21. 函數(shù)的定義域是(-2,-1)U(-1,2]． 22. 若，則　4 ?。? 23. 已知，則=　27+27 ln3　　　　　　?。? 24. 若函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義， 且則　1　．. 25. 若, 則　　-1/2　　?。? (三) 判斷題 11. . ( ) 12. 若函數(shù)在點

58、連續(xù)，則一定在點處可微. ( ) 13. 已知，則= （ √ ） 14. . （ ）. 15. 無窮限積分是發(fā)散的. ( √ 三、計算題 ⒈ ⒈ 解 2． 2．解 3． 3．解 4． 4．解 = = 5． 5．解 = = = 6． 6．解 7

59、． 7．解 === 8． 8．解 =-== 9． 9．解法一 = =＝=1 解法二 令，則 = 10．求微分方程滿足初始條件的特解． 10．解 因為 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解為 11．求微分方程滿足初始條件的特解．

60、 11．解 將方程分離變量： 等式兩端積分得 將初始條件代入，得 ，c = 所以，特解為： 12．求微分方程滿足 的特解. 12．解：方程兩端乘以，得 即 兩邊求積分，得 通解為： 由，得 所以，滿足初始條件的特解為： 13．求微分方程 的通解． 13．解 將原方程分離變量 兩端積分得 lnlny = lnC sinx

61、 通解為 y = eC sinx 14．求微分方程的通解. 14. 解 將原方程化為：，它是一階線性微分方程， ， 用公式 15．求微分方程的通解． 15．解 在微分方程中， 由通解公式 16．求微分方程的通解． 16．解：因為，，由通解公式得 = = = 17． 解 =

62、 = 18． 解： 19． 解： = 20． 解： =（答案： 21． 解： 22． 解 = 23． 24. 25． 26．設(shè)，求 27. 設(shè)，求. 28．設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求. 29．設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 四、應(yīng)用題 1．投產(chǎn)某產(chǎn)

63、品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達(dá)到最低. 1．解 當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 == 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達(dá)到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達(dá)到最小. 2．已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生

64、產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？ 2．解 因為邊際利潤 =12-0.02x –2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時，利潤最大. 當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時，利潤改變量為 =500 - 525 = - 25 （元） 即利潤將減少25元. 3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x

65、為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百臺） 又x = 10是L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺）時，利潤最大. 又 4．已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 4．解：因為總成本函數(shù)為 =

66、 當(dāng)x = 0時，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺) 該題確實存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺) 5．設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時的產(chǎn)量； (2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 5．解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 – 2x 令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. (2) 當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （萬元） 即利潤將減少1萬元.