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1、分類號 編 號 XXXX North China Institute Of Water Conservancy And Hydroelectric Power 畢 業(yè) 設 計 題目 基于Matlab的FIR數(shù)字濾波器設計 學 院 信息工程學院 專 業(yè) 通信工程 姓 名

2、 學 號 指導教師 2011年 5月20日 基于Matlab的FIR數(shù)字濾波器設計 摘 要 在數(shù)字控制系統(tǒng)中輸入信號中所含的干擾對系統(tǒng)的性能會產(chǎn)生很大的影響，因此需要對輸入信號進行處理，以提取有用信號。有限長沖激響應（FIR）濾波器在數(shù)字信號處理中發(fā)揮著重要作用，采用Matlab軟件對FIR數(shù)字濾波器進行仿真設計，簡化了設計中繁瑣的計算。本文采用窗函數(shù)法，頻率采樣法和優(yōu)化設計方法，通過調(diào)用Matlab函數(shù)設計FIR數(shù)字濾波器。繪制對應的幅頻特性曲線。最后用基于Matlab函

3、數(shù)設計的FIR數(shù)字濾波器進行語音濾波處理，通過濾波前后信號的頻譜圖和生成的聲音文件的對比，分析不同濾波器的濾波效果。 關鍵詞：FIR數(shù)字濾波器，仿真，窗函數(shù)法，頻率取樣法，優(yōu)化設計方法 Abstract In digital control system, interference, which is mixed in the input signal, has a great effect on performance of the system. Therefore, processing of input sign

4、al has to be done to get useful signal. Finite impulse response (FIR) filter plays an important role in the processing of digital signal. Designing the FIR filter by Matlab can simplify the complicated computation in simulation and improve the performance. By using the methods of window function,

5、frequency sampling and optimization techniques, the design of FIR digital filter has been processed in Matlab. In the view of the designed program of Matlab and the figure of the amplitude-frequency characterization. At last, by using the FIR digital filters which have been designed to process the s

6、ound signal based on the Matlab function, the filtering effect of different digital filters is analyzed by comparing the signal’s spectrum viewers and the sound files which have been generated. The experimental results show that the FIR filters designed in this paper are effective. Key words: FIR

7、digital filter, simulation, windowing method, frequency sampling method, optimization techniques III 目 錄 摘要 I Abstract II 1 數(shù)字濾波器 1 1.1 數(shù)字濾波器簡介 1 1.2 IIR數(shù)字濾波器 1 1.3 FIR數(shù)字濾波器 2 1.4 IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較 4 2 Matlab及電子通信系統(tǒng)仿真簡介 5 2.1 Matlab簡介 5 2.1.1 基本功能 5 2.1.2 Matlab

8、的優(yōu)勢 5 2.2 電子通信系統(tǒng)的仿真簡介 5 2.2.1 通信與電子系統(tǒng)仿真的概念 5 2.2.2 計算機仿真的步驟 6 2.2.3 電子通信系統(tǒng)計算機仿真的優(yōu)點 6 2.2.4 電子通信系統(tǒng)計算機仿真的局限性 7 3 FIR數(shù)字濾波器的設計 8 3.1 窗函數(shù)法設計FIR濾波器 8 3.2 頻率取樣法設計線性相位FIR濾波器 11 3.3 線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設計 13 4 利用Matlab實現(xiàn)FIR濾波器設計 15 4.1 窗函數(shù)法的Matlab實現(xiàn) 15 4.2 頻率取樣法的Matlab實現(xiàn) 22 4.3 優(yōu)化設計的Matlab

9、實現(xiàn) 26 4.4 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形 32 參考文獻 37 附錄 38 附錄一 外文原文及翻譯 38 外文原文 38 外文翻譯 51 附錄二 利用Matlab實現(xiàn)FIR濾波器設計參考程序 61 1 數(shù)字濾波器 1.1 數(shù)字濾波器簡介 數(shù)字濾波器是一個離散的系統(tǒng)。它可以對輸入的離散信號進行一系列運算處理，從輸入的信號中獲得所需要的信息。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通常表示為 (1-1) 數(shù)字濾波器分為有限沖激響應數(shù)字濾波器，即FIR數(shù)字濾波器和無限沖激響應，即II

10、R數(shù)字濾波器。從公式的角度來看，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的 始終為零；IIR數(shù)字濾波器至少有一個非零。 實現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法一般有兩種：一種是利用計算機的程序編譯，從而仿真實現(xiàn)；另一種是利用硬件來實現(xiàn)。實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器一般需要三個基本的運算單元：加法器、延時器和乘法器。 設計一個數(shù)字濾波器的一般步驟為： （1）按所給要求確定濾波器的性能 （2）用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變的系統(tǒng)函數(shù)逼近此性能的要求 （3）利用算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù) （4）利用計算機仿真或硬件來實現(xiàn) 1.2 IIR數(shù)字濾波器 無限長單位沖激響應濾波器，即IIR數(shù)字濾波器具有下面幾個特點： （1） 系統(tǒng)的

11、單位沖激響應為無限長的 （2） 系統(tǒng)函數(shù)在有限z平面上有極值點 （3） 結構上是遞歸型的 IIR濾波器的設計就是在給定的技術指標下去確定濾波器的階數(shù)N和系數(shù) {，}。在已滿足給定的技術指標下，應選用階數(shù)盡可能低的濾波器，因為濾波器的階數(shù)越低，在實現(xiàn)時成本就越低。 在設計IIR濾波器時，最常用的方法是利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器。其原因為： （1） 模擬濾波器的設計技術相對成熟，可以廣泛利用 （2） 模擬濾波器有大量的參考程序和表格 （3） 它的解可以為閉合形式的 1.3 FIR數(shù)字濾波器 FIR濾波器是指在有限范圍內(nèi)系統(tǒng)的單位脈沖響應h[k]僅有非零值的濾

12、波器。M階FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 (1-2) 其中H(z)是的M階多項式，在有限的z平面內(nèi)H(z)有M個零點，在z平面原點z=0有M個極點. FIR濾波器的頻率響應為 (1-3) 它的另外一種表示方法為 (1-4) 其中和分別為系統(tǒng)的幅度響應和相位響應。 若系統(tǒng)的相位響應滿足下面的條件 (1-5) 即系統(tǒng)的群延遲是一個與沒有關系的常數(shù)，稱為系統(tǒng)H(z)具有嚴格線性相

13、位。由于嚴格線性相位條件在數(shù)學層面上處理起來較為困難，因此在FIR濾波器設計中一般使用廣義線性相位。 如果一個離散系統(tǒng)的頻率響應可以表示為 (1-6) 其中和是與無關聯(lián)的常數(shù)，是可正可負的實函數(shù)，則稱系統(tǒng)是廣義線性相位的。 如果M階FIR濾波器的單位脈沖響應h[k]是實數(shù)，則可以證明系統(tǒng)是線性相位的充要條件為 (1-7) 當h[k]滿足h[k]=h[M-k],稱h[k]偶對稱。當h[k]滿足h[k]=-h[M-k],稱h[k]奇對稱。按階數(shù)h[k]又可分為M奇數(shù)和M偶數(shù)，

14、所以線性相位的FIR濾波器可以有四種類型。 四種線性相位FIR濾波器的性質(zhì)如表1-1所示 表1-1 四種線性相位FIR濾波器的性質(zhì) 類型 I II III IV 階數(shù)M 偶數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) 奇數(shù) h[k]的對稱性 偶對稱 偶對稱 奇對稱 奇對稱 關于的對稱性 偶對稱 偶對稱 奇對稱 奇對稱 關于的對稱性 偶對稱 奇對稱 奇對稱 偶對稱 的周期 0 0 A(0) 任意 任意 0 0 任意 0 0 任意 可適用的濾波器類型 LP,HP,BP,SP LP,BP 微分器，變換器，Hil

15、bert 微分器，變換器，Hilbert，HP 1.4 IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較 (1)在技術指標相同的條件下，IIR濾波器的輸出對輸入有反饋，所以可以用比FIR少的階數(shù)來滿足要求，存儲單元少，運算次數(shù)也少，經(jīng)濟實惠。 （2）FIR濾波器的相位是嚴格線性的，而IIR濾波器做不到這一點，IIR濾波器的選擇性越好，其相位的非線性越嚴重。 （3）FIR濾波器主要采用非遞歸結構， 有限精度的運算誤差很小。而IIR濾波器在運算中會產(chǎn)生寄生振蕩。 （4）FIR濾波器可以使用快速傅里葉變換算法，而IIR濾波器不能這樣。 （5）IIR濾波器可以利用模擬濾波器的公式、數(shù)據(jù)和表格，計算量小。

16、FIR濾波器設計時往往要借助計算機。 2 Matlab及電子通信系統(tǒng)仿真簡介 Matlab是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境，主要包括Matlab和Simulink兩大部分。 2.1 Matlab簡介 2.1.1 基本功能 　　Matlab是由美國的mathworks公司發(fā)布，主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系

17、統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平?！? 2.1.2 Matlab的優(yōu)勢 (1) 工作平臺編程環(huán)境十分友好 （2）編程語言簡單易用 （3）數(shù)據(jù)的計算處理能力十分強大 （4）圖像處理能力強大 （5）模塊集合工具箱應用廣泛 （6）程序的接口和發(fā)布平臺很實用 （7）可以開發(fā)用戶界面 2.2 電子通信系統(tǒng)的仿真簡介 2.2.1 通信與電子系統(tǒng)仿真的概念 系統(tǒng)仿真技術指自1970年以來發(fā)展起來的利用現(xiàn)代計算機和仿真軟件來進行仿真的計

18、算機仿真技術。由于計算機仿真具有精度高，通用性強，重復性好，建模迅速以及成本低廉等許多優(yōu)點，尤其是今年來發(fā)展了以Matlab為代表的多種科學計算和系統(tǒng)仿真語言，使用起來比利用傳統(tǒng)的C/C++語言進行仿真方便快捷得多。 所謂電子通信系統(tǒng)的仿真，就是利用計算機對實際的電子通信系統(tǒng)物理模型或數(shù)學模型進行試驗，通過這樣的模型試驗來對一個實際系統(tǒng)的性能和工作狀態(tài)進行分析和研究。當在實際電子通信系統(tǒng)中進行試驗研究比較困難或者根本無法實現(xiàn)時，仿真技術就成為必然選擇。 2.2.2 計算機仿真的步驟 （1） 提出仿真問題 （2） 分析仿真系統(tǒng) （3） 構建系統(tǒng)的數(shù)學模型 （4） 收集數(shù)據(jù) （5）

19、 建立系統(tǒng)的計算機仿真模型 （6） 驗證仿真模型 （7） 確認仿真模型 （8） 設計仿真試驗 （9） 運行仿真模型 （10） 分析仿真結果 2.2.3 電子通信系統(tǒng)計算機仿真的優(yōu)點 （1）應用計算機仿真具有經(jīng)濟、安全、可靠、編程簡易以及試驗周期短等特點，在工程領域得到了越來越廣泛的應用。 （2）現(xiàn)代電子系統(tǒng)和通信系統(tǒng)通常是復雜的大規(guī)模系統(tǒng)，在噪聲和各種隨機因素的影響下，很難通過解析方法求的系統(tǒng)的數(shù)學描述，這時系統(tǒng)仿真也就成為了一個極為有效的工具。 （3）在現(xiàn)代通信系統(tǒng)協(xié)議的性能研究中，直接試驗幾乎是不可能的，在這種情況下只能通過仿真數(shù)據(jù)來檢驗所選用的對象，以驗證有關的假設。

20、 2.2.4 電子通信系統(tǒng)計算機仿真的局限性 （1）模型的建立、驗證和確認比較困難。 （2）實際系統(tǒng)建模的原理和方法不正確，使得與實際系統(tǒng)的差別較大。 （3）建模過程中忽略了部分次要因素，使得模型仿真結果偏離實際系統(tǒng)。 （4）仿真試驗時間太短。 （5）隨機變量的概率分布的類型或參數(shù)選取不當。 （6）仿真輸出結果的統(tǒng)計誤差大。 （7）計算機字長、編碼和應用算法也會影響仿真結果。 3 FIR數(shù)字濾波器的設計 3.1 窗函數(shù)法設計FIR濾波器 窗函數(shù)設計法又稱為傅里葉級數(shù)法。這種方法首先給出，表示要逼近的理想濾波器的

21、頻率響應，則由IDTFT可得出濾波器的單位脈沖響應為 (3-1) 由于是理想濾波器，故是無限長序列。但是我們所要設計的FIR濾波器，其h[k]是有限長的。為了能用FIR濾波器近似理想濾波器，需將理想濾波器的無線長單位脈沖響應分別從左右進行截斷。當截斷后的單位脈沖響應不是因果系統(tǒng)的時候，可將其右移從而獲得因果的FIR濾波器。 另一種設計方案是將線性相位因子加入到理想濾波器的頻率響應中，然后利用IDTFT計算出后，取在0≦k≦M范圍的值為FIR濾波器單位脈沖響應。 理想濾波器的頻率響應和設計出的濾波器的頻率響應的積分平方誤差

22、定義為 (3-2) 也可以表示為 (3-3) 上式中的第一項和第三項與所設計出的濾波器參數(shù)是沒有關系的，為了使上式中的第二項達到最小，可選擇 (3-4) 所以用上面的方法得出的濾波器是在積分平方誤差最小意義下的最佳濾波器。 Gibbs現(xiàn)象就是理想濾波器的單位脈沖響應截斷獲得的FIR濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象。隨著濾波器階數(shù)的增加

23、，幅度函數(shù)在通帶和阻帶振蕩的波紋數(shù)量也隨之增加，波紋的寬度隨之減小，然而通帶和阻帶最大波紋的幅度與濾波器的階數(shù)M無關。窗函數(shù)的主瓣寬度決定了過渡帶的寬度，窗函數(shù)長度N增大，過渡帶減小。 下面介紹一些常用的窗函數(shù)，用N=M+1表示窗函數(shù)的長度。 （1） 矩形窗 (3-5) 矩形窗的主瓣寬度為。用矩形窗設計的FIR濾波器過渡帶寬度近似為。 （2） Hanning窗 (3-6) Hanning窗的主瓣寬度為。由Hanning窗的定義可知，Hanning窗在其兩個端

24、點的值為零，這就使得在實際的應用中不能利用兩個端點的數(shù)據(jù)。我們可將N+2點的Hanning窗除去兩個端點來定義長度為N的Hanning窗。修改后的長度為N的Hanning窗定義為 (3-7) 在Matlab信號處理工具箱中所采用的就是這種修改后的定義方式。 （3） Hamming窗 (3-8) Hamming窗的主瓣寬度為。 （4） Blackman窗 (3-9) Blackman窗的主瓣寬度為。 （5） Kaiser窗 此種窗是一種應用廣泛的可調(diào)節(jié)窗，它可以通過改變窗函數(shù)的形狀來控制窗函數(shù)旁瓣的大小，從而在設計中可用濾波器的衰減

25、指標來確定窗函數(shù)的形狀。長度為N的Kaiser窗定義為 (3-10) 其中是一個可調(diào)參數(shù)，可以通過改變的值來調(diào)整窗函數(shù)的形狀，從而達到不同的阻帶衰減要求。上式中的是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)。可用冪級數(shù)表示為 (3-11) 對于任意的一個實變量x，函數(shù)的值都是正的。在實際計算中，上式的求和一般取20項就能達到所需精度。隨著參數(shù)的增加，Kaiser窗在兩端的衰減是逐漸加大的。 3.2 頻率取樣法設計線性相位FIR濾波器 頻率取樣法是從頻域出發(fā)，在頻域直接設計，把給定的理想頻率響應加以等間隔

26、取樣，并以此作為實際FIR濾波器的頻率響應。設所需濾波器的頻率響應為?，F(xiàn)要求設計一個M階的FIR濾波器h[k]，使得在M+1個取樣點上，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應與所需的頻率響應相等，即 (3-12) 由設計的要求給定，h[k]需要通過設計來確定。如果M+1個方程是線性無關的，則可以通過求解M+1階的線性方程來得出FIR濾波器的h[k]。對的一些特殊取樣方法，上述方程的解可以直接由IDFT得到。由于要求設計出的濾波器是實系數(shù)的線性相位FIR濾波器，所以的取樣值還需要滿足線性相位濾波器的約束條件。 I型和II型線性相位濾波器的，III型和IV型線性相位濾波

27、器的。為了使設計出的濾波器具有線性相位，在M+1個取樣點上的值應為 (3-13) 下面分別討論四種線性相位濾波器在取樣點上的值： I型（M為偶數(shù)，h[k]偶對稱）線性相位FIR濾波器在M+1個取樣點值為 (3-14) 上式表明I型線性相位FIR濾波器在的值可由在的值確定。在的值確定后，對做M+1點的IDFT即可得到I型線性相位濾波器的h[k]。 II型（M為奇數(shù)，h[k]偶對稱）線性相位FIR濾波器在M+1個取樣點值為 (3-15) 上式表明II型線性相位FIR濾波器在的值可由在的值確

28、定。 III型（M為偶數(shù)，h[k]奇對稱）線性相位FIR濾波器在M+1個取樣點值為 (3-16) 上式表明III型濾波器線性相位FIR濾波器在的值可由在的值確定。 IV型（M為奇數(shù)，h[k]奇對稱）線性相位FIR濾波器在M+1個取樣點值為 (3-17) 上式表明IV型線性相位FIR濾波器在的值可由在的值確定。 為了提高濾波器的質(zhì)量并減少誤差，可以采用人為地擴展過渡帶的方法，即在頻率相應的過渡帶內(nèi)插入一個或多個比較連續(xù)的采樣點，使得過渡帶比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變法比較緩慢，使得設計得到的濾

29、波器對理想濾波器的逼近誤差較小。 在理想低通濾波器的設計中，若不增加過渡點，阻帶和通帶之間的衰減約為-21dB，如果在通帶和阻帶之間增加一個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到-65dB，如果增加兩個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到-75dB，如果增加3個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到-85dB至-95dB。 3.3 線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設計 在使用窗函數(shù)法設計濾波器時，如果使用矩形窗，則設計出的FIR濾波器是積分平方誤差最小意義下的最佳FIR濾波器。但由于Gibbs現(xiàn)象的存在，使得設計出濾波器在阻帶的衰減一般不能滿足要求。為解決這個問題可以采用其他的窗函數(shù)，但得到的濾波

30、器不是最小誤差意義下的最優(yōu)FIR濾波器。 設表示要逼近的理想濾波器的幅度函數(shù)。表示設計出的線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)。優(yōu)化設計的基本思想就是要確定線性相位FIR濾波器的系數(shù)，使得和的誤差在范圍內(nèi)達到最小。與的加權誤差函數(shù)定義為 (3-18) 其中，是由設計者定義的加權函數(shù)。 一種常用的誤差準則稱為最大誤差最小準則，又稱切比雪夫準則，定義為 (3-19) 其中I表示濾波器在范圍內(nèi)各頻率帶區(qū)間構成的集合。切比雪夫準則意義下的優(yōu)化設計就是要確定FIR濾波器H(z)的系數(shù)，使得上式定義

31、的誤差達到最小。 在FIR濾波器的階數(shù)M固定的條件下，利用切比雪夫誤差準則設計出的FIR濾波器的幅度響應在通帶和阻帶都會呈現(xiàn)等波紋的波動。所以這類濾波器稱為等波紋FIR濾波器。等波紋FIR濾波器的設計方法是由Parks-McClellan提出。在解決問題過程中使用了數(shù)學優(yōu)化中的Remez交換算法。 利用Remez交換算法，等波紋線性相位FIR濾波器的設計步驟可歸結為：（1）用Kaiser提出的經(jīng)驗公式估計濾波器的階數(shù) (3-20) 確定J的值。 （2）選定初始極值點。 （3）計算。 （4）為尋找新的

32、極值點，計算函數(shù)在I中的抽樣值。為了減少計算誤差，抽樣間隔應足夠小。通常選擇抽樣點數(shù)為16M。 （5）尋找新的極值點。 （6）如果，執(zhí)行（7）。否則用交換回到（3）。 （7）獲得g[k]。 （8）由g[k]求出h[k]。 4 利用Matlab實現(xiàn)FIR濾波器設計 在利用Matlab設計FIR濾波器時，分別采用窗函數(shù)法、頻率取樣法和優(yōu)化設計方法去設計所需的濾波器。在設計的過程中，用設計的濾波器對加有噪聲的語音信號或不同頻率疊加的正弦輸入信號進行濾波，對比輸入前后的圖像，以此驗證濾波器的性能。在程序繪制的圖像中，有濾波器的特性圖、輸入信號的時域頻域圖和輸出信號的時域頻域圖

33、。 4.1 窗函數(shù)法的Matlab實現(xiàn) 在窗函數(shù)法的Matlab實現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用的函數(shù)有fir1和kaiserord。 程序中fir1函數(shù)的用法：b=fir1(n,Wn,’ftype’,window) ①n為濾波器的階數(shù) ②Wn為濾波器的截止頻率，它是一個0到1的數(shù)。如果Wn是一個含有兩個數(shù)的向量，則函數(shù)返回一個帶通濾波器 ③ftype為濾波器的類型，ftype=’high’時，設計的是高通濾波器；ftype=’stop’時，設計的是帶阻濾波器；沒有此參數(shù)時，設計的是低通濾波器 ④window為指定的窗函數(shù)，矩形窗為boxcar(n)，漢寧窗為hanning(n)，

34、海明窗為hamming(n)，布萊克曼窗為blackman(n)，凱撒窗為kaiser(n,beta)，沒有此參數(shù)時，默認為hamming窗 程序中kaiserord函數(shù)的用法：[n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev,Fs) ①f是一個向量，為設計濾波器過渡帶的起始點和結束點 ②a是一個向量，指定頻率段的幅度值 ②dev是一個向量，長度和a相同，為各個通帶和阻帶內(nèi)容許的幅度最大誤差 ④n為能夠滿足要求的濾波器的最小階數(shù) ⑤Wn為濾波器的截止頻率 ⑥ftype為根據(jù)待設計濾波器的要求得到的濾波器的類型 (1) 利用窗函數(shù)法設計低通濾波器

35、設計要求：①使用hamming窗，采樣頻率2000Hz ②通帶截頻0.1，阻帶截頻0.17 ③通帶衰減小于等于0.1dB，阻帶衰減大于等于50dB 程序參見附錄二中的1-（1）利用窗函數(shù)法設計低通濾波器 圖4-1 窗函數(shù)法設計低通濾波器的增益響應 從參考程序及圖4-1可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為266 ②濾波器的通帶截頻0.1 ，阻帶截頻0.17 ，過渡帶寬0.07 ③通帶衰減為0.019dB，阻帶衰減為53dB 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為

36、設計所要求的濾波器。 圖4-2 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖4-3 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖4-2和圖4-3的圖像中可以看到：輸入信號是由兩個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 （2） 利用窗函數(shù)法設計帶通濾波器 設計要求：①使用Kaiser窗，采樣頻率8000Hz ②通帶截頻0.325與0.5525，阻帶截頻0.25與0.6025 ③阻帶衰減大于等于40dB，通帶和阻帶波紋0.01 程序參見附錄二中的1-（2）利用窗函數(shù)法設計帶通濾波器 圖4-

37、4 窗函數(shù)法設計帶通濾波器的增益響應 從參考程序及圖4-4可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ①濾波器的采樣頻率為8000Hz，濾波器的階數(shù)為90 ②濾波器的通帶截頻0.325與0.5525，阻帶截頻0.25與0.6025，過渡帶寬0.075與0.05 ③阻帶衰減為40dB，通帶和阻帶的波紋均為0.01 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 圖4-5 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖4-6 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖4-5和圖4-6的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加

38、而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 (3) 利用窗函數(shù)法設計多通帶濾波器 設計要求：①使用Kaiser窗，采樣頻率200Hz ②通帶截頻0.2、0.4、0.7、0.8 阻帶截頻0.1、0.5、0.6、0.9 ③阻帶衰減大于等于30dB，通帶和阻帶波紋0.01 程序參見附錄二中的1-（3）利用窗函數(shù)法設計多通帶濾波器 圖4-7 窗函數(shù)法設計多通帶濾波器的增益響應 從參考程序及圖4-7可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ①濾波器的采樣頻率為200Hz，濾波器的階數(shù)為46 ②濾波器的通帶截

39、頻0.2、0.4、0.7、0.8，阻帶截頻0.1 、0.5、0.6、0.9，過渡帶寬均為0.1 ③阻帶衰減為38dB，通帶和阻帶的波紋均為0.01 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 圖4-8 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖4-9 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖4-8和圖4-9的圖像中可以看到：輸入信號是由六個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 4.2 頻率取樣法的Matlab實現(xiàn) (1)

40、利用頻率取樣法設計低通濾波器 設計要求：①通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6 ②阻帶衰減大于等于15dB 程序參見附錄二中的2-（1）利用頻率取樣法設計低通濾波器 圖4-10 頻率取樣法設計低通濾波器的增益響應 從參考程序及圖4-7可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ①濾波器的階數(shù)為63 ②濾波器的通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6，過渡帶寬為0.1 ③阻帶衰減為17dB 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 圖4-11 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖4-12 信號濾波后的時域圖和頻域圖

41、 從圖4-11和圖4-12的圖像中可以看到：輸入信號是由三個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 （2）利用頻率取樣法設計高通濾波器 設計要求：①通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6 ②阻帶衰減大于等于15dB 程序參見附錄二中的2-（2）利用頻率取樣法設計高通濾波器 圖4-13 頻率取樣法設計高通濾波器的增益響應 從參考程序及圖4-7可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ①濾波器的階數(shù)為32 ②濾波器的通帶截頻0.6，阻帶截頻0.5，過渡帶寬為0.1 ③阻帶衰減為18dB

42、 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 圖4-14 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖4-15 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖4-14和圖4-15的圖像中可以看到：輸入信號是由三個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 4.3 優(yōu)化設計的Matlab實現(xiàn) 在優(yōu)化設計的Matlab實現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用remez函數(shù)，這種函數(shù)的使用方法為： b=remez(n,f,a,w,’ftype’) ①n為待

43、設計濾波器的階數(shù)；f是一個向量，它是一個0到1的正數(shù) ②a是一個向量，指定頻率段的幅度值；w對應于各個頻段的加權值 ③函數(shù)的返回值b是設計出的濾波器的系數(shù)組成的一個長度為n+1的向量 (1) 利用Remez函數(shù)設計等波紋低通濾波器 設計要求：①通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6 , 采樣頻率2000Hz ②阻帶衰減大于等于40dB，通帶波紋0.1710和阻帶波紋0.01 程序參見附錄二中的3-（1）利用Remez函數(shù)設計等波紋低通濾波器 圖4-16 等波紋低通濾波器的增益響應 從參考程序及圖4-16可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器

44、的階數(shù)為22 ②濾波器的通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6，過渡帶寬均為0.1 ③阻帶衰減為40dB，通帶波紋為0.1710，阻帶波紋為0.01 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 圖4-17 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖4-18 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖4-17和圖4-18的圖像中可以看到：輸入信號是由兩個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 (2) 利用Remez函數(shù)設計等波紋帶通濾波器

45、 設計要求：①通帶截頻0.3、0.6，阻帶截頻0.2、0.7 ②阻帶衰減大于等于40dB ③通帶波紋0.1710和阻帶波紋0.01 ④采樣頻率2000Hz 程序參見附錄二中的3-（2）利用Remez函數(shù)設計等波紋帶通濾波器 圖4-19 等波紋帶通濾波器的增益響應 從參考程序及圖4-19可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22 ②通帶截頻0.3、0.6，阻帶截頻0.2、0.7，過渡帶寬均為0.1 ③阻帶衰減為40dB，通帶波紋為0.1710，阻帶波紋為0.01 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿

46、足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 圖4-20 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖4-21 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖4-20和圖4-21的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 (3) 利用Remez函數(shù)設計等波紋帶阻濾波器 設計要求：①阻帶截頻0.3、0.6，通帶截頻0.2、0.7 ②阻帶衰減大于等于15dB ③通帶波紋0.01和阻帶波紋0.1710 ④采樣頻率2000Hz 程序參見附錄二中的3-（3）利用

47、Remez函數(shù)設計等波紋帶阻濾波器 圖4-22 等波紋帶阻濾波器的增益響應 從參考程序及圖4-22可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22 ②通帶截頻0.2、0.7，阻帶截頻0.3、0.6，過渡帶寬均為0.1 ③阻帶衰減為15dB，通帶波紋為0.01，阻帶波紋為0.1710 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 圖4-23 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖4-24 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖4-23和圖4-24的圖像中可以看到：輸入信

48、號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 4.4 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形 （1） 利用窗函數(shù)法設計的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形 程序參見附錄二4-（1）利用窗函數(shù)法設計的低通濾波器處理加噪聲的音頻波形 圖4-25 加噪前錄音波形的時域圖和頻域圖 圖4-26 加噪后錄音波形的時域圖和頻域圖 圖4-27 窗函數(shù)法設計低通濾波器的增益響應 圖4-28 濾波后錄音波形的時域圖和頻域圖 從參考程序及以上的四個圖像中可以得到如下結論：

49、①從錄音波形的頻域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。對比figure（1）和figure（4）濾波前后的波形和頻譜，可以看到波形得到了重現(xiàn) ②濾波器的采樣頻率為22050Hz，濾波器的階數(shù)為266 ③濾波器的通帶截頻0.6，阻帶截頻0.68，過渡帶寬0.08 ④通帶衰減為0.019dB，阻帶衰減約為53dB （2） 利用優(yōu)化設計的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形 程序參見附錄二中4-（2）利用優(yōu)化設計的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形 圖4-29 加噪前錄音波形的時域圖

50、和頻域圖 圖4-30 加噪后錄音波形的時域圖和頻域圖 圖4-31 等波紋低通濾波器的增益響應 圖4-32 濾波后錄音波形的時域圖和頻域圖 從參考程序及以上的四個圖像中可以得到如下結論： ①從錄音波形的頻域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。對比figure（1）和figure（4）濾波前后的波形和頻譜，可以看到波形得到了重現(xiàn) ②濾波器的采樣頻率為22050Hz，濾波器的階數(shù)為24 ③濾波器的通帶截頻0.6，阻帶截頻0.7，過渡帶寬為0.1 ④阻帶衰減為40

51、dB，通帶波紋為0.1710，阻帶波紋為0.01 參考文獻 [1]陳后金.數(shù)字信號處理.高等教育出版社，2006 [2]徐明遠，邵玉斌.Matlab仿真在通信與電子工程中的應用.西安電子科技大學出版社.2008 [3]鄒鯤，袁俊泉，龔享銥.Matlab 6.x信號處理.清華大學出版社.2002 [4]張明照，劉政波，劉斌.應用Matlab實現(xiàn)信號分析和處理.科學出版社.2006 [5]劉波，文忠.曾涯.Matlab信號處理.電子工業(yè)出版社.2006 [6]William H.Tranter,K.Sam Shanmugan,Theodore S.Rappapor

52、t,Kurt L.Kosbar著.肖明波，楊光松，許芳，席斌譯.通信系統(tǒng)仿真原理與無線應用.機械工業(yè)出版社.2006 [7]程佩青.數(shù)字信號處理教程.清華大學出版社.2007 [8]Oppenheim A V,Schafer R W.Digital Signal Processing. Prentice Hall,Inc.1975.董士嘉譯.數(shù)字信號處理.科學出版社.1981 [9]黃順吉.數(shù)字信號處理及其應用.國防工業(yè)出版社.1982 [10]蘇金明，張蓮花，劉波.Matlab工具箱應用.電子工業(yè)出版社.2004 附錄 附錄一

53、 外文原文及翻譯 外文原文 FIR Filter Design Techniques Abstract This report deals with some of the techniques used to design FIR filters. In the beginning, the windowing method and the frequency sampling methods are discussed in detail with their merits and demerits. Different optimization techniques invo

54、lved in FIR filter design are also covered, including Rabiner’s method for FIR filter design. These optimization techniques reduce the error caused by frequency sampling technique at the non-sampled frequency points. A brief discussion of some techniques used by filter design packages like Matlab ar

55、e also included. Introduction FIR filters are filters having a transfer function of a polynomial in z and is an all-zero filter in the sense that the zeroes in the z-plane determine the frequency response magnitude characteristic.The z transform of a N-point FIR filter is given by

56、 (1) FIR filters are particularly useful for applications where exact linear phase response is required. The FIR filter is generally implemented in a non-recursive way which guarantees a stable filter. FIR filter design essentially consists of two parts (i) approximation problem

57、 (ii) realization problem The approximation stage takes the specification and gives a transfer function through four steps. They are as follows: (i) A desired or ideal response is chosen, usually in the frequency domain. (ii) An allowed class of filters is chosen (e.g.the length N for a FIR f

58、ilters). (iii) A measure of the quality of approximation is chosen. (iv) A method or algorithm is selected to find the best filter transfer function. The realization part deals with choosing the structure to implement the transfer function which may be in the form of circuit diagram or in the

59、form of a program. There are essentially three well-known methods for FIR filter design namely: (1) The window method (2) The frequency sampling technique (3) Optimal filter design methods The Window Method In this method, [Park87], [Rab75], [Proakis00] from the desired frequency respon

60、se specification Hd(w), corresponding unit sample response hd(n) is determined using the following relation (2) (3) In general, unit sample response hd(n) obtained from the above relation is infinite in duration, so it must be truncat

61、ed at some point say n= M-1 to yield an FIR filter of length M (i.e. 0 to M-1). This truncation of hd(n) to length M-1 is same as multiplying hd(n) by the rectangular window defined as w(n) = 1 0≦n≦M-1 (4) 0 otherwise Thus the unit sample response of the FI

62、R filter becomes h(n) = hd(n) w(n) (5) = hd(n) 0≦n≦M-1 = 0 otherwise Now, the multiplication of the window function w(n) with hd(n) is equivalent to convolution of Hd(w) with W(w), where W(w) is the frequency domain representation of the window fu

63、nction (6) Thus the convolution of Hd(w) with W(w) yields the frequency response of the truncated FIR filter (7) The frequency response can also be obtained using the following relation (8) B

64、ut direct truncation of hd(n) to M terms to obtain h(n) leads to the Gibbs phenomenon effect which manifests itself as a fixed percentage overshoot and ripple before and after an approximated discontinuity in the frequency response due to the non-uniform convergence of the fourier series at a discon

65、tinuity.Thus the frequency response obtained by using (8) contains ripples in the frequency domain. In order to reduce the ripples, instead of multiplying hd(n) with a rectangular window w(n), hd(n) is multiplied with a window function that contains a taper and decays toward zero gradually, instead

66、of abruptly as it occurs in a rectangular window. As multiplication of sequences hd(n) and w(n) in time domain is equivalent to convolution of Hd(w) and W(w) in the frequency domain, it has the effect of smoothing Hd(w). The several effects of windowing the Fourier coefficients of the filter on the result of the frequency response of the filter are as follows: (i) A major effect is that discontinuities in H(w) become transition bands between values on either side of the discontinuity. (ii)