《2014年高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 3.1三角函數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 3.1三角函數(shù)（51頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：3.1三角函數(shù) 一、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1、三角函數(shù)的定義 ※相關(guān)鏈接※ （1）已知角α終邊上上點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解； （2）已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的α值。 注：若角α的終邊落在某條直線上，一般要分類討論。 ※例題解析※ 〖例〗已知角α的終邊落在直線3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。 思路解析：本題求α的三角函數(shù)值，依據(jù)

2、三角函數(shù)的定義，可在角α的終邊上任意一點P（4t,-3t）(t≠0)，求出r，由定義得出結(jié)論。 解答：∵角α的終邊在直線3x+4y=0上，∴在角α的終邊上任取一點 P（4t,-3t）(t≠0)，則x=4t,y=-3t., r===5|t|, 當t>0時，r=5t,sinα==,，； 當t<0時，r=-5t，sinα==，，。 綜上可知，sinα= ，，；或sinα= ,,. 2、象限角、三角函數(shù)值符號的判斷 ※相關(guān)鏈接※ （1）熟記各個三角函數(shù)在每個象限內(nèi)的符號是關(guān)鍵； （2）判斷三角函數(shù)值的符號就是要判斷角所在的象限； （3）對于已知三角函數(shù)式的符號判斷角所在象限，可

3、先根據(jù)三角函數(shù)式的符號確定三角函數(shù)值的符號，再判斷角所在象限。 ※例題解析※ 〖例〗（1）如果點P（sinθcosθ,2cosθ）位于第三象限，試判斷角θ所在的象限； 2 / 51 （2）若θ是第二象限角，則的符號是什么？ 思路解析：（1）由點P所在的象限，知道sinθcosθ，2cosθ的符號，從而可求sinθ與cosθ的符號；（2）由θ是第二象限角，可求cosθ，sin2θ的范圍，進而把cosθ，sin2θ看作一個用弧度制的形式表示的角，并判斷其所在的象限，從而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符號可定。 解答：（1）因為點P（sinθcosθ,2cosθ）位于第三

4、象限，所以sinθcosθ<0，2cosθ<0，即所以θ為第二象限角。 （2）∵2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),∴-10,∴<0,∴的符號是負號。 3、已知α所在象限，求所在象限 ※相關(guān)鏈接※ （1）由α所在象限，確定所在象限的方法 ①由α的范圍，求出的范圍； ②通過分類討論把角寫成θ+k3600的形式，然后判斷所在象限。 （2）由α所在象限，確定所在象限，也可用如下方法判斷： ①畫出區(qū)域：將坐標系每個象限二等分，得8個區(qū)域； ②標號：自x軸正向逆時針方向

5、把每個區(qū)域依次標上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（如圖所示）； ③確定區(qū)域：找出與角α所在象限標號一致的區(qū)域，即為所求。 （3）由α所在象限，確定所在象限，也可用如下方法判斷： ①畫出區(qū)域：將坐標系每個象限三等分，得到12個區(qū)域； ②標號：自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（如圖所示）： ③確定區(qū)域：找出與角α所在象限標號一致的區(qū)域，即為所求。 ※例題解析※ 〖例〗若α是第二象限角，試分別確定2α、、的終邊所在位置 思路分析：寫出α的范圍求出2α、、的范圍分類討論求出2α、、終邊所在位置。 解答：∵α是第二象限角，∴900+k3600<α<1800+k360

6、0(k∈Z), (1)∵1800+2k3600<2α<3600+2k3600(k∈Z), 故2α是第三或第四象限角，或2α的終邊在y軸的非正半軸上。 （2）∵450+k1800<<900+k1800(k∈Z), 當k=2n(n∈Z)時，450+n3600<<900+n3600(k∈Z), 當k=2n+1(n∈Z)時, 2250+n3600<<2700+n3600(k∈Z), ∴是第一或第三象限角。 （3）∵300+k1200<<600+k1200(k∈Z), 當k=3n(k∈Z)時，300+n3600<<600+k3600(k∈Z), 當k=3n+1(k∈Z)時, 1500+

7、n3600<<1800+k3600(k∈Z), 當k=3n+2(k∈Z)時, 2700+n3600<<3000+k3600(k∈Z), ∴是第一或第二或第四象限角。 4、同角三角函數(shù)關(guān)系的應用 〖例〗（12分）已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα=.（1）求tanα的值；（2）把用tanα表示出來，并求其值。 思路分析：（1）由sinα+cosα=及sin2α+cos2α=1,可求sinα, cosα的值； （2）sin2α+cos2α=1，分子、分母同除以cos2α即可。 解答：（1）方法一：聯(lián)立方程 由1o得，將其代入2o，整理得 ∵α是三角形內(nèi)角， ∴∴

8、tanα= 方法二：∵sinα+cosα=，∴(sinα+cosα)2=()2 即，∴ ∴(sinα-cosα)2= ∵ ∴sinα>0,cosα<0,∴sinα- cosα>0, ∴sinα- cosα=, 由得 ∴tanα= （2） ∵tanα= ∴ 注：（1）對于sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求。轉(zhuǎn)化的公式為(sin αcosα)2=12 sinαcosα;（2）關(guān)于sinα，cosα的齊次式，往往化為關(guān)于tanx的式子。 5、扇形的弧長、面積公式的應用 〖例〗已知一扇形的圓心

9、角是α，所在圓半徑是R。 （1） 若α=600，R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積。 （2） 若扇形的周長是一定值C（C>0），當α是多少弧度時，該扇形有最大面積？ 思路分析：（1）利用弧長、面積公式求解；（2）把扇形面積用α表示出來，或用弧長表示出來，然后求出函數(shù)的最值。 解答：（1）設(shè)弧長為，弓形面積為， （2）方法一：∵扇形周長C=2R+=2R+φR,∴R= ∴當且僅當，即α=2（α=-2舍去）時，扇形面積有最大值。 方法二：由已知2R+=C, ∴當時，， 此時 ∴當α=2弧度時，扇形面積有最大值。 注：合理選擇變量，把扇

10、形面積表示出來，體現(xiàn)了函數(shù)的思想，針對不同的函數(shù)類型，采用不同的方法求最值，這是解決問題的關(guān)鍵。 二、三角函數(shù)的誘導公式 1、三角函數(shù)式的化簡 ※相關(guān)鏈接※ （1），，，的三角函數(shù)值是化簡的主要工具。使用誘導公式前，要正確分析角的結(jié)構(gòu)特點，然后確定使用的誘導公式； （2）不能直接使用誘導公式的角通過適當?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導公式的角，如：等。 注：若出現(xiàn)時，要分為奇數(shù)和偶數(shù)討論。 （3）誘導公式的應用原則是：負化正，大化小，化到銳角為終了。特殊角能求值則求值； （4）化簡是一種不能指定答案的恒等變形，化簡結(jié)果要盡可能使項數(shù)少、函數(shù)的種類少、次數(shù)低、能求出值的要求出值、無根

11、式、無分式等。 ※例題解析※ 〖例〗化簡： 思路分析：化簡時注意觀察題設(shè)中的角出現(xiàn)了，需討論是奇數(shù)還是偶數(shù)。 解答：當時， 當時 綜上，原式=-1 2、三角函數(shù)的求值 ※相關(guān)鏈接※ （1）六個誘導公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系是求值的基礎(chǔ)； （2）已知一個角的三角函數(shù)值，求其他角三角函數(shù)值時，要注意對角化簡，一般是把已知和所求同時化簡，化為同一個角的三角函數(shù)，然后求值。 ※例題解析※ 〖例〗已知，求的值。 思路解析：化簡已知條件化簡所求三角函數(shù)式，用已知表示代入已知求解 解答：， 3、誘導公式在三角形中的應用 〖例1〗在ΔABC中，若sin(2π-

12、A)=sin(π-β)，cosA=cos(π-β)求ΔABC的三內(nèi)角。 思路分析：本題首先利用誘導公式把所給兩個等式化簡，然后利用，求出cosA的值，再利用A+B+C=π進行計算。 解答：由已知得，化簡得即 （1）當時，，又A、B是三角形內(nèi)角，∴A=，B=，C= （2）當，，又A、B是三角形內(nèi)角，∴A=，B=，不合題意。 綜上知，A=，B=，C= 注：在ΔABC中常用的變形結(jié)論有： ∵A+B+C=π，2A+2B+2C=2π，， ∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC; cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC; tan(A+B)=tan(π-C)=-t

13、anC; sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C; cos(2A+2B)= cos(2π-2C)=cos2C; tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C; sin()=sin()=cos; cos()=cos()=sin. 以上結(jié)論應在熟練應用的基礎(chǔ)上加強記憶。 〖例2〗是否存在α∈（，），β∈（0，π），使等式sin(3π-α)=cos(-β), cos(-α)= cos(π+β)同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由。 思路分析：要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個三角函數(shù)值，因此，解決本題的關(guān)鍵是由兩個等式消去α

14、或β的同名三角函數(shù)值。 解答：假設(shè)存在α，β使得等式成立，即有 化簡得，繼續(xù)化簡可得，∴。又∴α=或α=。將α=代入得cosβ=.又β∈（0，π），∴β=，代入可知符合。 將α=代入得cosβ=.又β∈（0，π），∴β=代入可知不符合。 綜上可知，存在α=，β=滿足條件。 注：已知角α的三角函數(shù)值求角α的一般步驟是： （1）由三角函數(shù)值的符號確定角α所豐的象限； （2）據(jù)角α所在的象限求出角α的最小正角； （3）最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達式。 三、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1、與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域 ※相關(guān)鏈接※ （1）與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定

15、義域 ①與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域仍然是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍； ②求此類函數(shù)的定義域最終歸結(jié)為用三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象解三角不等式。 （2）用三角函數(shù)線解sinx>a(cosx>a)的方法 ①找出使sinx=a(cosx=a)的兩個x值的終邊所豐位置； ②根據(jù)變化趨勢，確定不等式的解集。 （3）用三角函數(shù)的圖象解sinx>a(cosx>a，tanx>a)的方法 ①作直線y=a，在三角函數(shù)的圖象了找出一個周期內(nèi)（不一定是[0，2π]）在直線y=a上方的圖象； ②確定sinx=a(cosx=a，tanx=a)的x值，寫出解集。 注：關(guān)于正切函數(shù)的不等式tan

16、x>a（tanxcosx的x的集合，可用圖象或三角函數(shù)線解決；（2）第（2）小題實際就是求使成立的x的值，可用圖象或三角函數(shù)線解決。 解答：（1）要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx>0 方法一：利用圖象。在同一坐標系中畫出[0，2π]上y=sinx和y=cosx的圖象，如圖所示： 在[0，2π]內(nèi)，滿足sinx=cosx的x 為，，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以定義域為

17、 方法二、利用三角函數(shù)線，如圖，，MN為正弦線，OM為余弦線，要使sinx>cosx,即MN>OM，則?！喽x域為 方法三：sinx-cosx=sin(x-)>0,將x-視為一個整體，由正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)可知2kπ< x-<π+2kπ,解得2kπ+0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，基本思路是把ωx+φ看作一個整

18、體，由求得函數(shù)的增區(qū)間，由求得函數(shù)的減區(qū)間。 （3）形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)，可先利用誘導公式把x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到y(tǒng)=-Asin(ωx-φ)，由得到函數(shù)的減區(qū)間，由得到函數(shù)的增區(qū)間。 注：對于函數(shù)y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)產(chǎn)單調(diào)區(qū)間的求法與y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間的求法相同。 ※例題解析※ 〖例〗（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （2）求的周期及單調(diào)區(qū)間。 思路解析：題目所給解析式中x的系數(shù)都為負，把x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，解相應不等式求單調(diào)區(qū)間。 解答：（1）由得，由得又x∈[-π,π],∴-π≤x≤,,.∴函數(shù) x∈[

19、-π,π]的單調(diào)遞減區(qū)間為[-π，]，[，]，[，π]。 （2）函數(shù)的周期T=。由得由得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為。 3、三角函數(shù)的值域與最值 〖例1〗已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的最大值為1，最小值為-5，求a和b的值。 思路解析：求出的范圍a>0時，利用最值求a、b a<0,利用最值求a、b 解答：∵0≤x≤,∴,∴,若a>0，則，解得；若a<0,則，解得。 綜上可知，，或， 注：解決此類問題，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值，再由方程的思想解決問題。 〖例2〗求函數(shù)的值域 思路解析：（1）因x∈R時

20、，cos∈[-1,1],可利用分離參數(shù)法求解； （2）利用cosx的有界性，把cosx用y表示出來解。 解答：方法一：函數(shù)的定義域為R，y=1+,∵-1≤cosx≤1,∴當cosx=-1時，2-cosx有最大值3，此時;當cosx=1時，2-cosx有最小值1，此時,∴函數(shù)的值域為[，2]。 方法二：由解出cosx得?！?1≤cosx≤1,∴,即，也即兩邊同時平方得，即∴（y-2）(3y-4)≤0,∴,∴函數(shù)的值域為[，2] 注：求三角函數(shù)的值域主要有三條途徑： （1）將sinx或cosx用所求變量y來表示，如sinx=f(y),再由|sinx|≤1得到一個關(guān)于y 的不等式|f(y)

21、|≤1，從而求得y的取值范圍； （2）將y用sinx或cosx來表示，或配方或換元或利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來確定y的取值范圍； （3）利用數(shù)形結(jié)合或不等式法求解。 在解答過程中，注意化歸思想的應用以及應用過程中的等價轉(zhuǎn)化。 四、函數(shù)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應用 1、函數(shù)的圖象 ※相關(guān)鏈接※ （1）“五點作圖法” ①當畫函數(shù)在x∈R上的圖象時，一般令即可得到所畫圖象的特殊點坐標，其中橫坐標成等差數(shù)列，公差為； ②當畫函數(shù)在某個指定區(qū)間上的圖象時，一般先求出的范圍，然后在這個范圍內(nèi)，選取特殊點，連同區(qū)間的兩個端點一起列表。 （2）圖象變換法 ⅰ、平移變換

22、 ①沿x軸平移，按“左加右減”法則； ②沿y軸平移，按“上加下減”法則。 ⅱ、伸縮變換 ①沿x軸伸縮時，橫坐標x伸長（0<ω<1）或縮短(ω>1)為原來的倍（縱坐標y不變）; ②沿y軸伸縮時，縱坐標y伸長（A>1）或縮短（0

23、 解答：（1）=cos2x-sin2x=cos(2x+). 列表： 2x+ π 2π x 0 π 1 0 0 1 圖象如圖： （2）∵-≤x≤0,∴≤2x+≤,∴當2x+=，即x=-時，有最小值，min=-1,當2x+=0，即x=時，有最大值，max=,即在[-，0]上的最小值為-1，最大值為。 2、函數(shù)+b的解析式 ※相關(guān)鏈接※ 確定+b的解析式的步驟： （1）求A，b確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A=，b=。 （2）求ω，確定函數(shù)的周期T，則； （3）求，常用方法有： ⅰ、代入法：把圖象上的

24、一個已知點代入（此時，A、ω、b已知）或代入圖象與直線y=b的交點求解。（此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）； ⅱ、五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的第一零點（，0）作為突破口。具體如下： 第一點（即圖象上升時與x軸的交點）為；第二點（即圖象的“峰點”）為 ；第三點（即圖象下降時與x軸的交點）為；第四點（即圖象的“谷點”）為；第五點為 注：當不能確定周期T時，往往根據(jù)圖象與y軸的交點，先求. ※例題解析※ 〖例〗已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為

25、M(,-2). (1)求f(x)的解析式； (2)當x∈［,］時，求f(x)的值域. 思路解析：由與x軸的交點中相鄰兩交點的距離為可得，從而得T=π，即可得ω.由圖象最低點得A及 的值，從而得函數(shù)f(x)的解析式，進而得f(x)的值域. 解答：(1)由最低點為M(,-2),得A=2.由x軸上相鄰兩個交點之間的距離為,得,即T=π,∴ω==2.由點M(,-2)在圖象上得2sin(2+φ)=-2,即sin(+φ)=-1, 故 （2） 當2x+= ,即x=時，f(x)取得最大值2; 當2x+=,即x=時,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域為［-1,2］. 3、函數(shù)

26、y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)的綜合應用 ※相關(guān)鏈接※[ （1）已知函數(shù)的圖象變換求解析式 ①左右平移變換：把函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象向左（右）平移k個單位，得到的圖象解析式為y=Asin[ω（xk）+φ]. ②伸縮變換：把函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腗倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)的圖象解析式為y=Asin[ω（）+φ]。 （2）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱問題 ①函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于直線x=xk（其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z）成軸對稱圖形，也就是說過波峰或波谷處且與x軸垂直的直線為其對稱軸。

27、 ②函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于點（xj,0）(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心對稱圖形，也就是說函數(shù)圖象與x軸的交點（平衡位置點）是其對稱中心。 ※例題解析※ 〖例〗已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π, ω>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為。 （1）求f()的值；（2）將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。 思路解析：（1）化簡f(x)由奇偶性和周期性求ω和φ求f()；（2）變換f(x)的圖象得

28、到g(x)的解析式求g(x)的單調(diào)減區(qū)間。 解答：（1）f(x)= sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[sin(ωx+φ)- cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ-).因為f(x)為偶函數(shù)，所以對x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，因此，sin(-ωx+φ-)=sin(ωx+φ-),即-sinωxcos(φ-)+cosωxsin(φ-)=sinωxcos(φ-)+cosωxsin(φ-),整理得sinωxcos(φ-)=0,因為ω>0.且x∈R,所以cos(φ-)=0,又因為0<φ<π，故φ-=，所以f(x)=2sin(ωx+)-2cosωx.由題意得，所以ω=2，故f(x)=2

29、cos2x,因此f()=2cos=. （2）將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到f(x-)的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不為，得到f(-)的圖象。所以g(x)= f(-)=2cos[2(-)]=2cos(), 當2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z), 即4 kπ+≤x≤4 kπ+(k∈Z)時，g(x)單調(diào)遞減。 因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4 kπ+，4 kπ+](k∈Z)。 4、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b模型的簡單應用 〖例〗如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m,圓上最低點與地面距離為0.8m,60秒轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)

30、A與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動角到OB,設(shè)B點與地面距離是h ． （１）求h與間的函數(shù)關(guān)系式； （２）設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達OB，h與之間的函數(shù)關(guān)系式,并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？ 思路分析：（１）以圓心Ｏ為原點建立平面直角坐標系，利用三角函數(shù)的定義求出點Ｂ的縱坐標，則h與之間的關(guān)系可求．（２）把用t表示出來代入h與的函數(shù)關(guān)系即可． 解答：（１）以圓心Ｏ為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系， 則以Ｏx為始邊，ＯＢ為終邊的角為-,故點Ｂ的坐標為（4.8cos(-),4.8sin(-)）,∴h=5.6+4.8sin(-). （２）點Ａ在圓上轉(zhuǎn)動的角度是

31、，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t，∴h=5.6+4.8sin(t-).t∈[0,+∞).到達最高點時，h=10.4m，由sin(t-)=1得t-＝，∴t=30, ∴纜車到達最高點時，用的時間最少為30秒． 注：①面對實際問題時,能夠迅速地建立數(shù)學模型是一項重要的基本技能.這個過程并不神秘,比如本例題,在讀題時把問題提供的” 條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學語言”，這個過程就是數(shù)學建模的過程，在高考中，將實際問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題的常見形式有：求出三角函數(shù)的解析式；畫出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)的性質(zhì)進行解題。 ②將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有關(guān)問題應注意以下幾點： 審題：把問題提供的“條件”逐條地

32、“翻譯”成“數(shù)學語言”； 描點畫圖，建立數(shù)學模型； 求出三角函數(shù)解析式； 利用函數(shù)的性質(zhì)進行解題。 五、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 1、三角函數(shù)式的化簡、求值 ※相關(guān)鏈接※ （1）三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則 ①一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式； ②二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”； ③三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們打到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等。 （2）根式的化簡常常需要升冪去根號，在化簡中注意角的范圍以確定三

33、角函數(shù)值的正負號； （3）對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有： ①化為特殊角的三角函數(shù)值； ②化為正、負相消的項，消去求值； ③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值。 ※例題解析※ 〖例〗（1）化簡 （2）求值 思路解析：（1）從把角變?yōu)槿胧?，合理使用公式? （2）應用公式把非角轉(zhuǎn)化為的角，切化弦。 解答：（1）原式= 因為0<<π,所以所以 所以原式=-cosθ (2)原式 2、三角函數(shù)的給值求值問題 ※相關(guān)鏈接※ 三角函數(shù)的給值求值問題 解決的關(guān)鍵在于把“所求角”用“已知角”表示。 （1）當“已知角”有兩個時，

34、“所求角”一般表示兩個“已知角”的和或差的形式； （2）當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”。 （3）常見的配角技巧 ※例題解析※ 〖例〗已知，求的值。 思路解析：比較題設(shè)中的角與待求式中的角，不難發(fā)現(xiàn)或?qū)? 變化為，再由求解。 解答：方法一：∵，又。又又 方法二： 3、三角函數(shù)的給值求角問題 ※相關(guān)鏈接※ （1）通過先求角的某個三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則： ①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)； ②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)。若角的范圍是，選正、余弦皆

35、可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好。 （2）解給值求角問題的一般步驟為： ①求角的某一個三角函數(shù)值； ②確定角的范圍； ③根據(jù)角的范圍寫出所求的角。 ※例題解析※ 〖例1〗如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A、B的橫坐標分別為、 （1）求tan(α+β)的值； （2）求的α+2β值。 思路解析：由已知得cosα,cosβ求tanα,tanβ求tan(α+β) 求tan(α+2β) 求α+2β的范圍求α+2β的值。 解答：由已知條件得： 〖例2〗 思路解析 解答：

36、 ∴ 注：已知三角函數(shù)值求角，一般分兩步： ①“恰當”地根據(jù)角的范圍選擇一個三角函數(shù)值； ②根據(jù)角的范圍與三角函數(shù)值確定該角的值。 4、三角函數(shù)的綜合應用 〖例〗已知α、β為銳角，向量 （1） 若，求角的值； （2） 若，求tanα的值。 思路解析：（1）由，及的坐標，可求出關(guān)于α、β的三角函數(shù)值，進而求出角； （2）由可求出關(guān)于α、β的三角恒等式，利用方程的思想解決問題。 解答：（1）∵ …………………………………………………① …………………………………………② 由①得，由②得 由α、β為銳角，∴β=。從而= 注：（1）已知三角函

37、數(shù)值求角，一定要注意角的范圍； （2）求解三角函數(shù)有關(guān)的問題，有時構(gòu)造等式，用方程的思想解決更簡單、實用。 六、簡單的三角恒等變換 1、可轉(zhuǎn)化為y=asinx+bcosx+k的函數(shù) ※相關(guān)鏈接※ 若函數(shù)f(x) 的解析式通通過三角恒等變換可轉(zhuǎn)化為y=asinx+bcosx+k的形式，則函數(shù)f(x)的解析式可化為f(x)=sin(x+)+k(其中cos=,sin=)的形式。 注：解析式與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)若求函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、值域等問題時，一般要轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+)+k的形式。 ※例題解析※ 〖例〗已知函數(shù) （1）將函數(shù)g(x)化簡成Asin(ωx+)+

38、B(A>0,ω>0, 的形式； （2）求函數(shù)g(x)的值域。 思路解析：（1）利用平方關(guān)系的變形將根式化為有理式； （2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性及借助于三角函數(shù)的圖象確定值域。 解答： 2、三角函數(shù)的證明 ※相關(guān)鏈接※ （1）證明三角恒等式的方法 觀察等式兩邊的差異（角、函數(shù)、運算的差異），從解決某一差異入手（同時消除其他差異），確定人該等式的哪邊證明（也可兩邊同時化簡），當從解決差異方面不易入手時，可采用轉(zhuǎn)換命題法或用分析法等。 （2）證明三角條件等式的方法 首先觀察條件與結(jié)論的差異，從解決這一差異入手，確定從結(jié)論開始，通過變換，將已知表達式代入得出結(jié)論

39、，或通過變換已知條件得出引進結(jié)論，如果這兩種方法都證不出來，可采用分析法；如果已知條件含參數(shù)，可采用消去參數(shù)法；如果已知條件是連比的式子，可采用換元法等。 ※例題解析※ 〖例〗（1）求證： （2） 思路解析：（1）觀察本題（1）左、右兩邊式子間的差異，若選擇“從左證到右”，則“切化弦”的方法可用；若選擇“從右證到左”，則倍角公式應是必用公式； （2）本題（2）一個條件等式的證明，應仔細觀察條件與結(jié)論的差異，從解決差異入手，結(jié)論中為α+β與α的函數(shù)，而已知是β與2α+β的函數(shù)，將β、2α+β用α+β、α表示解決本題的正確方向。 解答：（1）方法一： 方法二：

40、3、三角函數(shù)式的化簡及求值 ※相關(guān)鏈接※ （1）三角函數(shù)式的化簡 ⅰ、化簡的要求 ①能求出值的應求出值； ②盡量使函數(shù)種數(shù)最少； ③盡量使項數(shù)最少； ④盡量使分母不含三角函數(shù)； ⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。 ⅱ、化簡的方法 弦切互化，異名化同名，異角化同角；降冪或升冪，和差化積、積化和差等。 （2）已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式的值，一般思路為： ⅰ、先化簡所求式子； ⅱ觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系（從三角函數(shù)名及角入手）； ⅲ將已知條件代入所求式子，化簡求值。 ※例題解析※ 〖例〗已知，求的值 思路解析：化簡已知條件化簡所求式子，用已知表

41、示所求代入已知求解結(jié)論。 解答： 解得=-3或=. 注：化簡的思路： 對于和式，基本思想是降次、消項和逆用公式；對于三角分式，基本思路是分子與分母約分或逆用公式；對于二次根式，注意二倍角公式的逆用。另外，還可以用切割化弦、變量代換、角度歸一等方法。 4、三角函數(shù)的應用問題 〖例〗如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，且OA=2，B為半圓周上任意一點，以AB為一邊作等邊ΔABC，問點B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大？其最大面積是多少？ 思路解析：點B的位置可由∠AOB的大小來確定，取∠AOB為自變量，則由余弦定理可求AB，從而可求，四邊形OACB的面積可表示成∠AOB的函數(shù)，再求這個三角函數(shù)的最大值。 解答： 注：用函數(shù)法求平面圖形面積的最大值或最小值，常以某個變化的角作為自變量，再將面積S表示成這個角的函數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值，其中自變量的取值范圍要根據(jù)實際情況而定，求函數(shù)的最值可通過三角變換來解決。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！