《【三維設(shè)計】高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)配套講義備考基礎(chǔ)查清 熱點命題悟通第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 理 蘇教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【三維設(shè)計】高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)配套講義備考基礎(chǔ)查清 熱點命題悟通第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 理 蘇教版（41頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四章　平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (

2、1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 1．作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向

3、被減向量的終點； 2．在向量共線的重要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個； 3．要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系． [試一試] 1.(2013蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))如圖，在△OAC中，B為AC的中點，若＝x＋y(x，y∈R)，則x－y＝________. 解析：法一：(直接法)根據(jù)圖形有 所以＝＋2(－)， 所以＝－＋2，而＝x＋y， 所以故x－y＝－3. 法二：(間接法)由B為AC的中點得＋＝2， 所以＝－＋2，而＝x＋y， 所以故x－y＝－3. 答案：－3 2．若菱形ABCD的邊長為2，則|－＋|＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋

4、|＝||＝2. 答案：2 1．向量的中線公式 若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)一點，則＝(＋)． 2．三點共線等價關(guān)系 A，P，B三點共線?＝λ (λ≠0)? ＝(1－t)＋t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，t∈R)?＝x＋y (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． [練一練] 1．D是△ABC的邊AB上的中點，若＝x＋y，則x＋y＝________. 解析：∵＝－＝－，則x＝，y＝－1 ∴x＋y＝－. 答案：－ 2．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. 解析：由題意知a＋λb＝k

5、[－(b－3a)]， 所以解得 答案：－ 考點一 向量的有關(guān)概念 1.給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中正確命題的序號是________． 解析：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同． ②正確．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||

6、＝||，因此，＝. ③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ⑤不正確．考慮b＝0這種特殊情況． 綜上所述，正確命題的序號是②③. 答案：②③. 2．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是________． 解析：向量是既有

7、大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3. 答案：3 [備課札記]　　

8、 [類題通法] 平面向量中常用的幾個結(jié)論 (1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時不要把它與函數(shù)圖像的平移混為一談． (3)是與a同向的單位向量，－是與a反向的單位向量． 考點二 向量的線性運(yùn)算 [典例]　(2013江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝

9、AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． [解析]　由題意＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋， 所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. [答案]　 [備課札記]　　

10、 若條件變?yōu)椋喝簦?，＝＋λ，則λ＝________. 解析：∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋. 又∵＝2， ∴2＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋. ∴＝＋，即λ＝. 答案： [類題通法] 在向量線性運(yùn)算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來

11、求解． [針對訓(xùn)練] 若A，B，C，D是平面內(nèi)任意四點，給出下列式子： ①＋＝＋；②＋＝＋； ③－＝＋.其中正確的有________個． 解析：①式的等價式是－＝－，左邊＝＋，右邊＝＋，不一定相等；②式的等價式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等價式是－＝＋，＝成立． 答案：2 考點三 共線向量定理的應(yīng)用 [典例]　設(shè)兩個非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 求證：A，B，D三點共線． (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a

12、＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線， 又∵它們有公共點B， ∴A，B，D三點共線． (2)∵ka＋b與a＋kb共線， ∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共線的兩個非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0.∴k＝1. [備課札記]　　

13、 [類題通法] 1．共線向量定理及其應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值． (2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛． 2．證明三點共線的方

14、法 若＝λ，則A、B、C三點共線． [針對訓(xùn)練] 已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由． 解：由題設(shè)知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因為a，b不共線，所以有，解之得t＝. 故存在實數(shù)t＝使C，D，E三點在一條直線上． [課堂練通考點] 1．給出下列命題：

15、 ①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量． ②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。? ③λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零． ④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯誤的命題的有________個． 解析：①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點． ②正確，因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大?。? ③錯誤，當(dāng)a＝0時，不論λ為何值，λa＝0. ④錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b可以是任意向量． 答案：3 2.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________. 解析：∵＝－＝a

16、－b， 又＝3， ∴＝＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 3．(2013蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))已知點P在△ABC 所在的平面內(nèi)，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為________． 解析：因為2＋3＋4＝3， 所以2＋3＋4＝3－3， 即5＋4＝0， 所以△PAB與△PBC的面積的比為PA∶PC＝4∶5. 答案： 4.(2014“江南十?！甭?lián)考)如圖，在△ABC中，∠A＝60，∠A的平分線交BC于D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，則AD的長為________． 解析：因為B，D，C三點共線，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如圖，過點

17、D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，則＝，＝， 經(jīng)計算得AN＝AM＝3，AD＝3. 答案：3 5．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝________(用a，b表示)． 解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)， ＝a＋b， 所以＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 6．設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝________. 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥， 則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線， 因此，||＝||＝2. 答案：2 [課下提升考能] 第Ⅰ組：全員必做題 1．設(shè)a、b是兩個非零向

18、量，下列結(jié)論正確的有________．(填寫序號) ①若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b ②若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| ③若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λa ④若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 解析：對于①，可得cosa，b＝－1，因此a⊥b不成立；對于②，滿足a⊥b時|a＋b|＝|a|－|b|不成立；對于③，可得 cosa，b＝－1，因此成立，而④顯然不一定成立． 答案：③ 2．(2013徐州期中)設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點，且＋＝－2，則△AOB與△AOC的面積之比為________． 解析：設(shè)M為邊AC的

19、中點．因為＋＝－2，所以點O是△ABC的中線BM的中點，從而所求面積之比為1∶2. 答案：1∶2 3．在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為________． 解析：如圖，因為＝， 所以＝，＝m＋＝m＋，因為B、P、N三點共線， 所以m＋＝1，所以m＝. 答案： 4．(2013南通期中)設(shè)D，P為△ABC內(nèi)的兩點，且滿足＝(＋)，＝＋，則＝________. 解析：設(shè)E為邊BC的中點．由＝(＋)可知， 點D在△ABC的中線AE上，且AD＝AE， 由＝＋，得＝， 利用平面幾何知識知＝＝. 答案： 5．(2014南通期末)在△AB

20、C中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且3a＋4b＋5c＝0，則a∶b∶c＝________. 解析：在△ABC中有＋＋＝0， 又3a＋4b＋5c＝0，消去得 (3a－5c) ＋(4b－5c) ＝0， 從而3a－5c＝0,4b－5c＝0， 故a∶b∶c＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶12 6．(2014淮陰模擬)已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析：由題目條件可知，M為△ABC的重心， 連接AM并延長交BC于D，則＝， 因為AD為中線，則＋＝2＝3， 所以m＝3. 答案：3 7．(2014蘇北四市質(zhì)檢

21、)已知a，b是非零向量，且a，b的夾角為，若向量p＝＋，則|p|＝________. 解析：和分別表示與a，b同向的單位向量， 所以長度均為1.又二者的夾角為， 故|p|＝ ＝. 答案： 8．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，給出下列命題：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0. 其中正確命題的個數(shù)為________． 解析：＝a，＝b，＝＋ ＝－a－b，故①錯； ＝＋＝a＋b，故②錯； ＝(＋)＝(－a＋b) ＝－a＋b，故③正確； ∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0. ∴正確命題為②③④. 答案：3 9.(201

22、3蘇北四市三調(diào))如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，若＝m，＝n，其中m，n∈(0,1)．設(shè)EF的中點為M，BC的中點為N. (1)若A，M，N三點共線，求證：m＝n； (2)若m＋n＝1，求||的最小值． 解：(1)證明：由A，M，N三點共線，得∥. 設(shè)＝λ (λ∈R)，即(＋)＝λ(＋)， 所以m＋n＝λ(＋)． 因為與不共線，所以m＝n. (2)因為＝－＝(＋)－(＋)＝(1－m)＋(1－n) ， 又m＋n＝1，所以＝(1－m) ＋m， 所以||2＝(1－m)2＋m2＋(1－m)m＝(1－m)2＋m2＋(1－m)m ＝2＋， 故當(dāng)m＝

23、時，||min＝. 10.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線． 解：(1)延長AD到G， 使＝， 連接BG，CG，得到?ABGC， 所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)，＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)可知＝，又因為 ，有公共點B， 所以B，E，F(xiàn)三點共線． 第Ⅱ組：重點選做題 1．A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個定點，且＝a，＝b，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，點Q關(guān)于點B的對稱點為R，用

24、a、b表示，則＝________. 解析：＝－＝(＋)－(＋) ＝2－2＝2(b－a)． 答案：2(b－a) 2．已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量，，，滿足等式＋＝＋，則四邊形ABCD的形狀為________． 解析：由＋＝＋得 －＝－， ∴＝.所以四邊形ABCD為平行四邊形． 答案：平行四邊形 第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

25、 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模： 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法： ①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0. 1．若a、b為非零向量，當(dāng)a∥b時，a，b的夾角為0或180，求解時

26、容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯； 2．要區(qū)分點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息． 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. [試一試] 1．(2014南京、鹽城一模)若向量a＝(2,3)，b＝(x，－6)，且a∥b，則實數(shù)x＝________. 解析：由a∥b得2(－6)＝3x，解得x＝－4. 答案：－4 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數(shù)x的值是________．

27、 解析：∵u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， ∴8－4x＝3＋6x，∴x＝. 答案： 用基向量表示所求向量時，注意方程思想的運(yùn)用． [練一練] 設(shè)e1、e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b. 解析：由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb. 因為a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2) ＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理，得 所以 答案：?。?

28、 考點一 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1.(2014蘇中三市、宿遷調(diào)研(一))在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量＝(2,1)，＝(3,5)，則向量的坐標(biāo)為________． 解析：＝－＝(1,4)． 答案：(1,4) 2．(2013北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 解析：設(shè)i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根據(jù)平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4. 答案：4 3．已知A(－2,4)，B(3，－1

29、)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c. (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n. 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 [備課札記]　　

30、 [類題通法] 1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算實現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，從而可使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算． 2．兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相同．此時注意方程(組)思想的應(yīng)用． 考點二 平面

31、向量基本定理及其應(yīng)用 [典例]　如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點．設(shè)＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，，. [解析]　 ＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋＝b－a， ＝＋＝－b－＝a－b. [備課札記]　　

32、 [類題通法] 用平面向量基本定理解決問題的一般思路 (1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決． (2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理． [針對訓(xùn)練] (2014濟(jì)南調(diào)研)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上

33、的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為________． 解析：因為＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k ＝(1－k)＋， 且＝m＋， 所以1－k＝m，＝， 解得k＝，m＝. 答案： 考點三 平面向量共線的坐標(biāo)表示 [典例]　平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k； [解]　(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0. ∴k＝－

34、. [備課札記]　　

35、 在本例條件下，若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 解：設(shè)d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由題意得 得或 ∴d＝(3，－1)或(5,3)． [類題通法] 1．向量共線的兩種表示形式 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b?a＝λb(b≠0)；②a∥b?x1y2－x2y1＝0，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用②. 2．兩向量共線的充要條件的作用 判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點共線的問題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值．

36、 [針對訓(xùn)練] 已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三點共線，求a，b的關(guān)系式； (2)若＝2，求點C的坐標(biāo)． 解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)， ∵A，B，C三點共線，∴∥. ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵＝2， ∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)． ∴解得 ∴點C的坐標(biāo)為(5，－3)． [課堂練通考點] 1．(2013南京二模)若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于y軸，a＝(2，－1)，則b＝________. 解析：設(shè)b＝(x，y)，則a＋b＝(2＋x，y－1)

37、，由條件知2＋x＝0，|y－1|＝1，解得x＝－2，y＝0或x＝－2，y＝2，故b＝(－2,0)或(－2,2)． 答案：(－2,2)或(－2,0) 2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，則等于________． 解析：由題意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n) a－2b＝(4，－1)， 由于(ma＋nb)∥(a－2b)， 可得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得＝－. 答案：－ 3．(2014蘇北四市質(zhì)檢)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，－4)，若a∥b，則tan 2θ＝________. 解析：由題意，得－

38、4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－，所以tan 2θ＝＝－. 答案：－ 4．已知點A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，給出下面的結(jié)論： ①直線OC與直線BA平行；②＋＝； ③＋＝；④＝－2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是________． 解析：∵由題意得kOC＝＝－，kBA＝＝－， ∴OC∥BA，①正確；∵＋＝，∴②錯誤； ∵＋＝(0,2)＝，∴③正確； ∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正確． 答案：3 5．已知兩點A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點，點C在第二象限，且∠AOC＝135，設(shè)＝－＋λ(λ∈R)，則λ的值為___

39、_____． 解析：由∠AOC＝135知，點C在射線y＝－x(x<0)上，設(shè)點C的坐標(biāo)為(a，－a)，a<0，則有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝. 答案： 6．在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為________． 解析：∵M(jìn)為邊BC上任意一點， ∴可設(shè)＝x＋y(x＋y＝1)． ∵N為AM中點， ∴＝＝x＋y＝λ＋μ. ∴λ＋μ＝(x＋y)＝. 答案： [課下提升考能] 第Ⅰ組：全員必做題 1．(2013遼寧高考改編)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為_______

40、_． 解析：＝(3，－4)，則與其同方向的單位向量e＝＝(3，－4)＝. 答案： 2．已知△ABC中，點D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s的值是________． 解析：∵＝2， ∴＝＝(－)， ∴＝－AC， 又＝r＋s，∴r＝，s＝－， ∴r＋s＝0. 答案：0 3．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x的值為________． 解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由已知(a－2b)∥(2a＋b)，顯然2a＋b≠0， 故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R， ∴?x＝4(x>0)． 答案：4 4.若α，

41、β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)為________． 解析：∵a在基底p，q下的坐標(biāo)為(－2,2)， 即a＝－2p＋2q＝(2,4)， 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)， ∴即 ∴a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0,2)． 答案：(0,2) 5.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，N是線段OD的中點，AN的延長線與CD交于點E，則下列說法錯誤的是________．(填寫

42、序號) ①＝＋ ②＝－ ③＝＋ ④＝＋ 解析：由向量減法的三角形法則知，＝－，排除②；由向量加法的平行四邊形法則知，＝＋，＝＝＋，排除①、③. 答案：④ 6．在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________. 解析：＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－6,4)． ＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)． 答案：(－6,21) 7．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q等于________． 解析：P中，a＝(－1＋m,1

43、＋2m)， Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)． 則 得 此時a＝b＝(－13，－23)． 答案： 8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是________． 解析：若點A，B，C能構(gòu)成三角形， 則向量，不共線． ∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案：k≠1 9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求： (1)|a＋3b|； (2)當(dāng)k為何實數(shù)時，ka－b與a＋3b平行，平

44、行時它們是同向還是反向？ 解：(1)因為a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)， 故|a＋3b|＝＝. (2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)， 因為ka－b與a＋3b平行， 所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－. 此時ka－b＝(k－2，－1)＝， a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)， 即此時向量a＋3b與ka－b方向相反． 10．已知點O為坐標(biāo)原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點都共線． 解：(1) ＝t1

45、＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 當(dāng)點M在第二或第三象限時， 有 故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0. (2)證明：當(dāng)t1＝1時， 由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， ∴A，B，M三點共線． 第Ⅱ組：重點選做題 1.(2013南通二模)如圖，正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動點．設(shè)＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________． 解析：法一：分別延長DC，AB交于點G，則 CG∥AF，且CG＝AF， 從而＝＋＝2＋，

46、 同理可得＝＋2， ＝2＋2，因為點P在△CDE內(nèi)部(包括邊界)， 所以α＋β∈[3,4]． 法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系， 不妨設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為2， 則點A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，D(2,2)， E(0,2)，F(xiàn)(－1，)，從而點P位于區(qū)域中． 又＝α＋β＝(2α－β，β)， 代入可行域得于是α＋β∈[3,4]． 答案：[3,4] 2.(2014蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量＝λ＋ μ，則λ＋μ的最小值為________． 解析：以A為原點，如圖建立直角坐標(biāo)系，

47、不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則＝(1,1)，＝.設(shè)＝(cos α， sin α)，α∈.由＝λ＋μ得所以μ＝， 故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3－1. 設(shè)f(α)＝，α∈， 則f′(α)＝. 因為f′(α)＞0恒成立，故f(α)在上單調(diào)增． 所以當(dāng)α＝0時，f(α)min＝f(0)＝， 所以(λ＋μ)min＝. 答案： 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 1．平面向量的數(shù)量積 平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cos θ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab＝|a||b|cos θ，規(guī)

48、定0a＝0. 2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝ba； (2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)； (3)(a＋b)c＝ac＋bc. 3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 ab＝0 x1x2＋y1y2＝0 |ab|與|a||b|的關(guān)系 |ab|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 1．若a，b，c是實數(shù)，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c，若滿足ab＝a

49、c(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量． 2．?dāng)?shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(ab)c≠a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，a(bc)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與a(bc)不一定相等． [試一試] 1．(2014蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào))已知兩個單位向量e1，e2的夾角為120，若向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，則ab＝________. 解析：ab＝(e1＋2e2)4e1＝4e＋8e1e2 ＝4＋811＝0. 答案：0 2．(2013鎮(zhèn)江期末)在菱形ABCD中，AB＝2，B＝，＝3，＝3，則＝_

50、_______. 解析：如圖，依題意向量，所成角為，||＝||＝2，＝－，EF―→＝＋，＝(－)＝||2＋－||2＝－12. 答案：－12 1．明確兩個結(jié)論： (1)兩個向量a與b的夾角為銳角，則有ab>0，反之不成立(因為夾角為0時不成立)； (2)兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有ab<0，反之不成立(因為夾角為π時不成立)． 2．利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧． [練一練] 1．已知向量a，b均為非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為________． 解析：(a－2b)a＝|a|2－2ab＝0，(b－

51、2a)b＝|b|2－2ab＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2ab＝ |a|2－2|a|2cosa，b＝0，可得cosa，b＝，又因為0≤a，b≤π，所以a，b＝. 答案： 2．(2013南通三模)已知向量a與b的夾角為60，且|a|＝1，|b|＝2，那么(a＋b)2的值為________． 解析：(a＋b)2＝1＋4＋212cos 60＝7. 答案：7 考點一 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 1.(2014南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，則ab＝________. 解析：法

52、一：由a＝5，得a2－ab＝5， 即5－ab＝5，所以ab＝0. 法二：由a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，得b＝(－4,2)， 所以ab＝0 答案：0 2．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，ab＝－6.則的值為________． 解析：由已知得，向量a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－. 答案：－ 3.(2012江蘇高考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若＝，則的值是______

53、__． 解析：以點A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則＝(，0)，＝(，1)，＝(0,2)．設(shè)＝(x,2)，x＞0，則＝x＝，解得x＝1.所以F(1,2)，＝(1－，2)，于是＝. 答案： 4．在△ABC中，若∠A＝120，＝－1，則|BC―→|的最小值是________． 解析：∵＝－1，∴||||cos 120＝－1，即 ||||＝2，∴||2＝|－|2＝2－2＋2≥2||||－2＝6， ∴||min＝. 答案： [備課札記]　　

54、 [類題通法] 向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab＝|a||b|co

55、sa，b． (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝x1x2＋y1y2. 運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題，解題時應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解. 考點二 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)是高考的重點，歸納起來常見的命題角度有：(1)平面向量的模； (2)平面向量的夾角； (3)平面向量的垂直． 角度一　平面向量的模 1．(2014南京一模)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度為________．

56、解析：設(shè)＝a，＝b，如圖所示， ||2＝1＋4－212cos＝3， 所以BD＝. 答案： 角度二　平面向量的夾角 2．(1)(2013鹽城二模)已知向量a的模為2，向量e為單位向量，e⊥(a－e)，則向量a與e的夾角大小為________． 解析：由條件得e(a－e)＝0，從而ea＝1. 所以cos〈a，e〉＝，故〈a，e〉＝. 答案： (2)(2014蘇北四市一調(diào))設(shè)a，b，c是單位向量，且a＝b＋c，則向量a，b的夾角等于________． 解析：a，b，c是單位向量，模都為1，由a＝b＋c得a－b＝c，所以(a－b)2＝c2，即a2＋b2－2ab＝c2，得ab＝，所以

57、|a||b|cos θ＝，即cos θ＝，故θ＝. 答案： 角度三　平面向量的垂直 3．(1)(2013鹽城二模)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，且向量λa＋b與a－2b垂直，則實數(shù)λ的值為________． 解析：由條件知|a|＝，|b|＝1，ab＝3， 又λa＋b與a－2b垂直，所以(λa＋b)(a－2b)＝0， 即λa2－2b2＋(1－2λ)ab＝0， 于是13λ－2＋(1－2λ)3＝0，解得λ＝－. 答案：－ (2)在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，則k的值為________． 解析：①當(dāng)A＝90時， ∵⊥，∴＝0. ∴21＋3k

58、＝0，解得k＝－. ②當(dāng)B＝90時，∵⊥， 又＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)， ∴＝2(－1)＋3(k－3)＝0， 解得k＝. ③當(dāng)C＝90時， ∵⊥，∴1(－1)＋k(k－3)＝0， 即k2－3k－1＝0.∴k＝. 答案：－或或. [備課札記]　　

59、 [類題通法] 1．求兩非零向量的夾角時要注意： (1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律； (2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角． 2．利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法 (1)a2＝aa＝|a|2或|a|＝. (2)

60、|ab|＝＝. (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 考點三 平面向量與三角函數(shù)的綜合 [典例]　(2013江蘇高考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． [解]　(1)證明：由題意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2. 又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2ab＝2，即ab＝0，故a⊥b. (2)因為a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以 由此得

61、，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝. [備課札記]　　

62、 [類題通法] 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解． (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等． [針對訓(xùn)練] 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)

63、，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值． 解：(1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝. (2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5. 從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin＝－. 又由0<θ<π，知<2θ＋<， 所以2θ＋＝或2θ＋＝. 因此θ＝或θ＝. [課堂練通考點] 1．(2011江蘇高考)已知e

64、1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若ab＝0，則實數(shù)k的值為________． 解析：由題得|e1|＝|e2|＝1，e1e2＝|e1||e2|cos＝－，所以ab＝(e1－2e2)(ke1＋e2)＝k|e1|2＋(1－2k)e1e2－2|e2|2＝k＋－2＝0，解得k＝. 答案： 2．在△ABC中，若＝＝2，則邊AB的長等于________． 解析：由題意得＋＝(＋)＝||2＝4，所以AB＝2. 答案：2 3．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超過5，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：因為a＝(－2,2)，b＝(

65、5，k)，所以a＋b＝(3，k＋2)，所以|a＋b|＝＝≤5，解得－6≤k≤2 答案：[－6,2] 4．(2013淮安二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，BD⊥AC，D為垂足，則BC―→的值為________． 解析：＝(＋)＝＋ ＝＝||||cos∠ABD＝||2. 在△ABC中，由余弦定理得AC＝，又S△ABC＝ABBCsin∠ABC＝23sin 60＝，所以ACBD＝，所以BD＝， 所以＝||2＝. 答案： 5．若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________． 解析：由|a|＝|a＋2b|，兩邊平方，得

66、|a|2＝(a＋2b)2 ＝|a|2＋4|b|2＋4ab，所以ab＝－|b|2. 又|a|＝3|b|，所以cosa，b＝＝＝－. 答案：－ 6．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O為BC的垂直平分線上一點，則＝________. 解析：取BC邊的中點D，連接AD，則＝(＋)＝＋＝＝(＋)(－)＝(2－2)＝(62－102)＝－32. 答案：－32 [課下提升考能] 第Ⅰ組：全員必做題 1．(2013鹽城二模)若e1，e2是兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，則e1，e2的夾角為________． 解析：因為a⊥b，所以ab＝0，從而5－6e1e2－8＝0，所以e1e2＝－